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文檔簡(jiǎn)介
相他三角形幾何模型版與題(精送精株)
【題型目錄】
【題型1】“A字”模型;....................................................................2
【題型2】“反A字”模型;..................................................................2
【題型3】"8字”模型;.....................................................................3
【題型4】“反8字”模型;..................................................................4
【題型5】“雙A字”模型;..................................................................5
【題型6】"雙8字”模型;...................................................................6
【題型7】“4字模型”與“8字模型”綜合;....................................................6
【題型8】“共邊等角”模型;................................................................7
【題型9】“共頂點(diǎn)等角“模”;...............................................................8
【題型10]“母子”模型.....................................................................8
【題型11】與“射影”模型;................................................................10
【題型12】“一線三直角”模型;............................................................11
【題型13】“一線三等角”模型;............................................................13
【題型14】“對(duì)角互補(bǔ)”模型;...............................................................15
【題型15】“十字架”模型;................................................................16
【題型16]''三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型;..................................................16
【題型17】“雙垂直等角”模型..............................................................18
【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型...............................................................18
【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型..............................................................19
【題型20]“平行線+角平分線=等腰三角形模型”.........................................20
???
【題型1】“A字”模型;
1.(2024.貴州貴陽(yáng).二模)如圖,在RtAX鬣中,D"分別為邊因,4。上的點(diǎn),連接",將"BC沿
nF折疊,使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合,若4/!£=■?,則>48的長(zhǎng)為()
2.(24-25九年級(jí)上?江蘇南通?開學(xué)考試)如圖,在UBC中,-90*,將AABC沿直線AC'翻折后,頂
點(diǎn)。恰好落在48邊上的點(diǎn)。處,已知MNA?,MC-6-4,則四邊形M4&Y的面積是.
3.(23—24九年級(jí)下?全國(guó)?期中)如圖,在_4紀(jì)中,。在』O上,。鼠BC,DFAB.
⑴求證:二ar二加;
1品%-
CD^-AC
⑵若3,求S,的值.
【題型2】“反A字”模型;
4.(2025九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))如圖,Rt1/8C中,NB=90?,點(diǎn)。在邊月。上,且。F/4C交A7于
點(diǎn)E.
⑴求證:_CZ)F-CBA;
⑵若.鉆二&是反'中點(diǎn),求DE的長(zhǎng).
D
BE
5.(19-20九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))如圖,處,分別是AC與4B邊上的高.
求證:ABC.
.A
6.(23-24九年級(jí)下?貴州黔東南?階段練習(xí))如圖,中,AB?AC^A,反*■,以48為直徑的
。。分別交AC,5c于點(diǎn)。,瓦連接ED,則的長(zhǎng)為()
公
5'-----EC
25
A.1B.TC.2D.2
【題型3】“8字”模型;
AF
7.(23-24九年級(jí)上?北京?階段練習(xí))如圖,在菱形兒BCD中點(diǎn)后在BC上,43?5,因?3,則而為
()
AD
欠
BEC
3£45
A.5B.7C.TD.3
8.(23—24九年級(jí)下?山東棗莊?開學(xué)考試)如圖,在一月紀(jì)中,點(diǎn)&是線段A。上一點(diǎn),432,過
點(diǎn)。作8油交SE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。,若-/I5E的面積等于4,則-8CP的面積等于()
9.(24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí))如圖,點(diǎn)£是平行四邊形兒9CD邊4。延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BE交8于
點(diǎn)H,如果前一^,那么兩
DE
【題型4】“反8字”模型;
10.(24-25九年級(jí)上?上海奉賢?階段練習(xí))如圖,已知在四邊形ABCD中,月。與見,相交于點(diǎn)O,
⑴求證:4OD上8。。;
⑵若QOBHSg”,求的值.
11.(24-25九年級(jí)上?廣西桂林?期中)如圖,4C,班)相交于點(diǎn)。,-5?一I'
(1)求證一DCU;
⑵已知3,2,M0B的面積為6,求△DOC的面積.
