綜合與實踐（含答案）-2025年陜西中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題型專練

專題五綜合與實踐

題型1幾何圖形等分問題探究

類型1等分三角形面積

類型解讀

等

分

三過頂點

角

形DF等分AABC的面積

面

積

問不過頂點

題

I_.

1【原創(chuàng)】⑴如圖1,過4ABC的頂點A作一條直線，等分這個三角形的面積,

并說明理由.

(2)如圖2,若D為AABC邊AC上任意一點，過點D作一條直線，等分這個三角形

的面積，并說明理由.

R

圖2

方法歸納

過三角形上任意一點等分該圖形面積的兩個關(guān)鍵步驟

⑴過哪7點就以哪一點為頂點構(gòu)造三角形；

⑵構(gòu)造三角形的過程中通過構(gòu)造干行線的方式，借助“同底等圓”進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化.

類型2等分四邊形面積

等分四邊形面積問題

規(guī)則四邊形

不規(guī)則四邊形

(平行四邊形，菱形,

(梯形，一般四邊形)

矩形，正方形)

取上、下底中點…不規(guī)則

對角線AC,/加交于點。所成線段的中點一梯形一-一般四邊形一連對角線，平行轉(zhuǎn)化

四邊形

連接BD,過點A作AE〃BD,

正尸分別為反；的中點,為萬尸的中點

4),3取CE的中點F,連接DF

過點。的直線平分四過點G的直線平分四DF平分四邊形

邊形ABCD的面積邊形ABCD的面積ABCD的面積

2【原創(chuàng)好題】如圖,M為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點，過點M作一條直線,

將平行四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分,并說明理由.

解題指南

左“八〃4((1)連接對角線AC,BD,找出平行四邊形ABCD的中心點°

作半分線〈

1(2)連接M0,構(gòu)造直線M0與AD交于點E,與BC交于點F

、工日日、守產(chǎn)f(1)證明AOED與^OFB全等

證明過程\

1(2)證明四邊形ABFE的面積與4ABD的面積相等

AD

R

,變式設(shè)問

1.問題探究

(1)請在圖1中作出兩條直線,使它們將圓的面積四等分.

(2)如圖2,M是正方形ABCD內(nèi)一定點,請在圖2中作出兩條直線(要求其中一條

直線必須過點M),使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.

問題解決

(3)如圖3,在四邊形ABCD中,AB〃CD,AB+CD=BC,P是AD的中點，如果

AB=a,CD=b，且b>a,那么在邊BC上是否存在一點Q,使PQ所在直線將四邊形

ABCD的面積分成相等的兩部分?若存在，求出BQ的長;若不存在,請說明理由.

圖3

3如圖，在四邊形ABCD中,AB與CD不平行,SAADC>SAABC,過點A能否作出

四邊形ABCD的面積等分線?若能，請畫出面積等分線，并給出證明;若不能，請說明

理由.

?解題指南第一步，連接AC,將四邊形ABCD看作兩個三角形的組合.

第二步，將四邊形轉(zhuǎn)換為三角形，進(jìn)行面積分割,具體操作步驟如下：

①過點B作AC的平行線，與DC的延長線交于點E,連接AE,根據(jù)“同底等高”可以

得至!JSAABC=SAAEC;②等面積轉(zhuǎn)換:S四邊形ABCD=S^ACD+SAABC=SAACD+SAAEC=SAAED.

第三步，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△AED的面積之后,尋找中點平分即可.

A

B,

,變式設(shè)問

2.【原創(chuàng)好題】如圖，若P為四邊形ABCD邊AD上的任意一點(不與點A,D重合),

過點P作一條直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分,并說明理由.

方法歸納

以特殊四邊形為背景的面積平分問題的三點注意事項

(1)平分面積本質(zhì)就是抓住圖形的“中心對稱性”；

(2)過任意一點平分特殊四邊形面積時，只需找出該四邊形的對稱中心;

(3)連接任意點與對稱中心的直線則平分特殊四邊形，其證明思路就是運用全等進(jìn)行等面

積轉(zhuǎn)換.

類型3面積、周長等分問題

4【原創(chuàng)】如圖,△ABC的面積為16,周長為20,sinB=|,能否在AB上找一點

E,在BC上找一點F,使得線段EF既平分△ABC的面積，又平分^ABC的周長?若

存在，請求出線段BF的長;若不存在,請說明理由.

*卜5(2024.交大附中模擬)【問題引出】

⑴如圖1,在4ABC中,AB=BC=5,AC=8,若D為AC邊上一點,BD平分△ABC的

面積，則BD的長為.

【問題延伸】

(2)如圖2,在4ABC中,NABC=9(r,AB=BC=4,點D在BC邊上，且BD=1,若P為

AC邊上一點,DP平分△ABC的面積，求AP的長.

ACAc

圖1圖2

【問題拓展】

(3)如圖3,四邊形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B在第一象限，點C在x軸上,

已知NAOC=60o,NOAB=150o.NABC=12()o.OA=2,OC=10.若P為0C邊上一點.

且BP平分四邊形OABC的面積，求點P的坐標(biāo).

圖3

I變式設(shè)問

(2024.鐵一中模擬節(jié)選)拓展應(yīng)用:如圖,某公園的一塊空地由三條道路圍成，即線

段AB,BC,念.已知AB=160m,BC=120m,NABC=90。,念的圓心在AB邊上，現(xiàn)規(guī)

劃在空地上種植草坪，并從京的中點P修一條直路PM(點M在AB上).是否存在

PM,使PM平分該空地的面積?若存在，求出此時AM的長;若不存在,請說明理由.

