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文檔簡介
2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編(2025年中考復(fù)習(xí)全國通用)
專題16三角形及其全等
一、選擇題
1.(2024福建?。┰谕黄矫鎯?nèi),將直尺、含30角的三角尺和木工角尺(CDDE)按如圖方
式擺放,若ABCD,則1的大小為()
A.30B.45C.60D.75
【答案】A
【解析】本題考查了平行線的性質(zhì),由ABCD,可得CDB60,即可求解.
∵ABCD,
∴CDB60,
∵CDDE,則CDE90,
∴1180CDBCDE30,
故選:A.
2.(2024黑龍江齊齊哈爾)將一個含30角的三角尺和直尺如圖放置,若150,則2的度數(shù)
是()
A.30B.40C.50D.60
【答案】B
【解析】本題考查了對頂角的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)對頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理,即
可求解.
如圖所示,
由題意得3150,590,24,
∴24180903905040,
故選:B.
3.(2024內(nèi)蒙古赤峰)等腰三角形的兩邊長分別是方程x210x210的兩個根,則這個三角形的
周長為()
A.17或13B.13或21C.17D.13
【答案】C
【解析】本題考查了解一元二次方程,等腰三角形的定義,三角形的三邊關(guān)系及周長,由方程可得
x13,x27,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進(jìn)而即可求出三
角形的周長,掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
2
【詳解】解:由方程x10x210得,x13,x27,
∵337,
∴等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,
∴這個三角形的周長為37717,
故選:C.
4.(2024云南?。┮阎狝F是等腰ABC底邊BC上的高,若點(diǎn)F到直線AB的距離為3,則點(diǎn)F
到直線AC的距離為()
37
A.B.2C.3D.
22
【答案】C
【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)定理,熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
由等腰三角形“三線合一”得到AF平分BAC,再角平分線的性質(zhì)定理即可求解.
如圖,
∵AF是等腰ABC底邊BC上的高,
∴AF平分BAC,
∴點(diǎn)F到直線AB,AC的距離相等,
∵點(diǎn)F到直線AB的距離為3,
∴點(diǎn)F到直線AC的距離為3.
故選:C.
5.(2024安徽省)在凸五邊形ABCDE中,ABAE,BCDE,F(xiàn)是CD的中點(diǎn).下列條件中,
不能推出AF與CD一定垂直的是()
A.ABCAEDB.BAFEAF
C.BCFEDFD.ABDAEC
【答案】D
【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用,熟練掌握全等
三角形的判定的方法是解題的關(guān)鍵.
利用全等三角形的判定及性質(zhì)對各選項進(jìn)行判定,結(jié)合根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可證得
結(jié)論.
【詳解】解:A、連接AC、AD,
∵ABCAED,ABAE,BCDE,
∴ACB≌ADESAS,
∴ACAD
又∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)
∴AFCD,故不符合題意;
B、連接BF、EF,
∵ABAE,BAFEAF,AFAF,
∴ABF≌AEFSAS,
∴BFEF,AFBAFE
又∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),
∴CFDF,
∵BCDE,
∴CBF≌DEFSSS,
∴CFBDFE,
∴CFBAFBDFEAFE90,
∴AFCD,故不符合題意;
C、連接BF、EF,
∵點(diǎn)F為CD的中點(diǎn),
∴CFDF,
∵BCFEDF,BCDE,
∴CBF≌DEFSAS,
∴BFEF,CFBDFE,
∵ABAE,AFAF,
∴ABF≌AEFSSS,
∴AFBAFE,
∴CFBAFBDFEAFE90,
∴AFCD,故不符合題意;
D、ABDAEC,無法得出題干結(jié)論,符合題意;
故選:D.
6.(2024四川廣安)如圖,在ABC中,點(diǎn)D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),若A45,
CED70,則C的度數(shù)為()
A.45B.50C.60D.65
【答案】D
【解析】本題考查了三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)定理,三角形的內(nèi)角和定理,熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確
識圖是解題的關(guān)鍵.先證明DE∥AB,可得CDEA45,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得
答案.
【詳解】∵點(diǎn)D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),
∴DE∥AB,
∵A45,
∴CDEA45,
∵CED70,
∴C180457065,
故選D
二、填空題
1.(2024湖南省)一個等腰三角形的一個底角為40,則它的頂角的度數(shù)是________度.