12.(23—24九年級(jí)上.安徽.單元測(cè)試)已知:如圖,在。。中,弦48相交于點(diǎn)P,??|=2,/S-6,
汽'=3,則用=
ti
D
【題型5】“雙A字”模型;
13.(24—25九年級(jí)上?全國(guó)?期末)如圖,4。是3c的中線,p為月0上任意一點(diǎn),連接即并延長(zhǎng)交
/C于F,連接W并延長(zhǎng)交48于£,連接即.求證:斯
14.(2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))如圖1,已知"SC,D是上一點(diǎn),即,BC交48于點(diǎn)E,交月<?
BGGF
于點(diǎn)尸,連接4。,力。與斯交于G.求證:而=慶\
15.(24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí))如圖,A。和雙'相交于點(diǎn)M-3D,點(diǎn)尸在CD上U4,
S川3.
⑴求郎的長(zhǎng);
⑵已知S.=:3,求的面積.
BD
16.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))據(jù)《墨經(jīng)》記載,在兩千多年前,我國(guó)學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn),
闡釋了光的直線傳播原理.小孔成像的示意圖如圖所示,光線經(jīng)過小孔O,物體48在幕布上形成倒
立的實(shí)像CD(點(diǎn)人、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D).若物體45的高為,實(shí)像CD的高度為12、,,則
小孔O的高度CE為口】.
EC
【題型6】“雙8字”模型;
17.(2024.吉林長(zhǎng)春模擬預(yù)測(cè))如圖,在中,點(diǎn)D、尸分別在邊反'、48上,線段加)、。尸相交于點(diǎn)
DC-12,AB:XD~35.若二4b'的面積為2,則一月寬’的面積為()
BD
AZ=_EBAF——FD
18.(2024.陜西渭南.二模)如圖,平行四邊形兒火工」中,2,3,連&F交業(yè)’于G,則
AC.GC-.
19.(23-24九年級(jí)上?上海松江?階段練習(xí))如圖,平行四邊形月我中,13,E,尸是對(duì)角線月C上
的兩點(diǎn),且點(diǎn)后,尸是線段4c的三等分點(diǎn),£將交48于點(diǎn)M,W交CD于點(diǎn)N,則.
DNC
AMN
【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合;?M
20.(24—25九年級(jí)上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí))如圖,45CDEF,???與班:,相交于點(diǎn)E,若,
CD
A.3B.2C.3D.4
21.(23—24九年級(jí)下.浙江金華.開學(xué)考試)如圖,在平行四邊形兒文工)中,4是邊AD延長(zhǎng)線上的一
點(diǎn),連結(jié)BE交邊8于點(diǎn)F,交對(duì)角線AC于點(diǎn)G,若DA-1.g?2,則
【題型8】“共邊等角”模型;
22.(23—24九年級(jí)上.遼寧鞍山?期中)如圖,”平分一£4(7,。為AE中點(diǎn),乙8?47,求證:3-%,
23.(24—25九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí))如圖,在Rt&lBC中,/4C8?90*,
的J.AS于8,點(diǎn)。為射線SE上一點(diǎn),連接力。,若一四D與一力5V相似.
(1)求AD的長(zhǎng);
(2)請(qǐng)直接寫出一檢D與乙45c的面積比.
?M
A
E
\
CB
24.(2024.江蘇揚(yáng)州.三模)如圖,在區(qū)1'/31'中,乙1(?8?90*,AB-i,。為直線4。左側(cè)一點(diǎn).若
-ABC,則二,二+,二J的最大值為.
【題型9】“共頂點(diǎn)等角“?!保?/p>
25.在UBC和一4ED中,45疝)?力。公,,求證:工XBC*s二皿).
26.(23—24九年級(jí)上?廣東深圳?期中)在銳角三角形4度,中,點(diǎn)。、E分別在邊AB^AC±,AFJ.BC于
點(diǎn)F,AG1DS于點(diǎn)G,Z547-ZZ4G.
⑴求證?_月&;
⑵若4E-5,月G=2,EG?l,求,畫的長(zhǎng).