P

AC

R

方法歸納

等分周長、面積問題的解題思路與步驟

整體思路:先假設(shè)，再計算,后驗證，若方程有解，則成立;若方程無解，則不成立.

(1)借助平分周長，設(shè)出未知數(shù)X,用含有X的式子表示出“半周長”；

(2)借助平分面積，用含有x的式子表示出“半面積”圖形的面積關(guān)系式，此時一定要注意

“高”的表示，可借助三角函數(shù)、相似三角形等知識進(jìn)行代數(shù)式表示；

(3)構(gòu)造方程求解即可.

題型2借助函數(shù)思想解決幾何問題

類型1與線段相關(guān)問題

類型解讀函數(shù)思想解決幾何問題.

第一步:利用動點引入?yún)?shù).

第二步:用參數(shù)表示相關(guān)線段長度.

第三步:利用幾何方法構(gòu)建代數(shù)關(guān)系(勾股定理、相似、三角函數(shù))，表示目標(biāo)線段.

第四步:利用函數(shù)性質(zhì)求最值(注意參數(shù)的取值范圍)

酹1【原創(chuàng)】如圖，在平面直角坐標(biāo)中，點A(6,0),以0A為邊作四邊形

OABC,AB=BC,在邊0A上有一點M,且點M到四邊形OABC的四個頂點距離相

等.設(shè)AB=m,四邊形OABC的周長為n,請寫出n與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并探究n

是否存在最大值？

解題指南1.連接MC,MB,引出“輔助圓”.

2.連接AC與BM交于點D,并過點M作MNLAB,借助圓的相關(guān)性質(zhì)及相似三角

形找出DM與m的關(guān)系.

3.運用0C與DM的關(guān)系求出m與n的關(guān)系式，并借助二次函數(shù)求最值.

OMA

,變式設(shè)問

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0,4),B(l,0),C(4,0),D為線段BC上的動點，以AD

為邊向右側(cè)作正方形ADEF,連接CF,交DE于點求，求CP的最大值.

類型2與面積相關(guān)問題

酸2(2024.新城區(qū)期中節(jié)選)某公園內(nèi)有一塊梯形空地ABCD,如圖所示,現(xiàn)計劃

在該空地中種植花草，已知AD〃:BC,點E,F,P分別在邊AB,CD,BC上，點A到BC

的距離為20m,AD=15m,NABC=45o,NDCB=75o,PF=PC,EP，BC.根據(jù)設(shè)計要求,

需要在AEFP區(qū)域內(nèi)種植120元/n?的花卉，其余區(qū)域內(nèi)種植草坪，為提高花卉區(qū)域

的觀賞范圍，需將△EFP的面積設(shè)計得盡可能大.試問△EFP的面積是否存在最大

值?若存在，求此時種植花卉的總費用;若不存在，請說明理由.(參考數(shù)據(jù):tan75飛4)

解題指南⑴過點A作AM±BC于點M,過點D作DNLBC于點N,設(shè)BP=x.

(2)說明NEPF=60。,過點E作EGLPF于點6,由4EBP與AEPF的特殊性質(zhì)說明

EP與PF的數(shù)量關(guān)系.

(3)借助三角形面積公式用含有x的式子表示出△EFP的面積，最后由二次函數(shù)的

性質(zhì)可得最值.

I變式設(shè)問

問題解決

某市進(jìn)行河灘治理，優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖，現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建

一個五邊形河畔公園ABCDE.按設(shè)計要求,要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一

個四邊形人工湖OPMN,使點O,P,M,N分別在邊BC,CD,AE,AB上,且滿足

BO=2AN=2CP,AM=OC.已知五邊形ABCDE中,NA=NB=NC=90o,AB=800

米,BC=1200米,CD=600米,AE=900米.為滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地

需要，想讓人工湖面積盡可能小，請問是否存在符合設(shè)計要求的面積最小的四邊形

人工湖OPMN?若存在，求四邊形OPMN面積的最小值及這時點N到點A的距離;

若不存在,請說明理由.

3如圖,某工廠有一塊形如四邊形ABCD的鐵皮，其中NA=NB=90o,AD=8

dm,AB=20dm,BC=24dm.為節(jié)約資源，現(xiàn)要從這塊鐵皮上截取矩形鐵皮BEFG(陰

影部分)備用，點E,F,G分別在AB,CD,BC上.設(shè)矩形鐵皮的邊FG=x(dm),矩形

BEFG的面積為S,求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求矩形BEFG面積的最大值.

?解題指南⑴過點D作DHLBC,與EF交于點M用含x的式子表示出DM的

長度.

(2)利用△DMF與△DHC相似，找出EF與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)利用矩形面積公式列出S與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，并求最值.

?變式設(shè)問

王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長為60cm的正方形板子;另一塊是上底

為30cm,下底為120cm,高為60cm的直角梯形板子(如圖1).王師傅想將這兩塊板

子裁成兩塊全等的矩形板材.他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個直角頂點分

別與正方形的兩個頂點重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE（如圖2）.由于

受材料紋理的限制,要求裁出的矩形要以B為一個頂點.

⑴求FC的長.

