中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練《相似三角形》幾何模型（含答案及解析）

相他三角形幾何模型版與題（精送精株）

【題型目錄】

【題型1】“A字”模型；....................................................................2

【題型2】“反A字”模型；..................................................................2

【題型3】"8字”模型；.....................................................................3

【題型4】“反8字”模型；..................................................................4

【題型5】“雙A字”模型；..................................................................5

【題型6】"雙8字”模型；...................................................................6

【題型7】“4字模型”與“8字模型”綜合；....................................................6

【題型8】“共邊等角”模型；................................................................7

【題型9】“共頂點(diǎn)等角“模”；...............................................................8

【題型10]“母子”模型.....................................................................8

【題型11】與“射影”模型；................................................................10

【題型12】“一線三直角”模型；............................................................11

【題型13】“一線三等角”模型；............................................................13

【題型14】“對(duì)角互補(bǔ)”模型；...............................................................15

【題型15】“十字架”模型；................................................................16

【題型16]''三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型；..................................................16

【題型17】“雙垂直等角”模型..............................................................18

【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型...............................................................18

【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型..............................................................19

【題型20]“平行線+角平分線=等腰三角形模型”.........................................20

???

【題型1】“A字”模型；

1.（2024.貴州貴陽(yáng).二模）如圖，在RtAX鬣中,D"分別為邊因，4。上的點(diǎn)，連接"，將"BC沿

nF折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，若4/!￡=■?，則＞48的長(zhǎng)為（）

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?開學(xué)考試）如圖，在UBC中，-90*,將AABC沿直線AC'翻折后，頂

點(diǎn)。恰好落在48邊上的點(diǎn)。處，已知MNA?,MC-6-4，則四邊形M4&Y的面積是.

3.（23—24九年級(jí)下?全國(guó)?期中）如圖,在_4紀(jì)中，。在』O上，。鼠BC,DFAB.

⑴求證：二ar二加；

1品%-

CD^-AC

⑵若3，求S,的值.

【題型2】“反A字”模型；

4.（2025九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，Rt1/8C中，NB=90?，點(diǎn)。在邊月。上,且。F/4C交A7于

點(diǎn)E.

⑴求證：_CZ）F-CBA；

⑵若.鉆二&是反'中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng).

D

BE

5.（19-20九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，處，分別是AC與4B邊上的高.

求證:ABC.

.A

6.（23-24九年級(jí)下?貴州黔東南?階段練習(xí)）如圖，中,AB?AC^A,反*■,以48為直徑的

。。分別交AC,5c于點(diǎn)。，瓦連接ED,則的長(zhǎng)為（）

公

5'-----EC

25

A.1B.TC.2D.2

【題型3】“8字”模型；

AF

7.（23-24九年級(jí)上?北京?階段練習(xí)）如圖，在菱形兒BCD中點(diǎn)后在BC上，43?5,因?3,則而為

（）

AD

欠

BEC

3￡45

A.5B.7C.TD.3

8.（23—24九年級(jí)下?山東棗莊?開學(xué)考試）如圖，在一月紀(jì)中，點(diǎn)&是線段A。上一點(diǎn)，432,過

點(diǎn)。作8油交SE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，若-/I5E的面積等于4,則-8CP的面積等于（）

9.（24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)￡是平行四邊形兒9CD邊4。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交8于

點(diǎn)H,如果前一^,那么兩

DE

【題型4】“反8字”模型；

10.（24-25九年級(jí)上?上海奉賢?階段練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，月。與見，相交于點(diǎn)O,

⑴求證：4OD上8。。；

⑵若QOBHSg”,求的值.

11.（24-25九年級(jí)上?廣西桂林?期中）如圖，4C,班）相交于點(diǎn)。，-5?一I'

（1）求證一DCU；

⑵已知3,2,M0B的面積為6,求△DOC的面積.

