振動(dòng)力學(xué)第四章多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)

1、,第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),Mechanical and Structural Vibration,機(jī)械與結(jié)構(gòu)振動(dòng),第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),目錄,4.1 固有頻率 主振型 4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo) 4.3 固有頻率相等的情形 4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng) 4.5 質(zhì)量、剛度的變化對(duì)固有頻率的影響 4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng) 4.7 有阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng) 4.8 復(fù)模態(tài)理論,第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),4.1 固有頻率 主振型,4.1 固有頻率 主振型,4.1.1 頻率方程 4.1.2 主振型 4.1.3 位移方程的解,4.1 固有頻率 主振型,4.1.1頻率方程,設(shè)n自由

2、度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為,即設(shè)系統(tǒng)的各坐標(biāo)作同步諧振動(dòng)。上式又可表示為,4.1 固有頻率 主振型,4.1.1頻率方程,將解式代入系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并消去 ，得到,4.1 固有頻率 主振型,4.1.1頻率方程,特征矩陣,要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程(或特征方程)。,式是關(guān)于p2的n次多項(xiàng)式，由它可以求出n個(gè)固有頻率(或稱特征值)。因此，n個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)具有n個(gè)固有頻率。,4.1 固有頻率 主振型,4.1.1頻率方程,可得到,前乘以,下面對(duì)其取值情況進(jìn)行討論。,由于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣M是正定的，剛度矩陣K是正定的或半正定的，因此有,于是，得到,4.1 固

3、有頻率 主振型,4.1.1頻率方程,頻率方程中所有的固有頻率值都是實(shí)數(shù)，并且是正數(shù)或?yàn)榱恪Ｍǔ偠染仃嚍檎ǖ姆Q之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半正定的稱之為半正定系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻率值是正的；對(duì)應(yīng)于半正定系統(tǒng)的固有頻率值是正數(shù)或?yàn)榱恪?一般的振動(dòng)系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率的值互不相等(也有特殊情況)。將各個(gè)固有頻率按照由小到大的順序排列為,其中最低階固有頻率p1稱為第一階固有頻率或稱基頻，然后依次稱為二階、三階固有頻率等。,對(duì)應(yīng)于pi可以求得A(i)，它滿足,4.1 固有頻率 主振型,4.1.2主振型,A(i)為對(duì)應(yīng)于pi的特征矢量。它表示系統(tǒng)在以pi的頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各物塊振幅的相對(duì)大小，稱之

4、為第i階主振型，也稱固有振型或主模態(tài)。,對(duì)于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型,4.1 固有頻率 主振型,4.1.2主振型,對(duì)于任何一個(gè)n自由度振動(dòng)系統(tǒng)，總可以找到n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型,在主振型矢量中，規(guī)定某個(gè)元素的值為1，并進(jìn)而確定其它元素的過程稱為歸一化。,令 ，于是可得第i階主振型矢量為,4.1 固有頻率 主振型,4.1.2主振型,主振型矢量也可以利用特征矩陣的伴隨矩陣來求得。,特征矩陣,逆矩陣,比較,所以伴隨矩陣的每一列就是主振型矢量或者差一常數(shù)因子。,任何非零列成比例,4.1 固有頻率 主振型,4.1.3位移方程的解,當(dāng)運(yùn)動(dòng)微分方程是

5、位移方程時(shí)，仍可設(shè)其解具有,頻率方程,求出n個(gè)固有頻率，其相應(yīng)的主振型也可從特征矩陣的伴隨矩陣adjL將pi值代入而求出.,代入位移方程,4.1 固有頻率 主振型,例 題,解：選擇x1、 x2、 x3坐標(biāo)如圖所示。則系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為,將M和K代入頻率方程,例 圖是三自由度振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。,4.1 固有頻率 主振型,例 題,解方程得到,求出系統(tǒng)的三個(gè)固有頻率為,再求特征矩陣的伴隨矩陣,4.1 固有頻率 主振型,例 題,設(shè)取其第三列(計(jì)算時(shí)可只求出這一列)，將p1值代入，得到第一階主振型為,將p