（2）利用圖2求出當(dāng)矩形頂點B所對的頂點到BC邊的距離x（單位:cm）為多少時,

矩形的面積y（單位:cn?）最大，最大面積是多少？

（3）若想使裁出的矩形為正方形，試求出面積最大的正方形的邊長.

圖1圖2

方法歸納

內(nèi)接矩形求面積問題的核心思路口訣

遇見平行想相似，

相似比例要運用，

對應(yīng)邊高也成比，

函數(shù)關(guān)系來構(gòu)造，

最值增減性來套.

題型3構(gòu)造輔助圓解決實際問題

類型1探究特殊角存在問題

1【原創(chuàng)】已知線段AB=a,根據(jù)要求作點M的軌跡，使得NAMB滿足相對應(yīng)

的角.

(1)當(dāng)NAMB=30。時,找出點M的弧形軌跡，并求出點M軌跡所對應(yīng)的圓的半徑.

(2)當(dāng)NAMB=45。時,找出點M的弧形軌跡，并求出點M軌跡所對應(yīng)的圓的半徑.

解題指南(1)任意作出一個NAMB,使得NAMB滿足對應(yīng)的度數(shù).

(2)作4AMB的外接圓,AMB'即為點M滿足的軌跡.

(3)確定其圓心為0,連接0A,0B,結(jié)合△0AB的形狀特征，進(jìn)行半徑計算.

?變式設(shè)問

如圖,某校學(xué)生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD,其寬AB=20米，長BC=24米.為了

能夠監(jiān)控到禮堂的內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M

進(jìn)行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達(dá)到最佳,

還需要從點M出發(fā)的觀測角NAMB=45。.請你通過所學(xué)知識進(jìn)行分析，在墻面CD

區(qū)域內(nèi)是否存在滿足要求的點M?若存在，畫出點M的示意圖,并求出MC的長度;

若不存在,請說明理由.

方法歸納

探究特殊角頂點軌跡的步驟

(D找準(zhǔn)特殊角所對的邊；

(2)以此邊為突破口,通過構(gòu)造特殊三角形(如等腰直角三角形，等邊三角形)；

(3)作三角形的外接圓，或者通過以特殊三角形中特殊角的頂點為圓心，三角形的腰長為

半徑構(gòu)造圓；

(4)利用圓周角定理及其推論找出特殊角，進(jìn)而根據(jù)所作圓推斷出特殊角頂點的軌跡弧即

可.

類型2利用圓的定義構(gòu)造輔助圓求距離最值問題

類型解讀

如圖,A為圓外一點,在圓上找一點P,使得PA最小.

圓的定義:平面內(nèi)到定點的距離等于定值的所有點構(gòu)成的集合.

構(gòu)造思路:若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.

2【原創(chuàng)好題】如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,E,F分別是

AC和BD上的動點，且EF=6,P為EF的中點.已知AC=16,BD=12,連接BP,CP,求

△BPC面積的最大值與最小值.

解題指南探究△BPC面積的最值時，先找出點P的運動軌跡，具體操作步驟如

下：

(1)在菱形ABCD中,對角線AC,BD的關(guān)系為垂直，即ZAOB=90°.

(2)在4EOF中,P為EF的中點，且EF的長度一定，連接0P,則0PqEF,由于點P

隨著EF的運動而運動，且點P到點0的距離始終為定值，則點P的軌跡為以0為

圓心，以3為半徑的圓.

(3)探究△BPC面積的最值時，只需考慮點P所在的圓上的點到BC的距離的最值

即可.

I變式設(shè)問

如圖,在矩形ABCD中,AD=2遮,AB=6,點E,F分別在邊BC,CD上,且線段EF=2,G

是EF的中點，連接BG并延長交CD于點H,過點G作CD的平行線交BD于點I,

連接HI,BljABHI的面積是否存在最小值?若存在，求出△BHI面積的最小值;若不

存在,請說明理由.

方法歸納

構(gòu)造輔助圓求距離最值問題的思路與方法

(1)利用圓的定義構(gòu)造輔助圓思路:若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則該動點

軌跡是圓或圓弧；

(2)點、圓距離最值:如圖1,Q是OO上的一個動點，則圓外一點P到圓上的最小距離是

PQi,最大距離是PQ2,其中P,O,QI,Q2四點共線；

(3)線、圓距離最值:如圖2,P為OO上的任意一點，直線I為。O外一條直線，過點P作

PQ±1于點Q,則PQ的最大值為PiQ,PQ的最小值為P2Q.

圖1圖2

類型3利用“定邊定角”探究幾何最值問題

類型解讀解題原理:定邊所對角為定角等價于同?。ǖ然。┧鶎A周角相等.

AB為定值,NP為定角，則點P的軌跡是一個圓弧.

第一步，找三角形外接圓，確定圓心位置.

常見特殊角找圓心:比如30°,45°,60°,120°.

第二步，確定最值類型，以圓心為參照,解決最值相關(guān)問題.

方向一:過圓心作垂直（面積相關(guān)）.

方向二:連圓心（線段相關(guān)）.