12.（23—24九年級(jí)上.安徽.單元測(cè)試）已知：如圖，在。。中，弦48相交于點(diǎn)P,??|=2,/S-6,

汽'=3,則用=

ti

D

【題型5】“雙A字”模型；

13.（24—25九年級(jí)上?全國(guó)?期末）如圖，4。是3c的中線，p為月0上任意一點(diǎn)，連接即并延長(zhǎng)交

/C于F,連接W并延長(zhǎng)交48于￡,連接即.求證：斯

14.（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖1,已知"SC,D是上一點(diǎn)，即，BC交48于點(diǎn)E，交月＜?

BGGF

于點(diǎn)尸，連接4。，力。與斯交于G.求證:而=慶\

15.（24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）如圖，A。和雙'相交于點(diǎn)M-3D,點(diǎn)尸在CD上U4,

S川3.

⑴求郎的長(zhǎng)；

⑵已知S.=：3，求的面積.

BD

16.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）據(jù)《墨經(jīng)》記載,在兩千多年前，我國(guó)學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn),

闡釋了光的直線傳播原理.小孔成像的示意圖如圖所示,光線經(jīng)過小孔O,物體48在幕布上形成倒

立的實(shí)像CD（點(diǎn)人、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）.若物體45的高為,實(shí)像CD的高度為12、,，則

小孔O的高度CE為口】.

EC

【題型6】“雙8字”模型；

17.（2024.吉林長(zhǎng)春模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)D、尸分別在邊反'、48上，線段加）、。尸相交于點(diǎn)

DC-12,AB:XD~35.若二4b'的面積為2,則一月寬’的面積為（）

BD

AZ=_EBAF——FD

18.（2024.陜西渭南.二模）如圖，平行四邊形兒火工」中，2,3，連&F交業(yè)’于G,則

AC.GC-.

19.（23-24九年級(jí)上?上海松江?階段練習(xí)）如圖，平行四邊形月我中，13,E，尸是對(duì)角線月C上

的兩點(diǎn)，且點(diǎn)后,尸是線段4c的三等分點(diǎn)，￡將交48于點(diǎn)M,W交CD于點(diǎn)N,則.

DNC

AMN

【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合;?M

20.（24—25九年級(jí)上?河南南陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，45CDEF,??？與班:，相交于點(diǎn)E,若,

CD

A.3B.2C.3D.4

21.（23—24九年級(jí)下.浙江金華.開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形兒文工）中，4是邊AD延長(zhǎng)線上的一

點(diǎn)，連結(jié)BE交邊8于點(diǎn)F，交對(duì)角線AC于點(diǎn)G,若DA-1.g?2,則

【題型8】“共邊等角”模型；

22.（23—24九年級(jí)上.遼寧鞍山?期中）如圖，”平分一￡4（7,。為AE中點(diǎn)，乙8?47,求證：3-%，

23.（24—25九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）如圖，在Rt&lBC中，/4C8?90*,

的J.AS于8,點(diǎn)。為射線SE上一點(diǎn)，連接力。，若一四D與一力5V相似.

（1）求AD的長(zhǎng)；

（2）請(qǐng)直接寫出一檢D與乙45c的面積比.

?M

A

E

\

CB

24.（2024.江蘇揚(yáng)州.三模）如圖，在區(qū)1'/31'中，乙1（?8?90*,AB-i，。為直線4。左側(cè)一點(diǎn).若

-ABC,則二，二+，二J的最大值為.

【題型9】“共頂點(diǎn)等角“?！保?/p>

25.在UBC和一4ED中，45疝）?力。公，,求證：工XBC*s二皿）.

26.（23—24九年級(jí)上?廣東深圳?期中）在銳角三角形4度，中，點(diǎn)。、E分別在邊AB^AC±,AFJ.BC于

點(diǎn)F,AG1DS于點(diǎn)G,Z547-ZZ4G.

⑴求證?_月&；

⑵若4E-5,月G=2,EG?l,求,畫的長(zhǎng).

