第19講壓軸綜合題（練習(xí)）

壓軸綜合題（練習(xí)）一、單選題1．（2020·黑龍江雙鴨山一中高一月考）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且存在唯一，使得，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由其在閉區(qū)間上遞增，而在為增函數(shù)，列不等式組求的范圍，又存在唯一，使得，而，即，求的范圍，取交集即可.【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)，有，即，∵在上單調(diào)遞增，∴，則，，又，即，又存在唯一，使得，而此時(shí)，∴，得，綜上，有.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式組，在閉區(qū)間中有，其中存在唯一最大值，則，求參數(shù)范圍.2．（2021·江蘇蘇州市·蘇州中學(xué)高一月考）設(shè)向量，，滿足，，，則的最大值等于（）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】由題設(shè)知，的夾角為，又，若，則四點(diǎn)共圓或在以O(shè)為圓心的圓上，求兩種情況下的最值，再確定其最大值即可.【詳解】由，知：，的夾角為，又，∴若，即，，1、如上圖，當(dāng)四點(diǎn)共圓，而，設(shè)圓的半徑為R，則，即∴當(dāng)且僅當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)，有最大值.2、如上圖，當(dāng)在以O(shè)為圓心的圓上，此時(shí)，綜上：的最大值為2.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將平面向量轉(zhuǎn)化為點(diǎn)共圓，根據(jù)，的夾角為，又，討論位置關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用圓的性質(zhì)確定的最大值.3．（2020·杭州高級(jí)中學(xué)錢塘學(xué)校高二期中）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為的單位向量，若，則的最小值為（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】不妨用坐標(biāo)表示向量，，然后作，，由共線定理得點(diǎn)位置，而，括號(hào)內(nèi)利用向量模的幾何意義求最小值．【詳解】因?yàn)?，是平面?nèi)兩個(gè)夾角為的單位向量，所以不妨設(shè)，，，作平行四邊形即為菱形，過作的平行線交軸于，交的延長(zhǎng)線于，設(shè)，則點(diǎn)在直線上，的延長(zhǎng)線交于，則，是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，則，，，，，設(shè)，則是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，則，即，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，的最小值是，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求向量模的最小值問題，解題關(guān)鍵是平面直角坐標(biāo)系中作出向量，，然后由向量的線性運(yùn)算得出各點(diǎn)位置，然后利用向量模的幾何意義，結(jié)合對(duì)稱求得最小值．4．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，又函數(shù)，若曲線與直線：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知求得，得到，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性及過的切線的斜率，再畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，所以，即，所以，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：又由直線過點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則在切點(diǎn)處的切線方程為，把代入，可得，即，即，即切線的坐標(biāo)為，代入，可得，即，又由圖象可知，當(dāng)，即時(shí)，曲線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.二、填空題5．（2021·湖南長(zhǎng)沙市·長(zhǎng)沙一中高一月考）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】由正弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，可得，根據(jù)余弦定理，應(yīng)用基本不等式有，結(jié)合A為三角形內(nèi)角，即可求的范圍.【詳解】由正弦定理知：，∵，∴，即，又由余弦定理知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，∴，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用三角恒等變換、正弦定理的邊角關(guān)系確定三邊的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)余弦定理及基本不等式，求角A余弦值的范圍，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角的范圍.6．