概率論試題及答案

1、試卷一一、填空（每小題2分，共10分）設(shè)是三個(gè)隨機(jī)事件，則至少發(fā)生兩個(gè)可表示為_(kāi)。. 擲一顆骰子，表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，表示“點(diǎn)數(shù)不大于3”，則表示_。已知互斥的兩個(gè)事件滿(mǎn)足，則_。設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，則_。設(shè)是三個(gè)隨機(jī)事件，、，則至少發(fā)生一個(gè)的概率為_(kāi)。二、單項(xiàng)選擇（每小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共20分）1. 從裝有2只紅球，2只白球的袋中任取兩球，記“取到2只白球”，則（ ）。(A) 取到2只紅球 (B) 取到1只白球 (C) 沒(méi)有取到白球 (D) 至少取到1只紅球2對(duì)擲一枚硬幣的試驗(yàn), “出現(xiàn)正面”稱(chēng)為（ ）。(A) 隨機(jī)事件(B) 必然事

2、件(C) 不可能事件(D) 樣本空間3. 設(shè)A、B為隨機(jī)事件，則（ ）。(A) A (B) B (C) AB (D) 4. 設(shè)和是任意兩個(gè)概率不為零的互斥事件，則下列結(jié)論中肯定正確的是（ ）。(A) 與互斥(B) 與不互斥(C) (D) 5. 設(shè)為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 6. 設(shè)相互獨(dú)立，則（ ）。(A) (B) (C) (D) 00/35)=(x/35)-(-x/35)=0.9JI7.設(shè)是三個(gè)隨機(jī)事件，且有，則（ ）。 (A) 0.1(B) 0.6(C) 0.8(D) 00/35)=(x/35)-(-x/35)=0.9JI0.78. 進(jìn)行一系

3、列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為p，則在成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為（ ）。(A) p2(1 p)3 (B) 4 p (1 p)3 (C) 5 p 2(1 p)3 (D) 4 p 2(1 p)3 9. 設(shè)A、B為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 10. 設(shè)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C一定發(fā)生，則（ ）。(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) P (C) 1(C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) + P (B) P (C)三、計(jì)算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1. 袋中裝有5個(gè)白球，

4、3個(gè)黑球。從中一次任取兩個(gè)。求取到的兩個(gè)球顏色不同的概率。2. 10把鑰匙有3把能把門(mén)鎖打開(kāi)。今任取兩把。求能打開(kāi)門(mén)的概率。3. 一間宿舍住有6位同學(xué)，求他們中有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份概率。4. 50個(gè)產(chǎn)品中有46個(gè)合格品與4個(gè)次品，從中一次抽取3個(gè)，求至少取到一個(gè)次品的概率。5. 加工某種零件，需經(jīng)過(guò)三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分別為0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品與其它各道工序無(wú)關(guān)。求該種零件的次品率。6. 已知某品的合格率為0.95，而合格品中的一級(jí)品率為0.65。求該產(chǎn)品的一級(jí)品率。7. 一箱產(chǎn)品共100件,其中次品個(gè)數(shù)從0到2是等可能的。開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從

5、中隨機(jī)抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收。若已知該箱產(chǎn)品已通過(guò)驗(yàn)收，求其中確實(shí)沒(méi)有次品的概率。8. 某廠的產(chǎn)品，按甲工藝加工，按乙工藝加工，兩種工藝加工出來(lái)的產(chǎn)品的合格率分別為0.8與0.9。現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中有放回地取5件來(lái)檢驗(yàn)，求其中最多有一件次品的概率。四、證明題（共6分）設(shè)， 。證明 試卷一 參考答案一、填空1. 或 2. 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)恰為53. 與互斥 則 4. 0.6故 5. 至少發(fā)生一個(gè)，即為又由 得 故 二、單項(xiàng)選擇12. A3. A 利用集合的運(yùn)算性質(zhì)可得.4與互斥故 5故 6相互獨(dú)立7. 且 則 8. 9. B10. B 故 P (A) + P (B) P

6、 (C) 1 三、計(jì)算與應(yīng)用題1. 解：設(shè) 表示“取到的兩球顏色不同”，則而樣本點(diǎn)總數(shù)故 2. 解：設(shè) 表示“能把門(mén)鎖打開(kāi)”，則，而故 3. 解：設(shè) 表示“有4個(gè)人的生日在同一月份”，則而樣本點(diǎn)總數(shù)為故 4. 解：設(shè) 表示“至少取到一個(gè)次品”，因其較復(fù)雜，考慮逆事件=“沒(méi)有取到次品”則 包含的樣本點(diǎn)數(shù)為。而樣本點(diǎn)總數(shù)為故 5. 解：設(shè) “任取一個(gè)零件為次品”由題意要求，但較復(fù)雜，考慮逆事件“任取一個(gè)零件為正品”，表示通過(guò)三道工序都合格，則 于是 6. 解：設(shè) 表示“產(chǎn)品是一極品”，表示“產(chǎn)品是合格品”顯然，則于是 即 該產(chǎn)品的一級(jí)品率為7. 解：設(shè) “箱中有件次品”，由題設(shè)，有，又設(shè) “該箱產(chǎn)

