專題02式與方程（原卷版）

專題02式與方程數(shù)與代數(shù)式、方程的銜接小學(xué)階段，學(xué)生所接觸到的數(shù)都是從生活中來(lái)的。在他們的印象中，數(shù)是一個(gè)具體的、能代表多少的表示符號(hào)，而在初中“有理數(shù)”知識(shí)中，引進(jìn)了“式”的概念，從而研究式的運(yùn)算。這是從“數(shù)”到“一段抽象的含字母的代數(shù)式的過(guò)渡”，是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上的一大轉(zhuǎn)折點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)從具體到一般、到抽象的飛躍，也是對(duì)剛?cè)氤踔袑W(xué)生思維的一次飛躍。其實(shí)數(shù)與式的主要變化就是從數(shù)字的具體運(yùn)算到代數(shù)式的形式化運(yùn)算的轉(zhuǎn)變。為了順利完成這一轉(zhuǎn)變，可以在小學(xué)高年級(jí)階段嘗試運(yùn)用“半代數(shù)式運(yùn)算”的方法進(jìn)行教學(xué)滲透。各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都安排了解方程的內(nèi)容。小學(xué)生所接觸的方程比較簡(jiǎn)單，加上受算術(shù)思維的影響，列出的這些方程，思維方式實(shí)質(zhì)上還是算術(shù)的。為了讓學(xué)生后續(xù)方程的學(xué)習(xí)，可以引導(dǎo)學(xué)生理解：列方程過(guò)程中，重要的是未知數(shù)要參與運(yùn)算，用等量關(guān)系列出方程。1．用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、計(jì)算公式和運(yùn)算定律1）用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系（1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克（3）路程＝速度×?xí)r間，用字母表示為s＝vt；（4）正比例關(guān)系：（一定），反比例關(guān)系：x×y＝k（一定）。2）用字母表示計(jì)算公式及運(yùn)算定理長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：C＝2（a＋b）；長(zhǎng)方形面積：S＝ab；長(zhǎng)方體體積：V＝abh或V＝Sh。加法交換律：a＋b＝b＋a加法結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）乘法交換律：ab＝ba乘法結(jié)合律：（ab）c＝a（bc）乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc注意：①數(shù)與字母、字母與字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作簡(jiǎn)寫(xiě)為一個(gè)點(diǎn)或省略不寫(xiě)，但要注意，省略乘號(hào)后，數(shù)字要寫(xiě)在字母的前面。②兩個(gè)相同的字母相乘時(shí)，可寫(xiě)成這個(gè)字母的平方，如a×a可以寫(xiě)作a2。2．等式與方程1）等式與方程的意義及關(guān)系意義關(guān)系等式表示相等關(guān)系的式子叫作等式所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程方程含有未知數(shù)的等式叫作方程2）等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。3）解方程（1）方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。（2）解方程的概念：求方程的解的過(guò)程叫作解方程。（3）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系解方程。（4）檢驗(yàn)方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計(jì)算，看等式是否成立；③等式成立，說(shuō)明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說(shuō)明解方程錯(cuò)誤，需要重新求解?！绢}型一】字母表示數(shù)【解題技巧】1）字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個(gè)數(shù)，甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù)，總之字母可以簡(jiǎn)明的將數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)。2）用字母表示數(shù)的意義：有助于揭示概念的本質(zhì)特征，能使數(shù)量之間的關(guān)系更加簡(jiǎn)明，更具有普遍意義。使思維過(guò)程簡(jiǎn)約化，易于形成概念系統(tǒng)。【典題1】（2022·全國(guó)·六年級(jí)期末）冬冬今年12歲，爸爸今年36歲，如果用a表示冬冬某一年的年齡，那么用（

）表示這一年爸爸的年齡最合適。A．a(chǎn)＋12 B．a(chǎn)＋24 C．a(chǎn)＋36 D．3a【典題2】（2021·福建·浦城縣榮華實(shí)驗(yàn)學(xué)校六年級(jí)期末）餐廳規(guī)定：一張桌子每邊坐一人，可坐4人。當(dāng)客人超過(guò)4人時(shí)，將多張桌子拼成一張長(zhǎng)桌，如下圖：第n張桌子可座()人。（用含有字母n的算式表示）【變式練習(xí)】1．（2022·江蘇宿遷·五年級(jí)期中）甲袋有千克大米，如果從甲袋倒出6千克裝入乙袋，那么兩袋的大米同樣重。原來(lái)乙袋有()千克大米。2．（2022·山東·寧陽(yáng)金橋?qū)W校四年級(jí)期末）兩個(gè)式子結(jié)果相同的一組是（