3【原創(chuàng)好題】如圖，在△ABC中，頂角NA=a,BC=a^>UABC的最大面積為

多少？

二解題指南第一步，作△ABC的外接圓,并記圓心為點O;

第二步，過圓心O作BC的垂線，該垂線與京前交于點A：則A'B=A'C;

第三步，過點A作AELBC,交BC于點E,連接OA,根據(jù)點到直線的距離最短可以

得至UA'D=OA'+OD=OA+OD>AE;

第四步，結(jié)合圓心角與圓周角的關(guān)系可

知,NBOC=2NBAC=2NBAC,NBOC=2NBOD=2NCOD;

第五步，根據(jù)垂徑定理可知,BD=CD與1BC=1*a,結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系可知，在

RtABOD中,OD=T-n7vn=n-Z----,0B=―—>r>=o~^——；

'tanzBOD2tana"smzyBpOrD2sina,

第六步，根據(jù)三角形面積公式計算.

R

4【原創(chuàng)好題】⑴如圖1,在RtAABC中,NC=9(r,AB=a，則RtAABC的最大

周長為多少？

(2)如圖2,在4ABC中,NA=2a,BC=a4lUABC的最大周長為多少？

如圖，在△ABC中,NBAC=6(r,BC邊上的中線AD=6,求△ABC面積的最大

值.

解題指南⑴延長AD至點T,使得AD=DT,又BD=CD,證得四邊形ABTC是平

行四邊形.

(2)由AC//BT,ZBAC=60°,MZABT=120°.

⑶由AT=12,NABT=120。,即AT為定長,NABT為定值，得點B的軌跡為圓.

(4)利用定邊定角求最值.

如圖，在等邊4ABC中,AB=6,M,N分別為BC,AC上的動點，且BM=CN,連接AM

和BN交于點P,求出△APB面積的最大值，并說明理由.

BMC.

16園林設(shè)計部門準(zhǔn)備在奧體廣場用鮮花拼成一個平行四邊形的花卉展覽場

地供市民觀賞.如圖，在平行四邊形ABCD中,E為AD邊上一點，且

DE=3AE,ZBEC=60°,AB=6米.為了種植更多的鮮花，要求四邊形ABCD的面積盡

可能大.請問四邊形ABCD的面積是否存在最大值?如果存在，求出四邊形ABCD

面積的最大值;如果不存在,請說明理由.

變式設(shè)問

（2024.西安蓮湖區(qū)模擬）如圖，有一個矩形水池ABCD,BC=30m,AB=20m.設(shè)計者

想把水池分為四部分，分別是^AED,ACED,ABEC,△AEB,G為BC上的任意一

點，點E在AG上，且BF±AG,BF=2EF,^ACED區(qū)域養(yǎng)魚，其他區(qū)域養(yǎng)蝦.已知養(yǎng)

魚的費用為1000元/nF養(yǎng)蝦的費用為800元/n?,請問花費的最少費用是多少？

R

類型4利用“定高定角”探究幾何最值問題

類型解讀

在解決某類面積最值問題時，通過旋轉(zhuǎn)、平移等變換將問題轉(zhuǎn)換為某三角形面積

最小，可以發(fā)現(xiàn)三角形中:有定角和定角所對邊上的高為定值時,可考慮引入圓，找

三角形的外接圓，利用半徑+邊心距的距離與高之間的關(guān)系可求出半徑最小，如

圖,NBAC=45。,由AO+OENAD,得R+^NAD,可求得半徑最小，通過三角形三邊關(guān)

系可求底邊最小.

解決問題:求邊最小，面積最小，周長最小.

7【原創(chuàng)好題】如圖，在△ABC中,人口，：8。/：6人?=01人口=11,探究4ABC面積

的最小值.

解題指南(1)SAABC=^BCAD,其中AD為定值，要探究^ABC面積的最小值，只

需探究BC的最小值.

(2)作4ABC的外接圓0,連接0AQBQC,過點0作0ELBC,根據(jù)圓周角與圓心

11

角的關(guān)系可以得至UNB0E=NC0E昔NB0C/BAC甘NB0C.

(3)設(shè)圓0的半徑為R,則在RtABOE中,OE=R.cosa,BE=Rsina,此時

BC=2BE=2R-sina.

(4)根據(jù)垂線段最短可知QA+OENAD,進(jìn)而有R+Rcos婦h,解得R>^J?—.

ICzL-/JLA*

(5)根據(jù)半徑R的最小值，得出BC的最小值，最后計算△ABC面積的最小值即可.

f卜8（2024.鐵一中模擬節(jié)選）如圖，矩形ABCD是某農(nóng)業(yè)觀光園的部分平面示意

圖,AB=50,AD=80,AB邊上的點E為休息區(qū)，且AE=20,三條觀光小路EG,EF,FG（小

路寬度不計,F在AD邊上,G在BC邊上）擬將這個園區(qū)分成四個區(qū)域，用來種植不

同的蔬菜，根據(jù)實際需要,NFEG=60。,并且要求^EFG的面積盡可能小，是否存在

滿足條件的△EFG?若存在，求出△EFG的面積的最小值;若不存在,請說明理由.

,變式設(shè)問

1.如圖，正方形ABCD是綠地公園的一塊空地，其邊長為100米.公園設(shè)計部門為了

給兒童提供更舒適、更安全的活動場地，準(zhǔn)備將空地中的四邊形BEDF部分作為

兒童活動區(qū)，并用圍欄擋起來，只留三個出入口，即點D,點E,點F,而且根據(jù)實際需

要,要使得NEDF=45。,并將兒童活動區(qū)（即四邊形BEDF）劃分為△DEF和^BEF

兩種不同的游戲場地，兒童活動區(qū)之外的部分種植花草.請問是否存在一種設(shè)計方

案，使得兒童活動區(qū)的面積最大?若存在，請求出兒童活動區(qū)面積的最大值;若不存

在,請說明理由.