7、品通過(guò)驗(yàn)收”，由全概率公式，有于是 8. 解：依題意，該廠產(chǎn)品的合格率為，于是，次品率為 設(shè) 表示“有放回取5件，最多取到一件次品”則 四、證明題證明 ， ，由概率的性質(zhì)知 則又 且 故 試卷二一、填空（每小題2分，共10分）1. 若隨機(jī)變量 的概率分布為 ，則_。2. 設(shè)隨機(jī)變量 ，且 ，則_。3. 設(shè)隨機(jī)變量 ,則 _。4. 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 _。5. 若隨機(jī)變量的概率分布為則 _。二、單項(xiàng)選擇(每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。每小題2分，共20分)1. 設(shè) 與 分別是兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使 是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?）

8、。(A) (B) (C) (D) 2. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則（ ）。(A) (B) (C) (D) 3.下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 5. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則的概率密度為（ ）。(A) (B) (C) (D) 6. 設(shè)服從二項(xiàng)分布，則（ ）。(A) (B) (C) (D) 7. 設(shè)，則（ ）。(A) (B) (C) (D) 8設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為 , 則（ ）。(A) 2(B) 1(C) 1/2(D) 49對(duì)隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，如果，則可斷定不服從（ ）。(A) 二項(xiàng)分布

9、(B) 指數(shù)分布(C) 正態(tài)分布(D) 泊松分布10設(shè)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 三、計(jì)算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1. 盒內(nèi)有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)是新球，3個(gè)是舊球。采取不放回抽取，每次取一個(gè)，直到取到新球?yàn)橹?。求抽取次?shù)的概率分布。2. 車(chē)間中有6名工人在各自獨(dú)立的工作，已知每個(gè)人在1小時(shí)內(nèi)有12分鐘需用小吊車(chē)。求（1）在同一時(shí)刻需用小吊車(chē)人數(shù)的最可能值是多少？（2）若車(chē)間中僅有2臺(tái)小吊車(chē)，則因小吊車(chē)不夠而耽誤工作的概率是多少？3. 某種電子元件的壽命是隨機(jī)變量，其概率密度為求（1）常數(shù)；（2）若將3個(gè)這種元件串聯(lián)在一條線

10、路上，試計(jì)算該線路使用150小時(shí)后仍能正常工作的概率。4. 某種電池的壽命（單位：小時(shí)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且。求（1）這樣的電池壽命在250小時(shí)以上的概率；（2），使電池壽命在內(nèi)的概率不小于0.9。5. 設(shè)隨機(jī)變量。求 概率密度。6. 若隨機(jī)變量服從泊松分布，即，且知。求 。7. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為。求 和。8. 一汽車(chē)沿一街道行使，需要通過(guò)三個(gè)均沒(méi)有紅綠燈信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，求紅或綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等。以表示該汽車(chē)未遇紅燈而連續(xù)通過(guò)的路口數(shù)。求（1）的概率分布；（2）。四、證明題（共6分）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。證明：在區(qū)間上，服從

11、均勻分布。試卷二參考答案一、填空1. 6由概率分布的性質(zhì)有 即 ，得 。2. ，則3. 0.54. 5. 0.25由題設(shè)，可設(shè)即010.50.5則 二、單項(xiàng)選擇1. ()由分布函數(shù)的性質(zhì)，知 則 ，經(jīng)驗(yàn)證只有滿(mǎn)足，選2. ()由概率密度的性質(zhì)，有 3. ()由概率密度的性質(zhì)，有4. ()由密度函數(shù)的性質(zhì)，有 5. ()是單減函數(shù)，其反函數(shù)為 ，求導(dǎo)數(shù)得 由公式，的密度為 6. ()由已知服從二項(xiàng)分布，則又由方差的性質(zhì)知,7. ()于是 8. (A) 由正態(tài)分布密度的定義,有 9. (D) 如果時(shí),只能選擇泊松分布.10. (D) X為服從正態(tài)分布N (-1, 2), EX = -1 E(2X