【題型10]“母子”模型
27.(24—25九年級(jí)上?山東荷澤?期中)如圖的頂點(diǎn)48在。。上,邊月。與。。’相交于點(diǎn)
ZB4C-45,,連接8交于點(diǎn)及乙iDO-,C.
(1)求證:是。。的切線;
⑵若49?12,郎~3,求助的長(zhǎng).?M
28.(22—23九年級(jí)上?浙江杭州?期末)如圖,在正五邊形質(zhì)B2中,連結(jié)乂CAD.CZ.CE交AD于點(diǎn)F
(1)求一IX。的度數(shù).
(2)已知小2,求W的長(zhǎng).
ABAC
29.(24-25九年級(jí)上?浙江?期中)如圖,在-ABC中,。是月U上一點(diǎn),已知芯=Q.
(1)求證:=48。=廣C;
(2)已知,一C-40?,求NCSO的度數(shù).
30.(24—25九年級(jí)上?浙江?期末)如圖,在一月3c中,。為邊A8的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊4C上,連結(jié)加,并延
長(zhǎng)ZD至點(diǎn)F,連結(jié)4T,使仙“8C,且爐工FD?FB-
(1)求證:ZWD=/F幽.
⑵若HB70求上'的長(zhǎng).
?M
FA
31.(24-25九年級(jí)上?湖南岳陽(yáng)?期中)探究:
⑴如圖一,若乙-ZDK*,求證:*?CDC4;
⑵如圖二,若乙4CH?,“'=B及、=4,求的長(zhǎng);
⑶如圖三,在等腰直角J3C中,>「3=加$,。是平面內(nèi)任意一點(diǎn),且心=,求
所+標(biāo)
的最小值.
【題型11】與“射影”模型;
32.(20-21九年級(jí)?江蘇南京?自主招生)點(diǎn)G為DC的中點(diǎn),CD?119,△DEG沿戰(zhàn):翻折使點(diǎn)
F落在BE上,四邊形ABCD為矩形,求EG
33.(24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))如圖,點(diǎn)£是正方形A3CD邊BC上一點(diǎn),過£作』E的垂線,
交C"于點(diǎn)尸,交川;的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
⑴求證:一A9E-SCF;
⑵若正方形的邊長(zhǎng)為3.點(diǎn)后是反'的中點(diǎn),求加的長(zhǎng).
34.(24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)',),點(diǎn)…D分別在1軸,.「軸
的正半軸上,線段。月、CB的長(zhǎng)度都是方程1-八+2-0的解,且。3>。從若點(diǎn)p從C點(diǎn)出發(fā),以每
秒1個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng),連結(jié)AP.
(1)如圖:,判斷三角形乂氏'的形狀,并說(shuō)明理由.
(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中,利用圖1及備用圖1探究,當(dāng)二月0P周長(zhǎng)最短時(shí),求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.
(3)在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中,利用備用圖?探究,是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,Q,P為頂點(diǎn)的三角形與
一八」5相似?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
35.(2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形以反、的邊CD、。/1分別在\軸和,「軸上,
C/4-15,點(diǎn)。是邊48上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),將一$1。沿直線QD折疊后得到一口4。,若反比例
k
函數(shù)=f(A*0)的圖象經(jīng)過八?點(diǎn),則%的值為()
A.27B.48C.54D.108
36.(22—23九年級(jí)上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?階段練習(xí))(1)如圖I,點(diǎn)2為正方形的。對(duì)角線月C上一動(dòng)點(diǎn),
過點(diǎn)后作即D交BC于點(diǎn)F,試判斷線段ED、EF的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)如圖[,點(diǎn)E為矩形值。對(duì)角線從。上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)£作即±£。交SC于點(diǎn)尸,若加,
DEDE
乙iCB?3(r,試判斷定的值是否為定值?若是定值,請(qǐng)求出百的值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.
37.(24—25九年級(jí)上?全國(guó)?期末)如圖,點(diǎn)&是矩形月夙工」中4。邊上一點(diǎn),一四E沿5E折疊為.鹿,點(diǎn)
尸落在CD上.
