步高高考數(shù)學(xué)(文)二輪專題突破：專題四 第2講 空間中的平行與垂直

1、第第 2 2 講講空間中的平行與垂直空間中的平行與垂直 【高考考情解讀】高考對本節(jié)知識的考查主要是以下兩種形式：1.以填空題的形式考查，主 要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題真假進行判斷，屬基礎(chǔ) 題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多 以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等 1 線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理 線面平行的判定定理 ab ba a a 線面平行的性質(zhì)定理 aab b a，b abO線面垂直的判定定理 l la，lb 線面垂直的性質(zhì)定理 a ab b 2 面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理

2、 面面垂直的判定定理 a a 面面垂直的性質(zhì)定理 c a a ac 面面平行的判定定理 abO a，b b a 面面平行的性質(zhì)定理 aab b 提醒使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時，要注意其具備的條件，缺一不可 3 平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖 考點一空間線面位置關(guān)系的判斷 例 1 列命題正確的是_(填序號) l1l2，l2l3l1l3 l1l2，l2l3l1l3 l1l2l3l1，l2，l3共面 l1，l2，l3共點l1，l2，l3共面 (1)l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下 (2)設(shè) l，m 是兩條不同的直線， 是一個平面，則下列命題正確的是_(填序號) 若 lm，m，則 l 若

3、 l，lm，則 m 若 l，m，則 lm 若 l，m，則 lm 答案(1)(2) 解析(1)對于，直線 l1與 l3可能異面、相交；對于，直線 l1、l2、l3可能構(gòu)成三棱柱 的三條棱而不共面；對于，直線 l1、l2、l3相交于同一個點時不一定共面，如正方體一 個頂點的三條棱對于，由異面直線所成角的定義知正確 (2)中直線 l 可能在平面 內(nèi)；與中直線 l，m 可能異面；事實上由直線與平面垂直 的判定定理可得正確 解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判 斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平 行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱

4、錐等幾何 模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全移植到立體幾何中 (1)(2013廣東改編)設(shè) m， n 是兩條不同的 直線， 是兩個不同的平面，下列命題中正確的是_(填序號) 若 ，m，n，則 mn 若 ，m，n，則 mn 若 mn，m，n，則 若 m，mn，n，則 (2)平面 平面 的一個充分條件是_(填序號) 存在一條直線 a，a，a 存在一條直線 a，a，a 存在兩條平行直線 a，b，a，b，a，b 存在兩條異面直線 a，b，a，b，a，b 答案(1)(2) 考點二線線、線面的位置關(guān)系 例 2 ACD90，BAC 如圖，在四棱錐 PABCD 中，ABC CAD60，PA平面

5、ABCD，E 為 PD 的中點，PA2AB. (1)若 F 為 PC 的中點，求證：PC平面 AEF； (2)求證：EC平面 PAB. 證明(1)由題意得 PACA，F(xiàn) 為 PC 的中點， AFPC.PA平面 ABCD，PACD. ACCD，PAACA，CD平面 PAC， CDPC.E 為 PD 的中點，F(xiàn) 為 PC 的中點， EFCD，EFPC. AFEFF，PC平面 AEF. (2)方法一如圖，取 AD 的中點 M， 連結(jié) EM，CM. 則 EMPA. EM平面 PAB，PA平面 PAB， EM平面 PAB. 在 RtACD 中，CAD60，MCAM， ACM60.而BAC60，MCAB.

