2014屆高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)課件(魯閩皖專用)： 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式(新人教A版)

1、第二節(jié) 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式,三年3考 高考指數(shù): 1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)； 2.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.,1.兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,兩平行線間的距離公式是高考的重點(diǎn)； 2.常與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯命題； 3.多以選擇題和填空題為主，有時(shí)與其他知識(shí)點(diǎn)交匯，在解答題中考查.,1.兩條直線的交點(diǎn) 直線l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方 程組 的解一一對(duì)應(yīng). 相交方程組有_，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解； 平行方程組_；重合方程組有_.,唯一解,無解,無數(shù)組解,【即時(shí)

2、應(yīng)用】 (1)思考：如何用兩直線的交點(diǎn)判斷兩直線的位置關(guān)系？ 提示：當(dāng)兩直線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩直線相交；沒有交點(diǎn)時(shí)，兩直線平行；有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩直線重合. (2)直線l1：5x+2y-6=0與l2：3x-5y-16=0的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是_.,【解析】由直線l1與l2所組成的方程組 得： 直線l1：5x+2y-6=0與l2：3x-5y-16=0的交點(diǎn)P的坐 標(biāo)是(2,-2). 答案：(2,-2),(3)直線l1：5x+2y-6=0與l2：5x+2y-16=0的位置關(guān)系是_. 【解析】由直線l1與l2所組成的方程組 無解，直線l1與l2平行. 答案：平行,2.距離,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)原點(diǎn)到直線x+

3、2y-5=0的距離是_； (2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，則a=_； (3)兩平行線y=2x與2x-y=-5間的距離為_.,【解析】(1)因?yàn)?(2)依題設(shè)及兩點(diǎn)間的距離公式得： 解得：a=8； (3)因?yàn)閮善叫芯€方程可化為：2x-y=0與2x-y+5=0. 因此，兩平行線間的距離為： 答案：(1) (2)8 (3),兩直線的交點(diǎn)問題 【方法點(diǎn)睛】1.兩直線交點(diǎn)的求法 求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程組成的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為交點(diǎn). 2.過直線A1x+B1y+C1=0與A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線系方程 A1x+B1y+C1+(A2x+B2y

4、+C2)=0.(不包括直線A2x+B2y+C2=0),【例1】(1)求經(jīng)過直線x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點(diǎn)，且也經(jīng)過點(diǎn)A(8,-4)的直線方程為_； (2)已知兩直線l1：mx+8y+n=0與l2：2x+my-1=0，若l1與l2相交，求實(shí)數(shù)m、n滿足的條件. 【解題指南】(1)可求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式解決；也可用過兩直線交點(diǎn)的直線系解決；(2)兩直線相交可考慮直線斜率之間的關(guān)系，從而得到m、n滿足的條件.,【規(guī)范解答】(1)方法一：因?yàn)橹本€x+y+1=0與直線x-y+3=0 的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1)，直線又過A(8,-4)，所以所求直線方 程為： 即x+2y=0； 方法二

5、：設(shè)過直線x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點(diǎn)的直線方程 為x+y+1+(x-y+3)=0， 又因?yàn)橹本€過A(8,-4)，所以8-4+1+(8+4+3)=0， 解得: 所以，所求直線方程為x+2y=0. 答案：x+2y=0,(2)因?yàn)閮芍本€l1：mx+8y+n=0與l2：2x+my-1=0相交，因此， 當(dāng)m=0時(shí)，l1的方程為 l2的方程為 兩直線相交， 此時(shí)，實(shí)數(shù)m、n滿足的條件為m=0，nR；當(dāng)m0時(shí)， 兩直線相交， 解得m4，此時(shí)，實(shí)數(shù)m、n滿足的條件為m4，nR.,【互動(dòng)探究】本例(1)中的“且也經(jīng)過點(diǎn)A(8,-4)”改為“與直線2x-y=0垂直”,求該直線方程. 【解析】方法一：

6、因?yàn)橹本€x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1)，又直線與直線2x-y=0垂直，所以所求直線的斜率 因此所求直線方程為：y-1= (x+2)，即x+2y=0.,方法二：設(shè)過直線x+y+1=0與直線x-y+3=0的交點(diǎn)的直線方程為x+y+1+(x-y+3)=0，即(1+)x+(1-)y+1+3=0, 又因?yàn)橹本€與直線2x-y=0垂直，所以所求直線的斜率 即有 解得:= 所以，所求直線方程為x+2y=0.,【反思感悟】1.本例(1)中是求直線方程,其關(guān)鍵是尋找確定直線的兩個(gè)條件,可以直接求交點(diǎn),利用兩點(diǎn)式得出方程,此法要注意兩點(diǎn)的縱(或橫)坐標(biāo)相同時(shí),兩點(diǎn)式方程不適用,也可以利用