12、- 1) = -3三、計(jì)算與應(yīng)用題1. 解：設(shè)為抽取的次數(shù) 只有個(gè)舊球,所以的可能取值為：由古典概型，有則12342. 解：設(shè) 表示同一時(shí)刻需用小吊車(chē)的人數(shù)，則是一隨機(jī)變量，由題意有，于是（1）的最可能值為 ，即概率達(dá)到最大的（2）3. 解：（1）由 可得 （2）串聯(lián)線路正常工作的充要條件是每個(gè)元件都能正常工作，而這里三個(gè)元件的工作是相互獨(dú)立的，因此，若用表示“線路正常工作”，則而 故 4. 解： （1）（查正態(tài)分布表）（2）由題意 即 查表得 。5. 解:對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)增加，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得，又由題設(shè)知 故由公式知： 6. 解:，則而由題設(shè)知 即 可得 故 查泊松分布表得，7. 解:由數(shù)

13、學(xué)期望的定義知,而 故 8. 解:（1）的可能取值為且由題意,可得即0123（2）由離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有四、證明題證明：由已知 則又由 得 連續(xù)，單調(diào)，存在反函數(shù) 且 當(dāng)時(shí)， 則 故 即 試卷三一、填空（請(qǐng)將正確答案直接填在橫線上。每小題 2分，共10分）1. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為，則 _，_.2. 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，其概率分布分別為，則 _.3. 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，則 服從_分布.4. 已知與相互獨(dú)立同分布，且則 _.5. 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為、方差，則由切比雪夫不等式有_.二、單項(xiàng)選擇(在每題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確答案，請(qǐng)將正確答案的番號(hào)填在括號(hào)內(nèi)。每

14、小題2分，共20分)1. 若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 ，則系數(shù)（ ）.(A) (B) (C) (D) 2. 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則下列結(jié)論正確的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 3. 設(shè)隨機(jī)向量(X , Y)的聯(lián)合分布密度為, 則（ ）.(A) (X , Y) 服從指數(shù)分布(B) X與Y不獨(dú)立 (C) X與Y相互獨(dú)立(D) cov(X , Y) 04. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則下列隨機(jī)變量中服從均勻分布的有（ ）.(A) (B) (C) (D) 5. 設(shè)隨機(jī)變量與隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布, 且, 則下列各式中成立的是（ ）.(A

15、) (B) (C) (D) 6設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在, 則下列各式中成立的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 7. 若隨機(jī)變量是的線性函數(shù)，且隨機(jī)變量存在數(shù)學(xué)期望與方差，則與的相關(guān)系數(shù)（ ）.(A) (B) (C) (D) 8. 設(shè)是二維隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充要條件是（ ）.(A) (B) (C) (D) 9. 設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則對(duì)于，有（ ）.(A) (B) (C) (D) 10. 設(shè),為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且Xi ( i = 1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，正態(tài)分布N ( 0, 1 ) 的密度函數(shù)為, 則（ ）. 三、計(jì)算與應(yīng)用題（每小題8分，共6

16、4分）1. 將2個(gè)球隨機(jī)地放入3個(gè)盒子，設(shè)表示第一個(gè)盒子內(nèi)放入的球數(shù)，表示有球的盒子個(gè)數(shù).求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布.2. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為（1）確定的值；（2）求 .3. 設(shè)的聯(lián)合密度為（1）求邊緣密度和；（2）判斷與是否相互獨(dú)立.4. 設(shè)的聯(lián)合密度為求的概率密度.5. 設(shè)，且與相互獨(dú)立.求（1）的聯(lián)合概率密度；（2）；（3）.6. 設(shè)的聯(lián)合概率密度為求及.7. 對(duì)敵人陣地進(jìn)行100次炮擊。每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4，標(biāo)準(zhǔn)差是1.5.求100次炮擊中有380至420課炮彈命中目標(biāo)的概率.8. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受.問(wèn)應(yīng)

17、檢查多少個(gè)產(chǎn)品才能使次品率為10%的這批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)0.9.四、證明題（共6分）設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，證明隨機(jī)變量與任一常數(shù)的協(xié)方差是零.試卷三參考解答一、填空1. 由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得 2. 3. 相互獨(dú)立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布且，4. 5. 二、單項(xiàng)選擇1. (B)由 即 選擇(B).2. (B)由題設(shè)可知，故將標(biāo)準(zhǔn)化得 選擇(B).3. (C)選擇(C).4. (C)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布, 則選擇(C).5. (A)選擇(A).6. (A) 由期望的性質(zhì)知選擇(A).7. (D)選擇(D).8. (B)與不相關(guān)的充要條件是即 則 選擇(B).9. (C) 選擇(C).10. (A)Xi ( i = 1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則故 選擇(A).三、計(jì)算與應(yīng)用題1. 解顯然的可能取值為；的可能取值為注意到將個(gè)球隨機(jī)的放入個(gè)盒子共有種放法,則有即 的聯(lián)合分布律為2. 解（1）由概率密度的性質(zhì)有可得 （2）設(shè)，則3. 解（1） 即 即 ，（2）當(dāng)時(shí)故隨機(jī)變量