(1)求證:一CE5一一「即;
DE=1
⑵若定=1,次—/皿,求5F的值;
38.(24-25九年級(jí)上?四川成都?期中)【定義】
平行四邊形一組鄰邊的中點(diǎn)與不在這組鄰邊上的頂點(diǎn)順次連接而成的三角形如果是直角三角形,則
稱這個(gè)三角形為平行四邊形的“中直三角形”.
【初步感知】
AD
如圖1,13CD為矩形,即為其“中直三角形”,其中「卿=90?,求行的值;
【深入探究】
AD
如圖1,.BF為」4次'。的"中直三角形",其中JCF£-90*,上BYT,求行的值;
【拓展延伸】
AB4
在一/BC中,3=90?,羨,以J3IC為中直三角形的平行四邊形的一組鄰邊的長(zhǎng)記為以“,其
m
中)n>“,請(qǐng)直接寫出7的值.
?M
AED
圖1圖2
39.(24—25九年級(jí)上?陜西榆林?期中)(1)如圖:,在矩形月或'。中,&為4b邊上一點(diǎn),連接,過點(diǎn)
E作即J.DE交BC于點(diǎn)F.
【探究證明】?求證:aiiDs△司芯;
【特例分析】若幺3-10,4。?6為48的中點(diǎn),求SF的長(zhǎng).
【衍生拓展】⑵如圖2,在^ABC中,90*,68,D是因的中點(diǎn),射線DK,“
DE
分別交48,4:?于點(diǎn)后,耳,且一劫產(chǎn)?90*,求正的值.
【題型13】“一線三等角”模型;
40.(24-25九年級(jí)上?江西撫州?期中)如圖,在等邊三角形45c中,點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)不與端
點(diǎn)重合),作-60*,PE交邊月O于點(diǎn)&,PD交邊A8于點(diǎn)D.
⑴求證:_9吟-CEP;
⑵若4010,五13,BPCP-4【,求CE的長(zhǎng).
41.(2024?河北秦皇島?模擬預(yù)測(cè))如圖,J3C和-D那是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,
ZfUC-NADF?90*,GEF的頂點(diǎn)&與-ABC的斜邊房?的中點(diǎn)重合,將AD臚繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)
過程中,線段DB與線段A上,相交于點(diǎn)P,線段即'與射線CA相交于點(diǎn)Q.
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)。在線段人,上,且山?4。時(shí),求證:ABPE二二rf;
⑵如圖②,當(dāng)點(diǎn)。在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí),求證:-BPE-CEQ.
圖①圖②
【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形的
外角性質(zhì).
(1)由一/A?是等腰直角三角形,易得又由觸?40,后是5c的中點(diǎn),利
用勺AS,可證得:苫;
⑵由_ABC和必職是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,易得/8?4>〃斯?45"然后利用三角形
的外角的性質(zhì),即可得N彩P-,則可證得:-BPS-C3Q.
(1)證明:是等腰直角三角形,
ZB-ZC-45,,AB-4C,
:AP=AQ,
BP=CQ,
?.?b是次的中點(diǎn),
BE^CE,
在AB陽(yáng)和.中,
fBE^CE
jzB-ZC
-BPE-Ct'i,lSAS).
(2)證明:反'和LD明是兩個(gè)全等的等腰直角三角形,
ZB-ZC-ZZ)£F-45*,
?.?3070C+NC,
即XBEP+^DEF-Z5:C+zC,
3tm45?Y喀+45?,?M
4BSP="QC,
dSPRsaCXQ.
42.(24-25九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?期中)[問題提出]
點(diǎn)E是菱形ABCD邊上一點(diǎn),-A£F是等腰三角形,Aff.£F,£ABF~ZABC~a,
(OD*<a<lS0,)AF,即交邊CD于點(diǎn)G,H,連接OF.探究一女字與a的數(shù)量關(guān)系.
⑴如圖L當(dāng)a-9『時(shí),求NGCF的度數(shù);
(2)如圖2,當(dāng)a?H0?時(shí),的度數(shù)=;當(dāng)9(T4a<180?時(shí),求一的與a之間的數(shù)量關(guān)
系.