6、2 p3值代入得到第二、三階主振型為,歸一化后，即令,4.1 固有頻率 主振型,例 題,= 0,主振型也可由式 求得,可得主振型,4.1 固有頻率 主振型,例 題,例 在前例中，若k1 =0, 求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。,相當(dāng)于圖所示系統(tǒng)中去掉這個(gè)彈簧，這時(shí)剛度矩陣為,解：,特征矩陣為,可得到頻率方程,4.1 固有頻率 主振型,例 題,解出,得到三個(gè)固有頻率,分別代入的第三列,歸一化后，得到三個(gè)主振型,4.1 固有頻率 主振型,例 題,這種振型是與零固有頻率對(duì)應(yīng)的稱之為零振型。剛度矩陣 是半正定系統(tǒng)。而且，在其運(yùn)動(dòng)方向上系統(tǒng)的外力的合力為零，是動(dòng)量守恒系統(tǒng)。,4.1 固有頻率 主振型,例 題,

7、例4.4 有三個(gè)具有質(zhì)量的小球，置于一根張緊的鋼絲上如圖所示。假設(shè)鋼絲中的拉力FT很大，因而各點(diǎn)的橫向位移不會(huì)使拉力有明顯的變化。設(shè)m1= m2= m3= m ，尺寸如圖所示，試用位移方程求該系統(tǒng)的固有頻率和主振型。,解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣是,其柔度矩陣可按柔度影響系數(shù)求出,4.1 固有頻率 主振型,例 題,首先僅在m1質(zhì)量處施加水平單位力F=1,m1位移是,m2位移是,m3位移是,畫出m1的受力圖。根據(jù)平衡條件，得,m1,由圖中三角形的幾何關(guān)系可解出,4.1 固有頻率 主振型,例 題,寫出柔度矩陣,系統(tǒng)的特征矩陣為,得頻率方程，即得,4.1 固有頻率 主振型,例 題,求出各根，按遞降次序排列,于

8、是得到系統(tǒng)的固有頻率,4.1 固有頻率 主振型,例 題,為求系統(tǒng)的主振型，先求出adjL的第一列,代入,各階主振型,歸一化,第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.1 主振型的正交性 4.2.2 主振型矩陣與正則振型矩陣 4.2.3 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.1主振型的正交性,n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，具有n個(gè)固有頻率和與之對(duì)應(yīng)的n階主振型。且這些主振型之間存在著關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。,對(duì)應(yīng)于,相減,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.1主振型的正交性,表明，對(duì)應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，即關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是

9、主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對(duì)應(yīng)的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。,Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質(zhì)量或第i階模態(tài)質(zhì)量。,令j = i,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.1主振型的正交性,由于主振型的正交性，不同階的主振動(dòng)之間不存在動(dòng)能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在慣性耦合。 同樣可以證明第i階固有振動(dòng)的廣義彈性力在第j階固有振動(dòng)的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動(dòng)之間也不存在勢(shì)能的轉(zhuǎn)換，或者說不存在彈性耦合。 對(duì)于每一個(gè)主振動(dòng)來說，它的動(dòng)能和勢(shì)能之和是個(gè)常數(shù)。在運(yùn)動(dòng)過程中，每個(gè)主振動(dòng)內(nèi)部的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，但各階主振動(dòng)之間

10、不會(huì)發(fā)生能量的傳遞。 從能量的觀點(diǎn)看，各階主振動(dòng)是互相獨(dú)立的，這就是主振動(dòng)正交性的物理意義。,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣,以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即,根據(jù)主振型的正交性，可以導(dǎo)出主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì),主質(zhì)量矩陣,主剛度矩陣,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣,使MP由對(duì)角陣變換為單位陣?,將主振型矩陣的各列除以其對(duì)應(yīng)主質(zhì)量的平方根，即,這樣得到的振型稱為正則振型。,正則振型的正交關(guān)系是,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.2主振型矩陣與正則振型矩陣,以各階正則振型為列，依次排列成

11、一個(gè)nn階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即,由正交性可導(dǎo)出正則矩陣兩個(gè)性質(zhì),4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),在一般情況下，具有有限個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都不是對(duì)角陣。因此，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程中既有動(dòng)力耦合(m)又有靜力耦合(k)。對(duì)于n自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標(biāo)，使方程中不出現(xiàn)耦合項(xiàng),亦即質(zhì)量矩陣和剛度矩陣都是對(duì)角陣，這樣每個(gè)方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標(biāo)為主坐標(biāo)或模態(tài)坐標(biāo)。 由前面的討論可知，主振型矩陣AP與正則振型矩陣AN，均可使系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣轉(zhuǎn)換成為對(duì)角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，以尋求主

