6曲線和曲面2

1、2020/6/24,第六章 曲線和曲面(二),2020/6/24,2 / 60,主要內(nèi)容：,曲線、曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識 常用的參數(shù)曲線 常用的參數(shù)曲面,2020/6/24,3 / 60,曲線繪制問題,給定n+1個數(shù)據(jù)點， ，生成一個曲線，使該曲線與這些點所描述的形狀相符。 如果要求曲線通過所有的數(shù)據(jù)點插值問題用于重建數(shù)字化表示的曲線； 如果要求曲線逼近這些數(shù)據(jù)點逼近問題主要用于設(shè)計美觀的或符合某種美學(xué)標(biāo)準的曲線； 解決上述問題的方法：找到一種用小的部分即曲線段來構(gòu)建曲線的方法，以滿足設(shè)計標(biāo)準； 曲線和曲線段可以用折線代替，即用非常短的線段繪制； 用曲線段擬合曲線 時，把曲線表示為許多小線段

2、之和，其中 稱為基（調(diào)和）函數(shù)；,2020/6/24,4 / 60,曲線繪制問題,基函數(shù)要用于計算和顯示，因此經(jīng)常選擇多項式作為基函數(shù)。 次多項式有下列形式，此多項式由它的n+1個系數(shù)決定： 連續(xù)分段n次多項式 是k個多項式 的集合，每個多項式是n階，且有k+1個節(jié)點 ，即： 上式要求多項式在節(jié)點處連續(xù)，即 但多項式在節(jié)點處不一定光滑，即在節(jié)點處可以有尖角或拐點； 多項式的階數(shù)： 高階多項式有搖擺特性曲線繪制時不是很有用； 最有用的分段多項式為3階多項式：原因： 達到光滑和令人滿意的曲線的最小階數(shù)是3； 表示三維曲線所需的最小數(shù)字是3；,2020/6/24,5 / 60,常用的參數(shù)曲線,Bez

3、ier曲線 B樣條曲線 非均勻有理B樣條（NURBS）曲線 常用參數(shù)曲線的等價表示,2020/6/24,6 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,1962年，法國雷諾汽車公司的PE.Bezier 1972年，UNISURF系統(tǒng) 定義： 一種以逼近為基礎(chǔ)的參數(shù)曲線； 由一組折線集，或Bezier特征多邊形定義； 曲線的起點、終點與多邊形起點、終點重合； 多邊形的第一個邊與最后一個邊表示了曲線 在起點和終點的切矢量方向； 形狀趨于特征多邊形的形狀； 給定空間n+1個點的位置矢量：Pi，則Bezier 曲線各點坐標(biāo)的插值公式：,2020/6/24,7 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線

4、,Bernstein基函數(shù)（曲線上各點位置矢量的調(diào)和函數(shù)）形式：,Bernstein調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)： 1）正性： 當(dāng)滿足 時： 當(dāng)滿足 時：,2020/6/24,8 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bernstein調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)： 2）權(quán)性： 3）對稱性： 4）遞推性： 高次Bernstein調(diào)和函數(shù)可由兩個低一次Bernstein調(diào)和函數(shù)線性組合而成；,2020/6/24,9 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bernstein調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)： 5）導(dǎo)函數(shù)：,三次Bernstein調(diào)和函數(shù)曲線,2020/6/24,10 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,6）

5、降階公式: 7）升階公式: 8）積分: 9）最大值:在t=i/n處取得最大值 10）線性無關(guān)性 是n次多項式空間的一組基函數(shù)，,2020/6/24,11 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的性質(zhì)： 1）端點性質(zhì)： A)端點位置矢量：,Bezier曲線的起點、終點與其相應(yīng)的特征多邊形的起點、終點重合；,2020/6/24,12 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的性質(zhì)： B)切矢量：,Bezier曲線的起點、終點的切線方向與其相應(yīng)的特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致；,2020/6/24,13 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線

6、,Bezier曲線的性質(zhì)： C)曲率：,Bezier曲線在端點處的r階導(dǎo)數(shù)，只與（r+1）個相鄰點有關(guān)，與更遠的點無關(guān)；,2020/6/24,14 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的性質(zhì)： D)r階導(dǎo)函數(shù)的差分表示： N次Bezier曲線的r階導(dǎo)函數(shù)可用差分公式表示為：,2020/6/24,15 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的性質(zhì)： 2）對稱性： 若保持原Bezier曲線的全部定點位置不變，僅把次序顛倒，形成新的頂點； 則新Bezier曲線形狀不變，只是走向相反；,Bezier曲線及其特征多邊形在起點處的幾何性質(zhì)與終點處相同；,202