[問題拓展]
當(dāng)a?90?時(shí),若,則=.
【題型14】“對(duì)角互補(bǔ)”模型;
43.(24—25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))如圖,在Rt/BC中,口、=90?,4(【慶’,。是45邊上一點(diǎn),且
BD^2AD,E是40邊上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)。作QE的垂線交線段BC?于點(diǎn)F,試探究線段,BF,AB
之間的數(shù)量關(guān)系.
44.(24—25九年級(jí)上?河北石家莊?階段練習(xí))如圖,在中,乙4。8?90*,45(?=30?,直角
OA£
一,花孔’的頂點(diǎn)。在45上,。M、ON分別交。、。8于點(diǎn)?、。,一欣爾繞點(diǎn)0任意旋轉(zhuǎn),當(dāng)西=?
OP04mOP
時(shí),3口的值為;當(dāng)麗時(shí),】‘〔'的值為.(用含小,"的式子表示)
?M
【題型15】“十字架”模型;
45.(24—25九年級(jí)上?山東苗澤?期中)如圖,在矩形45CD中,4。是對(duì)角線,曲14C于點(diǎn)F,交4。于
點(diǎn)E,TS=4,求的長(zhǎng).
46.(23-24九年級(jí)上?重慶沙坪壩?階段練習(xí))如圖所示,將矩形小。分別沿SE,即,F(xiàn)G翻折,翻折后
點(diǎn)人,點(diǎn)。,點(diǎn)。都落在點(diǎn)H上,若=4,則GH=
47.(2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))(1)如圖①,四邊形從反少為正方形,哥'_L4E,那么"與?1E相等
嗎?為什么?
(2)如圖②,在Rt&lbC中,B4-BC.ZABC-90*.D為AT邊的中點(diǎn),即14>于點(diǎn)B,交4?于點(diǎn)尸,
求斯5V的值;
(3)如圖③,Rt—CB中,44BC=90\D為邊的中點(diǎn),即,/。于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F,若
AB-^BC-4,求的長(zhǎng).
【題型16】“三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型;?M
48.(24-25九年級(jí)上?浙江?期末)有一塊三角形余料,它的邊,高線4D?SQmm要把它加
工成矩形零件,使矩形的一邊在灰’上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在48,4。上.設(shè)」,
爾..Nmm)
(1)求夕關(guān)于,的函數(shù)表達(dá)式及自變量C的取值范圍.
.2.
(2)當(dāng)?'=?'時(shí),求加工成的矩形零件的周長(zhǎng).
49.(24—25九年級(jí)上?山東聊城?階段練習(xí))如圖,有一塊形狀為直角三角形的余料43c.已知90?,
AB-6力,4(7=S:m,要把它加工成個(gè)平行四邊形工件;面G,使印在邊友?上,。,E兩點(diǎn)分別在
邊八8,AC上,且5cm,則平行四邊形。冊(cè)?的面積為.
50.(2023九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))如圖,在_ASC中,5C-12,高居-6,正方形ZTOH一邊在5c上,
點(diǎn)三F分別在4B.A「上,交即于點(diǎn)",求人”的長(zhǎng).
51.(2024九年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí))如圖,在qABC中,CQ,48于點(diǎn)。,正方形打(;〃的四個(gè)頂點(diǎn)都在
j_JL_L
-481的邊上.求證:A?+CDFF
【題型17】“雙垂直等角”模型
52.(24—25九年級(jí)上?四川達(dá)州?期末)如圖,在正方形45VD中,點(diǎn)E是對(duì)角線班)上一點(diǎn),連接£4,過
點(diǎn)E作/1E的垂線交5c邊于點(diǎn)斤,連接并延長(zhǎng)(宏,交月D邊于點(diǎn)G.
⑴求證:府=EF;
(2)若月E=4,無(wú)?3k,求線段0E的長(zhǎng).