【題型10]“母子”模型

27.（24—25九年級(jí)上?山東荷澤?期中）如圖的頂點(diǎn)48在。。上，邊月。與。。’相交于點(diǎn)

ZB4C-45,，連接8交于點(diǎn)及乙iDO-，C.

（1）求證：是。。的切線；

⑵若49?12，郎~3，求助的長(zhǎng).?M

28.(22—23九年級(jí)上?浙江杭州?期末)如圖，在正五邊形質(zhì)B2中，連結(jié)乂CAD.CZ.CE交AD于點(diǎn)F

(1)求一IX。的度數(shù).

(2)已知小2，求W的長(zhǎng).

ABAC

29.(24-25九年級(jí)上?浙江?期中)如圖，在-ABC中，。是月U上一點(diǎn)，已知芯=Q.

(1)求證：=48。=廣C；

(2)已知，一C-40?，求NCSO的度數(shù).

30.(24—25九年級(jí)上?浙江?期末)如圖，在一月3c中，。為邊A8的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊4C上，連結(jié)加，并延

長(zhǎng)ZD至點(diǎn)F,連結(jié)4T,使仙“8C,且爐工FD?FB-

(1)求證：ZWD=/F幽.

⑵若HB70求上'的長(zhǎng).

?M

FA

31.（24-25九年級(jí)上?湖南岳陽(yáng)?期中）探究:

⑴如圖一，若乙-ZDK*，求證：*?CDC4；

⑵如圖二，若乙4CH?，“'=B及、=4,求的長(zhǎng);

⑶如圖三，在等腰直角J3C中，＞「3=加$，。是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且心=，求

所+標(biāo)

的最小值.

【題型11】與“射影”模型;

32.（20-21九年級(jí)?江蘇南京?自主招生）點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，CD?119,△DEG沿戰(zhàn):翻折使點(diǎn)

F落在BE上，四邊形ABCD為矩形,求EG

33.（24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)￡是正方形A3CD邊BC上一點(diǎn)，過￡作』E的垂線,

交C"于點(diǎn)尸，交川；的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

⑴求證：一A9E-SCF；

⑵若正方形的邊長(zhǎng)為3.點(diǎn)后是反'的中點(diǎn)，求加的長(zhǎng).

34.（24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)'，），點(diǎn)…D分別在1軸,.「軸

的正半軸上，線段。月、CB的長(zhǎng)度都是方程1-八+2-0的解，且。3＞。從若點(diǎn)p從C點(diǎn)出發(fā)，以每

秒1個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AP.

（1）如圖：，判斷三角形乂氏'的形狀,并說(shuō)明理由.

（2）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，利用圖1及備用圖1探究,當(dāng)二月0P周長(zhǎng)最短時(shí)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

（3）在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，利用備用圖?探究，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A,Q,P為頂點(diǎn)的三角形與

一八」5相似？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

35.（2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形以反、的邊CD、。/1分別在\軸和,「軸上,

C/4-15，點(diǎn)。是邊48上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，將一$1。沿直線QD折疊后得到一口4。，若反比例

k

函數(shù)=f（A*0）的圖象經(jīng)過八?點(diǎn)，則%的值為（）

A.27B.48C.54D.108

36.（22—23九年級(jí)上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?階段練習(xí)）（1）如圖I,點(diǎn)2為正方形的。對(duì)角線月C上一動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)后作即D交BC于點(diǎn)F,試判斷線段ED、EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖［，點(diǎn)E為矩形值。對(duì)角線從。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)￡作即±￡。交SC于點(diǎn)尸，若加,

DEDE

乙iCB?3(r，試判斷定的值是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出百的值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.

37.(24—25九年級(jí)上?全國(guó)?期末)如圖，點(diǎn)&是矩形月夙工」中4。邊上一點(diǎn)，一四E沿5E折疊為.鹿，點(diǎn)

尸落在CD上.

