傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用

1、傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用摘 要 傅立葉變換研究是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要方向，一個多世紀以來，傅立葉變換作為數(shù)學(xué)工具被迅速的應(yīng)用到圖像和語音分析等眾多領(lǐng)域。傅立葉變換（FT）作為數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，通過在時空域和頻率域來回切換圖像，對圖像的信息特征進行提取和分析，簡化計算工作量，被譽為描述圖像信息的第二種語言。本文首先簡述了傅立葉變換的原理及應(yīng)用領(lǐng)域，分析了其變換的數(shù)學(xué)原理和方法。接著介紹了幾個基本的濾波器的理論基礎(chǔ)。然后討論了傅立葉變換在圖像處理中的作用，其中著重介紹了圖像增強及其原理和方法，并詳細描述了在實驗中圖像增強的實驗步驟和如何運用MATLAB軟件對圖像進行圖像增強的實驗方法。關(guān)鍵

2、字： 圖象處理 傅立葉變換 低通濾波器 高通濾波器 圖像增強 一、引言 傅立葉變換是信號處理中最重要，應(yīng)用最廣泛的變換。從某種意義上來說,傅立葉變換就是函數(shù)的第二種描述語言。傅里葉變換理論及其物理解釋兩者的結(jié)合，對圖像處理領(lǐng)域諸多問題的解決提供了有利的思路，它讓我們從事物的另一側(cè)面來考慮問題，這樣在分析某一問題時就會從空域和頻域兩個角度來考慮問題并來回切換，可以在空域或頻域中思考的問題，利用頻域中特有的性質(zhì)，可以使圖像處理過程簡單，有效，對于迂回解決圖像處理中的難題非常有幫助，被廣泛應(yīng)用于數(shù)字圖像處理中。 傅里葉變換在物理學(xué)、電子類學(xué)科、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、

3、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。尤其在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量。隨著傅里葉變換在不同領(lǐng)域不同范圍內(nèi)的延伸以及涉及的范圍之廣，其發(fā)展趨勢也愈顯“數(shù)字化”，更是與計算機技術(shù)密不可分。目前，在信號處理與通訊領(lǐng)域里，使用最活躍的當屬在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中的MATLAB。其在數(shù)值計算方面首屈一指，而當前傅里葉變換在通信領(lǐng)域中的應(yīng)用又是基于這一數(shù)學(xué)軟件，稱做快速傅里葉變換。并且除了數(shù)字信號處理之外，其出色的圖形處理功能使其在數(shù)字圖像處理技術(shù)上解決了傅里葉變換在這些應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)的特定類型的問題，使傅里葉變換在通信中得以更好的應(yīng)用與發(fā)展。 二、理論基礎(chǔ)2.

4、1傅里葉變換定義：單變量連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換定義為等式其中。相反，給定，通過傅里葉逆變換可以獲得，即這兩個等式組成了傅里葉變換對。這些等式擴展到兩個變量，即類似地，逆變換為：對于離散函數(shù)來說：相應(yīng)的，逆變換為：同樣地，將離散傅里葉變換推廣到兩個變量，即其中。同樣，二維離散傅里葉逆變換如下：其中。通常在進行傅里葉變換之前用乘以輸入的圖像，由于指數(shù)的性質(zhì)，很容易得到：這個等式說明，用乘以可將原點變換到頻率坐標下的，二維傅里葉變換設(shè)置的區(qū)域的中心。如果是實函數(shù)，則它的傅里葉變換必然為對稱的，即其中“*”表示對復(fù)數(shù)的標準共軛操作。由此，它遵循其中，傅里葉變換的頻率譜為對稱的。2.2幾個基本的濾波器 我

