模板05 一元二次方程專項練習（解析版）

模板5一元二次方程專項練習選擇題1．（2021·安徽合肥38中）如圖，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分別為AB、CD的中點，P、Q均為CD邊上的動點（點Q在點P左側(cè)），點G為MN上一點，且PQ=NG=5，則當MP+GQ=13時，滿足條件的點P有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】D【詳解】解：如圖，當在的兩側(cè)時，設(shè)則矩形ABCD，M、N分別為AB、CD的中點，四邊形四邊形都是矩形，由勾股定理得：整理得：如圖，當在的右側(cè)時，設(shè)同理可得：解得：不合題意舍去，如圖，當都在的左側(cè)時，設(shè)同理可得：解得：不合題意舍去，綜上：滿足條件的點只有個，故選：2．（2021·全國九年級競賽）若，，，，為互不相等的正奇數(shù)，滿足，則的末位數(shù)字是（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【詳解】解：∵，，，，為互不相等的正奇數(shù)∴，，，，為互不相等的偶數(shù)，且負數(shù)個數(shù)為偶數(shù)個而將分解為5個互不相等的偶數(shù)之積，只有唯一的形式：∴，，，，分別等于2、、4、6、∴，，，，分別等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾數(shù)是9，20032尾數(shù)是9，20012尾數(shù)是1，19992尾數(shù)是1，20112尾數(shù)是1∴的末位數(shù)字是1．故選A．3．（2021·重慶市求精中學校九年級開學考試）如圖，在中，，為上一點，連接，將沿翻折，點恰好落在上的點處，連．若，，則的長度為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖，記交于過作于過作于中上的高相等，，，，由對折可得：是的中垂線，，設(shè)則整理得：檢驗：當時，不合題意舍去，取故選：4．（2021·江蘇九年級一模）對于一個函數(shù)，自變量取時，函數(shù)值等于0，則稱為這個函數(shù)的零點．若關(guān)于的二次函數(shù)有兩個不相等的零點，關(guān)于的方程有兩個不相等的非零實數(shù)根，則下列關(guān)系式一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵是的兩個不相等的零點即是的兩個不相等的實數(shù)根∴∵解得∵方程有兩個不相等的非零實數(shù)根∴∵解得∴＞0∴∵，∴∴∴而由題意知解得當時，，；當時，，；當m=-2時，無意義；當時，，∴取值范圍不確定，故選A．5．（2021·遼寧阜新市教育服務中心中考真題）在育紅學校開展的課外閱讀活動中，學生人均閱讀量從七年級的每年100萬字增加到九年級的每年121萬字．設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，依題意得：．故選：A．6．（2021·河南周口·）為實數(shù)，，那么的值為（）A．1 B．或1 C． D．4或【答案】A【詳解】解：設(shè)，則方程可變形為：解得，經(jīng)檢驗：都是的根，即或者當時，即所以所以：．故選A．7．（2021·河南洛陽·九年級二模）對于一元二次方程來說，當時，方程有兩個相等的實數(shù)根，若將的值在的基礎(chǔ)上減小，則此時方程根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【答案】C【詳解】解：由題意可知：△＝25﹣4c，當c時，∴25﹣4c＞0，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．8．（2021·日照港中學九年級二模）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則二次項系數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)＞﹣2 C．a(chǎn)＞1且a≠0 D．a(chǎn)＞﹣1且a≠0【答案】D【詳解】解：∵一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＝（﹣2）2﹣4×a×（﹣1）＞0，且a≠0，解得：a＞﹣1且a≠0，故選：D．填空題9．（2021·江蘇南京·中考真題）設(shè)是關(guān)于x的方程的兩個根，且，則_______．【答案】2【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，∵，∴，∴，∴，∴;故答案為：2．