2020版高考數(shù)學(xué)培優(yōu)考前練理科通用版3.3 解三角形解答題

1、3 3.3 3解三角形解答題 高考命題規(guī)律高考命題規(guī)律 1 1.高考的重要考題,常與數(shù)列解答題交替在17題位置呈現(xiàn). 2 2.解答題,12分,中檔難度. 3 3.全國(guó)高考有 2 種命題角度,分布如下表. 2015年 2016 年 2020 年高考必備 2017 年2018年2019 年 卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷 命題 利用正弦定理和余弦定理解 角度 1 命題 解三角形中的最值與范圍問(wèn) 角度 2 題 18 三角形 1717 命題角度 1利用正弦定理和余弦定 理解三角形 高考真題體驗(yàn)對(duì)方向 1 1.(2019北京15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求 b,c 的值;

2、 (2)求 sin(B+C)的值. 解(1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 1 得 b2=32+c2-23c -. 因?yàn)?b=c+2, 所以(c+2)2=32+c2-23c -. 解得 c=5,所以 b=7. (2)由 cos B=- 得 sin B=. 由正弦定理得 sin A= sin B=. 在ABC中,B+C=-A. 所以 sin(B+C)=sin A=. 2 2.(2019天津16)在ABC中,內(nèi)角 A,B,C所對(duì)的邊分別為 a,b,c.已知 b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求 cos B的值; (2)求 sin 2B+的值. 解(1)在ABC

3、中,由正弦定理,得 bsin C=csin B,又由 3csin B=4asin C,得 3bsin C=4asin C, 即 3b=4a.又因?yàn)?b+c=2a,得到 b= a,c= a.由余弦定理可得 - cos B= - =- . (2)由(1)可得 sin B=-,從而 sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=- , 故 sin 2B+=sin 2Bcos +cos 2Bsin =-=-. =-6,S ABC =3,求 A 和 a.3 3.(2017山東17)在ABC中,角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c.已知 b=3, 2 解因?yàn)?-6,所

4、以 bccos A=-6,又 S ABC =3,所以 bcsin A=6,因此 tan A=-1,又 0A . 所以 A=. 又 b=3,所以 c=2. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 a2=9+8-232-=29,所以 a=. 4 4.(2015全國(guó)17)已知 a,b,c 分別為ABC內(nèi)角 A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)設(shè) B=90,且 a=,求ABC的面積. 解(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c. 由余弦定理可得 cos B= - . (2)由(1)知 b2=

5、2ac. 因?yàn)?B=90,由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a=. 所以ABC的面積為 1. 典題演練提能刷高分 1 1.(2019江西南昌外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三適應(yīng)性考試)在ABC中,內(nèi)角 A,B,C的對(duì)邊分別為 a,b,c,已知 - . (1)求的值; (2)若 cos B= ,b=2,求ABC的面積. 3 解(1)由正弦定理,得 - , 所以 - , 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B, cos Asin B+sin Acos

6、 B=2sin Ccos B+2cos Csin B. 化簡(jiǎn)得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=,所以 sin C=2sin A,因此=2. (2)由=2,得 c=2a. 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B及 cos B= ,b=2, 得 4=a2+4a2-4a2 ,解得 a=1,從而 c=2. 又因?yàn)?cos B= ,且 00,sin B0,所以 c=2asin B, 則 sin C=2sin Asin B. 因?yàn)?C=2A,所以 2sin Acos A=2sin Asin B, 所以 sin B=cos A. 因?yàn)?A 0,所以 cos A=sin-A

7、, 即 sin B=sin-A , 所以 B= -A 或 B= +A. 當(dāng) B= -A,即 A+B= 時(shí),C= ; 當(dāng) B= +A時(shí),由 -3A= +A,解得 A= ,則 C= . 綜上,C= 或 C= . 4.(2019福建廈門(mén)高三一模)在平面四邊形 ABCD中,ABC= ,ADC= ,BC=2. (1)若ABC的面積為,求 AC; (2)若 AD=2,ACB=ACD+ ,求 tan ACD. 解(1)在ABC中,因?yàn)?BC=2,ABC= , S ABC = ABBCsin ABC=, 所以AB=,解得 AB=3. 在ABC中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcos ABC=

8、7, 所以 AC=. 6 (2)設(shè)ACD=,則ACB=ACD+ =+ . 如圖. 在 RtACD中,因?yàn)?AD=2, 所以 AC=, 在ABC中,BAC= -ACB-ABC= -, 由正弦定理,得, 即 - , 所以 2sin- =sin . 所以 2cos - sin =sin ,即cos =2sin . 所以 tan =,即 tan ACD=. 5.在ABC中,角 A,B,C的對(duì)邊分別為 a,b,c,已知 A=2B. (1)求證:a2=b(b+c); (2)若ABC的面積為 2 a ,求 B 的大小. (1)證明由 A=2B,可得 sin A=sin 2B=2sin Bcos B, 7 又

9、由正、余弦定理得 a=2b - ,有(c-b)(a2-b2-bc)=0. 當(dāng) bc 時(shí),a2-b2-bc=0,即 a2=b2+bc=b(b+c). 當(dāng) b=c時(shí),B=C. 又 A=2B,A=90,B=C=45. a=b, a2-b2-bc=(b)2-b2-bb=0, a2=b2+bc. 綜上,當(dāng) A=2B時(shí),a2=b2+bc. (2)解S ABC = acsin B= a2, csin B= a, sin Csin B= sin A. 又 A=2B, sin Csin B=sin Bcos B. sin B0, sin C=cos B. 又 B,C(0,), C=B. 當(dāng) B+C= 時(shí),B=;