2.某觀光景區(qū)準(zhǔn)備在景區(qū)內(nèi)設(shè)計修建一個全民健身區(qū).如圖,△ABC為全民健身區(qū)

的大致示意圖，并將全民健身區(qū)分成^BED,ADFC和四邊形AEDF三部分，其中

在^BED和^DFC兩區(qū)修建室外大型器材健身區(qū)，在四邊形AEDF區(qū)域修建室內(nèi)

健身休閑區(qū).根據(jù)設(shè)計要求,NBAC=60。,點D,E,F分別在邊BC,AB,AC上，且

DE=DF,NEDF=120。,四邊形AEDF的面積為200百平方米.為了節(jié)約修建成本，全

民健身區(qū)^ABC的面積是否存在最小值?若存在，請求出^ABC面積的最小值;若

不存在，請說明理由.

類型5探究最大張角問題

類型解族在某動點問題中，且動點在直線上運動時，從動點上觀測某定長線段的角

度會發(fā)生變化，因此存在角度最大問題，或三角函數(shù)值最值問題,可考慮引入圓，利

用當(dāng)AABP的外接圓與動點所在直線相切時，切點處觀測的角度最大，最大張角分

為三類:①平行類;②垂直類一陜西15年25題;③斜交類.

問題解決:角度最大，余弦值最小，正弦值最大.

卜9【原創(chuàng)好題】問題提出

⑴如圖1,在。。中，直線1過。O,P1,P2,P3分別為直線1上三點,P2為1與。。的交

點,AB為O0的弦,求證:NAPIB<NAP2B<NAP3B.

問題探究

(2)如圖2,若AB是O0中的定弦，直線1是O0的切線，求證:切點P是直線1上滿

足NAPB度數(shù)最大的唯一點.

解題指南在角度比較過程中，要注意尋找“中間角”當(dāng)作媒介進(jìn)行比較.

第⑴問中，以圓周角NAP2B當(dāng)作媒介進(jìn)行比較，根據(jù)三角形的一個外角等于與它

不相鄰的兩個內(nèi)角的和及圓周定理可以得知NAP3B>NAP2B,NAP2B>NAPiB.

第(2)問中,在直線1上任取一點P,然后對比切點P與弦AB所形成的角即可，這一

過程也是利用圓周角作為“中間角”進(jìn)行比對的.

卜1。問題發(fā)現(xiàn)

⑴如圖1,點A和點B均在。0上，且NAOB=90。,點P和點Q均在射線AM上，

若NAPB=45。網(wǎng)點P與。0的位置關(guān)系是渚NAQB<45。,則點Q與。0

的位置關(guān)系是.

問題解決

如圖2,在四邊形ABCD中,AB=1,AD=2V2,P

是BC邊上任意一點.

(2)當(dāng)NAPD=45。時，求BP的長.

(3)是否存在點P,使得NAPD最大?若存在，請說明理由，并求出BP的長;若不存在,

也請說明理由.

解題指南(1)根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可判斷.

(2)構(gòu)造斜邊為AD的等腰直角三角形AOD,以0為圓心,0A為半徑作。0交BC

于點P,P,易知NAPD=NAPD=45。.求出BP和BP的長即可解決問題.

(3)作線段AD的垂直平分線，交AD于點E,交BC于點F,點0在EF上，以0A的

長為半徑作。0,當(dāng)。。與BC相切于點P時,NAPD最大，求出此時BP的值即可.

?變式設(shè)問

1.如圖，在四邊形ABCD中,AD//BC,CD±BC,NABC=6(T,AD=8,BC=12.在四邊形

ABCD的邊AD上,是否存在一點P,使得cosZBPC的值最小?若存在，求出此時

cosZBPC的值;若不存在,請說明理由.

B1

2.如圖，這是矩形足球場的示意圖，其中寬AB=66米，球門EF=8米，且EB二FA.P,Q

分別為BC,AD上的點,BP=7米,NBPQ=135。.一位左前鋒球員從點P處帶球，沿PQ

方向跑動,球員在PQ上的何處才能使射門角度(NEMF)最大?求出此時PM的長.

A9__,D

F

EM

BC

方法歸納

探究幾何最值問題的方法

探究幾何最值問題時，通?？刹捎帽容^的方式,即說明一個幾何量是最大或者是最小時,

可隨機(jī)找出一個與其相關(guān)的幾何量進(jìn)行對比.其方式如下：

對比所尋比參照角大

紀(jì)…“找參般-------4最大角

所探究目標(biāo)角--------?

最小角

比參照角小

類型6利用切線性質(zhì)探究最值問題

11【原創(chuàng)好題】如圖,在矩形EBCF中，點A在邊EF上運動,NBAC=a,BC=a,

則當(dāng)點A運動到何處時，矩形EBCF的面積最大?并求出其最大面積.

解題指南（1）如圖1,過點A作人口，：8。并作出4ABC的外接圓。0,根據(jù)

NBAC=a,BC=a，由“定邊對定角”可知，點A的軌跡為BAC.