12、坐標(biāo)或正則坐標(biāo)。,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),1. 主坐標(biāo) 首先用主振型矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，即,這組坐標(biāo)變換的物理意義，可由展開式看出,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),原物理坐標(biāo)的各位移值，都可以看成是由n個(gè)主振型按一定的比例組合而成。,新坐標(biāo),系統(tǒng)各坐標(biāo)值正好與第一階主振型相等，即每個(gè)主坐標(biāo)的值等于各階主振型分量在系統(tǒng)原物理坐標(biāo)中占有成分的大小。,如果令,則可得,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),將式 帶入,由主振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì),由于主質(zhì)量矩陣和主剛度矩陣都是對(duì)角陣，所以方程式中無耦合，且為相互獨(dú)立的n個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)微分方程。

13、即,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),由物理坐標(biāo)到模態(tài)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是方程解耦的數(shù)學(xué)過程。從物理意義上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，質(zhì)量矩陣和剛度矩陣一般是非對(duì)角陣，使運(yùn)動(dòng)方程不能解耦。 而在模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)中，第i 個(gè)模態(tài)坐標(biāo)代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所作的貢獻(xiàn)。 任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時(shí)存在。這就是模態(tài)坐標(biāo)得以解耦的原因。因此，位移響應(yīng)向量是各階模態(tài)貢獻(xiàn)的疊加的結(jié)果，而不是模態(tài)耦合的結(jié)果。各階模態(tài)之間是不耦合的。,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),2. 正則坐標(biāo) 用正則振型矩陣AN進(jìn)行

14、坐標(biāo)變換，設(shè),由正則振型矩陣的兩個(gè)性質(zhì),4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),3. 位移方程的坐標(biāo)變換,設(shè)系統(tǒng)的位移方程,單位矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,譜矩陣的逆矩陣,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),例 試求前例圖示系統(tǒng)中的主振型矩陣和正則振型矩陣。,由質(zhì)量矩陣 ，可求出主質(zhì)量矩陣,解：將在前例中求得的各階主振型依次排列成方陣，得到主振型矩陣,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),于是，可得各階正則振型,以各階正則振型為列，寫出正則振型矩陣,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),4.2.3主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),由剛度矩陣,可求出譜矩陣,可寫出以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程

15、,展開式為,4.2 主坐標(biāo)和正則坐標(biāo),第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),4.3 固有頻率相等的情形,4.3 固有頻率相等的情形,在前面的討論中，曾假設(shè)系統(tǒng)的固有頻率均不相等，而每個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)主振型。但復(fù)雜系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上頻率相等或相近的情形，這時(shí)相對(duì)應(yīng)的主振型就不能唯一地確定。 為了說明這一點(diǎn)，假設(shè)頻率方程有二重根。,可寫出,線性組合,說明對(duì)應(yīng)于p0的主振型不能唯一地確定,當(dāng)系統(tǒng)具有重根時(shí)，其等固有頻率的主振型要根據(jù)各振型間的正交性來確定。,例4.6 圖示系統(tǒng)是由兩個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)與一無重剛桿組成，且兩質(zhì)點(diǎn)又分別與彈簧常數(shù)為k的彈簧相連。試求該系統(tǒng)的固有頻率及主振型。,4.3 固

16、有頻率相等的情形,解：以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)x1, x2 。 寫出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為,得到特征矩陣,得到頻率方程,解出系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率，是重根。,4.3 固有頻率相等的情形,求出特征矩陣的伴隨矩陣,并將兩個(gè)固有頻率代入該矩陣的任一列，結(jié)果是兩個(gè)元素全為零。因此，在重根的情況下無法用伴隨矩陣adjB 確定主振型。,需由正交化求得。由觀察系統(tǒng)的振動(dòng)現(xiàn)象可知，剛桿具有兩種運(yùn)動(dòng)即平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。因此可假設(shè),然后用兩振型關(guān)于M、K的正交性來校核,4.3 固有頻率相等的情形,是該系統(tǒng)的一組正交主振型,需要指出的是，這種相互獨(dú)立正交的主振型組可以有無窮多組。就好象在平面幾何中，一個(gè)圓有

17、無窮多組相互垂直的二個(gè)直徑一樣。圖所示，為另一組相互正交的主振型，即,4.3 固有頻率相等的情形,例4.8 圖所示的系統(tǒng)中，各個(gè)質(zhì)量只沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)k1= k2= k3= k， m1= M，m2= m3= m4= m，試求系統(tǒng)的固有頻率和主振型。,解：,其中,4.3 固有頻率相等的情形,由特征矩陣,建立頻率方程為,4.3 固有頻率相等的情形,由特征矩陣,求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,4.3 固有頻率相等的情形,求與重根對(duì)應(yīng)的主振型,按第一行展開,同時(shí)應(yīng)滿足,正交化,4.3 固有頻率相等的情形,同理，可得到滿足第三階主振型的關(guān)系式,4.3 固有頻率相等的情形,第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),4

