22考研試題及答案

22考研試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.下列哪個(gè)是基本初等函數(shù)（）A.\(y=x+1\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=2x\)D.\(y=x^2+2x\)3.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在4.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert\)等于（）A.4B.8C.16D.325.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.1B.2C.3D.06.設(shè)事件\(A\)與\(B\)相互獨(dú)立，\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(A\cupB)\)等于（）A.0.7B.0.8C.0.9D.17.已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(E(X)\)等于（）A.1B.2C.3D.48.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點(diǎn)是（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)9.曲線\(y=e^x\)在點(diǎn)\((0,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=x-1\)D.\(y=-x-1\)10.設(shè)\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)為\(F(x)\)，則\(\intf(x)dx\)等于（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是無(wú)窮小量（）A.\(\lim_{x\to0}x\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\sinx\)D.\(\lim_{x\to\infty}e^{-x}\)2.以下哪些是線性相關(guān)的向量組（）A.\(\alpha_1=(1,1),\alpha_2=(2,2)\)B.\(\alpha_1=(1,0),\alpha_2=(0,1)\)C.\(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,4,6)\)D.\(\alpha_1=(1,1,0),\alpha_2=(0,1,1)\)3.關(guān)于矩陣的運(yùn)算，正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\(A(B+C)=AB+AC\)4.設(shè)\(A,B\)為兩個(gè)事件，且\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，則（）A.\(P(AB)=P(A)P(B|A)\)B.\(P(AB)=P(B)P(A|B)\)C.若\(A,B\)互斥，則\(P(AB)=0\)D.若\(A,B\)獨(dú)立，則\(P(AB)=P(A)P(B)\)5.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)6.已知函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(f(a)=f(b)\)，則存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)B.存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值D.若\(f'(x)>0\)在\((a,b)\)內(nèi)成立，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增7.以下哪些是不定積分的性質(zhì)（）A.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)B.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.\((\intf(x)dx)'=f(x)\)D.\(\intf'(x)dx=f(x)+C\)8.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率分布為\(P(X=k)=p(1-p)^{k-1},k=1,2,\cdots\)，則（）A.\(E(X)=\frac{1}{p}\)B.\(D(X)=\frac{1-p}{p^2}\)C.這是幾何分布D.\(P(X\geq2)=1-p\)9.下列曲線中，漸近線為\(y=x\)的有（）A.\(y=x+\frac{1}{x}\)B.\(y=\frac{x^2}{x-1}\)C.\(y=x+\arctanx\)D.\(y=x+e^{-x}\)10.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，以下說(shuō)法正確的是（）A.若\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆B.若\(A\)可逆，則\(A\)的秩為\(n\)C.\(A\)與\(A^T\)有相同的特征值D.若\(A\)有一個(gè)特征值為\(0\)，則\(\vertA\vert=0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性相關(guān)，則其中必有一個(gè)向量可由其余向量線性表示。（）3.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，\((AB)^2=A^2B^2\)。（）4.若事件\(A\)與\(B\)互斥，則\(A\)與\(B\)一定不獨(dú)立。（）5.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則一定連續(xù)。（）6.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量\(x\)的選取無(wú)關(guān)。（）7.若矩陣\(A\)的秩為\(r\)，則\(A\)中存在\(r\)階非零子式。（）8.隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)\)和方差\(D(X)\)一定都存在。（）9.函數(shù)\(y=x^2\)的圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱。（）10.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。答案：先求導(dǎo)\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'>0\)，得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y'<0\)，得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣。答案：先求行列式\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=-2\)。伴隨矩陣\(A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=-\frac{1}{2}A^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。答案：泊松分布\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots\)。\(E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=\lambda\)，\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，經(jīng)計(jì)算\(D(X)=\lambda\)。4.簡(jiǎn)述羅爾定理的內(nèi)容。答案：如果函數(shù)\(y=f(x)\)滿足：（1）在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)；（2）在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)；（3）\(f(a)=f(b)\)，那么在\((a,b)\)內(nèi)至少存在一點(diǎn)\(\xi\)，使得\(f'(\xi)=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的漸近線情況。答案：垂直漸近線：令分母\(x-1=0\)，得\(x=1\)為垂直漸近線。水平漸近線：\(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x-1}=0\)，所以\(y=0\)為水平漸近線。不存在斜漸近線。2.討論矩陣可逆的判定方法有哪些？答案：可從以下幾方面判定：行列式\(\vertA\vert\neq0\)；\(A\)的秩等于階數(shù)；\(A\)可表示為若干初等矩陣的乘積；齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解；非齊次線性方程組\(Ax=b\)有唯一解等。3.討論在概率論中，事件的獨(dú)立性與互斥性的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：互斥指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，\(P(AB)=0\)；獨(dú)立指\(P(AB)=P(A)P(B)\)。聯(lián)系：當(dāng)\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)時(shí)，互斥一定不獨(dú)立，獨(dú)立一定不互斥；若\(P(A)=0\)或\(P(B)=0\)，則兩事件既互斥又獨(dú)立。4.討論如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：先求函數(shù)\(f(x)\)的二階導(dǎo)數(shù)\(f''(x)\)。若在某區(qū)間內(nèi)\(f''(x)>0\)，則函數(shù)\(f(x)\)在該區(qū)間是凹的；若\(f''(x)<0\)，則函數(shù)\(f(x)\)在該區(qū)間是凸