(1)求證：一CE5一一「即；

DE=1

⑵若定=1，次—/皿，求5F的值；

38.(24-25九年級(jí)上?四川成都?期中)【定義】

平行四邊形一組鄰邊的中點(diǎn)與不在這組鄰邊上的頂點(diǎn)順次連接而成的三角形如果是直角三角形，則

稱這個(gè)三角形為平行四邊形的“中直三角形”.

【初步感知】

AD

如圖1,13CD為矩形，即為其“中直三角形”，其中「卿=90?，求行的值；

【深入探究】

AD

如圖1,.BF為」4次'。的"中直三角形"，其中JCF￡-90*，上BYT,求行的值；

【拓展延伸】

AB4

在一/BC中，3=90?，羨，以J3IC為中直三角形的平行四邊形的一組鄰邊的長(zhǎng)記為以“，其

m

中)n>“，請(qǐng)直接寫出7的值.

?M

AED

圖1圖2

39.（24—25九年級(jí)上?陜西榆林?期中）（1）如圖：，在矩形月或'。中，&為4b邊上一點(diǎn)，連接,過點(diǎn)

E作即J.DE交BC于點(diǎn)F.

【探究證明】?求證：aiiDs△司芯；

【特例分析】若幺3-10,4。?6為48的中點(diǎn)，求SF的長(zhǎng).

【衍生拓展】⑵如圖2,在^ABC中，90*,68,D是因的中點(diǎn)，射線DK,“

DE

分別交48，4:？于點(diǎn)后，耳，且一劫產(chǎn)?90*,求正的值.

【題型13】“一線三等角”模型；

40.（24-25九年級(jí)上?江西撫州?期中）如圖，在等邊三角形45c中，點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)不與端

點(diǎn)重合），作-60*,PE交邊月O于點(diǎn)&,PD交邊A8于點(diǎn)D.

⑴求證：_9吟-CEP；

⑵若4010,五13,BPCP-4【，求CE的長(zhǎng).

41.（2024?河北秦皇島?模擬預(yù)測(cè)）如圖，J3C和-D那是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

ZfUC-NADF?90*,GEF的頂點(diǎn)&與-ABC的斜邊房?的中點(diǎn)重合，將AD臚繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)

過程中,線段DB與線段A上，相交于點(diǎn)P，線段即'與射線CA相交于點(diǎn)Q.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在線段人,上，且山?4。時(shí),求證:ABPE二二rf；

⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：-BPE-CEQ.

圖①圖②

【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形的

外角性質(zhì).

(1)由一/A?是等腰直角三角形，易得又由觸?40,后是5c的中點(diǎn)，利

用勺AS,可證得：苫；

⑵由_ABC和必職是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，易得/8?4>〃斯?45"然后利用三角形

的外角的性質(zhì)，即可得N彩P-，則可證得：-BPS-C3Q.

(1)證明：是等腰直角三角形，

ZB-ZC-45,,AB-4C,

:AP=AQ,

BP=CQ,

?.?b是次的中點(diǎn)，

BE^CE,

在AB陽(yáng)和.中，

fBE^CE

jzB-ZC

-BPE-Ct'i,lSAS).

(2)證明：反'和LD明是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，

ZB-ZC-ZZ)￡F-45*,

?.?3070C+NC,

即XBEP+^DEF-Z5：C+zC,

3tm45?Y喀+45?，?M

4BSP="QC,

dSPRsaCXQ.

42.（24-25九年級(jí)上?遼寧沈陽(yáng)?期中）［問題提出］

點(diǎn)E是菱形ABCD邊上一點(diǎn)，-A￡F是等腰三角形，Aff.￡F,￡ABF~ZABC~a,

（OD*<a<lS0,）AF,即交邊CD于點(diǎn)G,H,連接OF.探究一女字與a的數(shù)量關(guān)系.

⑴如圖L當(dāng)a-9『時(shí)，求NGCF的度數(shù);

（2）如圖2,當(dāng)a?H0?時(shí)，的度數(shù)=；當(dāng)9（T4a<180?時(shí)，求一的與a之間的數(shù)量關(guān)

系.