10．（2021·江蘇連云港·中考真題）已知方程有兩個相等的實數(shù)根，則=____．【答案】【詳解】試題分析：∵有兩個相等的實數(shù)根，∴△=0，∴9-4k=0，∴k=．故答案為．11．（2021·浙江麗水·中考真題）數(shù)學活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：已知實數(shù)同時滿足，求代數(shù)式的值．結(jié)合他們的對話，請解答下列問題：（1）當時，a的值是__________．（2）當時，代數(shù)式的值是__________．【答案】或17【詳解】解：已知，實數(shù)，同時滿足①，②，①-②得，∴∴或①+②得，（1）當時，將代入得，解得，，∴，把代入得，3=3，成立；把代入得，0=0，成立；∴當時，a的值是1或-2故答案為：1或-2；（2）當時，則，即∵∴∴∴∴故答案為：7．12．（2021·廣東廣州·中考真題）一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，點、是反比例函數(shù)上的兩個點，若，則________（填“＜”或“＞”或“＝”）．【答案】＞【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴點、是反比例函數(shù)上的兩個點，又∵，∴，故填：>．解答題13．（2021·四川中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．（1）求證：無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．（2）如果方程的兩個實數(shù)根為，，且k與都為整數(shù)，求k所有可能的值．【答案】（1）見解析；（2）0或-2或1或-1【詳解】解：（1）∵△==

∴無論k取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．（2）∵∴∴=0∴，或，當，時，∵k與都為整數(shù)，∴k=0或-2當，時，∴，∵k與都為整數(shù)，∴k=1或-1∴k所有可能的值為0或-2或1或-114．（2021·湖北中考真題）隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的現(xiàn)代化，節(jié)水型灌溉得到逐步推廣．噴灌和滴灌是比漫灌更節(jié)水的灌溉方式，噴灌和滴灌時每畝用水量分別是漫灌時的和．去年，新豐收公司用各100畝的三塊試驗田分別采用噴灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000噸．（1）請問用漫灌方式每畝用水多少噸？去年每塊試驗田各用水多少噸？（2）今年該公司加大對農(nóng)業(yè)灌溉的投入，噴灌和滴灌試驗田的面積都增加了，漫灌試驗田的面積減少了．同時，該公司通過維修灌溉輸水管道，使得三種灌溉方式下的每畝用水量都進一步減少了．經(jīng)測算，今年的灌溉用水量比去年減少，求的值．（3）節(jié)水不僅為了環(huán)保，也與經(jīng)濟收益有關(guān)系．今年，該公司全部試驗田在灌溉輸水管道維修方面每畝投入30元，在新增的噴灌、滴灌試驗田添加設(shè)備所投入經(jīng)費為每畝100元．在（2）的情況下，若每噸水費為2.5元，請判斷，相比去年因用水量減少所節(jié)省的水費是否大于今年的以上兩項投入之和？【答案】（1）漫灌方式每畝用水100噸，漫灌、噴灌、滴灌試驗田分別用水10000、3000、2000噸；（2）20；（3）節(jié)省水費大于兩項投入之和【詳解】（1）解：設(shè)漫灌方式每畝用水噸，則，，漫灌用水：，噴灌用水：，滴灌用水：，答：漫灌方式每畝用水100噸，漫灌、噴灌、滴灌試驗田分別用水10000、3000、2000噸．（2）由題意得，，解得（舍去），，所以．（3）節(jié)省水費：元，維修投入：元，新增設(shè)備：元，，答：節(jié)省水費大于兩項投入之和．15．（2021·北京中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求的值．【答案】（1）見詳解；（2）【詳解】（1）證明：由題意得：，∴，∵，∴，∴該方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根為，則有：，∵，∴，解得：，∵，∴．16．（2021·廣東深圳·中考真題）探究：是否存在一個新矩形，使其周長和面積為原矩形的2倍、倍、k倍．