）。A．和B．和C．和D．和3.（2021·江蘇淮安·六年級(jí)期末）某養(yǎng)殖場(chǎng)雞有x只，鴨的只數(shù)比雞的5倍少20只。鴨有()只，鴨比雞多()只。4．（2021·湖南株洲·小升初真題）如圖所示，學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行最多能坐6人，則（≥1，且為整數(shù)）張方桌拼成一行最多能坐______人。（用含有的式子表示）【題型二】等量代換【解題技巧】等量代換是指一個(gè)量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。．如果能應(yīng)用等量代換思考問(wèn)題，不僅有助于學(xué)生找到鋸決問(wèn)題的便捷方法，而且有助于鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！镜漕}1】（2021·上?！の迥昙?jí)單元測(cè)試）若2a＋2b＋1＝6，則5（a＋b）－4的結(jié)果是（

）A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．12.5【典題2】（2020·湖北十堰·小升初真題）〇、口、△各代表一個(gè)數(shù)，根據(jù)〇＋△＝50，口＋△＝63，〇＋口＝77，求得〇＝()?！咀兪骄毩?xí)】1．（2020·浙江·小升初真題）若，則的值是()。2．（2021·湖北十堰·小升初真題）已知△＋△＋□＋□＋□＝41，△＋△＋△＋□＋□＝39，那么△＝()，□＝()。3．（2022·云南·河口縣教研室五年級(jí)期末）已知a＋b＋c＝180，如果b＝a＋c，a＝2c；那么6a＋4b＝()；2c＋2b＝()。4．（2021·河南·淮濱縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)五年級(jí)期末）已知a與b為兩個(gè)自然數(shù)，a的恰好等于b的；如果a減去3，b加上3，那么兩數(shù)相等。a與b的和是()。5．（2022·江蘇省淮安市淮陰區(qū)淮陰師范學(xué)院第二附屬小學(xué)五年級(jí)期末）張老師買了3個(gè)足球和4個(gè)排球，花了390元。王老師買了同樣的6個(gè)足球和2個(gè)排球，花了420元?，F(xiàn)在體育組要再買同樣的18個(gè)足球和12個(gè)排球，共需()元?！绢}型三】等式與方程的概念辨析【解題技巧】1）等式：表示相等關(guān)系的式子叫作等式。2）方程：含有未知數(shù)的等式。如何判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等3）注意：方程一定是等式，等式不一定是方程?！镜漕}1】（2022·湖北武漢·五年級(jí)期末）下列圖中表示的關(guān)系正確的是（

）。A． B． C．【典題2】（2022·河南·郟縣教育局教研室五年級(jí)期中）在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有()，方程有()。（填序號(hào)）【變式練習(xí)】1．（2022·浙江嘉興·五年級(jí)期末）下列式子中，（

）是方程。A．3a＝18 B．5＋x C．1.7－a＞2 D．4.5÷5＝0.92．（2021·江蘇鹽城·五年級(jí)期末）我們可以用這樣的圖表示一些數(shù)學(xué)知識(shí)的包含關(guān)系，下列四個(gè)圖中，（）表示的關(guān)系不正確。A． B． C． D．3．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）在①、②、③、④中，是等式的有()，是方程的有()。（填序號(hào)）【題型四】等式的性質(zhì)及其運(yùn)用【解題技巧】等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式?！镜漕}1】（2021·四川眉山·五年級(jí)期末）如果，那么下列等式正確的是（

）。A． B． C．【典題2】（2022·江蘇·五年級(jí)單元測(cè)試）如果x＋2.5＝7.5，那么4.2x＝()；如果x÷1.5＝5，那么x－0.3＝()?！咀兪骄毩?xí)】1．（2022·浙江臺(tái)州·五年級(jí)期末）如果，下面說(shuō)法正確的是（