6、 MC平面 PAB，AB平面 PAB， MC平面 PAB.EMMCM， 平面 EMC平面 PAB. EC平面 EMC， EC平面 PAB. 方法二如圖，延長 DC、AB，設(shè)它們交于點 N，連結(jié) PN. NACDAC60， ACCD，C 為 ND 的中點 E 為 PD 的中點，ECPN. EC平面 PAB，PN平面 PAB， EC平面 PAB. (1)立體幾何中，要證線垂直于線，常常 先證線垂直于面，再用線垂直于面的性質(zhì)易得線垂直于線要證線平行于面，只需先證 線平行于線，再用線平行于面的判定定理易得 (2)證明立體幾何問題，要緊密結(jié)合圖形，有時要利用平面幾何的相關(guān)知識，因此需要多 畫出一些圖形輔

7、助使用 如圖所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBCBB1， D 為 AC 的中點 (1)求證：B1C平面 A1BD； (2)若 AC1平面 A1BD，求證：B1C1平面 ABB1A1； (3)在(2)的條件下，設(shè) AB1，求三棱錐 BA1C1D 的體積 (1)證明如圖所示，連結(jié) AB1交 A1B 于 E，連結(jié) ED. ABCA1B1C1是直三棱柱，且 ABBB1， 側(cè)面 ABB1A1是正方形， E 是 AB1的中點，又已知 D 為 AC 的中點， 在AB1C 中，ED 是中位線， B1CED，B1C平面 A1BD. (2)證明AC1平面 A1BD，AC1A1B. 側(cè)面 ABB1A1是

8、正方形，A1BAB1. 又 AC1AB1A， A1B平面 AB1C1，A1BB1C1. 又ABCA1B1C1是直三棱柱， BB1B1C1， B1C1平面 ABB1A1. (3)解ABBC，D 為 AC 的中點， BDAC，BD平面 DC1A1. BD 是三棱錐 BA1C1D 的高 由(2)知 B1C1平面 ABB1A1， BC平面 ABB1A1. BCAB，ABC 是等腰直角三角形 又ABBC1，BD ACA1C1 2. 112121 三棱錐 BA1C1D 的體積 V BDSA1C1D A1C1AA1 21 . 3322126 考點三面面的位置關(guān)系 2， 2 例 3 ABAD，AE 如圖，在幾

9、何體 ABCDE 中，ABAD2， 平面 ABD.M 為線段 BD 的中點，MCAE，AEMC 2. (1)求證：平面 BCD平面 CDE； (2)若 N 為線段 DE 的中點，求證：平面AMN平面 BEC. 證明(1)ABAD2，ABAD，M 為線段 BD 的中點， 1 AM BD 2，AMBD. 2 AEMC 2， 1 AEMC BD 2，BCCD. 2 AE平面 ABD，MCAE， MC平面 ABD. 平面 ABD平面 CBD， AM平面 CBD. 又 MC 綊 AE， 四邊形 AMCE 為平行四邊形， ECAM， EC平面 CBD，BCEC， ECCDC，BC平面 CDE， 平面 BC

10、D平面 CDE. (2)M 為 BD 中點，N 為 ED 中點， MNBE 且 BEECE， 由(1)知 ECAM 且 AMMNM， 平面 AMN平面 BEC. (1)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找 到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面 平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行 (2)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證 明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線， 則借助中線、高線或添加輔助線解決 如圖所示， AB平面 ACD，DE平面 ACD， ACD 為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn) 為

11、CD 的中點 求證：(1)AF平面 BCE； (2)平面 BCE平面 CDE. 證明(1)如圖，取 CE 的中點 G，連結(jié) FG，BG. F 為 CD 的中點，GFDE 且 GF1 2DE. AB平面 ACD，DE平面 ACD， ABDE，GFAB. 又 AB1 2DE，GFAB. 四邊形 GFAB 為平行四邊形，則AFBG. AF平面 BCE，BG平面 BCE， AF平面 BCE. (2)ACD 為等邊三角形，F(xiàn) 為 CD 的中點， AFCD. DE平面 ACD，AF平面 ACD，DEAF. 又 CDDED，故 AF平面 CDE. BGAF，BG平面 CDE. 知已 BG平面 BCE，平面