圖1圖2

(2)如圖2,要求矩形EBCF面積的最大值，本質(zhì)是探究BE或CF的最大值，當(dāng)A為

麗C的中點(即EF的中點)時,AD最大,即矩形EBCF的寬最大，此時矩形EBCF

的面積最大.

變式設(shè)問

【原創(chuàng)好題】如圖，有一片平面示意圖為矩形ABCD的試驗田，點N在AD上，點

M在CD上，連接MN,NB,MBAABN,ADMN,ABMC,ABMN為該試驗田所劃分

的四個區(qū)域.經(jīng)過實地考察得知AB=3NA=60m,NNMB=45。.請你根據(jù)以上信息分

析試驗田所在矩形ABCD是否存在最大面積.若存在，求出其最大值;若不存在，請

說明理由.

D

N

A

方法歸納

借助相切情況探究面積或者線段最值的本質(zhì)要抓住的幾個“題眼”

(1)當(dāng)探究線段的最值時，觀察這條線段的頂點是否為某個角度數(shù)一定的角的頂點，此時

可以借助該點的運動軌跡(多為圓弧)抓住相切條件.

(2)探究面積最值時，無論是四邊形還是三角形，都要抓住“定邊對定角”的條件，找出弧線

形運動軌跡,要使面積最大，那么對應(yīng)的圖形的高一定最大,而借助圓與直線的位置關(guān)系，只有

相切滿足題目條件.

題型4與圖形變換結(jié)合的問題探究

類型1“將軍飲馬”求最值——單動點問題

1(2024.西工大模擬節(jié)選)如圖，在RtAABC中,NABC=9(T,AB=6,BC=8,D是

邊AC的中點.以點A為圓心,2為半徑在^ABC內(nèi)部畫弧，若P是上述弧上的動

點,Q是邊BC上的動點，求PQ+QD的最小值.

解題指南(1)作點D關(guān)于BC的對稱點D,將問題轉(zhuǎn)化為點D到圓弧上的最短

距離.

(2)連接AD,AD與圓弧的交點P即為所找點，以AD為斜邊構(gòu)造直角^AD'E.

(3)借助三角形的相似關(guān)系與勾股定理計算PQ+QD的最小值.

A

BO

,變式設(shè)問

如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形內(nèi)部有一動點P滿足SAPAB=|S矩形ABCD,

則點P到A,B兩點的距離之和PA+PB的最小值為多少?

方法歸納

單動點的“將軍飲馬”問題模型解讀

模型分析:如圖1,點A,點B為直線1同側(cè)的兩個定點,在直線1上找一點P,使得PA+PB

最小.

B

__4__________y：I

Z爾

圖1圖2

思路:如圖2,點P滿足PA+PB最小.

類型2“將軍飲馬”求最值——雙動點問題

2如圖,NA0B=6(T,P是NAOB內(nèi)一定點，且0P=2.若M,N分別是射線OA,OB

上異于點0的動點，則△PMN周長的最小值是多少？

解題指南(1)作出點P關(guān)于OAQB的對稱點F,E,連接EN,MF,根據(jù)對稱性可知

PN=EN,PM=MF;

(2)CAPMN=PN+PM+MN=EN+MF+MN>EF;

(3)將4PMN的周長轉(zhuǎn)為線段長后，結(jié)合對稱性可

知,OP=OE=OF,NEOF=2NAOB=12。。,最后借助含有特殊角的等腰三角形性質(zhì)計

算結(jié)果即可.

N久

O'MA

3(2024.西工大附中模擬節(jié)選)如圖，矩形ABCD是某在建的公園示意圖，其中

AB=200V3m,BC=400m.根據(jù)實際情況，需要在邊DC的中點E處開一個東門，同

時根據(jù)設(shè)計要求，要在以點A為圓心，在公園內(nèi)以10m為半徑的圓弧上選一處點P

開一個西北門，還要在邊BC上選一處點Q,在以Q為圓心，在公園內(nèi)以10m為半

徑的半圓的三等分點的M,N處開兩個南門.線段PM,NE是要修的兩條道路.為了

節(jié)約成本，希望PM+NE最小.試求PM+NE最小值及此時BQ的長.

解題指南(1)由M,N為半圓的三等分點可知MN的距離不變，將點E向左平移

MN長的單位得到E,并連接EM,進(jìn)而得EN=EM,從而將問題轉(zhuǎn)化為PM+E'M.

(2)作點A關(guān)于直線MN的對稱點A；連接AM,由對稱性可將PM+E'M轉(zhuǎn)化為

AM+ME-AP,由兩點之間線段最短，得A'M+ME,-AP=A,E,-AP.

(3)以AE為斜邊構(gòu)造直角三角形AEL,最后運用勾股定理計算出AE即可.

,變式設(shè)問

1.如圖,NMON=30。,點A在射線OM上,OA=2,點D在射線ON±,OD=4,C是射線

OM上任意一點,B是射線ON上任意一點，則AB+BC+CD的最短長度為多少?

M

2.(2024.師大附中期中節(jié)選)如圖，某社區(qū)廣場有一塊正方形花園ABCD,其中

AB=60m,E是CD的中點，現(xiàn)要在花園內(nèi)規(guī)劃幾條小道,經(jīng)社區(qū)廣泛收集居民建議,

設(shè)計方案,修建四條小道AM,MN,NE,EA,其中M,N均在BC上，且N在M的右

邊,MN=20m,要使得修建的小道AM+MN+NE+EA的值最小，試求此時CN的長和

AM+MN+NE+EA的最小值.