（1）若該矩形為正方形，是否存在一個正方形，使其周長和面積都為邊長為2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）繼續(xù)探究，是否存在一個矩形，使其周長和面積都為長為3，寬為2的矩形的2倍？同學們有以下思路：設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，再探究根的情況：根據(jù)此方法，請你探究是否存在一個矩形，使其周長和面積都為原矩形的倍；如圖也可用反比例函數(shù)與一次函數(shù)證明：，：，那么，①是否存在一個新矩形為原矩形周長和面積的2倍？_______．②請?zhí)骄渴欠裼幸恍戮匦沃荛L和面積為原矩形的，若存在，用圖像表達；③請直接寫出當結(jié)論成立時k的取值范圍：．【答案】（1）不存在；（2）①存在；②不存在，見解析；③【詳解】（1）邊長為2的正方形，周長為8，面積為4；當周長為其2倍時，邊長即為4，面積為16，即為原來的4倍，故不存在；（2）①存在；∵的判別式，方程有兩組正數(shù)解，故存在；從圖像來看，：，：在第一象限有兩個交點，故存在；②設(shè)新矩形長和寬為x、y，則依題意，，聯(lián)立得，因為，此方程無解，故這樣的新矩形不存在；從圖像來看，：，：在第一象限無交點，故不存在；③；設(shè)新矩形長和寬為x和y，則由題意，，聯(lián)立得，，故．17．（2021·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）先化簡，再求值：，其中x滿足．【答案】x（x+1）；6【詳解】解：∵∴x=2或x=-1∴====x（x+1）∵x=-1分式無意義，∴x=2當x=2時，x（x+1）=2×（2+1）=6．18．（2021·湖北荊門·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有，兩實數(shù)根．（1）若，求及的值；（2）是否存在實數(shù)，滿足？若存在，求出求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）存在，【詳解】解：（1）由題意：Δ=(?6)2?4×1×(2m?1)>0，∴m<5，將x1=1代入原方程得：m=3，又∵x1?x2=2m?1=5，∴x2=5，m=3；（2）設(shè)存在實數(shù)m，滿足，那么有，即，整理得：，解得或．由（1）可知，∴舍去，從而，綜上所述：存在符合題意．19．（2021·遼寧盤錦·中考真題）某工廠生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床共14臺，生產(chǎn)并銷售1臺A型車床可以獲利10萬元；如果生產(chǎn)并銷售不超過4臺B型車床，則每臺B型車床可以獲利17萬元，如果超出4臺B型車床，則每超出1臺，每臺B型車床獲利將均減少1萬元．設(shè)生產(chǎn)并銷售B型車床臺．（1）當時，完成以下兩個問題：①請補全下面的表格：A型B型車床數(shù)量/臺________每臺車床獲利/萬元10________②若生產(chǎn)并銷售B型車床比生產(chǎn)并銷售A型車床獲得的利潤多70萬元，問：生產(chǎn)并銷售B型車床多少臺？（2）當0＜≤14時，設(shè)生產(chǎn)并銷售A，B兩種型號車床獲得的總利潤為W萬元，如何分配生產(chǎn)并銷售A，B兩種車床的數(shù)量，使獲得的總利潤W最大？并求出最大利潤．【答案】（1）①，；②10臺；（2）分配產(chǎn)銷A型車床9臺、B型車床5臺；或產(chǎn)銷A型車床8臺、B型車床6臺，此時可獲得總利潤最大值170萬元【詳解】解：（1）當時，每臺就要比17萬元少（）萬元所以每臺獲利，也就是（）萬元①補全表格如下面：A型B型車床數(shù)量/臺每臺車床獲利/萬元10②此時，由A型獲得的利潤是10（）萬元，由B型可獲得利潤為萬元，根據(jù)題意：，，，∵0≤≤14，∴，即應產(chǎn)銷B型車床10臺；（2）當0≤≤4時，當0≤≤4A型B型車床數(shù)量/臺每臺車床獲利/萬元1017利潤此時，W＝＋＝，該函數(shù)值隨著的增大而增大，當取最大值4時，W最大1＝168（萬元）；當4＜≤14時，當4＜≤14A型B型車床數(shù)量/臺每臺車床獲利/萬元10利潤則W＝＋＝＝，當或時（均滿足條件4＜≤14），W達最大值W最大2＝170（萬元），∵W最大2＞W(wǎng)最大1，∴應分配產(chǎn)銷A型車床9臺、B型車床5臺；或產(chǎn)銷A型車床8臺、B型車床6臺，此時可獲得總利潤最大值170萬元．20．（2021·山東濱州·中考真題）某商品原來每件的售價為60元，經(jīng)過兩次降價后每件的售價為48.6元，并且每次降價的百分率相同．（1）求該商品每次降價的百分率；（2）若該商品每件的進價為40元，計劃通過以上兩次降價的方式，將庫存的該商品20件全部售出