）。A． B． C． D．2．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）如果，那么x（

）y。A．大于 B．小于 C．等于 D．大于或等于3．（2022·山東·成武縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)五年級(jí)期末）運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，正確的是（

）。A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么4．（2022·河南周口·五年級(jí)期末）如果，那么根據(jù)等式的性質(zhì)：()；2m×d＝（n＋3）×()。5．（2022·河北·唐縣教育局教研室五年級(jí)期末）觀察下圖：如果每個(gè)梨一樣重，要使天平保持平衡，右邊托盤應(yīng)該添加一個(gè)（

）。A．桃 B．蘋果 C．梨 D．無(wú)法確定【題型五】方程的解及其運(yùn)用【解題技巧】1)方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值；2）解方程：求方程的解的過(guò)程；3）會(huì)利用方程的解，求字母的數(shù)值?！镜漕}1】（2021·湖南張家界·五年級(jí)期末）下列方程的解不是x＝5的是（

）。A．3x＋25x＝140 B．13.8－x＝8.8 C．1.3（x＋5）＝26【典題2】（2021·江蘇·六年級(jí)單元測(cè)試）方程ax－4＝4的解是x＝2，則a－1＝（

）。A．10 B．16 C．15 D．7【變式練習(xí)】1．（2022·四川樂(lè)山·五年級(jí)期末）是下列（

）方程的解。A． B． C． D．2．（2022·河南周口·五年級(jí)階段練習(xí)）方程6.5x＝0沒(méi)有解。()判斷題3．（2021·山東濟(jì)南·六年級(jí)期末）方程x－0.25＝的解是（

）。A． B． C．4．（2022·江蘇徐州·五年級(jí)期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，則a的值為（

）。A．4 B．7 C．10【題型六】解方程【解題技巧】。1）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系解方程。2）檢驗(yàn)方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計(jì)算，看等式是否成立；③等式成立，說(shuō)明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說(shuō)明解方程錯(cuò)誤，需要重新求解?！镜漕}1】（2022·遼寧·六年級(jí)期末）解方程。

4.2＝16.8

【典題2】（2021·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)期末）解方程。

【變式練習(xí)】1．（2022·江蘇常州·五年級(jí)期中）由x－3.8＝6.2得x＝10。這個(gè)過(guò)程叫作（

）。A．方程 B．解方程 C．方程的解2．（2022·全國(guó)·五年級(jí)專題練習(xí)）解方程。（1）

（2）

（3）3．（2022·山東·禹城市教育和體育局六年級(jí)期中）解方程或比例。2x－40%x＝0.8

4．（2022·廣東省深圳市龍華中心小學(xué)六年級(jí)期中）解方程，要寫(xiě)出過(guò)程。5x－＝

8x－5.5x＝1＝

x∶＝0.36∶【題型七】找等量關(guān)系與列方程【解題技巧】與用字母表示式子的思路相同，尋找題干中的等量關(guān)系，利用未知數(shù)表示出來(lái)?！镜漕}1】（2022·浙江嘉興·五年級(jí)期末）王阿姨買了2.4千克蘋果和3.8千克梨，總共付了92.6元。已知梨每千克13元，蘋果每千克多少元？下列數(shù)量關(guān)系中錯(cuò)誤的是（