方法歸納

雙動點的“將軍飲馬”問題模型解讀

(1)模型分析:如圖1,P為NAOB內(nèi)部一定點，在NAOB的邊OA上找一點E,邊OB上找

一點F,使得△PEF的周長最小.

P,

圖2

思路:如圖2,(CAPEF)min=PlP2.

(2)模型分析:如圖3,P,Q為NAOB內(nèi)部兩個定點，在NAOB的邊0A上找一點E,邊OB

上找一點F,使得四邊形PEFQ的周長最小.

思路:如圖4,(C四邊形PEFQ)min=P'Q'+PQ.

(3)已知A,B兩點,MN長為定值,求確定M,N位置使得AM+MN+NB值最小?

思路:考慮MN長為定值,故只要AM+BN的值最小即可.將AM平移使M,N重

合,AM=AN,將AM+BN轉(zhuǎn)化為A'N+NB.

構(gòu)造點A，關(guān)于MN的對稱點A",連接A”B,可依次確定N,M位置.

類型3“兩動一定”問題的探究

如圖，在正方形ABCD中,AB=4,E是BC邊的中點,F是CD邊上的一點，且

DF=1.若M,N分別是線段AD,AE上的動點，則MN+MF的最小值為多少？

?解題指南(1)作點F關(guān)于AD的對稱點G,過點G作GNLAE,且GN與AD交

于點M.

(2)借助△ABEs/XMDFsaMNA,列出對應(yīng)比例關(guān)系式，求出MN與MG即可.

I變式設(shè)問

(2024.西工大附中模擬節(jié)選)如圖,四邊形ABCD是一塊板材，其中

AD/7BC,ZA=90°,AD=20cm,BC=40cm,AB=60cm,工人師傅想用這塊板材裁剪

出一塊四邊形OMBN的部件，使得。是CD的中點，點M,N分別在AB,BC上，并

要求四邊形OMBN部件的面積是四邊形ABCD板材面積的去求裁剪長度

(OM+ON)的最小值.

方法歸納

根據(jù)對稱變換探究點線最值模型解讀

模型分析：如圖1,M為/AOB內(nèi)一定點,P為OA上任意一點,Q為OB上任意一點，找出

點P與點Q的位置，使得MP+PQ最小.

圖1

思路:如圖2,(MP+PQ)min=M'Q.

類型4“胡不歸”模型求線段和最值問題

5【原創(chuàng)好題】如圖,A為射線1的頂點,B為射線1上的一個動點,P為射線1

外一定點(位置固定).

(1)當(dāng)PB+|AB最小時，確定點B的位置；

⑵當(dāng)PB+yAB最小時，確定點B的位置；

(3)當(dāng)PB+yAB最小時，確定點B的位置.

解題指南形式:PA+kPB的形式,0<k<l時,在射線外側(cè)構(gòu)造定角，如k=sina,或

借助特殊三角形的三邊關(guān)系;當(dāng)k>l時，提k后，再按上述步驟操作，將含有系數(shù)的線

段和最值計算問題轉(zhuǎn)化為點到直線最值問題.

關(guān)鍵突破點當(dāng)對應(yīng)動點所在射線旋轉(zhuǎn)30。，乎對應(yīng)動點所在射線旋轉(zhuǎn)45。,苧對應(yīng)動

點所在射線旋轉(zhuǎn)60°.

如圖,A,B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點B

到AC的距離為360km.今計劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M,再在BM間修一

條筆直的公路.如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍，那么為使

通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達(dá)到最小值，求此時AM的長.

AC

方法歸納

“胡不歸，，模型求線段的和最值的兩點注意事項

探究“AB+k?CD(O<k<l)”這種類型的最值問題時，注意:①兩條線段和的最值問題本質(zhì)上

都是探究在“同一直線”上的問題；

②將系數(shù)k轉(zhuǎn)化為1,這里的系數(shù)k就是對應(yīng)變換射線的旋轉(zhuǎn)角a的正弦值，即k=sina.

類型5利用旋轉(zhuǎn)解決線段和問題——“費馬點”探究

6【改編】如圖,在銳角△ABC的內(nèi)部找一點M,連接MA,MB,MC,并使得

MA+MB+MC最小.

解題指南(1)WAABM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ABN,進(jìn)而得△BMN的

形狀為等邊三角形；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABM手△ArBN,即AM=A'N,由此可得

MA+MB+MC=A'N+MN+MC>A'C;

(3)當(dāng)點M,N在A'C上時，滿足MA+MB+MC最小，此時在^ABC內(nèi)的點M滿足

ZAMB=ZBMC=ZAMC=120°.