［問題拓展］

當(dāng)a?90?時(shí)，若,則=.

【題型14】“對(duì)角互補(bǔ)”模型；

43.（24—25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在Rt/BC中，口、=90?，4（【慶’，。是45邊上一點(diǎn)，且

BD^2AD,E是40邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作QE的垂線交線段BC?于點(diǎn)F,試探究線段,BF,AB

之間的數(shù)量關(guān)系.

44.（24—25九年級(jí)上?河北石家莊?階段練習(xí)）如圖，在中，乙4。8?90*,45（?=30?，直角

OA￡

一，花孔’的頂點(diǎn)。在45上，。M、ON分別交。、。8于點(diǎn)？、。，一欣爾繞點(diǎn)0任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)西=?

OP04mOP

時(shí)，3口的值為；當(dāng)麗時(shí)，】‘〔'的值為.（用含小，"的式子表示）

?M

【題型15】“十字架”模型；

45.（24—25九年級(jí)上?山東苗澤?期中）如圖，在矩形45CD中，4。是對(duì)角線，曲14C于點(diǎn)F,交4。于

點(diǎn)E,TS=4,求的長(zhǎng).

46.（23-24九年級(jí)上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）如圖所示,將矩形小。分別沿SE，即，F(xiàn)G翻折,翻折后

點(diǎn)人，點(diǎn)。，點(diǎn)。都落在點(diǎn)H上，若=4，則GH=

47.（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）（1）如圖①，四邊形從反少為正方形，哥'_L4E，那么"與？1E相等

嗎？為什么？

（2）如圖②，在Rt&lbC中，B4-BC.ZABC-90*.D為AT邊的中點(diǎn)，即14＞于點(diǎn)B,交4?于點(diǎn)尸，

求斯5V的值；

（3）如圖③，Rt—CB中，44BC=90\D為邊的中點(diǎn)，即，/。于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F,若

AB-^BC-4，求的長(zhǎng).

【題型16】“三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型;?M

48.（24-25九年級(jí)上?浙江?期末）有一塊三角形余料，它的邊，高線4D?SQmm要把它加

工成矩形零件，使矩形的一邊在灰’上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在48,4。上.設(shè)」,

爾..Nmm）

（1）求夕關(guān)于，的函數(shù)表達(dá)式及自變量C的取值范圍.

.2.

（2）當(dāng)?'=?'時(shí)，求加工成的矩形零件的周長(zhǎng).

49.（24—25九年級(jí)上?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，有一塊形狀為直角三角形的余料43c.已知90?，

AB-6力，4（7=S:m,要把它加工成個(gè)平行四邊形工件;面G，使印在邊友?上，。，E兩點(diǎn)分別在

邊八8,AC上，且5cm，則平行四邊形。冊(cè)？的面積為.

50.（2023九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，在_ASC中，5C-12，高居-6,正方形ZTOH一邊在5c上,

點(diǎn)三F分別在4B.A「上，交即于點(diǎn)"，求人”的長(zhǎng).

51.（2024九年級(jí)上.全國(guó).專題練習(xí)）如圖，在qABC中，CQ，48于點(diǎn)。，正方形打（；〃的四個(gè)頂點(diǎn)都在

j_JL_L

-481的邊上.求證：A?+CDFF

【題型17】“雙垂直等角”模型

52.（24—25九年級(jí)上?四川達(dá)州?期末）如圖，在正方形45VD中，點(diǎn)E是對(duì)角線班）上一點(diǎn)，連接￡4，過

點(diǎn)E作/1E的垂線交5c邊于點(diǎn)斤，連接并延長(zhǎng)（宏，交月D邊于點(diǎn)G.

⑴求證：府=EF；

（2）若月E=4,無(wú)?3k,求線段0E的長(zhǎng).