7、0/6/24,16 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的性質(zhì)： 3）凸包性：,1）說明當(dāng)t在0與1區(qū)間變化時，對某個t值，C（t）是特征多邊形各項點Pi的加權(quán)平均，權(quán)因子依次是Bi,n(t); 2）在幾何圖形上，Bezier曲線是Pi各點的凸線性組合，并且各點均落在特征多邊形的凸包之中；,2020/6/24,17 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的性質(zhì)： 4）幾何不變性：幾何特性不隨一定的坐標(biāo)變換而變化的性質(zhì) Bezier曲線的位置與形狀僅與特征多邊形的定點位置有關(guān)，不依賴坐標(biāo)系的選擇； 即：,5）變差縮減性：如Bezier曲線的特征多邊形

8、是一個平面圖形，則直線與曲線的交點個數(shù) 該直線和特征多邊形的交點個數(shù)變差縮減性； 說明Bezier曲線比特征多邊形的波動小Bezier曲線比特征多邊形所在的折線更光順；,2020/6/24,18 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的矩陣表示： 一次Bezier曲線 一次Bezier曲線是連接起點與終點的直線段； 二次Bezier曲線,二次Bezier曲線對應(yīng)一條多邊形起點與終點的拋物線；,2020/6/24,19 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的矩陣表示： 三次Bezier曲線,2020/6/24,20 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezi

9、er曲線,Bezier曲線的矩陣表示： n次Bezier曲線 給定空間n+1個點，則n次Bezier曲線的矢量方程： 工程實踐中常用的Bezier曲線為二、三次。,2020/6/24,21 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的分割遞推Casteljau算法： 如何生成Bezier曲線上的點？ 利用三次曲線矩陣公式產(chǎn)生曲線上點的方法： 不通用、計算量大 Casteljau算法：原理： 給定參數(shù) ,求,t,P(t),2020/6/24,22 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的分割遞推Casteljau算法： 算法 計算過程,2020/6/24,

10、23 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,算法的幾何解釋：,2020/6/24,24 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的拼接及其連續(xù)性： 目的：將兩條Bezier曲線按照一定的連續(xù)條件連接起來，如圖所示， 要求前條曲線的終點與后條曲線的起點重合，即滿足 連續(xù)；,滿足 連續(xù)的充要條件： 滿足 連續(xù)的充要條件：在 連續(xù)的前提下滿足兩個條件： 1）密切平面重合，副法線矢量同向； 2）曲率相等；,2020/6/24,25 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,反算Bezier曲線控制點： 目的：根據(jù)給定的曲線型值點 求Bezier曲線的控制點 方法： 取參數(shù)t

11、=i/n與點 對應(yīng)，反算 ； 設(shè) 在曲線 上，且有： 則可得下列n+1個方程組成的線性方程組： 求解方程，可得 ，即為過 的Bezier多邊形的頂點,2020/6/24,26 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,Bezier曲線的升階： 目的：對曲線做修改時，可以通過增加控制點以實現(xiàn)對曲線的靈活控制，而不改變原有曲線的形狀； 方法：對原有曲線進行升階，如圖，將原有4個控制點變?yōu)?個點；,2020/6/24,27 / 60,常用的參數(shù)曲線 Bezier曲線,上式說明： 1）新的控制點P是對老的特征多邊形在參數(shù)i/(n+1)處進行線性插值的結(jié)果； 2）升階后的新的特征多邊形在老的特征多邊形

12、的凸包內(nèi)； 3）升階后的特征多邊形更靠近Bezier曲線； Bezier曲線的降階： 同理可以推導(dǎo)出曲線的降階公式； 有理Bezier曲線： 目的:更好的控制曲線的形狀；,2020/6/24,28 / 60,常用的參數(shù)曲線,Bezier曲線 B樣條曲線 非均勻有理B樣條（NURBS）曲線 常用參數(shù)曲線的等價表示,2020/6/24,29 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,目的：解決Bezier曲線的不足（1972年，Gordon,Riesenfeld擴展Bezier曲線）； 1) 控制多邊形的頂點個數(shù)決定了Bezier曲線的階次,n較大時特征多邊形對曲線的控制減弱; 2)調(diào)和函數(shù)在整個區(qū)間

13、內(nèi)均不為零不能作局部修改； 方法：用B樣條函數(shù)代替Bernstein函數(shù)，從而： 1）改進了Bezier特征多邊形與Bernstein多項式次數(shù)相關(guān)的問題； 2）克服了Bezier曲線整體逼近的缺點； 均勻B樣條函數(shù)的定義： 已知有n+1個控制點的特征多邊形，其頂點為： 則可以定義L1段k-1次的參數(shù)曲線。 其中：L = n-（k1）,2020/6/24,30 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,其中 為基函數(shù)，可以定義如下遞歸函數(shù)：,上式等價為：,2020/6/24,31 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,參數(shù)說明： k是曲線的階數(shù)，k1為B樣條曲線的次數(shù)，曲線在連接點處具有(k-2)