（2021·江西宜春市·高安中學(xué)高一期末（理））已知函數(shù)，記方程在上的根從小到大依次為，，，求=____.【答案】【分析】由已知寫出的對(duì)稱軸方程及其周期，判斷端點(diǎn)、的值，問題轉(zhuǎn)化為在上與的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖象的草圖即可確定根，進(jìn)而根據(jù)目標(biāo)表達(dá)式及對(duì)稱軸求值.【詳解】由，則，而，知：關(guān)于對(duì)稱，又最小正周期為，，∴在上的函數(shù)圖象如下，其與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即為的根，，，，，，∴如圖，區(qū)間內(nèi)共有6個(gè)根，且有，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在某閉區(qū)間上的交點(diǎn)問題，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到草圖，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法確定根及各根之間的對(duì)稱軸.7．（2021·江蘇蘇州市·蘇州中學(xué)高一月考）如圖，在和中，是的中點(diǎn)，，，若，則與的夾角的余弦值等于______.【答案】【分析】由題設(shè)得，由求，又，即可得，進(jìn)而求與的夾角的余弦值.【詳解】由圖知：，，∴，又，且，，∴，∴，而，即，又，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)幾何圖形，結(jié)合向量加減法的幾何應(yīng)用及數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，進(jìn)而求向量夾角余弦值.8．（2021·浙江高一期末）已知是平面向量，且是互相垂直的單位向量，若對(duì)任意均有的最小值為，則的最小值為___________．【答案】【分析】根據(jù)的最小值為，代入得關(guān)于的一元二次不等式，利用等號(hào)可以取到判斷出，然后設(shè)為軸的方向向量，為軸方向向量，，則得關(guān)于點(diǎn)的軌跡方程，利用拋物線的定義將向量模長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為距離，計(jì)算最小值.【詳解】，即，所以，即，設(shè)為軸的方向向量，為軸方向向量，所以，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，所以，得；，因?yàn)闉閽佄锞€向上平移個(gè)單位，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，所以點(diǎn)到的距離與到的距離相等，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)于向量模長(zhǎng)的問題，一般沒有坐標(biāo)時(shí)，利用平方公式展開計(jì)算；有坐標(biāo)時(shí)，代入坐標(biāo)公式求解，涉及模長(zhǎng)的最值問題，一般需要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，或者點(diǎn)到線的距離等問題，利用幾何方法求解.三、解答題9．（2021·浙江高一期末）已知函數(shù).（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若對(duì)任意，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）計(jì)算化簡(jiǎn)，得出即可證明；（2）根據(jù)奇函數(shù)得出，再根據(jù)單調(diào)性得出，進(jìn)而得出恒成立，令，可得，利用單調(diào)性求出的最大值即可.【詳解】（1）證明：的定義城是R，又，且，所以，是奇函數(shù).（2）解：由，得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即.又因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，即，所以，對(duì)任意，恒成立，設(shè)，.則.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，則，所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)是奇函數(shù)和單調(diào)遞增得出恒成立，換元得出，再利用單調(diào)性求出最大值.10．（2020·陜西西安市·長(zhǎng)安一中高一月考）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為1，若存在，求出對(duì)應(yīng)的值，若不存在，請(qǐng)說明理由?【答案】存在，.【分析】利用平方關(guān)系對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理,進(jìn)而利用x的范圍確定的范圍,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論,求得函數(shù)的最大值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，,