53.（2024.黑龍江大慶.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt./直'中，一41'8=9（T,AC~3,BC-A,E為線段48上一

CF^-CE

動(dòng)點(diǎn)，?且4，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)人時(shí)，點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

54.（23—24九年級(jí)上?四川內(nèi)江?階段練習(xí)）如圖，和.既X’都是等腰直角三角形，

ZAe?ZJCD?如?，頂點(diǎn)A在邊￡0上，48與Cff相交于點(diǎn)『若/&=?,3-4，則二的面積為

【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型?M

55.（24—25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，_刊慶'和CTF均為等腰直角三角形?一即'?90',

E在內(nèi)，NC1Z+NC郎=90,.若郎=1,?,則C￡=.

56.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在45C0中，",石。相交于點(diǎn)。，將“5C。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至

nEDCF的位置,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在點(diǎn)。處，B,。，。，E四點(diǎn)共線,請(qǐng)完成下列問題：

（1）已知一則一網(wǎng)二）-（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）若A??］，則二J的長(zhǎng)為.

【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型

57.（24-25九年級(jí)上?河南信陽(yáng)?階段練習(xí)）四邊形從度'D和四邊形人必W、'有公共頂點(diǎn)4連接SM和

DN.

（1）如圖1,若四邊形ABC'D和四邊形公仆W都是正方形，當(dāng)正方形4MPN繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)Q角

（『<<1<360*）時(shí),8卸和加的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

ABAM_1

（2）如圖2,若四邊形ABCD和四邊形AMPN都是矩形，且而二石廠有,判斷8M和ZW的數(shù)量關(guān)系

和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，若,3/=【，矩形4MW繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角0<a<36（r）,當(dāng)

MN，肪時(shí)，直接寫出線段2W的長(zhǎng).

58.（24-25九年級(jí)上?山東日照?階段練習(xí)）【問題呈現(xiàn)】

△C4B和二CD芯都是直角三角形，,CB-冽C4,,連接,8E，探究

AD,BE的位置關(guān)系.

（1）如圖1,當(dāng)m?1時(shí),直接寫出4Q與8E的位置關(guān)系：；AD與BE的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖2,當(dāng)加?1時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，寫出正確的結(jié)論并說(shuō)明

理由.（AD與5E的數(shù)量關(guān)系可用含，力式子表示）

【拓展應(yīng)用】

⑶當(dāng)m?后，4B=2",4時(shí)，將二CD芯繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，使A,D,M三點(diǎn)恰好在同一直線上，求

59.（23-24九年級(jí)上?云南玉溪?期末）ii如圖1,正方形ABCD和正方形Q及鼠：（其中/IB>DE），連接

CE,4G交于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫出線段4G與CE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；

.如圖〕，矩形ABCD和矩形DZTC,AD-2DG,AB?IDS.AD^DR，將矩形-底;；繞點(diǎn)；逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)a（『<a<36（T）,連接AG,CE交于點(diǎn)H，U）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫出理由；若

不成立，請(qǐng)寫出線段AG,CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

⑶矩形4MD和矩形DWG,4D-2DG?6,,將矩形皿G繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

a00<a"I,直線4G,G：.交于點(diǎn)〃，當(dāng)點(diǎn)&與點(diǎn)H重合時(shí),請(qǐng)直接寫出線段AE的長(zhǎng).

【題型20】“平行線+角平分線=等腰三角形模型”.

60.（24-25九年級(jí)上?江蘇無(wú)錫?階段練習(xí)）如圖，在J3C中，改、-4,夙尸分別是46?,水'的?中點(diǎn)?，動(dòng)

點(diǎn)P在射線即上，即交Cff于點(diǎn)。，一C5P的平分線交Cff于Q,當(dāng)C°二『'E時(shí)，*>+8尸（）

A.8B.4.C.4D.10

?A

相他三角形幾何模型版與題（精送精株）

【題型目錄】

【題型1】“4字”模型；...................................................................2

【題型2】“反人字”模型；................................................................4

【題型3】“8字”模型；....................................................................6

