高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列（一）（理）人教實(shí)驗(yàn)A版知識(shí)精講（通用）

1、高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列（一）（理）人教實(shí)驗(yàn)A版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：數(shù)列（一）二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：（1）定義：（2）關(guān)鍵量：（3）通項(xiàng)公式：，（4）前n項(xiàng)和：（5） 若 成等差數(shù)列 ，成等差數(shù)列 ，成等比數(shù)列 任意兩數(shù)有等差中項(xiàng)（6）由遞推關(guān)系，求（7）由，求【典型例題】例1 等差數(shù)列中，求。解：或例2 等差數(shù)列中，則= 解：成等差數(shù)列， 例3 等差數(shù)列共項(xiàng)，所有項(xiàng)之和323，其中奇數(shù)項(xiàng)和為171，求 ， 解： 例4 等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且，求。解：例5 數(shù)列（1），求的最大值。（2），求的公式。解： ， ， 最大值為例6 求（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）等差數(shù)列 （2）

2、 疊加：（3）等比數(shù)列， （4）相乘： （5） 例7 求（1） （2）（3） （4）解：（1） （2） （3） （4） 或AP 首位 例8 已知數(shù)列；（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；（2）是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？（3）求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間（0，1）內(nèi)；（4）在區(qū)間內(nèi)有無(wú)，數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒(méi)有，說(shuō)明理由。解析：只需設(shè)（1）令，得第10項(xiàng)（2）令，得此方程無(wú)自然數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項(xiàng)。（3）證明： 又 （4）令 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式成立，故區(qū)間內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)為例9 已知，并記。（1）證明：；（2）試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)，恒成立。解析：（1）

3、證明： （2） 恒成立 又由（1）知為增函數(shù)，且 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于m的不等式令，則有解得且又 即 或解得或例10 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知，。（1）求通項(xiàng)；（2）若，求n。分析：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程組求出和d。解析：（1）由，得方程組解得所以（2）由，得方程解得或（舍去）例11 設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求。解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則 ， 即 解得， 是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為 例12 已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，（1）求通項(xiàng)；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c；（3）求的最大值。解析：（1） 為等差數(shù)列 又 是方程的兩實(shí)

4、根又公差 ， （2）由（1）知 ， 是等差數(shù)列 即 （c=0舍去）故（3）由（2）得 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào) 即的最大值為例13 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和，已知與的等比中項(xiàng)為，與的等差中項(xiàng)為1，求等差數(shù)列的通項(xiàng)。解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，前n項(xiàng)和，依題意得 解之得或 或 所求通項(xiàng)公式為或例14 已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)是正整數(shù)，且。證明：。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，依題意得，解得， 數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）證明： 又 例15 設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為。（1）若首項(xiàng)，公差，求滿足的正整數(shù)k；（2）求所有的無(wú)窮等差數(shù)列，使得對(duì)于一切正

5、整數(shù)k都有成立解析：（1）當(dāng)時(shí)由，得即又，所以（2）設(shè)數(shù)列的公差為d，則在中分別取，得 即由（1）得或當(dāng)時(shí)，代入（2）得或若，則，從而成立；若，則，由，知，故所得數(shù)列不符合題意。當(dāng)時(shí)，代入（2）得，解得或若，則，從而成立；若，則，從而成立綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列： ：，即0，0，0，； ：，即1，1，1，； ：，即1，3，5，。例16 已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)。解析： 解之得或又 由得即 當(dāng)時(shí)，則不成等比數(shù)列 當(dāng)時(shí)，有 【模擬試題】（答題時(shí)間：50分鐘）1. 等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，如果，則序號(hào)n等于（ ）A. 400B. 401C. 402D. 4

6、032. 等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，當(dāng)首項(xiàng)與d變化時(shí)，是一個(gè)定值，則下列各數(shù)中也為定值的是（ ）A. B. C. D. 3. 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，則有（ ）A. B. C. D. 4. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，其前n項(xiàng)和，則項(xiàng)數(shù)n等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如果數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么這個(gè)數(shù)列（ ）A. 是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B. 是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C. 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D. 既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列6. 某林廠年初有森林木材存量，木材以每年25%的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年末要砍伐固定的木材量x，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過(guò)兩次砍伐后的木材的存量增加50%

7、，則x的值是（ ）A. B. C. D. 7. 在數(shù)列中，則為（ ）A. 34B. 36C. 38D. 408. 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列滿足，則數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值等于（ ）A. 126B. 130C. 132D. 1349. 設(shè)等差數(shù)列的公差d不為0，若是與的等比中項(xiàng)，則k等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 810. 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為m，公比為q的等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的，點(diǎn)（ ）A. 在直線上B. 在直線上C. 在直線上D. 不一定在一條直線上11. 已知定義在R上的函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)滿足關(guān)系，數(shù)列滿足，且對(duì)任意，則的值是（ ）A. 4012B. 4014C. 2020

8、D. 202012. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，令，稱為數(shù)列的“理想數(shù)”，已知數(shù)列的“理想數(shù)”為2020，那么數(shù)列的“理想數(shù)”為（ ）A. 2020B. 2020C. 2020D. 202013. 若等差數(shù)列的前3項(xiàng)和且，則（ ）A. 3B. 4C. 5D. 614. 已知一個(gè)等差數(shù)列的前9項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為10，前10項(xiàng)的算術(shù)平均數(shù)為11，則此等差數(shù)列的公差為（ ）A. 1B. 2C. D. 415. 設(shè)等差數(shù)列的公差d不為0，若是與的等比中項(xiàng)，則k等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 816. ，滿足，則的前10項(xiàng)之和等于（ ）A. B. C. D. 17. 已知等差數(shù)列中，公差，則使得前n項(xiàng)和

9、取得最大值的n的值是（ ）A. 4和5B. 5和6C. 6D. 718. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于（ ）A. 63B. 45C. 36D. 2719. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則過(guò)點(diǎn)和的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是（ ）A. B. C. D. 20. 若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則前n項(xiàng)和為（ ）A. B. C. D. 21. 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于（ ）A. 80B. 30C. 26D. 1622. 一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（ ）23. 設(shè)，則的值為（ ）A. 0B. 3C. 4D. 隨m變化而變化24. 如圖，一個(gè)粒子的起始位置為原點(diǎn)，在第一象限內(nèi)的兩軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒運(yùn)動(dòng)到，而后它接著按圖示在x軸、y軸的垂直方向來(lái)回運(yùn)動(dòng)，且每秒移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么經(jīng)2020秒時(shí)，這個(gè)粒子所處位置為（ ）A. （44，19）B.