12、BCE平面 CDE. 考點四立體幾何中的探索性問題 例 4(2012北京)如圖(1)，在 RtABC 中， C90，D，E 分別為 AC，AB 的中點，點F 為線段 CD 上的一點，將ADE 沿 DE 折 起到A1DE 的位置，使 A1FCD，如圖(2) (1)求證：DE平面 A1CB； (2)求證：A1FBE； (3)線段 A1B 上是否存在點 Q，使 A1C平面 DEQ？說明理由 折疊問題要注意在折疊過程中，哪些量 變化了，哪些量沒有變化第(1)問證明線面平行，可以證明 DEBC；第(2)問證明線線 垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明 A1F平面 BCDE；第(3)問取 A1B 的中點 Q，再

13、證明 A1C平面 DEQ. (1)證明因為 D，E 分別為 AC，AB 的中點， 所以 DEBC. 又因為 DE平面 A1CB，BC平面 A1CB， 所以 DE平面 A1CB. (2)證明由已知得 ACBC 且 DEBC， 所以 DEAC. 所以 DEA1D，DECD. 所以 DE平面 A1DC. 而 A1F 平面 A1DC， 所以 DEA1F. 又因為 A1FCD， 所以 A1F平面 BCDE， 所以 A1FBE. (3)解線段 A1B 上存在點 Q，使 A1C平面 DEQ.理由如下： 如圖，分別取 A1C，A1B 的中點 P，Q，則 PQBC. 又因為 DEBC， 所以 DEPQ. 所以平

14、面 DEQ 即為平面 DEP. 由(2)知，DE平面 A1DC， 所以 DEA1C. 又因為 P 是等腰三角形 DA1C 底邊 A1C 的中點， 所以 A1CDP.所以 A1C平面 DEP. 從而 A1C平面 DEQ. 故線段 A1B 上存在點 Q，使得 A1C平面 DEQ. 解決探索性問題的一般步驟為：首先假 設(shè)其存在，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯 定假設(shè)，如果得到了矛盾結(jié)論就否定假設(shè)另外也可以通過觀察分析直接得到結(jié)論，然 后證明其結(jié)論正確 直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AD2，BC 4，P 為平面 ABCD 外一點，且 PAPB，PDPC

15、，N 為 CD 的 中點 (1)求證：平面 PCD平面 ABCD； (2)在線段 PC 上是否存在一點 E 使得 NE平面 ABP，若存在，說 明理由并確定 E 點的位置，若不存在請說明理由 解(1)取 AB 中點 M， 連結(jié) PM，PN，MN 則 PMAB，PNCD， 又 ABCD 為直角梯形，ABBC， MNAB. PMMNM， AB平面 PMN. 又 PN平面 PMN， ABPN. AB 與 CD 相交， PN平面 ABCD. 又 PN平面 PCD， 平面 PCD平面 ABCD. (2)假設(shè)存在在 PC、PB 上分別取點 E、F， 11 使 BF BP，CE CP， 44 連結(jié) EF、M

16、F、NE， 3 則 EFBC 且可求得 EF BC3. 4 MN3 且 MNBC， EFMN 且 EFMN. MNEF 為平行四邊形， ENFM. 又 FM平面 PAB， 在線段 PC 上存在一點 E 使得 NE平面 ABP， 1 此時 CE PC. 4 1 證明線線平行的常用方法 (1)利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行； (2)利用平行四邊形進行轉(zhuǎn)換； (3)利用三角形中位線定理證明； (4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明 2 證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行； (2)利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平

17、行 3 證明面面平行的方法 證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可， 從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行 4 證明線線垂直的常用方法 (1)利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線 垂直； (2)利用勾股定理逆定理； (3)利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可 5 證明線面垂直的常用方法 (1)利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直； (2)利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直； (3)利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平

18、面，則另一條也垂直于這個平面 等 6 證明面面垂直的方法 證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明 面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線， 則借助中點、高線或添加輔助線解決. 1 如圖，正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為 1，線段 B1D1上有兩個動點 1 E，F(xiàn)，且 EF ，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號) 2 ACBE EF平面 ABCD 三棱錐 ABEF 的體積為定值 AEF 的面積與BEF 的面積相等 答案 解析AC平面 BB1D1D，又 BE平面 BB1D1D， ACBE，故正確 B1D1平面 ABCD，