【題型4】“反8字”模型；.................................................................8

【題型5】“雙人字”模型；...............................................................11

【題型6】“雙8字”模型；................................................................15

【題型7】“A字模型”與“8字模型”綜合；.................................................18

【題型8】“共邊等角”模型；..............................................................19

【題型9】“共頂點(diǎn)等角“模”；............................................................22

【題型10]“母子”模型..................................................................23

【題型H】與“射影”模型；...............................................................29

【題型12】“一線三直角”模型；...........................................................35

【題型13】“一線三等角”模型；...........................................................44

【題型14】“對(duì)角互補(bǔ)”模型；............................................................49

【題型15】“十字架”模型；...............................................................52

【題型16】“三角形內(nèi)接特殊四邊形”模型；...............................................56

【題型17】“雙垂直等角”模型............................................................59

【題型18]“旋轉(zhuǎn)相似”模型..............................................................63

【題型19】“旋轉(zhuǎn)手拉手”模型............................................................66

【題型20]“平行線+角平分線=等腰三角形模型”......................................74

【題型1】“A字”模型；

1.（2024.貴州貴陽(yáng).二模）如圖，在RtAX鬣中,D"分別為邊因，4。上的點(diǎn)，連接"，將"BC沿

nF折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，若4/!￡=■?，則＞48的長(zhǎng)為（）

C.8D.10

【答案】B

【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，由折疊性質(zhì)得

,及J的F'C,求得￡0?施匚7F?3，再證明4a0-LABC,得

EDJC_1

/=而=三，則45?？屹-6,于是得到問題的答案.求得即?3，并且證明.jSDC?八心。是解題

的關(guān)鍵.

：DiC=ZDA4=Ll8(r=90-

EC=RA=—AC

解：由折疊得

:AD~5,A￡~4,

：.XD-4AD-AR：=75-4;-3,

???ZDFC=ZF4C=P0*,ZC=ZC,

二EDC、,^A3C,

ED_EC

7B"ACS2,

^S-2￡D-2x3-fi,

故選：B.

2.（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?開學(xué)考試）如圖，在LABC中，-C-州?，將AABC沿直線翻折后，頂

點(diǎn)C恰好落在48邊上的點(diǎn)D處，已知MNA?,MC-6,M7-4，則四邊形M4BN的面積是

【答案】36

【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì).首先連接CD,交MV

于七，由將-48。沿直線J/V翻折后，頂點(diǎn)「恰好落在48邊上的點(diǎn)「處，即可得AW1S,且

蠹」DE,又由MXAR,易得一CAWC45,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的?平方，M相似三角

形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，即可得;，1CD）4,又由M：=6J、'。-4，即可求得四邊形的面

積.

解:連接8,交從"于反，

?.?將J8C沿直線翻折后，頂點(diǎn)。恰好落在48邊上的點(diǎn)口處,

MNLCD,SLCE-DE,

CD-2CE,

;MNAB,

CDLAB,

占CW￡C4B,

?.?在ACW中，-90,,MC-6,M7r4,

S…=1CM.CM=1>>6?4312

--，

s,=45,=4>12=48,

$“i=S,,-S-=4ST"X.

故答案為：36.

3.（23—24九年級(jí)下?全國(guó)?期中）如圖，在_AfiC中，。在月。上，DEBC.DFAB.

⑴求證：_A?D；

CDs—AC

⑵若3，求'的值.

【答案】（1）見解析（2）；

【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

⑴由題意得出二射’-四「-月曲’」的，然后問題可求證；

AD=二"

（2）由（1）及題意得出.-3，然后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可得

■

9?舊￡，然后問題可求解.

解：⑴?.?JFBC.DFAB,

ABC?出ADR?NC/CFD?ZB.ZCDP-A,

一-ABC--AED^ABC,

^DFCs拄D.

(2)由(1)可知AABC^AEDs.ABC；

^CD^-AC

3,

AD-jAC

9

DK■]S_”.S_g-,S-山

g

?*.uo?