14、階連續(xù)； 是節(jié)點值， 構(gòu)成了k次B樣條曲線的節(jié)點矢量，節(jié)點是非減序列；且： 節(jié)點矢量：分為三種類型：均勻的，均勻非周期的和非均勻的； 節(jié)點沿參數(shù)軸均勻等距分布，即 =常數(shù)時，均勻B樣條函數(shù)； 節(jié)點沿參數(shù)軸分布不等距，即 常數(shù)時，非均勻B樣條函數(shù)。 1均勻周期性B樣條曲線 T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2) T=(0,1,2,3,4,5,6,7) 均勻B樣條的基函數(shù)呈周期性：,2020/6/24,32 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,均勻周期性二 次（三階） B樣條曲線 取k1=2，n=3,k1=2,n=3i=0,1,2,2020/6/24,33 / 60,

15、常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,二次B樣條曲線表達式可以表示如下：,一般化的形式：,2020/6/24,34 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,曲線的起點和終點值：,均勻二次B樣條曲線起點和終點處的導(dǎo)數(shù)：,2020/6/24,35 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,結(jié)論： 對于由任意數(shù)目的控制點構(gòu)造的二次周期性B樣條曲線，曲線的起點位于頭兩個控制點之間，終點位于最后兩個控制點之間； 對于高次多項式，起點和終點是m-1個控制點的加權(quán)平均值點。若某一控制點出現(xiàn)多次，樣條曲線會更加接近該點。 由不同節(jié)點矢量構(gòu)成的均勻B樣條函數(shù)所描繪的形狀相同，可以看成是一個B樣條函數(shù)的簡單平移； 在構(gòu)造每個線段

16、時，采用均勻B樣條函數(shù)比用非均勻B樣條函數(shù)工作量小，且外形設(shè)計的效果差別不大；,2020/6/24,36 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,2均勻非周期B樣條曲線 節(jié)點矢量定義為： 令L = n k (n為控制點數(shù)目)，從0開始，按titi+1排列。,均勻非周期二次（三階）B樣條曲線 設(shè)k=2，n=6，節(jié)點矢量為：T=(t0 ,t1,tL+2k+1) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8,t9) =(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)；,2020/6/24,37 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,2020/6/24,38 / 60,常用的參數(shù)曲線

17、 B樣條曲線,B樣條曲線的性質(zhì) 1局部可控性 B樣條的基函數(shù)是一個分段函數(shù)，其重要特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi)，每個基函數(shù)在 到 的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零，在其余區(qū)間內(nèi)均為零，通常也將該特征稱為局部支柱性。 因此，每移動一個頂點時，只對其中的一段曲線有影響，并不對整條曲線產(chǎn)生影響。,tk,Tk+m,2020/6/24,39 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,2.B樣條的凸組合性質(zhì) B樣條的凸組合性和B樣條基函數(shù)的數(shù)值均大于或等于0保證了B樣條曲線的凸包性，即B樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸包之內(nèi)。,2020/6/24,40 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,B樣條曲線的性質(zhì) 3.連續(xù)性 B

18、樣條曲線在 處有L重節(jié)點的連續(xù)性不低于（kL）次，整條曲線的連續(xù)性不低于（kLmax）次，其中Lmax是區(qū)間 內(nèi)的最大重節(jié)點數(shù)； B樣條曲線基函數(shù)的次數(shù)與控制頂點個數(shù)無關(guān)。,2020/6/24,41 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,B樣條曲線的性質(zhì) 4.導(dǎo)數(shù) ； B樣條曲線的導(dǎo)數(shù)可用其低階的B樣條基函數(shù)和定點矢量的差商序列的線性組合表示。 可以證明，k次B樣條曲線段之間達到k-1次的連續(xù)性； 5.幾何不變性：形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)； 6.變差縮減性：平面內(nèi)任一直線與曲線的交點個數(shù)不多于該直線與特征多邊形的交點個數(shù)； 7.造型的靈活性； 用B樣條曲線可構(gòu)造直線段、尖點、切線等特殊情況