若，即,則當(dāng)時(shí)

,

(舍去)，若即,則當(dāng)時(shí),

，或(舍去).，若，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，(舍去).

綜上所述,存在符合題設(shè).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題主要考查了三角函數(shù)的求最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論.11．（2021·江西宜春市·高安中學(xué)高一期末（理））已知函數(shù)，的部分圖象，如圖所示，、分別為該圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.（1）求解析式；（2）若方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)根，求的取值范圍.【答案】（1）=；（2）.【分析】（1）由題設(shè)求的周期，根據(jù)P的坐標(biāo)并結(jié)合圖象有求，過作x軸的垂線，垂足為，利用列方程求A，寫出解析式即可.（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為在在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)用換元法令可得且，討論在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，并結(jié)合正弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)確定a的范圍.【詳解】（1）由解析式知：又點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴，即．過作x軸的垂線，垂足為，則，故，∴，故=.（2）令，∴方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)根等價(jià)于函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)，當(dāng)時(shí)，，又，∴，，令，則函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，可知在內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn).①當(dāng)0為的零點(diǎn)時(shí)，顯然不成立；②當(dāng)為的零點(diǎn)時(shí)，由，得，把代入中，得，解得，，不符合題意.③當(dāng)零點(diǎn)在區(qū)間時(shí)，若，得，此時(shí)零點(diǎn)為1，即，由的圖象知不符合題意；若，即，設(shè)的兩根分別為，，由，且拋物線的對(duì)稱軸為，則兩根同時(shí)為正，要使在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)，所以，解得.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）由最高點(diǎn)坐標(biāo)及圖象求φ，應(yīng)用線段的幾何關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)列方程求參數(shù)A，寫出解析式；（2）利用輔助角公式、換元法，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，注意所得零點(diǎn)需結(jié)合換元前的三角函數(shù)，驗(yàn)證是否只存在一個(gè)零點(diǎn).12．（2021·江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)高一月考）已知函數(shù)（其中，，）的圖象與x軸的交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的最小距離為，且該函數(shù)的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求證：存在大于的正實(shí)數(shù)，使得不等式在區(qū)間有解.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題可得，周期為，則可求出，由可解得；（2）問題可化為在區(qū)間有解，再求解不等式即可.【詳解】解：（1）由題意可知，，，故函數(shù)的周期為，故，故，，則，即，，，；（2）證明：因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，原不等式可化為，又因?yàn)?，則，要使得在有解，只需在區(qū)間有解，代入得：，當(dāng)解得，即，時(shí)，此時(shí)與區(qū)間與區(qū)間的交集為空集，當(dāng)，即，時(shí)，令得時(shí)，滿足，又因?yàn)?，故只需，原不等式在區(qū)間有解.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)不等式有解問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間有解，從而求解.13．（2020·廣東高一月考）已知函數(shù)．（1）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】（1）；（2）兩個(gè).【分析】（1）令，則可得對(duì)成立，即可列式求出；（2）由（1），解得，，可得，，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）令，則，．，當(dāng)時(shí)，，．對(duì)恒成立，化為對(duì)成立．∴對(duì)恒成立，∴，∴，即的取值范圍是．（2）由（1）知化為，其中．由，即得．當(dāng)時(shí)，，，，∴．令，，則，∴．由知，∴．∴無(wú)解，在上有兩解．∴時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，考查零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為和解的個(gè)數(shù).14．（2019·福建省福州第二中學(xué)高一期末）如圖，已知的面積為14，D、分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且，AE與CD交于P．設(shè)存在和使，，，．（1）求及；（2）用，表示；（3）求的面積．【答案】（1），；（2）；（3）4．【分析】（1）用，作為基底表示出向量，，根據(jù)向量相等得到方程組，即可解得；（2）根據(jù)向量加法運(yùn)算法則，計(jì)算可得；（3）先由，又，再根據(jù)可得．【詳解】（1），，，，，，，，，，又，，解得．（2）由（1）知，，．（3），，，又，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第（1）問的關(guān)鍵是用基底表示向量，然后解方程組；第（2）問的關(guān)鍵是運(yùn)用向量的加法；第（3）問的關(guān)鍵是尋找面積之間的關(guān)系.15．（2020·河南洛陽(yáng)市·洛陽(yáng)一高高二月考（文））已知復(fù)數(shù)，根據(jù)以下條件分別求實(shí)數(shù)的值或范圍.（1）是純虛數(shù)；（2）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限.【答案】(1)m=3.(2)或.試題分析：（1）由純虛數(shù)，可知實(shí)部等于0，虛部不等于0，即．（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，所以實(shí)部小于0，且對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，虛部大于0，即．試題解析：（1）由是純虛數(shù)得即所以m=3.（2）根據(jù)題意得，由此得，即或.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列出實(shí)部、虛部滿足的方程(組)即可．16．（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根.復(fù)數(shù)滿足，求的取值范圍.【答案】【分析】把復(fù)數(shù)代入方程，求得，再結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，得到不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根，所以，即，所以，解得或，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，即，整理得，即，解得，即的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式的應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.17．（2020·