【題型2】“反A字”模型；

4.（2025九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，Rt:中，/3=90。，點(diǎn)。在邊幺。上，且DE/4。交友'于

點(diǎn)E.

（1）求證：&。*4俎；

⑵若/=6BC=8,E是友1中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析⑵24

【分析】（1）由DA_L4C,N8-90*可得出再結(jié)合公共角相等，即可證出；

⑵在Rtd5、’中，點(diǎn)E為線段度'的中點(diǎn)可求出CE的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出：＞S的長(zhǎng).

本題考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

解：（1）證明：：OF_L-5=P0,.

ZCD￡-90,-Z5.

又：

^CDE；

⑵在Rl/S「中，NB-W,AS-6,3C-S.???

AC=-jBC+A3=10

是反'中點(diǎn)，

Cg=lsC=4

v^CDE^CBA,

/.'BA~CA

DE_4

即7-=而

5.（19-20九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，5D,CE分別是從'與45邊上的高.

求證：一一3C.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)BD,CE分別是與A8邊上的高,得到-ADS~^A3C~90,,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即

可得到結(jié)論.

證明：80,08分別是月C與A8邊上的高，

乙IDB=90,,

-A-a,

.AI^-.AEC,

空■生

而一而，

即而

6.（23—24九年級(jí)下.貴州黔東南.階段練習(xí)）如圖，_A9C中，月3「月。=4瓜？=,以八八為直徑的

分別交41,，放'于點(diǎn)。，及連接即，則口）的長(zhǎng)為（）

?M

'1)

BEC

25_

A.1B.TC.2D.T

【答案】B

【分析】本題考查圓中求線段長(zhǎng)，涉及圓周角定理及其推論、等腰三角形判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、相

似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，先由直徑所對(duì)的圓周角是直角，再由等腰三角形三線合一得到

無(wú)?"?、萬(wàn)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得到一。?一3?一EDC，結(jié)合三角形相似的判定與性質(zhì)即可得到

答案，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)求線段長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵.

解：連接耳￡,如圖所示：

為J的直徑，

ZAS8-90?，即AEJ.SC,

在-Ab，中，月s-』：一45m5

則BE-CE-6,

,四邊形/I斑￡＞是J的內(nèi)接四邊形，

???Z5DC-Z5,

?「在中；。

工■空DC,

-ABC--ECD,

生=里

BC=~AB,

半?近8二日萬(wàn)一3

即4，解得42,

故選：B.

【題型3】“8字”模型；

AF

7.(23-24九年級(jí)上.北京.階段練習(xí))如圖，在菱形48CD中，點(diǎn)E在5C上，兒8-5,改=3，則數(shù)為

()?M

3￡45

A.5B.7C.TD.I

【答案】。

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)解答即可.

本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

解：?.?四邊形兒5co是菱形，兒8,5,即-3,

：,4。115c.DA-AB~5,

二口兒7_BSP，

AFDA5

SE~1,

故選：D.

8.（23—24九年級(jí)下.山東棗莊.開學(xué)考試）如圖，在二AST中，點(diǎn)&是線段月。上一點(diǎn)，月EC￡-l：!，過

點(diǎn)C作CD四交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，若_兒5￡的面積等于4，則一BCD的面積等于（）

A.8B.16C.24D.32

【答案】。

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積公式

求出一必E的面積的值是本題解題關(guān)鍵由-灰‘￡中」邊上的高和一2中AE邊上的高相等可求得

S一=3,根據(jù)相似三角形的判定證得_CD￡,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

解：?.?_及￡中邊上的高和一蛇￡中邊上的高相等，且，4E-12,

...S..?電心-2x4-8,

?/CDAB,

???上ABE=ZD^DCB,

.ABE--CDE,

BEAE

~DE~CE~^,

?.??<=2S.m41ti=2x8=16,

」BCD的面積等于8+16?24?M