【答案】100
【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和,解答時根據(jù)等腰三角形兩底角相等,求出頂
角度數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)槠涞捉菫?0°,所以其頂角180402100.
故答案為:100.
2.(2024重慶市B)如圖,在ABC中,ABAC,A36,BD平分ABC交AC于點(diǎn)D.若
BC2,則AD的長度為________.
【答案】2
【解析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定,三角形內(nèi)角和定理,三角形外角的性質(zhì),先根據(jù)
等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出CABC72,再由角平分線的定義得到
ABDCBD36,進(jìn)而可證明∠A∠ABD,∠BDC∠C,即可推出ADBC2.
【詳解】∵在ABC中,ABAC,A36,
180A
∴CABC72,
2
∵BD平分ABC,
1
∴ABDCBDABC36,
2
∴∠A∠ABD,∠BDC∠A∠ABD72∠C,
∴ADBD,BDBC,
∴ADBC2,
故答案為:2.
3.(2024四川涼山)如圖,ABC中,BCD30,ACB80,CD是邊AB上的高,AE
是CAB的平分線,則AEB的度數(shù)是______.
【答案】100##100度
【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義.先求出ACD50,結(jié)合高
的定義,得DAC40,因?yàn)榻瞧椒志€的定義得CAE20,運(yùn)用三角形的外角性質(zhì),即可作答.
【詳解】∵BCD30,ACB80,
∴ACD50,
∵CD是邊AB上的高,
∴ADC90,
∴DAC40,
∵AE是CAB的平分線,
1
∴CAEDAC20,
2
∴AEBCAEACB2080100.
故答案為:100.
4.(2024四川內(nèi)江)如圖,在ABC中,DCE40,AEAC,BCBD,則ACB的度
數(shù)為________;
【答案】100##100度
【解析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì),角的和差.
根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得CDECED140,根據(jù)AEAC,BCBD得到
ACEAEC,BCDBDC,從而ACEBCD140,根據(jù)角的和差有
ACBACEBCDCDE,即可解答.
【詳解】∵DCE40,
∴CDECED180DCE140,
∵AEAC,BCBD,
∴ACEAEC,BCDBDC,
∴ACEBCDCDECED140
∴ACBACEBCEACEBCDCDE14040100.
故答案為:100
5.(2024黑龍江綏化)如圖,AB∥CD,C33,OCOE.則A______.
【答案】66
【解析】本題考查了平行線的性質(zhì),等邊對等角,三角形外角的性質(zhì),根據(jù)等邊對等角可得
EC33,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得DOE66,根據(jù)平行線的性質(zhì),即可求解.
【詳解】∵OCOE,C33,
∴EC33,
∴DOEEC66,
∵AB∥CD,
∴ADOE66,
故答案為:66.
6.(2024四川成都市)如圖,△ABC≌△CDE,若D35,ACB45,則DCE的度
數(shù)為______.
【答案】100##100度
【解析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì),先利用全等三角形的性質(zhì),求出
CEDACB45,再利用三角形內(nèi)角和求出DCE的度數(shù)即可.
【詳解】由△ABC≌△CDE,D35,
∴CEDACB45,
∵D35,
∴DCE180DCED1803545100,
故答案為:100
三、解答題
1.(2024云南?。┤鐖D,在ABC和△AED中,ABAE,BAECAD,ACAD.
求證:△ABC≌△AED.
【答案】見解析
【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵.利
用“SAS”證明△ABC≌△AED,即可解決問題.
【詳解】證明:BAECAD,
BAEEACCADEAC,即BACEAD,
在ABC和△AED中,
ABAE
BACEAD,
ACAD
ABC≌AEDSAS.
2.(2024四川樂山)知:如圖,AB平分CAD,ACAD.求證:CD.
【答案】見解析
【解析】利用SAS證明CAB≌DAB,即可證明CD.
AB平分CAD,
CABDAB,
在CAB和DAB中,
ACAD
CABDAB,
ABAB
CAB≌DABSAS,
CD.
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角
形的判定方法是解題的關(guān)鍵.
3.(2024江蘇連云港)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,ECED,AC∥BD.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖:求作菱形DMCN,使得點(diǎn)M在AC上,點(diǎn)N在BD上.(不寫
作法,保留作圖痕跡,標(biāo)明字母)
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AB,CD,結(jié)合ECED,利用AAS即
可證明△AEC≌△BED;
(2)作CD的垂直平分線,分別交AC,BD于點(diǎn)M,N,連接DM,CN即可.