7、直線系方程求解,其關(guān)鍵是利用已知點(diǎn)求的值; 2.考查兩直線相交的條件,即斜率不等或有一條直線的斜率不存在.,【變式備選】當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線l1：4x+y-3=0與l2：x+y=0, l3：2x-3my-4=0能圍成一個(gè)三角形? 【解析】三條直線能圍成三角形即三條直線兩兩相交且不共 點(diǎn)，所以 解得：,又因?yàn)閘1：4x+y-3=0與l2：x+y=0的交點(diǎn)為(1,-1)，所以 2+3m-40，解得 當(dāng)m=0時(shí)，l3:2x-4=0, l1:4x+y-3=0, l2:x+y=0, l1與l3的交點(diǎn) 為(2,-5)， l1與l2的交點(diǎn)為(1,-1), l2與l3的交點(diǎn)為(2,-2)， 能構(gòu)成三角形，符

8、合題意. 綜上可知：,距離公式的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】 1.兩點(diǎn)間的距離的求法 設(shè)點(diǎn)A(xA,yA),B(xB,yB)， |AB|= 特例：ABx軸時(shí)，|AB|=|yA-yB| ABy軸時(shí)，|AB|=|xA-xB|.,2.點(diǎn)到直線的距離的求法 可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式. 3.兩平行直線間的距離的求法 (1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離. (2)利用兩平行線間的距離公式. 【提醒】應(yīng)用兩平行線間的距離公式求距離時(shí),要注意兩平行直線方程中x、y的系數(shù)必須相等.,【例2】已知點(diǎn)A(2，-1)， (1)求過點(diǎn)A且與原

9、點(diǎn)距離為2的直線l的方程； (2)求過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？ (3)是否存在過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在.請(qǐng)說明理由.,【解題指南】(1)因?yàn)橐阎本€過點(diǎn)A，因此可選擇點(diǎn)斜式方程，利用到原點(diǎn)的距離為2列方程，解方程即可，但要注意對(duì)斜率不存在的討論；(2)易知最大距離時(shí)的直線與AO垂直，這樣問題即可解決；(3)可由(2)知道距離的最大值，從而得出直線是否存在.,【規(guī)范解答】(1)過點(diǎn)A的直線l與原點(diǎn)距離為2，而點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-1). 當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=2，此時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離為2，符合題意； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l

10、的方程為y+1=k(x-2)，即 kx-y-2k-1=0，由已知得 解得 此時(shí)直線l的方程為3x-4y-10=0, 綜上可知：直線l的方程為x=2或3x-4y-10=0.,(2)過點(diǎn)A與原點(diǎn)O距離最大的直線是過點(diǎn)A與AO垂直的直線，由 lAO，得klkOA=-1，所以 由直線的點(diǎn)斜式得y+1=2(x-2)，即2x-y-5=0，即直線2x-y-5=0是過點(diǎn)A且與原點(diǎn) 距離最大的直線l的方程，最大距離是 (3)由(2)可知，過點(diǎn)A不存在到原點(diǎn)距離超過 的直線，因此 不存在過點(diǎn)A且與原點(diǎn)距離為6的直線.,【反思感悟】1.在解答本題時(shí)，直線斜率存在時(shí),根據(jù)題設(shè)條件，由點(diǎn)到直線的距離公式得關(guān)于斜率的方程

11、，這是很關(guān)鍵的問題,同時(shí)注意討論斜率不存在的情況； 2.另外，求距離的最值時(shí)，除了考慮距離公式所要求的條件，以防漏解、錯(cuò)解外，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.,【變式訓(xùn)練】已知A(4,-3),B(2,-1)和直線l:4x+3y-2=0，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA=|PB|，且點(diǎn)P到直線l的距離為2. 【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b). A(4，-3)，B(2,-1)， 線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，-2)， 線段AB的垂直平分線方程為y+2=x-3, 即x-y-5=0.,由題意知點(diǎn)P(a,b)在上述直線上，a-b-5=0. 又點(diǎn)P(a,b)到直線l：4x+3y-2=0的距離為2， 即4a+3b-

12、2=10, 聯(lián)立可得 所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，-4)或( ).,【變式備選】過點(diǎn)P(-1,2)引一直線，兩點(diǎn)A(2,3)，B(-4,5)到該直線的距離相等，求這條直線的方程. 【解析】方法一：當(dāng)斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)P(-1,2)的直線方程為：x=-1，A(2,3)到x=-1的距離等于3，且B(-4,5)到x=-1的 距離也等于3，符合題意； 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，過點(diǎn)P(-1,2)的直線方程為：y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0， 依題設(shè)知：,解上式得： 所以，所求直線方程為：x+3y-5=0； 綜上可知,所求直線方程為x=-1或x+3y-5=0. 方法二：依題設(shè)知：符合題意的