53.(2024.黑龍江大慶.模擬預(yù)測(cè))如圖,在Rt./直'中,一41'8=9(T,AC~3,BC-A,E為線段48上一
CF^-CE
動(dòng)點(diǎn),?且4,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)人時(shí),點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為
54.(23—24九年級(jí)上?四川內(nèi)江?階段練習(xí))如圖,和.既X’都是等腰直角三角形,
ZAe?ZJCD?如?,頂點(diǎn)A在邊£0上,48與Cff相交于點(diǎn)『若/&=?,3-4,則二的面積為
【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型?M
55.(24—25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))如圖,_刊慶'和CTF均為等腰直角三角形?一即'?90',
E在內(nèi),NC1Z+NC郎=90,.若郎=1,?,則C£=.
56.(2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))如圖,在45C0中,",石。相交于點(diǎn)。,將“5C。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至
nEDCF的位置,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)。處,B,。,。,E四點(diǎn)共線,請(qǐng)完成下列問題:
(1)已知一則一網(wǎng)二)-(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若A??],則二J的長(zhǎng)為.
【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型
57.(24-25九年級(jí)上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí))四邊形從度'D和四邊形人必W、'有公共頂點(diǎn)4連接SM和
DN.
(1)如圖1,若四邊形ABC'D和四邊形公仆W都是正方形,當(dāng)正方形4MPN繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)Q角
(『<<1<360*)時(shí),8卸和加的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;
ABAM_1
(2)如圖2,若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是矩形,且而二石廠有,判斷8M和ZW的數(shù)量關(guān)系
和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,若,3/=【,矩形4MW繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角0<a<36(r),當(dāng)
MN,肪時(shí),直接寫出線段2W的長(zhǎng).
58.(24-25九年級(jí)上?山東日照?階段練習(xí))【問題呈現(xiàn)】
△C4B和二CD芯都是直角三角形,,CB-冽C4,,連接,8E,探究
AD,BE的位置關(guān)系.
(1)如圖1,當(dāng)m?1時(shí),直接寫出4Q與8E的位置關(guān)系:;AD與BE的數(shù)量關(guān)系為;
(2)如圖2,當(dāng)加?1時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,給出證明;若不成立,寫出正確的結(jié)論并說(shuō)明
理由.(AD與5E的數(shù)量關(guān)系可用含,力式子表示)
【拓展應(yīng)用】
⑶當(dāng)m?后,4B=2",4時(shí),將二CD芯繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn),使A,D,M三點(diǎn)恰好在同一直線上,求
59.(23-24九年級(jí)上?云南玉溪?期末)ii如圖1,正方形ABCD和正方形Q及鼠:(其中/IB>DE),連接
CE,4G交于點(diǎn)H,請(qǐng)直接寫出線段4G與CE的數(shù)量關(guān)系,位置關(guān)系;
.如圖〕,矩形ABCD和矩形DZTC,AD-2DG,AB?IDS.AD^DR,將矩形-底;;繞點(diǎn);逆時(shí)
針旋轉(zhuǎn)a(『<a<36(T),連接AG,CE交于點(diǎn)H,U)中線段關(guān)系還成立嗎?若成立,請(qǐng)寫出理由;若
不成立,請(qǐng)寫出線段AG,CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
⑶矩形4MD和矩形DWG,4D-2DG?6,,將矩形皿G繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
a00<a"I,直線4G,G:.交于點(diǎn)〃,當(dāng)點(diǎn)&與點(diǎn)H重合時(shí),請(qǐng)直接寫出線段AE的長(zhǎng).
【題型20】“平行線+角平分線=等腰三角形模型”.
