遼寧省大連市2020屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題 文（通用）

1、遼寧省大連市2020屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題 文第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（ ）A B C D2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A1 B0 C D-13.中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指孫子算經(jīng)中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式，如圖，當(dāng)表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位數(shù)用縱式表示，十位，千位，

2、十萬位用橫式表示，以此類推例如3266用算籌表示就是，則8771用算籌可表示為（ ）A B C D 4.如圖所示程序框圖是為了求出滿足的最小正偶數(shù)，那么空白框中及最后輸出的值分別是（ ）A和6 B和6 C. 和8 D和85.函數(shù)的部分圖象大致為（ ）A B C. D6.等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前9項(xiàng)和是（ ）A9 B81 C.10 D907.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），其俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的體積（單位：）是（ ）A B C. D8.已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列中，若滿足，則的最小值為（ ）A1 B C.2 D9.過曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，若該切線

3、在軸上的截距小于0，則的取值范圍是（ ）A B C. D10.已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為的中點(diǎn)，以為折痕進(jìn)行翻折，使為直角，則過四點(diǎn)的球的表面積為（ ）A B C. D11.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則的值可以為（ ）A B C. D12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，若上存在一點(diǎn)滿足，且的面積為3，則該雙曲線的離心率為（ ）A B C.2 D3第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.設(shè)實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為 14.已知半徑為的圓周上有一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)連接，則所得弦長(zhǎng)小于的概率為 15.已知拋物線，過點(diǎn)任作

4、一條直線和拋物線交于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)，分別和拋物線交于點(diǎn)和，則直線過定點(diǎn) 16.已知菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為2，點(diǎn)為上一點(diǎn)且滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且.求的大小；求面積的最大值.18. 大連市某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年銷售量（單位：）和年利潤（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.46.65736.8289.81.6215083.431280表中，.根據(jù)散點(diǎn)圖判

5、斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）根據(jù)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；已知這種產(chǎn)品的年利潤與、的關(guān)系為.根據(jù)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷售量及年利潤的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.19.在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，平面，分別是線段，的中點(diǎn)，.求證：平面；求到平面的距離.20.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.求橢圓的方程；已知與為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.21. 已知函數(shù)，.

6、若恒成立，求的取值范圍；已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線，.求與交點(diǎn)的極坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)在上，求動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程.23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；，都有恒成立，求的取值范圍.試卷答案一、選擇題1-5: 6-10: 11、12：二、填空題13.14 14. 15. 16.-7三、解答題17.解：由可得，故，所以.方法一：由，根據(jù)余弦定理可得，由基本不等式可得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. 從而，故面積的

7、最大值為. 方法二： 因?yàn)樗?，當(dāng)，即時(shí)，故面積的最大值為. 18.解：由散點(diǎn)圖可以判斷適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型. 令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以關(guān)于的線性回歸方程為.由知，當(dāng)時(shí)，年銷售量的預(yù)報(bào)值為，年利潤的預(yù)報(bào)值為.根據(jù)的結(jié)果知，年利潤的預(yù)報(bào)值，當(dāng)，即時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大，故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤預(yù)報(bào)值最大.19.方法一：取中點(diǎn)，連接，分別是中點(diǎn), ，為中點(diǎn)，為正方形，,四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面.方法二： 取中點(diǎn)，連接，.是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，又，平面，平面，平面，平面，平面平面.又平面，平面.方法三：取

8、中點(diǎn)，連接，在正方形中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)又是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，又，平面/平面.平面平面.方法一：平面，到平面的距離等于到平面的距離， 平面，在中，平面，又 ，,，平面，又平面，,故. ，為直角三角形，設(shè)到平面的距離為，則， 到平面的距離.方法二：平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，又 平面,是中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面距離的2倍. 取中點(diǎn),連接,由得,由, 平面，平面，平面，又 平面，平面平面.又平面平面，平面，平面，長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離，由，.點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)到平面的距離為.20. 解：由可得，又因?yàn)?，所?所以橢圓方程為，又因?yàn)樵跈E圓上，所以.所以，所以，故橢圓方程為. 方法一：

9、設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)點(diǎn)，有所以令，有，由函數(shù)， 故函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故，故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，四邊形面積的最大值為. 方法二：設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)點(diǎn)，有 有，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，從而四邊形的面積令，有，函數(shù)， 故函數(shù)，在上單調(diào)遞增，有，故當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，四邊形面積的最大值為. 方法三：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，此時(shí)，四邊形的面積為.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)為：，則 ，四邊形的面積令 則 ,綜上，四邊形面積的最大值為. 21.解：令，有，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最大值，為， 若恒成立，則即. 方法一：，即， 欲證：，只需證明，只需證明，只需證明.設(shè)，則只需證明，即證：. 設(shè)，在單調(diào)遞減，所以原不等式成立. 方法二：由（1）可知，若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，有，則，且， 要證，只需證，由于在上單調(diào)遞減，從而只需證，由，只需證， 又，即證即證，.