18、.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),已知n自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程,當(dāng)t=0時(shí)，系統(tǒng)的初始位移與初始速度為,求系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。,求解的方法是：先利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換，將系統(tǒng)的方程式轉(zhuǎn)換成n個(gè)獨(dú)立的單自由度形式的運(yùn)動(dòng)微分方程；然后利用單自由度系統(tǒng)求解自由振動(dòng)的理論，求得用主坐標(biāo)或正則坐標(biāo)表示的響應(yīng)；最后，再反變換至原物理坐標(biāo)求出n自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng).。本節(jié)只介紹用正則坐標(biāo)變換求解的方法。,由單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的理論，得到關(guān)于對(duì)初始條件的響應(yīng)為,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),系統(tǒng)的響應(yīng)是由各階振型疊加得到的，本方法又稱

19、振型疊加法,對(duì)于半正定系統(tǒng)，有固有頻率 pi = 0,系統(tǒng)具有剛體運(yùn)動(dòng)振型,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),例 在前例4.1中，設(shè)初始條件是 求系統(tǒng)的響應(yīng)。,解：已求出系統(tǒng)的正則振型矩陣和質(zhì)量矩陣,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),得到用正則坐標(biāo)表示的響應(yīng),求出系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),其中,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),例 三圓盤裝在可以在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的軸上。它們對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為I，各段軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)均為 ，軸重不計(jì)。若已知運(yùn)動(dòng)的初始條件,解：系統(tǒng)的位置可由三圓盤的轉(zhuǎn)角 確定，,求系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)。,運(yùn)動(dòng)微分方程是,求主振型,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),寫出特征方

20、程,得到系統(tǒng)的頻率方程,解出三個(gè)固有頻率,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),三個(gè)固有頻率,求出特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,將各頻率依次代入，即得各階主振型,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),各階主振型,將三階主振型為列，依次排列組成主振型矩陣,求出主質(zhì)量矩陣,求出正則振型，進(jìn)一步建立正則振型矩陣,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),求系統(tǒng)初始條件的正則坐標(biāo)表示,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),求出響應(yīng)為,若初始條件為,求系統(tǒng)的響應(yīng),4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),由于初始條件與第二階主振型一致，所以，系統(tǒng)將以第二固有頻率p2作諧振動(dòng)。,4.4 無阻尼系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng),第4章 多

21、自由度系統(tǒng)的振動(dòng),4.5 質(zhì)量、剛度的變化對(duì)固有頻率的影響,4.5 質(zhì)量、剛度的變化對(duì)固有頻率的影響,一般工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械的工作狀態(tài)都要避開共振。因此，在設(shè)計(jì)過程中，要變更系統(tǒng)的物理參數(shù)，如質(zhì)量、剛度等，使其固有頻率適當(dāng)?shù)仄x激振力的頻率。所以，需要探討固有頻率隨質(zhì)量、剛度變更的情況。,當(dāng)K中的元素增大時(shí)，pi2將增大； 當(dāng)M中的元素增大時(shí)， pi2將減小。,設(shè)系統(tǒng)的M矩陣中各元素不變，求K矩陣元素的變化對(duì)系統(tǒng)各階固有頻率的影響。,設(shè)系統(tǒng)中第j個(gè)彈性元件kj發(fā)生變化，將上式對(duì)kj求導(dǎo)數(shù)，得,系統(tǒng)各階固有頻率的變化率與剛度元素 的變化率成正比。,4.5 質(zhì)量、剛度的變化對(duì)固有頻率的影響,系統(tǒng)各階固

22、有頻率的變化率與剛度元素的變化率成正比。,同理，設(shè)系統(tǒng)剛度矩陣K中各元素保持不變，而質(zhì)量矩陣M 發(fā)生變化，即系統(tǒng)中第個(gè)j質(zhì)量元素mj發(fā)生變化，,4.5 質(zhì)量、剛度的變化對(duì)固有頻率的影響,若質(zhì)量的變化率為正時(shí)，固有頻率的變化率為負(fù)。即質(zhì)量mj變大時(shí)，各階固有頻率相應(yīng)地要減小。,對(duì)mj求導(dǎo)數(shù),4.5 質(zhì)量、剛度的變化對(duì)固有頻率的影響,第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.1 主振型分析法 4.6.2 正則振型分析法,4.6.1主振型分析法,設(shè)n自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)受到激振力的作用,它們?yōu)橥活l率的簡(jiǎn)諧函數(shù)。則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

