福建省華安一中、龍海二中2020屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考試題理（數(shù)學(xué)）

福建省華安一中、龍海二中2020屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考試題理（數(shù)學(xué)）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.設(shè)函數(shù)$f(x)=\ln(2x)$，若$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x^2}=2$，則$a$的值為（）A.$a=2$，$b=0$；B.$a=0$，$b=2$；C.$a=2$，$b=1$；D.$a=0$，$b=1$。2.若$a>0$，$b>0$，$c>0$，且$\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}=1$，則$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}$的最小值為（）A.$\sqrt{3}$；B.$2\sqrt{3}$；C.$\sqrt{6}$；D.$2\sqrt{6}$。3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_2=2$，且$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為（）A.$a_n=n$；B.$a_n=\frac{n(n-1)}{2}$；C.$a_n=\frac{n(n+1)}{2}$；D.$a_n=\frac{n(n+1)}{3}$。4.若直線$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=1$相切，則實(shí)數(shù)$k$的值為（）A.$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$；B.$k=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$；C.$k=\pm1$；D.$k=\pm\sqrt{2}$。5.設(shè)$f(x)=\sinx+\cosx$，則$f(x)$的一個(gè)周期為（）A.$2\pi$；B.$\pi$；C.$\frac{\pi}{2}$；D.$\frac{\pi}{4}$。6.若$0<a<1$，$0<b<1$，則$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a+b}$的最小值為（）A.$\frac{1}{2}$；B.$\frac{2}{3}$；C.$\frac{3}{4}$；D.$\frac{4}{5}$。7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，若$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，則$f''(x)$的表達(dá)式為（）A.$f''(x)=\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$；B.$f''(x)=\frac{2(x^2+1)}{(x^2+1)^3}$；C.$f''(x)=\frac{2x^2-2}{(x^2+1)^3}$；D.$f''(x)=\frac{2x^2+2}{(x^2+1)^3}$。8.設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{1}{a_n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的表達(dá)式為（）A.$S_n=\frac{n}{2}$；B.$S_n=\frac{n-1}{2}$；C.$S_n=\frac{n}{n+1}$；D.$S_n=\frac{n+1}{n}$。9.若$\overrightarrow{a}=(2,3)$，$\overrightarrow=(1,-2)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$的值為（）A.$-5$；B.$-1$；C.$3$；D.$5$。10.設(shè)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，則$f'(x)$的表達(dá)式為（）A.$f'(x)=3x^2-6x+2$；B.$f'(x)=3x^2-6x-2$；C.$f'(x)=3x^2-6x+1$；D.$f'(x)=3x^2-6x-1$。二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.若$a,b,c$是等差數(shù)列，且$a+b+c=15$，$a^2+b^2+c^2=75$，則$ab+bc+ca$的值為______。12.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，若$f(x)$在區(qū)間$(0,+\infty)$上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)$k$的取值范圍為______。13.若$A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&4\end{bmatrix}$，則$A^{-1}=\begin{bmatrix}\_\_\_\_\_&\_\_\_\_\_\\\_\_\_\_\_&\_\_\_\_\_\end{bmatrix}$。14.設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的通項(xiàng)公式為______。15.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，若$f(x)$在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍為______。三、解答題（本大題共4小題，共75分。）16.（本小題滿分15分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$，求：（1）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）$f(x)$的極值。17.（本小題滿分15分）設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{1}{a_n}$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。18.（本小題滿分15分）設(shè)$\triangleABC$的內(nèi)角$A,B,C$滿足$A+B+C=\pi$，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\cosA$。19.（本小題滿分20分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{n}$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。