遼寧省撫順市2020屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題 理（含解析）（通用）

1、遼寧省撫順市2020屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試題一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)1.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的模 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出的表達(dá)式，然后根據(jù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，最后求出的模?！驹斀狻?，故，故本題選B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題。2.已知集合，則()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分別求出集合和，由此能求出?！驹斀狻考希?故本題選C【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力。3.在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足，則的值是()A. 5B. 7C. 9D. 3【答

2、案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，即選A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4.軍訓(xùn)時(shí)，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行射擊比賽，共比賽10場，每場比賽各射擊四次，且用每場擊中環(huán)數(shù)之和作為該場比賽的成績數(shù)學(xué)老師將甲、乙兩名同學(xué)的10場比賽成績繪成如圖所示的莖葉圖，并給出下列4個(gè)結(jié)論：(1)甲的平均成績比乙的平均成績高；(2)甲的成績的極差是29；(3)乙的成績的眾數(shù)是21；(4)乙的成績的中位數(shù)是18則這4個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖估計(jì)平均數(shù)、極差、眾數(shù)以及中位數(shù)，即可判斷選項(xiàng)

3、.【詳解】根據(jù)莖葉圖知甲的平均成績大約二十幾，乙的平均成績大約十幾，因此（1）對；甲的成績的極差是37-8=29，（2）對；乙的成績的眾數(shù)是21，（3）對；乙的成績的中位數(shù)是（4）錯(cuò)，選C.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖以及平均數(shù)、極差、眾數(shù)、中位數(shù)等概念，考查基本分析判斷與求解能力，屬基礎(chǔ)題.5.從6名大學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人，組成4人知識競賽代表隊(duì)，則不同的選法共有()A. 15種B. 180種C. 360種D. 90種【答案】B【解析】【分析】先從6名大學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，再從剩下的4人選2人，問題得以解決【詳解】先從6名大學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，再從剩

4、下的4人選2人，故有種， 故本題選B【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意要先有順序選取，再進(jìn)行組合解決此類問題的關(guān)鍵是判斷問題與順序有沒有關(guān)系。6.實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值是()A. B. C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由實(shí)數(shù)，滿足約束條件，作出可行域：聯(lián)立，解得，化化為，由圖可知，當(dāng)直線過時(shí)，直線在軸上截距最小，有最大值為：4故本題選C【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法。7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. 2B.

5、4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體的直觀圖，從而求出幾何體的體積【詳解】由三視圖可知幾何體為邊長為2的正方體的一半，做出幾何體的直觀圖如圖所示，故幾何體的體積為234故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題8.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的S的值是()A. 126B. C. 30D. 62【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得：， 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， 滿足條件，

6、執(zhí)行循環(huán)體， 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， 此時(shí)，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為62 故本題選D【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論。9.已知函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用恒成立問題的應(yīng)用求出結(jié)果【詳解】函數(shù)，由于：，故：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為由于在區(qū)間上恒成立，故：，所以的最大值為故本題選A【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性

7、質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力。10.在三棱錐中，已知，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A. 直線直線B. 直線直線C. 直線直線D. 直線直線【答案】D【解析】【分析】畫出圖形，取中點(diǎn)，連接，證明平面，則，再由，分別為棱，的中點(diǎn)，可得，從而得到【詳解】由題意，如圖所示，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則，又，平面，則，分別為棱，的中點(diǎn)，則故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間中直線與直線，直線與平面位置關(guān)系的判定與應(yīng)用，其中解答中正確掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理是解答額關(guān)鍵，著重考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題11.

8、已知雙曲線的右頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出右頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由，可以得到的取值范圍，求出離心率的表達(dá)式，利用不等式的知識，求出雙曲線的離心率的取值范圍?！驹斀狻侩p曲線中，右頂點(diǎn)為，即，故本題選C【點(diǎn)睛】本題求雙曲線離心率的取值范圍。12.若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，利用參數(shù)分離法，然后構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極大值和極小值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可【詳解】由得，設(shè)， 則，由得得或，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，由得得，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)， 取得極小

9、值，當(dāng)時(shí)， 取得極大值，當(dāng)，且，函數(shù)圖象如下圖所示：要使有三個(gè)零點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故本題選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)13.學(xué)校要從5名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)志愿者服務(wù)，若用表示抽取的志愿者中女生的人數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的值是_(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)【答案】【解析】解：用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，可取0，1，2，當(dāng)=0時(shí)，表示沒有選到女生；當(dāng)=1時(shí)，表示選到一個(gè)女生；當(dāng)=2時(shí)，表示選到2個(gè)女生，P（=0）=10 /21 ，P（=1）=1

10、0/ 21 ，P（=2）=1 /21 ，E=010 /21 +110 /21 +21/ 21 =4 /7 故答案為：4 /714.若，則的值是_【答案】【解析】【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡)，再根據(jù)二倍角余弦公式求結(jié)果.【詳解】因,所以，因此.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為_【答案】【解析】【分析】畫出滿足題意的圖象，可得與原點(diǎn)重合時(shí)，四邊形面積最小，進(jìn)而得到答案【詳解】如下圖所示：圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，若四邊形的面積最小，則最小，即距離準(zhǔn)線最近