10、 當(dāng) C-B= 時(shí),B= ; 8 B= 或 B= . 6.(2019安徽江淮十校高三最后一卷)在ABC中,內(nèi)角 A,B,C的對(duì)邊分別為 a,b,c,已知 a=2b,csin B=bcos C-. (1)求角 C; (2)若 AD是 BC上的中線,延長(zhǎng) AD 至點(diǎn) E,使得 DE=2AD=2,求 E,C兩點(diǎn)的距離. 解(1)在ABC中,由 csin B=bcos C-及正弦定理得 sin Csin B=sin Bcos C+ sin C . 因?yàn)?sin B0, 化簡(jiǎn)得 sin C-cos C=0,即 tan C=. 因?yàn)?0C ,所以 C= . (2)由余弦定理得 c2=a2+b2-2abco

11、s =3b2, 所以 a2=b2+c2,故 A= , 即ABC是直角三角形. 由(1)知ACD是等邊三角形, 且 AD=CD=AC=1,CAD= ,DE=2,所以 AE=3. 在ACE中,CE2=AE2+AC2-2AEACcos =7, 9 CE=,故 E,C 兩點(diǎn)的距離為. 命題角度 2解三角形中的最值與 范圍問(wèn)題 高考真題體驗(yàn)對(duì)方向 (2019全國(guó)18)ABC的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c.已知 asin=bsin A. (1)求 B; (2)若ABC為銳角三角形,且 c=1,求ABC面積的取值范圍. 解(1)由題設(shè)及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A. 因?yàn)?

12、sin A0,所以 sin=sin B. 由 A+B+C=180,可得 sin=cos , 故 cos =2sin cos . 因?yàn)?cos 0,故 sin,因此 B=60. (2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積 S ABC =a. 由正弦定理得 a= - . 由于ABC為銳角三角形,故 0A90,0C90. 由(1)知 A+C=120,所以 30C90, 故 a2,從而S ABC . 10 因此,ABC面積的取值范圍是. 典題演練提能刷高分 1.(2019河南南陽(yáng)高三聯(lián)考)已知ABC的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c,(acos C-b)=asin C. (1)求角 A; (2)若點(diǎn)

13、 D為 BC的中點(diǎn),且 AD 的長(zhǎng)為,求ABC面積的最大值. 解(1)由正弦定理,可得 (sin Acos C-sin B)=sin Asin C. A+B+C=, B=-(A+C). sin Acos C-sin(A+C)=sin Asin C, 即-cos Asin C=sin Asin C, 0C0.tan A=-. 0A,A=. (2)AD為 BC邊上的中線, ). 又 AD=,3=+2)= (b2+c2-bc) , bc12,當(dāng)且僅當(dāng) b=c時(shí)取得等號(hào). S ABC = bcsin A=bc3,當(dāng)且僅當(dāng) b=c時(shí)取得等號(hào), ABC面積的最大值為 3. 11 2 2.在ABC中,角 A

14、,B,C的對(duì)邊分別為 a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B). (1)求 A. (2)若 a=4,求 b2+c2的取值范圍. 解(1)根據(jù)正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),即 a2-b2=c2-bc, 則 - ,即 cos A= . 由于 0A16, 所以 b2+c2的取值范圍是(16,32. 3 3.(2019北京房山高三模擬)已知在ABC中,a2+c2-ac=b2. (1)求角 B的大小; (2)求 cos A+cos C的最大值. 解(1)由余弦定理得 cos B= - . 因?yàn)榻?B 為三角形的內(nèi)角,故B= . (2)由(1)可得

15、 A+C=-B=, A=-C. cos A+cos C=cos-C +cos C =coscos C+sinsin C+cos C 12 =- cos C+sin C+cos C =sin C+ cos C =cos sin C+sin cos C =sin C+. 0C, C+. sin C+1. 故 cos A+cos C的最大值是 1. 4 4.已知在ABC中,角 A,B,C的對(duì)邊分別是 a,b,c,mm=(2cos C,acos B+bcos A),n n=(c,-1),且 mmn n. (1)求角 C; (2)若 c=3,求ABC周長(zhǎng)的最大值. 解(1)mmn n, 2ccos C-

16、(acos B+bcos A)=0. 由正弦定理得 2sin Ccos C-(sin Acos B+cos Asin B)=0. 即 2sin Ccos C-sin(A+B)=0. 2sin Ccos C-sin C=0. 在ABC中,00)的最大值為 2,且 f(x)的最小 正周期為 . (1)求 m 的值和函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)設(shè)角 A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角,對(duì)應(yīng)邊分別為 a,b,c,若 f=0,b=1,求a- c的取值范圍. 解(1)f(x)=msin x-cos x=sin(x+),其中 tan =- . 因?yàn)?f(x)的最大值為 2,所以=2. 又因?yàn)?m0,所以

17、 m=. 又因?yàn)?f(x)的最小正周期為 ,所以 =2. 所以 f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin 2x-. 令 2k- 2x- 2k+ , 可得 k- xk+ (kZ Z), 所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 k- ,k+(kZ Z). (2)因?yàn)?f=2sin B-=0,所以 B= . 14 由正弦定理可得 a=2sin A,c=2sin C. a- c=sin A-sin C=sin A-sin A+ =sin A-. 因?yàn)?0A,所以- A-. 所以- sin A-1. 所以a- c 的取值范圍是 - ,1 . 6.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊分別是 a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B). (1)求角 C; (2)若ABC的外接圓半徑為 2,求ABC周長(zhǎng)的最大值. 解(1)由正弦定理得(a-c)(a+c