5、們將考慮三種濾波器：理想濾波器、巴特沃斯濾波器和高斯濾波器。巴特沃斯濾波器有一個參數(shù)，成為濾波器的“階數(shù)”。當參數(shù)的值比較高時，很接近理想濾波器。因此巴特沃斯濾波器可看成是另外兩種濾波器的過渡。在頻域里，濾波器分為低通濾波器、高通濾波器等。接下來我們將詳細介紹低通濾波器，而由相應(yīng)的理想低通濾波器、巴特沃斯低通濾波器和高斯低通濾波器很容易就得到相應(yīng)的高通濾波器，這里不做過多介紹。 邊緣和其他劇烈變化的圖像在灰度級中主要處于傅里葉變換的高頻部分，因此，平滑(模糊)可以通過衰減指定圖像傅里葉中高頻成分的范圍來實現(xiàn)：其中是被平滑的圖像傅里葉變換。目標是選擇一個濾波器變換函數(shù)，以通過衰減的高頻成分產(chǎn)生。

6、2.2.1理想低通濾波器 低通濾波是要保留圖像中低頻分量去除高頻分量。高頻分量處在距變換遠點的距離比指定距離遠很多的位置。這種為二維理想低通濾波器(ILPF)，其變換函數(shù)為：其中是指定的非負數(shù)值，是距離頻率矩形中心的距離。如果要研究的圖像的尺寸為，則1如上圖所示，完整的濾波器可以將此橫截面繞原點旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)。其中成為“截止頻率”。理想低通濾波器的這種陡峭的截止頻率雖然可以在計算機上實現(xiàn)，但是，不能用電子部件來實現(xiàn)，所以理想濾波器是不實用的。2.2.2巴特沃斯低通濾波器 階巴特沃斯低通濾波器（BLPF）的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點的距離為 ）定義如下： 其中不同于ILPF,BLPF變換函數(shù)在通帶與被

7、濾除的頻率之間沒有明顯的截斷。對于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個截止頻率的位置并使幅度降到其最大值的一部分。當時，（從最大值降到它的一半）。一階的巴特沃斯濾波器沒有振鈴，在二階中振鈴?fù)ǔ：芪⑿?，這是因為與理想低通濾波器相比，它的通帶與阻帶之間沒有明顯的跳躍，在高低頻率間的過渡比較光滑。巴特沃斯低通濾波器的處理結(jié)果比理想濾波器的要好，但是,階數(shù)增高時振鈴便很明顯。綜上所述,二階的BLPF是在有效的低通濾波和可接受的振鈴效應(yīng)之間的折中。2.2.3高斯低通濾波器 二維高斯低通濾波器的形式如下式：其中是距離頻率矩形中心的距離。表示高斯曲線的擴展程度，使，可以將濾波器寫成以下形式：其中，是截止頻率。當

8、時，濾波器下降到它最大值的0.607倍處。 高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，由于它是沒有振鈴現(xiàn)象的，所以有高斯低通濾波器經(jīng)傅里葉反變換得到的空域高斯濾波器也是沒有振鈴的。三、傅立葉變換在圖像處理中的作用1. 圖像增強與圖像去噪 絕大部分噪音都是圖像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻噪聲；邊緣也是圖像的高頻分量，可以通過添加高頻分量來增強原始圖像的邊緣。2. 圖像分割之邊緣檢測 提取圖像高頻分量。3. 圖像特征提取 形狀特征：傅里葉描述子； 紋理特征：直接通過傅里葉系數(shù)來計算紋理特征； 其他特征：將提取的特征值進行傅里葉變換來使特征具有平移、伸縮、旋轉(zhuǎn)不變性。4. 圖像壓縮 可以直接通

9、過傅里葉系數(shù)來壓縮數(shù)據(jù)；常用的離散余弦變換是傅立葉變換的實變換。傅立葉變換在圖像處理中的應(yīng)用很多，在這里我們不再一一做詳細介紹，接下來我們將著重討論一下圖像增強。3.1圖像增強3.1.1圖像增強的原理和方法在實際應(yīng)用中，由于很多場景條件的影響，圖像的視覺效果很差，使圖像的信息無法被正常讀取和識別。例如，在采集圖像過程中由于光照環(huán)境或物體表面反光等原因造成圖像光照不均，或是圖像采集系統(tǒng)在采集過程中由于機械設(shè)備的緣故無法避免的加入采集噪聲，或是圖像顯示設(shè)備的局限性造成圖像顯示層次感降低或顏色減少等等。因此研究快速且有效地圖像增強算法成為推動圖像分析和圖像理解領(lǐng)域發(fā)展的關(guān)鍵內(nèi)容之一。圖像增強從處理的