19、：通過選擇控制點的位置和節(jié)點的重復(fù)數(shù)。,2020/6/24,42 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,B樣條曲線的矩陣表示 一次B樣條曲線的矩陣表示 設(shè)空間n+1個定點的位置矢量，每兩個相鄰點可以構(gòu)造出一段一次B樣條曲線，B樣條基函數(shù)是 ，則每兩段相關(guān)的一次B樣條曲線可以表示為：,2020/6/24,43 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,二次B樣條曲線的矩陣表示 二次B樣條基函數(shù)的矩陣式可以表示為：,設(shè)空間有 個頂點： ，則相鄰的每三個頂點可構(gòu)造一段二次B樣條曲線，其中第i段可以表示成(如圖)：,2020/6/24,44 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,其中： 1）端點位置矢量：

20、,2）端點一階導(dǎo)數(shù)矢量： 且： 說明曲線段在起、終點的一階導(dǎo)數(shù)矢量分別和兩條邊矢量重合，且在節(jié)點處的一階導(dǎo)數(shù)矢量連續(xù)。,3）端點二階導(dǎo)數(shù)矢量： 即曲線段的二階導(dǎo)數(shù)矢量等于該曲線的兩條邊矢量 和 所成的對角線矢量。,4）若 三個頂點位于同一條直線上， 蛻化為 直線邊上的一段直線，并使 曲線段切于 處，若要使二次B樣條線段過端點，或得到一個尖點，還需要有二重控制點。,2020/6/24,45 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,三次B樣條曲線的矩陣表示： 若從空間n+1個頂點 中每次取相鄰的四個頂點，可構(gòu)造 出一段三次B樣條曲線，其相應(yīng)的基函數(shù)是：,三次B樣條基函數(shù)的矩陣表示為：,相鄰兩段三次B

21、樣條曲線可表示為：,2020/6/24,46 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,因此，第i段三次B樣條曲線可寫成：,對應(yīng)的矩陣式是：（如圖）,2020/6/24,47 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,其中： 1）端點位置矢量： 曲線起點位于 中線 的1/3處，終點位于 中線 的1/3處。,2）端點切矢量： 曲線在始點處的切矢量平行于 的邊，其模長為該邊長的1/2，終點處的切矢量平行于 的邊，其模長為該邊長的1/2。由于前一段曲線的終點是下一段曲線的起點，而且具有相同的三角形，因此，幾何上可見兩段曲線在節(jié)點處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)矢量。,3）端點的二階導(dǎo)數(shù)矢量： 曲線段在端點處的二階導(dǎo)數(shù)矢

22、量等于相鄰兩直線邊所形成平行四邊形的對角線。由于終點處的平行四邊形和下一段曲線在始點處的平行四邊形相同，因此，三次B樣條曲線在節(jié)點處有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。,2020/6/24,48 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,4）若 三點共線，三次B樣條曲線將產(chǎn)生拐點，若 四點共線，則 變成一條直線段；若 三點重合，則 通過 點。 因此，利用三次B樣條的頂點重合會產(chǎn)生應(yīng)用需要的多種曲線。,2020/6/24,49 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,B樣條曲線的分割和節(jié)點插入算法 1）deBoor分割算法 K次B樣條基函數(shù)可由兩個相鄰的k-1次B樣條基函數(shù)線性組合而成，利用k次B樣條函數(shù)的性質(zhì)，可用de

23、Boor算法計算曲線段C(t)的值，若 則其遞歸公式為： 也可表示成：,2020/6/24,50 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,求曲線上一點坐標(biāo)的遞推過程可以表示成一個三角形，其幾何意義如圖： deBoor分割算法的實質(zhì)是用 構(gòu)成的邊切 角。 從多邊形 開始經(jīng)過k層的切角，最后得到曲線C(u)上的點P； 程序見：pp315,2020/6/24,51 / 60,常用的參數(shù)曲線 B樣條曲線,反求B樣條曲線的控制點及其端點性質(zhì) 定義：已知一組空間型值點Q，找一條k次B樣條曲線，經(jīng)過這些型值點，即找到與型值點Q相應(yīng)的B樣條特征多項式頂點P。對于型值點與控制點的位置矢量之間有關(guān)系： 通過上次，可以求出控制點，但上次有n個方程，有n+2個未知數(shù)，因此需要補充兩個邊界條件，即起點和終點； 分為以下情況確定起點和終點邊界條件： 1）首末兩點過Q1和Qn的非周期三次B樣條曲線； 2）封閉周期的三次B樣條曲線； 3）端點有二重控制點的三次B樣條曲線； 4）給定始、終點的切矢量; 5）給定始、終點的二階導(dǎo)數(shù)矢量R1和Rn；,2020/6/24,52 / 60,常用的參數(shù)曲線,Bezier曲線 B樣條曲線 非均勻有理B樣條（NURBS）曲線 常用參數(shù)曲線的等價表示,2020/6/24,53 / 60,常用的參數(shù)曲線 非均勻有理B樣條（NURBS）曲線,NURBS方法:非均勻有理B樣條（Nonu