13、直線共有兩條，一條是過點(diǎn)P(-1,2)與AB平行的直線，另一條是過點(diǎn)P及AB中點(diǎn)的直線. 因?yàn)锳(2,3)，B(-4,5)，所以 因此，過點(diǎn)P與 AB平行的直線的方程為： y-2= (x+1),即x+3y-5=0;,又因?yàn)锳(2,3)，B(-4,5)的中點(diǎn)坐標(biāo)D(-1,4)， 所以過點(diǎn)P及AB中點(diǎn)的直線方程為x=-1； 綜上可知,所求直線方程為x=-1或x+3y-5=0.,對(duì)稱問題 【方法點(diǎn)睛】1.對(duì)稱中心的求法 若兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo) 公式求得a、b的值，即 2.軸對(duì)稱的兩個(gè)公式 若兩點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2)關(guān)于直線l：Ax+

14、By+C=0(A0)對(duì)稱，則線段MN的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，而且連接MN的直線垂直于對(duì)稱軸l.故有,3.對(duì)稱問題的類型 (1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(2)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱； (3)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(4)直線關(guān)于直線對(duì)稱. 以上各種對(duì)稱問題最終化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.,【例3】已知直線l：2x-3y+1=0，點(diǎn)A(-1,-2).求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)； (2)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l的方程. 【解題指南】(1)可設(shè)對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,n)，利用AA與直線l垂直以及線段AA的中點(diǎn)在直線l上，得出關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可得A的坐標(biāo)；(2)本題實(shí)質(zhì)上是求直線的方程，可想法

15、找到兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線l的方程.也可在l上任取一點(diǎn)，利用該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在直線l上即可得出方程.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,n)，由已知可 得 解得 即A( ).,(2)方法一：在l上任取兩點(diǎn)(1,1)與(0, )，則它們關(guān)于點(diǎn) A(-1，-2)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)與(-2, ) l的方程為: 化簡(jiǎn)得2x-3y-9=0.,方法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y)為l上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn) 為P(-2-x,-4-y)，又因?yàn)镻在直線l上，所以， 2(-2-x)-3(-4-y)+1=0， 即2x-3y-9=0.,【反思感悟】1.此題是點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱，線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，這類

16、問題都要抓住對(duì)稱這一特征解決問題. 2.利用方程思想和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，找到已知點(diǎn)與未知點(diǎn)之間的關(guān)系，最后代入已知方程求解.,【變式訓(xùn)練】求直線m：3x-2y-6=0關(guān)于直線l：2x-3y+1=0對(duì)稱的直線m的方程. 【解析】由 解得m與l的交點(diǎn) E(4,3)，E點(diǎn)也在直線m上. 在直線m：3x-2y-6=0上取一點(diǎn)A(2,0)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (a,b)，則 由,解得B( ). 由兩點(diǎn)式得直線m的方程為 即9x-46y+102=0.,【創(chuàng)新探究】新定義下的直線方程問題 【典例】(2012上海模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P(x,y)，定義OP=|x|+|y|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)

17、. 對(duì)于以下結(jié)論：符合OP=1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的面積 為2； 設(shè)P為直線 x+2y-2=0上任意一點(diǎn)，則OP的最小值為1； 其中正確的結(jié)論有_(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)) .,【解題指南】根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個(gè)反例，得到OP的最小值為1是假命題. 【規(guī)范解答】由OP=1，根據(jù)新 定義得：|x|+|y|=1, 上式可化為： y=-x+1(0 x1)，y=-x-1(-1x 0)，y=x+1(-1x0)，y=x-1 (0 x1),畫出圖象如圖所示：,根據(jù)圖形得到：四邊形ABCD為邊長是 的

18、正方形，所以面 積等于2，故正確； 當(dāng)點(diǎn)P為( 0)時(shí)，OP=|x|+|y|= +01,所以O(shè)P 的最小值不為1，故錯(cuò)誤； 所以正確的結(jié)論有：. 答案：,【閱卷人點(diǎn)撥】通過對(duì)本題的深入研究，我們可以得到以下創(chuàng)新點(diǎn)撥和備考建議：,1.(2012海口模擬)直線l1的斜率為2,l1l2，直線l2過點(diǎn)(-1,1)且與y軸交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為( ) (A)(3，0) (B)(-3，0) (C)(0，-3) (D)(0，3) 【解析】選D. 點(diǎn)P在y軸上，設(shè)P(0,y), 又 l1l2, y=3,P(0,3).,2.(2012大連模擬)已知兩直線l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0，當(dāng)l1與l2相交于點(diǎn)P(m,-1)時(shí)，m,n的值分別為_、 _. 【解析】m2-8+n=0,2m-m-1=0,m=1,n=7. 答案：1 7,3.(2012聊城模擬)若點(diǎn)P是曲線y=x2上的任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為_. 【解析】在曲線y=x2上任取一點(diǎn)P(x0,y0)，則P到直線 y=x-2的距離為： 因此，當(dāng)x0= 時(shí)其最小值為 答案：,4.(2011安徽高考)設(shè)直線l1:y=k1x+1，l2:y=k2x-1，其中實(shí)數(shù) k1，k2滿足k1k2+2=0. (1)證明l1與l2相交； (2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1