19、又 E、F 在線段 B1D1上運動， 故 EF平面 ABCD.故正確 中由于點 B 到直線 EF 的距離是定值，故BEF 的面積為定值， 又點 A 到平面 BEF 的距離為定值，故 VABEF不變故正確 由于點 A 到 B1D1的距離與點 B 到 B1D1的距離不相等，因此AEF 與BEF 的面積不相 等，故錯誤 2 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中 點 (1)證明：平面 ADC1B1平面 A1BE； (2)在棱 C1D1上是否存在一點 F，使 B1F平面 A1BE？證明你 的結(jié)論 (1)證明 如圖，因為 ABCDA1B1C1D1為正方體， 所以 B1C1面

20、ABB1A1. 因為 A1B面 ABB1A1， 所以 B1C1A1B. 又因為 A1BAB1，B1C1AB1B1， 所以 A1B面 ADC1B1. 因為 A1B面 A1BE，所以平面 ADC1B1平面 A1BE. (2)解當點 F 為 C1D1中點時，可使 B1F平面 A1BE. 證明如下： 1 易知：EFC1D，且 EF C1D. 2 1 設(shè) AB1A1BO，則 B1OC1D 且 B1O C1D， 2 所以 EFB1O 且 EFB1O， 所以四邊形 B1OEF 為平行四邊形 所以 B1FOE. 又因為 B1F面 A1BE，OE面 A1BE. 所以 B1F面 A1BE. (推薦時間：60 分鐘

21、) 一、填空題 1 已知 ， 是三個互不重合的平面，l 是一條直線，下列命題中正確的是_(填 序號) 若 ，l，則 l 若 l 上有兩個點到 的距離相等，則 l 若 l，l，則 若 ，則 答案 解析當 ，l 時，l 可以在 內(nèi)，不正確； 如果 過 l 上兩點 A，B 的中點，則 A，B 到 的距離相等， 不正確； 當 ， 時，可以有 ，不正確，正確的只有. 2 、 為平面， m 為直線， 如果 ， 那么“m”是“m”的_ 條件 答案既不充分也不必要 解析，當 m 時，有可能 m， 不能推出 m，反之亦然 3 如圖，四邊形 ABCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ADB 沿

22、BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，構(gòu)成三棱錐 ABCD.則在三棱錐 ABCD 中，下列 命題正確的是_(填序號) 平面 ABD平面 ABC平面 ADC平面 BDC 平面 ABC平面 BDC平面 ADC平面 ABC 答案 解析在四邊形 ABCD 中， ADBC， ADAB， BCD45， BAD90， BDCD， 又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCDBD， 所以 CD平面 ABD，則 CDAB， 又 ADAB，ADCDD，所以 AB平面 ADC， 又 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 ADC，故填. 4 下列命題中，m、n 表示兩條不同的直線，、 表示三個不同的平面

23、 若 m，n，則 mn；若 ，則 ；若 m，n，則 mn； 若 ，m，則 m. 正確命題是的序號為_ 答案 解析平面 與 可能相交，中 m 與 n 可以是相交直線或異面直線故錯 5 一正四面體木塊如圖所示，點P 是棱 VA的中點，過點 P 將木塊鋸開， 使截面平行于棱 VB 和 AC，若木塊的棱長為a，則截面面積為_ a2 答案 4 解析如圖，在面 VAC內(nèi)過點 P 作 AC 的平行線 PD 交 VC 于點 D，在 面 VAB內(nèi)作 VB 的平行線交 AB 于點 F，過點 D 作 VB 的平行線交 BC 于 點 E.連結(jié) EF，易知 PFDE，故 P，D，E，F(xiàn) 共面，且面 PDEF 與 VB

