考研數(shù)學(xué)一試題及答案

考研數(shù)學(xué)一試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處的極限為（）A.0B.1C.-1D.不存在2.設(shè)函數(shù)$y=e^{2x}$，則$y^\prime$=（）A.$e^{2x}$B.$2e^{2x}$C.$e^{x}$D.$2e^{x}$3.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(4,5,6)$，則$\vec{a}\cdot\vec$=（）A.32B.30C.28D.264.級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的斂散性為（）A.收斂B.發(fā)散C.不確定D.條件收斂5.設(shè)$A$為$3$階方陣，且$|A|=2$，則$|2A|$=（）A.4B.8C.16D.326.若$f(x)$是偶函數(shù)，且在$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則$f(-2)$與$f(1)$的大小關(guān)系是（）A.$f(-2)\ltf(1)$B.$f(-2)\gtf(1)$C.$f(-2)=f(1)$D.無(wú)法確定7.曲線$y=x^3-3x$的拐點(diǎn)為（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.無(wú)拐點(diǎn)8.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(1,4)$，則$P(X\leq1)$=（）A.0.5B.0.25C.0.75D.0.19.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的伴隨矩陣$A^$=（）A.$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$10.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點(diǎn)$(1,1)$處沿向量$\vec{l}=(1,1)$的方向?qū)?shù)為（）A.$2\sqrt{2}$B.$2$C.$\sqrt{2}$D.4二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=\lnx$D.$y=e^x$2.下列向量組中，線性相關(guān)的有（）A.$\vec{a}=(1,0,0)$，$\vec=(0,1,0)$，$\vec{c}=(0,0,1)$B.$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(2,4,6)$，$\vec{c}=(3,6,9)$C.$\vec{a}=(1,1,1)$，$\vec=(1,-1,1)$，$\vec{c}=(0,0,0)$D.$\vec{a}=(1,0,0)$，$\vec=(0,1,0)$，$\vec{c}=(1,1,0)$3.以下哪些是多元函數(shù)取得極值的必要條件（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在B.偏導(dǎo)數(shù)為零C.全微分存在D.二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)4.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$5.關(guān)于矩陣的運(yùn)算，下列說(shuō)法正確的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$D.若$AB=AC$，則$B=C$6.已知隨機(jī)變量$X$服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$，則（）A.$E(X)=np$B.$D(X)=np(1-p)$C.$P(X=k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}$D.其概率分布為正態(tài)分布7.下列曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件有（）A.向量場(chǎng)$\vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$在區(qū)域$D$內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)B.$\frac{\partialP}{\partialy}=\frac{\partialQ}{\partialx}$在區(qū)域$D$內(nèi)恒成立C.區(qū)域$D$是單連通區(qū)域D.曲線積分的起點(diǎn)和終點(diǎn)固定8.對(duì)于$n$階方陣$A$，以下說(shuō)法正確的有（）A.若$|A|\neq0$，則$A$可逆B.若$A$可逆，則$A$的行向量組線性無(wú)關(guān)C.若$A$的秩為$n$，則$A$可逆D.若$A$與單位矩陣$E$等價(jià)，則$A$可逆9.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可導(dǎo)，則（）A.$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)B.$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)一定存在最值C.存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f^\prime(\xi)(b-a)$D.$f^\prime(x)$在$(a,b)$內(nèi)一定連續(xù)10.已知二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_2x_3$為正定二次型，則（）A.$a^2\lt1$B.$b^2\lt1$C.$1-a^2-b^2+2ab\gt0$D.$a=b=0$三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處一定連續(xù)。（）2.向量組中向量的個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。（）3.函數(shù)$y=\tanx$的周期是$\pi$。（）4.若級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收斂，則$\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)$一定收斂。（）5.矩陣$A$的秩等于其行向量組的秩，也等于其列向量組的秩。（）6.若隨機(jī)變量$X$與$Y$相互獨(dú)立，則$E(XY)=E(X)E(Y)$。（）7.函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處的全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$一定連續(xù)。（）8.齊次線性方程組$Ax=0$一定有解。（）9.若$f(x)$為奇函數(shù)，則其原函數(shù)一定為偶函數(shù)。（）10.曲線積分$\int_{L}Pdx+Qdy$的值只與曲線$L$的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的單調(diào)區(qū)間與極值。答案：$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$，$x=2$。當(dāng)$x\lt0$或$x\gt2$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$，函數(shù)遞增；當(dāng)$0\ltx\lt2$時(shí)，$f^\prime(x)\lt0$，函數(shù)遞減。極大值$f(0)=1$，極小值$f(2)=-3$。2.計(jì)算定積分$\int_{0}^{1}xe^xdx$。答案：用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=e^xdx$，則$du=dx$，$v=e^x$。$\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^xdx=(e-[e^x]_{0}^{1})=1$。3.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣$A^{-1}$。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，則$A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。4.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(2,9)$，求$P(X\leq5)$。（已知$\varPhi(1)=0.8413$）答案：$X\simN(2,9)$，則$Z=\frac{X-2}{3}\simN(0,1)$。$P(X\leq5)=P(\frac{X-2}{3}\leq\frac{5-2}{3})=P(Z\leq1)=\varPhi(1)=0.8413$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系。答案：可微能推出連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，連續(xù)也不一定偏導(dǎo)數(shù)存在；偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)能推出可微，但可微推不出偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。2.對(duì)于線性方程組$Ax=b$，討論其有解、無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解的條件。答案：當(dāng)$r(A)=r(A|b)$時(shí)，方程組有解。$r(A)=r(A|b)=n$（$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)）時(shí)有唯一解；$r(A)=r(A|b)\ltn$時(shí)有無(wú)窮多解；$r(A)\ltr(A|b)$時(shí)無(wú)解。3.結(jié)合實(shí)例說(shuō)明級(jí)數(shù)斂散性判別法的應(yīng)用。答案：比如$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$，用比較判別法的極限形式，與$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$（$p=2\gt1$）比較，$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}=1$，所以收斂。4.談?wù)勀銓?duì)概率統(tǒng)計(jì)中期望與方差概念的理解及應(yīng)用。答案：期望反映隨機(jī)變量取值的平均水平，方差衡量隨機(jī)變量取值的離散程度。應(yīng)用如在投資決策中，期望可比較收益，方差評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)。