60.(24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí))如圖,在J3C中,改、-4,夙尸分別是46?,水'的?中點(diǎn)?,動(dòng)
點(diǎn)P在射線即上,即交Cff于點(diǎn)。,一C5P的平分線交Cff于Q,當(dāng)C°二『'E時(shí),*>+8尸()
A.8B.4.C.4D.10
?A
相他三角形幾何模型版與題(精送精株)
【題型目錄】
【題型1】“4字”模型;...................................................................2
【題型2】“反人字”模型;................................................................4
【題型3】“8字”模型;....................................................................6
【題型4】“反8字”模型;.................................................................8
【題型5】“雙人字”模型;...............................................................11
【題型6】“雙8字”模型;................................................................15
【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合;.................................................18
【題型8】“共邊等角”模型;..............................................................19
【題型9】“共頂點(diǎn)等角“模”;............................................................22
【題型10]“母子”模型..................................................................23
【題型H】與“射影”模型;...............................................................29
【題型12】“一線三直角”模型;...........................................................35
【題型13】“一線三等角”模型;...........................................................44
【題型14】“對(duì)角互補(bǔ)”模型;............................................................49
【題型15】“十字架”模型;...............................................................52
【題型16】“三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型;...............................................56
【題型17】“雙垂直等角”模型............................................................59
【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型..............................................................63
【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型............................................................66
【題型20]“平行線+角平分線=等腰三角形模型”......................................74
【題型1】“A字”模型;
1.(2024.貴州貴陽(yáng).二模)如圖,在RtAX鬣中,D"分別為邊因,4。上的點(diǎn),連接",將"BC沿
nF折疊,使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合,若4/!£=■?,則>48的長(zhǎng)為()
C.8D.10
【答案】B
【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),由折疊性質(zhì)得
,及J的F'C,求得£0?施匚7F?3,再證明4a0-LABC,得
EDJC_1
/=而=三,則45??屹-6,于是得到問題的答案.求得即?3,并且證明.jSDC?八心。是解題
的關(guān)鍵.
:DiC=ZDA4=Ll8(r=90-
EC=RA=—AC
解:由折疊得
:AD~5,A£~4,
:.XD-4AD-AR:=75-4;-3,
???ZDFC=ZF4C=P0*,ZC=ZC,
二EDC、,^A3C,
ED_EC
7B"ACS2,
^S-2£D-2x3-fi,
故選:B.
2.(24-25九年級(jí)上?江蘇南通?開學(xué)考試)如圖,在LABC中,-C-州?,將AABC沿直線翻折后,頂
點(diǎn)C恰好落在48邊上的點(diǎn)D處,已知MNA?,MC-6,M7-4,則四邊形M4BN的面積是
【答案】36
【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).首先連接CD,交MV
于七,由將-48。沿直線J/V翻折后,頂點(diǎn)「恰好落在48邊上的點(diǎn)「處,即可得AW1S,且
蠹」DE,又由MXAR,易得一CAWC45,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的?平方,M相似三角
形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比,即可得;,1CD)4,又由M:=6J、'。-4,即可求得四邊形的面
積.
解:連接8,交從"于反,
?.?將J8C沿直線翻折后,頂點(diǎn)。恰好落在48邊上的點(diǎn)口處,
MNLCD,SLCE-DE,
CD-2CE,
;MNAB,
CDLAB,
占CW£C4B,
?.?在ACW中,-90,,MC-6,M7r4,
S…=1CM.CM=1>>6?4312
--,
s,=45,=4>12=48,
$“i=S,,-S-=4ST"X.
故答案為:36.
3.(23—24九年級(jí)下?全國(guó)?期中)如圖,在_AfiC中,。在月。上,DEBC.DFAB.
⑴求證:_A?D;
CDs—AC
⑵若3,求'的值.
【答案】(1)見解析(2);
【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定,熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
⑴由題意得出二射’-四「-月曲’」的,然后問題可求證;
AD=二"
(2)由(1)及題意得出.-3,然后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可得
■
9?舊£,然后問題可求解.
解:⑴?.?JFBC.DFAB,
ABC?出ADR?NC/CFD?ZB.ZCDP-A,
一-ABC--AED^ABC,
^DFCs拄D.
(2)由(1)可知AABC^AEDs.ABC;
^CD^-AC
3,
AD-jAC
9
DK■]S_”.S_g-,S-山
g
?*.uo?
【題型2】“反A字”模型;
4.(2025九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))如圖,Rt:中,/3=90。,點(diǎn)。在邊幺。上,且DE/4。交友'于
點(diǎn)E.