24、aa2 和 AC 都平行，易知四邊形PDEF 是邊長為 的正方形，故其面積為 . 24 6 在正三棱錐 SABC 中，M，N 分別是 SC，BC 的中點，且 MNAM， 若側(cè)棱 SA2 3，則正三棱錐 SABC 外接球的表面積是_ 答案36 解析由 MNAM 且 MN 是BSC 的中位線得 BSAM， 又由正三棱錐的性質(zhì)得BSAC，所以 BS面 ASC. 即正三棱錐 SABC 的三側(cè)棱 SA、SB、SC 兩兩垂直，外接球直徑為 3SA6. 球的表面積 S4R243236. 7設(shè) x， y， z 是空間中的不同直線或不同平面， 下列條件中能保證“若xz， 且 yz， 則 xy” 為真命題的是_(

25、填出所有正確條件的代號) x 為直線，y，z 為平面；x，y，z 為平面；x，y 為直線，z 為平面；x，y 為平面， z 為直線；x，y，z 為直線 答案 解析因為垂直于同一個平面的兩條直線平行，所以正確；因為垂直于同一條直線的 兩個平面平行，所以正確；若直線x平面 z，平面 y平面 z，則可能有直線x 在平面 y 內(nèi)的情況，所以不正確；若平面 x平面 z，平面 y平面 z，則平面 x 與平面 y 可能 相交，所以不正確；若直線 x直線 z，直線 y直線 z，則直線 x 與直線 y 可能相交、 異面、平行，所以不正確 8 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱 AA1底面 ABC，底面是以

26、ABC 為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D 是 A1C1的中點，點 F 在線段 AA1上，當 AF_時，CF平面 B1DF. 答案a 或 2a 解析由題意易知，B1D平面 ACC1A1，所以 B1DCF. 要使 CF平面 B1DF，只需 CFDF 即可 令 CFDF，設(shè) AFx，則 A1F3ax. 易知 RtCAFRtFA1D， 得AC A1F2a 3ax ，即， AFA1Dxa 整理得 x23ax2a20， 解得 xa 或 x2a. 9 如圖，AB 為圓 O 的直徑，點 C 在圓周上(異于點 A，B)，直線 PA 垂 直于圓 O 所在的平面，點 M 為線段 PB 的中點有以下四

27、個命題： PA平面 MOB； MO平面 PAC； OC平面 PAC； 平面 PAC平面 PBC. 其中正確的命題是_(填上所有正確命題的序號) 答案 解析錯誤，PA平面 MOB；正確；錯誤，否則，有 OCAC，這與 BCAC 矛 盾；正確，因為 BC平面 PAC. 二、解答題 10(2013重慶)如圖，四棱錐PABCD 中，PA底面 ABCD，PA2 3， BCCD2，ACBACD . 3 (1)求證：BD平面 PAC； (2)若側(cè)棱 PC 上的點 F 滿足 PF7FC，求三棱錐 PBDF 的體積 (1)證明因為 BCCD，所以BCD 為等腰三角形， 又ACBACD，故 BDAC. 因為 PA

28、底面 ABCD，所以 PABD. 從而 BD 與平面 PAC 內(nèi)兩條相交直線 PA，AC 都垂直， 所以 BD平面 PAC. (2)解三棱錐 PBCD 的底面 BCD 的面積 112 S BCD BCCDsinBCD 22sin 3. 223 由 PA底面 ABCD，得 VPBCD1 3S BCDPA 1 3 32 32. 由 PF7FC，得三棱錐 FBCD 的高為1 8PA， 故 VFBCD1 1 3S 111 BCD8PA3 382 34， 所以 VPBDFVPBCDVFBCD21 7 44. 11(2012廣東)如圖所示，在四棱錐PABCD 中，AB平面 PAD， ABCD，PDAD，E 是 PB 的中點，F(xiàn) 是 DC 上的點且 DF1 2AB， PH 為PAD 中 AD 邊上的高 (1)證明：PH平面 ABCD； (2)若 PH1，AD 2，F(xiàn)C1，求三棱錐 EBCF 的體積； (3)證明：EF平面 PAB. (1)證明因為 AB平面 PAD，PH平面 PAD， 所以 PHAB. 因為 PH 為PAD 中 AD 邊上的高，所以 P