【小問1詳解】
證明:AC∥BD,
AB,CD.
AB
在△AEC和BED中,CD,
ECED
AEC≌BED(AAS);
【小問2詳解】
解:MN是CD的垂直平分線,
MDMC,DNCN,
由(1)的結(jié)論可知,AB,AEBE,
又∵AEMBEN,
則AEMBEN,
∴MENE,
CDMN,
CD是MN的垂直平分線,
DMDN,CMCN,
DMDNCNCM,
四邊形DMCN是菱形,
如圖所示,菱形DMCN為所求.
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的作法,平行線的性質(zhì),三角形全等的判定,菱形的判定,熟練掌握
垂直平分線的作法及三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.
1
4.(2024江蘇蘇州)如圖,ABC中,ABAC,分別以B,C為圓心,大于BC長為半徑畫
2
弧,兩弧交于點(diǎn)D,連接BD,CD,AD,AD與BC交于點(diǎn)E.
(1)求證:△ABD≌△ACD;
(2)若BD2,BDC120,求BC的長.
【答案】(1)見解析(2)BC23
【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),解直角三角形等知識,解題的關(guān)
鍵是:
(1)直接利用SSS證明△ABD≌△ACD即可;
(2)利用全等三角形的性質(zhì)可求出BDACDA60,利用三線合一性質(zhì)得出DABC,
BECE,在Rt△BDE中,利用正弦定義求出BE,即可求解.
【小問1詳解】
證明:由作圖知:BDCD.
在△ABD和ACD中,
ABAC,
BDCD,
ADAD.
△ABD≌△ACD.
【小問2詳解】
解:ABD≌ACD,BDC120,
BDACDA60.
又BDCD,
DABC,BECE.
BD2,
3
BEBDsinBDA23,
2
BC2BE23.
5.(2024江蘇鹽城)已知:如圖,點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上,AE∥BF,AEBF.
若________,則ABCD.
請從①CE∥DF;②CEDF;③EF這3個選項中選擇一個作為條件(寫序號),使結(jié)
論成立,并說明理由.
【答案】①或③(答案不唯一),證明見解析
【解析】【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì),①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出
AFBD,DECA,再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出ACBD,結(jié)合圖形即可證明;②
得不出相應(yīng)的結(jié)論;③根據(jù)全等三角形的判定得出AEC≌BFD(SAS),結(jié)合圖形即可證明;熟練
掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
【詳解】解:選擇①CE∥DF;
∵AE∥BF,CE∥DF,
∴AFBD,DECA,
∵AEBF,
∴AEC≌BFD(AAS),
∴ACBD,
∴ACBCBDBC,即ABCD;
選擇②CEDF;
無法證明△AEC≌△BFD,
無法得出ABCD;
選擇③EF;
∵AE∥BF,
∴AFBD,
∵AEBF,EF,
∴AEC≌BFDASA,
∴ACBD,
∴ACBCBDBC,即ABCD;
故答案為:①或③(答案不唯一)
6.(2024四川南充)如圖,在ABC中,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn),過點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長
線于點(diǎn)E.
(1)求證:BDE≌CDA.
(2)若ADBC,求證:BABE
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì),中垂線的判定和性質(zhì):
(1)由中點(diǎn),得到BDCD,由BE∥AC,得到EDAC,DBEC,即可得證;
(2)由全等三角形的性質(zhì),得到EDAD,進(jìn)而推出BD垂直平分AE,即可得證.
【小問1詳解】
證明:D為BC的中點(diǎn),
BDCD.
BE∥AC,
EDAC,DBEC;
EDAC
在BDE和CDA中,DBEC
BDCD
BDE≌CDAAAS;
【小問2詳解】
證明:△BDE≌△CDA,
EDAD
ADBC,
BD垂直平分AE,
BABE.
7.(2024四川自貢)如圖,在ABC中,DE∥BC,EDFC.
(1)求證:BDFA;
(2)若A45,DF平分BDE,請直接寫出ABC的形狀.
【答案】(1)見解析(2)ABC是等腰直角三角形.
【解析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定.
(1)由平行證明AEDC,由等量代換得到EDFAED,利用平行線的判定“內(nèi)錯角相等,
兩直線平行”證明DF∥AC,即可證明BDFA;
(2)利用平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義求得BDE90,DB=90°,據(jù)此即可得到ABC是
等腰直角三角形.
【小問
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