(1)求證:&。*4俎;
⑵若/=6BC=8,E是友1中點(diǎn),求DE的長(zhǎng).
【答案】⑴見解析⑵24
【分析】(1)由DA_L4C,N8-90*可得出再結(jié)合公共角相等,即可證出;
⑵在Rtd5、’中,點(diǎn)E為線段度'的中點(diǎn)可求出CE的長(zhǎng),再利用相似三角形的性質(zhì),即可求出:>S的長(zhǎng).
本題考查了勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.
解:(1)證明::OF_L-5=P0,.
ZCD£-90,-Z5.
又:
^CDE;
⑵在Rl/S「中,NB-W,AS-6,3C-S.???
AC=-jBC+A3=10
是反'中點(diǎn),
Cg=lsC=4
v^CDE^CBA,
/.'BA~CA
DE_4
即7-=而
5.(19-20九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))如圖,5D,CE分別是從'與45邊上的高.
求證:一一3C.
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.根
據(jù)BD,CE分別是與A8邊上的高,得到-ADS~^A3C~90,,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即
可得到結(jié)論.
證明:80,08分別是月C與A8邊上的高,
乙IDB=90,,
-A-a,
.AI^-.AEC,
空■生
而一而,
即而
6.(23—24九年級(jí)下.貴州黔東南.階段練習(xí))如圖,_A9C中,月3「月。=4瓜?=,以八八為直徑的
分別交41,,放'于點(diǎn)。,及連接即,則口)的長(zhǎng)為()
?M
'1)
BEC
25_
A.1B.TC.2D.T
【答案】B
【分析】本題考查圓中求線段長(zhǎng),涉及圓周角定理及其推論、等腰三角形判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、相
似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),先由直徑所對(duì)的圓周角是直角,再由等腰三角形三線合一得到
無(wú)?"?、萬(wàn),根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到一。?一3?一EDC,結(jié)合三角形相似的判定與性質(zhì)即可得到
答案,熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)求線段長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵.
解:連接耳£,如圖所示:
為J的直徑,
ZAS8-90?,即AEJ.SC,
在-Ab,中,月s-』:一45m5
則BE-CE-6,
,四邊形/I斑£>是J的內(nèi)接四邊形,
???Z5DC-Z5,
?「在中;。
工■空DC,
-ABC--ECD,
生=里
BC=~AB,
半?近8二日萬(wàn)一3
即4,解得42,
故選:B.
【題型3】“8字”模型;
AF
7.(23-24九年級(jí)上.北京.階段練習(xí))如圖,在菱形48CD中,點(diǎn)E在5C上,兒8-5,改=3,則數(shù)為
()?M
3£45
A.5B.7C.TD.I
【答案】。
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì),三角形相似的判定和性質(zhì)解答即可.
本題考查了菱形的性質(zhì),三角形相似的判定和性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
解:?.?四邊形兒5co是菱形,兒8,5,即-3,
:,4。115c.DA-AB~5,
二口兒7_BSP,
AFDA5
SE~1,
故選:D.
8.(23—24九年級(jí)下.山東棗莊.開學(xué)考試)如圖,在二AST中,點(diǎn)&是線段月。上一點(diǎn),月EC£-l:!,過
點(diǎn)C作CD四交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。,若_兒5£的面積等于4,則一BCD的面積等于()
A.8B.16C.24D.32
【答案】。
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì),根據(jù)三角形的面積公式
求出一必E的面積的值是本題解題關(guān)鍵由-灰‘£中」邊上的高和一2中AE邊上的高相等可求得
S一=3,根據(jù)相似三角形的判定證得_CD£,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.
解:?.?_及£中邊上的高和一蛇£中邊上的高相等,且,4E-12,
...S..?電心-2x4-8,
?/CDAB,
???上ABE=ZD^DCB,
.ABE--CDE,
BEAE
~DE~CE~^,
?.??<=2S.m41ti=2x8=16,
」BCD的面積等于8+16?24?M
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