11、，故滿足條件時(shí)，與原點(diǎn)重合，此時(shí)，此時(shí)四邊形面積，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)。16.設(shè)數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，且滿足，則的最大值為_【答案】64.【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以得出，與 聯(lián)立，解出的值，數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，可以求出的值，利用單調(diào)性的最大值?！驹斀狻吭O(shè)遞減的等比數(shù)列的公比為，解得，時(shí)，的最大值為64故答案為：64【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力。三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)17.已知，分別是的三個(gè)內(nèi)角，的對邊，若，角是最小的內(nèi)角，且() 求的值；()若的面積為42，求的值【答案】() ;(

12、) .【解析】【分析】()由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理可得，結(jié)合，整理可得，又，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值 ()由()及三角形的面積公式可求的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，根據(jù)余弦定理可求的值【詳解】() 由、，及正弦定理可得：，由于，整理可得：，又，因此得：()由()知，又的面積為42，且，從而有，解得，又角是最小的內(nèi)角，所以，且，得，由余弦定理得，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想。18.“微信運(yùn)動”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動軟件中的一款，大學(xué)生的微信好友中有

13、400位好友參與了“微信運(yùn)動”他隨機(jī)抽取了40位參與“微信運(yùn)動”的微信好友(女20人，男20人)在某天的走路步數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其中女性好友走路的步數(shù)情況可分為五個(gè)類別：、02000步，(說明：“02000”表示“大于或等于0，小于2000”，以下同理)，、20005000步，、50008000步，、800010000步，、1000012000步，且三種類別的人數(shù)比例為，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如圖所示的柱形圖；男性好友走路的步數(shù)數(shù)據(jù)繪制如圖所示的頻率分布直方圖參與者超越者合計(jì)男20女20合計(jì)40若某人一天的走路步數(shù)大于或等于8000，則被系統(tǒng)認(rèn)定為“超越者”，否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“參與者”()若以大學(xué)生抽取的微

14、信好友在該天行走步數(shù)的頻率分布，作為參與“微信運(yùn)動”的所有微信好友每天走路步數(shù)的概率分布，試估計(jì)大學(xué)生的參與“微信運(yùn)動”的400位微信好友中，每天走路步數(shù)在20008000的人數(shù)；()若在大學(xué)生該天抽取的步數(shù)在800012000的微信好友中，按男女比例分層抽取9人進(jìn)行身體狀況調(diào)查，然后再從這9位微信好友中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行采訪，求其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率；()請根據(jù)抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有的把握認(rèn)為“認(rèn)定類別”與“性別”有關(guān)？【答案】()260; (); ()見解析.【解析】【分析】()所抽取的40人中，該天行走20008000步的人數(shù)：男12人，女14人，

15、400位參與“微信運(yùn)動”的微信好友中，每天行走20008000步的人數(shù)約為：人；()根據(jù)分層抽樣可得男6人，女3人，再根據(jù)古典概型的概率公式可得；()根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得【詳解】()所抽取的40人中，該天行走20008000步的人數(shù)：男12人，女14人，400位參與“微信運(yùn)動”的微信好友中，每天行走20008000步的人數(shù)約為：人；()該天抽取的步數(shù)在800012000的人數(shù)：男8人，女4人，再按男女比例分層抽取9人，則其中男6人，女3人所求概率(或)()完成列聯(lián)表參與者超越者合計(jì)男12820女16420合計(jì)281240計(jì)算，因?yàn)椋詻]有理由認(rèn)為“認(rèn)定類別”與“性別”有

16、關(guān)，即“認(rèn)定類別”與“性別”無關(guān)【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)。19.如圖，在正三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)()求證：平面；()求與平面所成角的正弦值【答案】（）見解析；() .【解析】【分析】() 取的中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面 () 取中點(diǎn)，連結(jié)，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值【詳解】（）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，在中，因?yàn)?、分別為，的中點(diǎn)，所以且，又為的中點(diǎn)，且，即且，故四邊形為平行四邊形，又平面，平面，平面()取中點(diǎn)，連結(jié)，則，平面以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系則有，得設(shè)平面的一個(gè)法向量

17、為則，即，令，則，設(shè)與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想。20.已知點(diǎn)在橢圓上，是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若點(diǎn)總在以為直徑的圓內(nèi)，求直線的斜率的取值范圍【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由題意可得，又點(diǎn)在橢圓上，即，即可求出橢圓方程，（）聯(lián)立方程組，利用根的判別式、向量的數(shù)量積，即可直線斜率的取值范圍【詳解】（）由已知可得，解得，又點(diǎn)在橢圓上，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（

18、）設(shè)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，不合題意，因此設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程消去得，則有，即，且判別式，即，又點(diǎn)總在以為直徑的圓內(nèi)，所以必有，即有，將，代入得，解得，所以滿足條件的直線的斜率的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程的方程組，合理利用判別式，以及向量的數(shù)量積進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等21.已知函數(shù)()討論函數(shù)的單調(diào)性；()證明： (為自然對數(shù)底)恒成立【答案】()見解析；()見

19、解析.【解析】【分析】()求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；()取，有，即，求出(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立)，問題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立即可，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可【詳解】()解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減()證明：由(1)可知，當(dāng)時(shí)，特別地，取，有，即，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立)，因此，要證恒成立，只要證明在上恒成立即可設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增故當(dāng)時(shí)， ，即在上恒成立因此，有，又因?yàn)閮蓚€(gè)等號不能同時(shí)成立，所以有恒成立或：令，則，再令，則，由知，存，使得，得，由可證，進(jìn)而得證【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想。22.在直角坐標(biāo)系中，以