23、,為了求系統(tǒng)對(duì)此激振力的響應(yīng)，現(xiàn)采用主振型分析法和正則振型分析法。,利用主坐標(biāo)變換或正則坐標(biāo)變換使方程解偶的分析方法，稱為正規(guī)模態(tài)法或?qū)嵞B(tài)分析法。,4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.1主振型分析法,利用主坐標(biāo)變換,以主坐標(biāo)表示的受迫振動(dòng)方程式，它是一組n個(gè)獨(dú)立的單自由度方程，即,同單自由度無阻尼受迫振動(dòng)一樣，設(shè)其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與激振力同頻率的簡(jiǎn)諧函數(shù)，即,4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.1主振型分析法,返回原物理坐標(biāo),這就是系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。上述方法即為主振型分析法。,4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.2正則振型分析法,將正則坐標(biāo)變換的關(guān)系式,由正則振型

24、的正交條件可得到解偶的運(yùn)動(dòng)微分方程,可寫成n個(gè)獨(dú)立的方程,返回原物理坐標(biāo),4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.2正則振型分析法,可以看出，當(dāng)激振力的頻率等于系統(tǒng)固有頻率中任何一個(gè)時(shí)，以上二式的分母都將為零，這時(shí)振幅將會(huì)無限增大，即系統(tǒng)發(fā)生共振。與單自由度系統(tǒng)不同，n自由度系統(tǒng)一般有n個(gè)固有頻率，因此可能出現(xiàn)n次共振?？梢宰C明，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，譬如 ，這時(shí)第i階主共振的振幅會(huì)變得十分大，稱系統(tǒng)發(fā)生了第i階共振，且系統(tǒng)在第i階共振時(shí)的振動(dòng)形態(tài)接近于第i階主振型。,4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.2正則振型分析法,例 在圖示的三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，物塊質(zhì)量均為m，且，,試求系

25、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,解：設(shè)取廣義坐標(biāo)x1、 x2、 x3 如圖所示。,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為,4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.2正則振型分析法,由線性系統(tǒng)的疊加原理，先分別計(jì)算系統(tǒng)在F1(t)和F2(t)單獨(dú)作用下的響應(yīng)，然后再將兩部分疊加起來，最后得到系統(tǒng)對(duì)激勵(lì) f (t)的響應(yīng)。,4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.2正則振型分析法,現(xiàn)在求出系統(tǒng)的固有頻率和正則振型矩陣,利用正則坐標(biāo)變換得到以正則坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程,4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.6.2正則振型分析法,將qN分成兩種情況(用下標(biāo)1，2分別表示F1(t)、F2(t)單獨(dú)作用的情況)。,4.6 無阻尼

26、振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.8.2正則振型分析法,由于激振力是不同頻率的， F2(t)的頻率是F1(t)的三倍，因此系統(tǒng)的總響應(yīng)不再是簡(jiǎn)諧的，而是周期性的。,4.6 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),第4章 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng),4.7 有阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.7 有阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),4.7.1 多自由度系統(tǒng)的阻尼 4.7.2 存在比例阻尼時(shí)的強(qiáng)迫振動(dòng),4.7.1多自由度系統(tǒng)的阻尼,在線性振動(dòng)理論中，一般采用線性阻尼的假設(shè)，認(rèn)為振動(dòng)中的阻尼與速度的一次方成正比。在多自由度系統(tǒng)中，運(yùn)動(dòng)微分方程式中的阻尼矩陣一般是n階方陣。有,C是阻尼矩陣，與剛度影響系數(shù)和柔度影響系數(shù)類似，阻尼矩陣中的元素cij稱阻尼影響系數(shù)。它的意義是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位速度而相應(yīng)于在第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力。,4.7 有阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),利用主坐標(biāo)分析法，用主振型矩陣AP試對(duì)阻尼矩陣C進(jìn)行對(duì)角化,CP一般不是對(duì)角陣,1. 將阻尼矩陣假設(shè)為比例阻尼,假設(shè)阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合,a、b是正的常數(shù),稱為主阻尼矩陣,4.7.1多自由度系統(tǒng)的阻尼,4.7 有阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),若用正則振型矩陣變換,振型比例阻尼系數(shù)或模態(tài)比例阻尼系數(shù),振型阻尼比或模態(tài)阻尼比,4.7.1多自由度系統(tǒng)的阻尼,4.7 有阻尼系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng),2. 由實(shí)驗(yàn)測(cè)定各階振型阻尼比 對(duì)于實(shí)際系