）。A．蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量十梨的單價(jià)×梨的數(shù)量＝總價(jià)B．（蘋果的單價(jià)＋梨的單價(jià)）×（蘋果的數(shù)量＋梨的數(shù)量）＝總價(jià)C．總價(jià)－蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量＝梨的單價(jià)×梨的數(shù)量D．總價(jià)－梨的單價(jià)×梨的數(shù)量＝蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量【典題2】（2022·遼寧·五年級(jí)期末）媽媽在商場(chǎng)買了一瓶洗面奶和一盒面膜，一共花了240元。其中洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，洗面奶和面膜的價(jià)錢分別是多少元？方法1：洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，也就是()的價(jià)錢()的價(jià)錢×。解：設(shè)面膜的價(jià)錢是元方法2：也可以想面膜的價(jià)錢是洗面奶的()倍。解：設(shè)洗面奶的價(jià)錢是元?！咀兪骄毩?xí)】1．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）按要求寫(xiě)出等量關(guān)系，并列方程。（不用解答）興趣小組共有36人，其中女生人數(shù)是男生3倍。等量關(guān)系式：______________________________＝總共人數(shù)。如果設(shè)男生x人，列方程是()。2．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）按要求寫(xiě)出等量關(guān)系，并列方程。（不用解答）一堆煤26噸，每天用0.5噸，用去若干天后，還剩下12噸。等量關(guān)系式：______________________________＝這堆煤的噸數(shù)。如果設(shè)用去x天，列方程是()。3．（2022·河南周口·五年級(jí)期中）碩望小學(xué)為拓寬學(xué)生視野，新運(yùn)來(lái)1580本圖書(shū)，由A、B兩名圖書(shū)管理員整理。A管理員整理了3天，每天整理312本，剩下的B管理員整理了2天正好整理完，B管理員平均每天整理多少本？題中的等量關(guān)系式為()，解：設(shè)B管理員平均每天整理x本，可列方程為()。4．（2021·山東威?！に哪昙?jí)期末）一個(gè)足球比一個(gè)籃球貴42元，一個(gè)足球的價(jià)格是籃球的1.6倍。足球和籃球各多少錢？（列方程解答）等量關(guān)系式：（

）1．（2021·北京·小升初模擬）x＝4是下列方程（

）的解。A．5x－2x＝120 B．2x＋4x＝24 C．2.5x＋1.5x＝102．（2022·全國(guó)·六年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果方程ax＋8＝42的解是x＝4，那么a＋1的值是（

）。A．5 B．34 C．9.53．（2022·江蘇·五年級(jí)單元測(cè)試）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做（

）。A．解方程 B．方程 C．方程的解4．（2022·山西·大同市新榮區(qū)教育局教研室五年級(jí)階段練習(xí)）與方程x＋0.8x＝36有相同解的是（

）。A．1.68＋x＝3.98 B．x÷35＝6.8 C．12x÷16＝4.32 D．43－x＝235．（2022·山東·四年級(jí)單元測(cè)試）甲袋有m千克大米，乙袋有n千克大米。如果從甲袋倒出10千克裝入乙袋，那么兩袋大米同樣重。下面的等式有（

）個(gè)符合題意。①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．46．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）小麗有a張郵票，小冬有b張郵票，如果小冬送給小麗10張，那么兩人郵票就樣多。下面（

）符合題意。A． B． C． D．7．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）表示等式與方程的關(guān)系，下圖正確的是（

）。A． B． C． D．8．（2022·江蘇淮安·五年級(jí)階段練習(xí)）甲乙兩筐蘋果，甲筐x千克，乙筐32千克。從乙筐拿4千克放入甲筐，兩筐蘋果就一樣重。下列方程正確的是（

）。A．32－x＝4 B．x＋4＝32 C．x－8＝32 D．x＋4＝32－49．（2022·重慶·五年級(jí)期末）根據(jù)等式4a＝5b（a、b均不為0），下列等式不成立的是（

）。A．4a×4＝5b×4 B．4a＋8a＝5b＋8a C．4a×4＝5b×5 D．4a÷2＝5b÷210．（2022·湖南常德·六年級(jí)期末）甲數(shù)的和乙數(shù)的相等，甲數(shù)和乙數(shù)相比（

）。A．甲大 B．乙大 C．一樣大 D．無(wú)法比較11．（2022·山東菏澤·五年級(jí)期末）如果，那么()。12．（2022·福建三明·五年級(jí)期末）如果a＝b，那么a－3＝b－()，5a＝b＋()。13．（2022·江蘇·五年級(jí)單元測(cè)試）下面是等式的有()，是方程的有()。（填序號(hào)）①x－12＝5

②40×2－80

③9＋y

④5b＜4.5

⑤40x＝600

⑥x＋4＝7.5

⑦70＋268915．（2021·江蘇連云港·六年級(jí)期中）○×△＝36，○÷△＝4，○＝()，△＝()。16．（2022·江蘇泰州·五年級(jí)期中）要使方程口＋x＝