七年級數(shù)學(xué)北師大版下冊第四章1認(rèn)識三角形第2課時(shí)三角形的高中線與角平分線

第四章三角形1認(rèn)識三角形第2課時(shí)三角形的高、中線與角平分線目錄02課堂講練01名師導(dǎo)學(xué)03分層訓(xùn)練名師導(dǎo)學(xué)A.從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作____________，頂點(diǎn)和____________之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.三角形三條高所在的直線____________.1.如圖4-1-14，AD⊥BC于點(diǎn)D，那么圖中以AD為高的三角形有____________個(gè)．垂線垂足交于一點(diǎn)6B.在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊____________的線段，叫做這個(gè)三角形的中線，三角形的三條中線____________，這一點(diǎn)稱為三角形的____________.2．如圖4-1-12，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD為中線，則△ABD與△ACD的周長之差為____________．中點(diǎn)交于一點(diǎn)重心3C.在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的________________與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的三條角平分線__________________.角平分線交于一點(diǎn)3.如圖4-1-13，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分線，則∠CAD的度數(shù)為()A.40°B.45°C.50°D.55°A課堂講練【例1】下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）典型例題知識點(diǎn)1：三角形的高C1．下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）舉一反三D【例2】如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.都有可能C2.如圖4-1-14，△ABC中BC邊上的高是（）A．BD B．AE C．BE D．CF思路點(diǎn)撥：根據(jù)三角形某邊上的高的定義，即可得到答案.注意鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn).B【例3】如圖4-1-15，已知△ABC的周長為24cm，AD是BC邊上的中線，AD=58AB，AD=5cm，△ABD的周長是18cm，求AC的長．知識點(diǎn)2：三角形的中線解：因?yàn)锳D=AB，AD=5cm，所以AB=8cm．又因?yàn)椤鰽BD的周長是18cm，所以BD=5cm．因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以BC=2BD=10（cm）．又因?yàn)椤鰽BC的周長為24cm，所以AC=24-8-10=6（cm）.3.如圖4-1-16，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．解：因?yàn)锳D是BC邊上的中線，AC=2BC，所以BD=CD.設(shè)BD=CD=x，AB=y，則AC=4x.分為兩種情況：①AC+CD=60，AB+BD=40，則4x+x=60，x+y=40.解得x=12，y=28.即AC=4x=48，AB=28.②AC+CD=40，AB+BD=60，則4x+x=40，x+y=60.解得x=8，y=52.即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16.此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理,故舍去.綜上所述,AC=48，AB=28．【例4】如圖4-1-17，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長比△ABD的周長多5cm，AB與AC的和為13cm，求AC的長．解：因?yàn)锳D是BC邊上的中線，所以CD=BD．因?yàn)椤鰽DC的周長-△ABD的周長=5,所以AC-AB=5（cm）．又因?yàn)锳B+AC=13（cm），所以可得AC=9cm,AB=4cm.所以AC的長為9cm．4．如圖4-1-18，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長多3cm，BC=8cm，求邊AC的長．解：因?yàn)镃D為△ABC的AB邊上的中線，所以AD=BD.因?yàn)椤鰾CD的周長比△ACD的周長大3cm，所以（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3（cm）.所以BC-AC=3（cm）.因?yàn)锽C=8cm，所以AC=5cm．思路點(diǎn)撥：三角形中線的定義、三角形的周長公式以及中線能把一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的部分是解此類題的關(guān)鍵.知識點(diǎn)3：三角形的角平分線【例5】如圖4-1-19，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分別是△ABC的高和角平分線，求∠DAE的度數(shù)．解：在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°.因?yàn)锳E是∠BAC的平分線,所以∠BAE=∠BAC=45°.因?yàn)锳D是△ABC的高，所以∠ADB=90°.所以在△ADB中，∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°.所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=45°-30°=15°.5.如圖4-1-20，D是△ABC中BC上的一點(diǎn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，且∠ADE=∠ADF，AD是△ABC的角平分線嗎？說明理由．解：AD是△ABC的角平分線．理由：因?yàn)镈E∥AC，DF∥AB，所以∠ADE=∠DAF，∠ADF=∠EAD.又因?yàn)椤螦DE=∠ADF，所以∠DAF=∠EAD.因?yàn)椤螪AF+∠EAD=∠BAC，所以AD是∠BAC的平分線．【例6】如圖4-1-21，△ABC中，AD,AE分別是△ABC的高和角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF與AE交于點(diǎn)O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠AEC，∠BOE的度數(shù)．解：在△ABC中，因?yàn)椤螦BC=40°，∠C=60°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．因?yàn)锳E是△ABC的角平分線，所以∠EAC=∠BAC=40°．因?yàn)锳D是△ABC的高，所以∠ADC=90°.所以在△ADC中，∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°.所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°．所以∠AEC=90°-10°=80°.所以∠AEB=100°.因?yàn)锽F是∠ABC的平分線，所以∠FBC=∠ABC=20°.所以∠BOE=180°-20°-100°=60°．6．如圖4-1-22，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，BE平分∠ABC，分別交CD,AC于點(diǎn)F,E，試說明：∠CFE=∠CEF．解：如答圖4-1-1所示標(biāo)明各角.因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠1+∠3=90°.因?yàn)镃D⊥AB，所以∠COB=90°.所以∠2+∠4=90°.又因?yàn)锽E平分∠ABC，所以∠1=∠2.所以∠3=∠4.因?yàn)椤?=∠5，所以∠5=∠3，即∠CFE=∠CEF．思路點(diǎn)撥：角平分線的定義與三角形內(nèi)角和等于180°以及余角、補(bǔ)角知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.分層訓(xùn)練【A組】1.如圖4-1-23，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，則△ABD和△BCD的周長的差是()A.2B.3C.6D.不能確定A2．畫△ABC中AB邊上的高，下列畫法正確的是（）C3．如圖4-1-24，AD⊥BC于點(diǎn)D，GC⊥BC于點(diǎn)C，CF⊥AB于點(diǎn)F.下列關(guān)于高的說法錯(cuò)誤的是（）A．△ABC中，AD是BC邊上的高B．△GBC中，CF是BG邊上的高C．△ABC中，GC是BC邊上的高D．△GBC中，GC是BC邊上的高C4.如圖4-1-25，AD是△ABC的中線，△ABC的面積為10cm2，則△ABD的面積是()A.5cm2B.6cm2C.7cm2D.8cm2A5．如圖4-1-26，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分線，AF是BC邊上的中線，則下列線段中，最短的是（）A．ABB．AEC．ADD．AFC6．如圖4-1-27，已知∠1=∠2，∠3=∠4，則下列正確的結(jié)論有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)B【B組】7．如圖4-1-28，在△ABC中，∠C=90°，D，E為AC上的兩點(diǎn)，且AE=DE，BD平分∠EBC，則下列說法不正確的是（）A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的中線C．BD是△EBC的角平分線D．∠ABE=∠EBD=∠DBCD8.如圖4-1-29，在△ABC中，AD，CE分別為BC，AB邊上的高，若BC＝6，AD＝5，CE＝4，則AB的長為____________.1529.如圖4-1-30，已知AE是△ABC的邊BC上的高，AD是∠EAC的平分線，交BC于點(diǎn)D．若∠ACB=40°，則∠DAE=__________．25°【C組】10.如圖4-1-31，△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度數(shù)．解：因?yàn)椤螩AB=50°，∠C=60°,所以∠ABC=180°-50°-60°=70°.又因?yàn)锳D是高，所以∠ADC=90°.