10、作用域出發(fā)可分為空間域和頻域兩大類。其中，頻域增強是將原空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他空間，然后利用該轉(zhuǎn)換空間的特有性質(zhì)進行圖像處理，最后在轉(zhuǎn)換回到原空間，得到處理后的圖像，是一種間接增強的算法。圖像增強作為圖像處理的重要組成部分，促進了圖像增強方法研究的不斷深入。目前主要由以下處理方法：傳統(tǒng)的圖像增強的處理方法可以分為空域和頻域圖像增強兩大類，其中頻域圖像增強的方法是對圖像經(jīng)傅里葉變換后的頻譜成分進行操作，然后進行傅里葉逆變換得到所需結(jié)果，如低通濾波器、高通濾波器、帶通和帶阻濾波，同態(tài)濾波等。有時候只采用一種方法往往得不到想要的結(jié)果，并且還沒有出現(xiàn)一種方法能滿足人們的任意需要，比如理想低通和

11、高通濾波器并不是很實用，但是作為濾波概念發(fā)展的一部分，用來研究濾波器的特性非常有意義，一階的巴特沃斯低通濾波器沒有振鈴現(xiàn)象，二階的振鈴?fù)ǔＮ⑿?，但是隨著階數(shù)的增高振鈴便成為一個主要因素，高斯低通濾波器不會產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象，但是，在需要嚴格控制低頻和高頻之間截止頻率的過渡的情況下，巴特沃斯濾波器更為合適，所以有時候就需要使用幾種增強技術(shù)的組合方法。3.1.2圖像增強的實驗步驟后期處理輸入圖像預(yù)處理傅里葉變換濾波傅里葉反變換輸出圖像其中，圖像的預(yù)處理一般為： 對圖像進行中心變換；后期處理是用乘以傅里葉反變換后的結(jié)果。3.1.3圖像增強的實驗方法利用MATLAB提供的低通濾波器函數(shù)配合程序語言對圖像進行

12、處理，并且針對每種濾波器的處理結(jié)果進行分析，針對高斯低通濾波器提出改進方案，并對每種濾波器處理后的結(jié)果之間進行比較，由此可以看出每種濾波器的優(yōu)點及不足，記錄和整理實驗報告。四、總結(jié)數(shù)字圖像處理技術(shù)是近年來蓬勃發(fā)展的一門新興學(xué)科，在數(shù)字攝影測量，遙感圖像處理，地理信息系統(tǒng)中得到應(yīng)用廣泛。傅立葉變換是線性系統(tǒng)分析的一個有力工具，它使我們能夠定量地分析諸如數(shù)字化系統(tǒng)，采樣點，電子放大器，卷積濾波器，噪聲，顯示點等地作用（效應(yīng)）。傅立葉變換（FT）是數(shù)字圖像處理技術(shù)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于圖像變換，圖像編碼與壓縮，圖像分割，圖像重建等。MATLAB語言簡潔，可讀性強，工具箱涉及的專業(yè)領(lǐng)域廣泛且功能強大。因此，基于MATLAB的圖像傅里葉變換具有很強的實用性。 本文還論述了頻域圖像增強方法和一些基本原理。分析比較出他們中的優(yōu)缺點。圖像的頻域增強是圖像增強的基礎(chǔ)。而頻域圖像增強在當代社會各個領(lǐng)域都有著廣泛運用：醫(yī)學(xué)上進行拍片分析病癥，地理學(xué)上空中遙感星球表面分析，海洋遙感，現(xiàn)實犯罪指紋取證都用到圖片圖像分析。圖像的頻域增強起著關(guān)鍵作用，但是現(xiàn)實實驗和實際應(yīng)用問題還會有更多困難有待我們?nèi)タ朔?。只有充分透徹地理解，綜合考慮現(xiàn)實因素，才能在完善現(xiàn)有增強方法的基礎(chǔ)上創(chuàng)新提出新的增強方法。五、參考文獻1 Rafael C.G