四、解答題（本大題共4小題，共75分。）20.（本小題滿分15分）已知函數(shù)$f(x)=\ln(x^2-2x+2)$，求：（1）$f(x)$的定義域；（2）$f(x)$的單調(diào)性；（3）$f(x)$的極值。五、解答題（本大題共4小題，共75分。）21.（本小題滿分15分）設(shè)向量$\mathbf{a}=(1,2,3)$，$\mathbf=(2,1,-1)$，求：（1）向量$\mathbf{a}$和$\mathbf$的夾角$\theta$；（2）向量$\mathbf{a}$和$\mathbf$的投影長度；（3）向量$\mathbf{a}$和$\mathbf$的外積。六、解答題（本大題共4小題，共75分。）22.（本小題滿分15分）已知函數(shù)$f(x)=e^x+\frac{1}{e^x}$，求：（1）$f(x)$的最小值；（2）$f(x)$的增減區(qū)間；（3）$f(x)$的凹凸性。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：$\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(2x)}{x^2}=\lim_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^2}=\frac{1}{2}\cdot\infty=\infty$，因此$a=2$，$b=0$。2.D解析：$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}\geq3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}\cdot\frac{1}{c}}}=3$，等號(hào)成立時(shí)$a=b=c=1$。3.B解析：$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0$，特征方程為$r^2-2r+1=0$，解得$r=1$，所以通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{n(n-1)}{2}$。4.A解析：直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于圓的半徑，即$\frac{|1\cdot0+1\cdot0+1|}{\sqrt{1^2+k^2}}=1$，解得$k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。5.A解析：$\sinx$和$\cosx$的周期均為$2\pi$，因此$f(x)$的周期也為$2\pi$。6.D解析：$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a+b}\geq2\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}\cdot\frac{1}{a+b}}=2\sqrt{\frac{1}{(a+b)^2}}$，等號(hào)成立時(shí)$a=b=1$。7.A解析：對(duì)$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，再求導(dǎo)得$f''(x)=\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^3}$。8.C解析：$a_2=\frac{1}{a_1}=1$，$a_3=\frac{1}{a_2}=1$，以此類推，$a_n=\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n-2}}=\cdots=\frac{1}{a_1}=1$，所以$S_n=n$。9.D解析：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=2\cdot1+3\cdot(-2)=-4$。10.A解析：$f'(x)=3x^2-6x+2$。二、填空題11.15解析：$a+b+c=15$，$(a+b+c)^2=15^2$，$a^2+b^2+c^2=75$，$2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)$。12.$(1,\frac{1}{e})$解析：$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=-\frac{x+1}{x^2}$，$f'(x)=0$時(shí)，$x=-1$，$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，所以有兩個(gè)零點(diǎn)。13.$\begin{bmatrix}4&2\\-3&1\end{bmatrix}$解析：$A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\cdot\text{adj}(A)=\frac{1}{(1\cdot4-(-2)\cdot3)}\cdot\begin{bmatrix}4&2\\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&2\\-3&1\end{bmatrix}$。14.$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$解析：$a_{n+1}=2a_n-1$，$a_1=1$，所以$a_n=a_1+(n-1)\cdot1=n$。15.$(-\infty,1]$解析：$f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x+\frac{2}{3})=3(x-1)^2+\frac{1}{3}$，$f'(x)$在$[1,2]$上恒大于0，所以$f(x)$在$[1,2]$上單調(diào)遞增。三、解答題16.（本小題滿分15分）（1）$f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x+\frac{2}{3})=3(x-1)^2+\frac{1}{3}$，$f'(x)>0$時(shí)，$x\in(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$，$f'(x)<0$時(shí)，$x\in(1,2)$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$和$(2,+\infty)$上單調(diào)遞增，在$(1,2)$上單調(diào)遞減。（2）$f(x)$在$x=1$時(shí)取得極大值$f(1)=0$，在$x=2$時(shí)取得極小值$f(2)=-2$。17.（本小題滿分15分）（1）$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{\frac{1}{1}}+\cdots+\frac{1}{\frac{1}{n-1}}=1+1+1+\cdots+1=n$。（2）由（1）可得，$a_n=S_n-S_{n-1}=n-(n-1)=1$。18.（本小題滿分15分）解析：由余弦定理得$\cosA=\frac{