A

M

B

變式設(shè)問

【原創(chuàng)好題】如圖，某商業(yè)區(qū)的平面示意圖為矩形ABCD,AD=a,AB=b.其中點A,D

為該商業(yè)區(qū)的兩個污水排出口，生活用水供給口Q在BC上,市政部門為了合理控

制新建商業(yè)區(qū)的用水情況,擬在該商業(yè)區(qū)ABCD內(nèi)安裝一個用水總閥門P,且要求

總閥門P到供給口Q和兩個出水口A,D所鋪設(shè)的主管道PQ,PA,PD總和最短.請

你根據(jù)要求在圖中找出點P的位置，并計算出所鋪設(shè)管道PQ+PA+PD的最短長度

方法歸納

尋找“費馬點”求最值思路

將所求最值線段所在三角形向圖形外進(jìn)行旋轉(zhuǎn)

一將共點三線段轉(zhuǎn)化為順次連接形式

一以旋轉(zhuǎn)所成等邊三角形尋找費馬點

一通過全等三角形對應(yīng)邊轉(zhuǎn)化線段等量關(guān)系

一確定位置并計算

類型6利用圖形間的旋轉(zhuǎn)變換求最值問題

7【原創(chuàng)好題】(1)如圖1,0為直線1外一定點,A為直線1上的一動點，連接

0A,將0A繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)至0B,其旋轉(zhuǎn)角NA0B為定角，則點B的運動軌跡

如何?

(2)如圖2,點A在O0上運動，將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到AD,其旋轉(zhuǎn)角ZBAD為

定角，請說明點D的運動軌跡.

圖1

C卜8(2024.西工大附中模擬節(jié)選)如圖,四邊形ABCD是某市在建的休閑廣場，按

照設(shè)計要求，休閑廣場要利用點B,D的兩座涼亭,需建在BD的兩邊，且滿足

sinNABC=g,sinNADC=|,BcWAB,經(jīng)測量兩座涼亭B,D之間的距離為500m,若

計劃在建成的休閑廣場內(nèi)的△ACD區(qū)域內(nèi)種植花卉,問能否使得種植花卉的面積

最大?若能,求出種植花卉的最大面積;若不能，請說明理由.

解題指南(1)由BC=^AB,這一條件為突破口淅△ABD繞點B進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并在

旋轉(zhuǎn)過程中使得^ABD按照比例縮小，得到△BCE,即構(gòu)造△BCE^ABAD.

(2)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得到BE的長度，再由

43

sinNABC=sinNDBE=5，sinNADC=sinNBDE=Q,解出△BDE的邊長DE.

(3)由于sinZABC與sinZADC的關(guān)系可知二者互余，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可

知:NDCE=180°-(NBAD+NBCD)=90°.

(4)借助DE為固定邊,NDCE為固定角，求出△DCE的面積最大值.

11

(5)過點A作AGLCD,最后由SAADC=]CD.AG甘ADcinNADCCD,轉(zhuǎn)化為△DCE

的面積最大關(guān)系計算即可.

變式設(shè)問

1.【一題多解】如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點，且BE=1,F為AB

邊上的一個動點，連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小

值為.

2.(2024.高新一中開學(xué)考節(jié)選)如圖，這是某公園的一個面積為2567rm2的圓形施工

區(qū)示意圖，公園開發(fā)部門計劃在該施工地內(nèi)設(shè)計一個四邊形區(qū)域ABCD作為兒童

戶外拓展中心.按設(shè)計要求,A、B、C、D四個點都在圓上護(hù)欄AB=CD=16m,為

了讓孩子們有更好的活動體驗,四邊形ABCD的面積越大越好,請求出四邊形

ABCD面積的最大值.

3.(1)如圖1,將兩個含有30。角的直角三角板的60。角的頂點重合(其中

NBAC=NBA'C'=30°,NACB=NA'C'B=90。),繞點B旋轉(zhuǎn)△CA'B,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至CC'=4

時，求AA，的長.

(2)如圖2,0為等腰RtAABC的斜邊AB的中點,AC=BC=5夜,OE=2,連接BE,作

RtABEF,其中NBEF=90o,tan/EBF=；,連接AF,求四邊形ACBF的面積的最大值.

4

圖2

方法歸納

利用圖形間的旋轉(zhuǎn)變換求最值問題模型總結(jié)

(I)如圖1.△APQ的形狀固定，且A為定點，當(dāng)點P在直線BC上運動時，點Q的運動軌跡

(2)如圖3,A為定點，點P在圓O上運動,AP=AQ,且APLAQ,則點Q的運動軌跡為如圖4

所示的。M;

(3)如圖5,A為定點，點P在圓O上運動,AQ與AP之間的比值為定值，則點Q的運動軌跡

為如圖6所示的OM.

類型7利用構(gòu)造法解決幾何應(yīng)用問題

類型解讀有一類線段和求最值問題，主要特征在兩個動點（在不同線段上動），且運

動過程距離相等或距離成倍數(shù)關(guān)系，在此類問題中，可利用構(gòu)造全等或者相似三角

形，進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)移及放縮，將兩條目標(biāo)線段進(jìn)行拼接，從而利用兩點之間線段最

短進(jìn)行求值.

題型一:構(gòu)造全等

?如圖，在等腰直角△ABC中,/?=90。八?=：6?=魚足》為邊人。：6（2上的兩個

動點，且CF=AE,連接BE,AF,則BE+AF的最小值為.

1.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中,E,F分別是邊BC,CD上的動點，且BE=CF,

連接BF,DE,則BF+DE的最小值為.

2.如圖，已知等邊△ABC的邊長為1,AF為高,D,E分別是AC,AF上的兩個動點，且

AE=CD,則BD+CE的最小值為_________________.

HF

題型二:構(gòu)造相似

陋10【一題多解】如圖，在正方形ABCD中,M為AD上一點，且需=|,E,F分別

為BC,CD上的動點，且BE=2DF,若AB=4,求ME+2AF的最小值.

變式設(shè)問

1.如圖，在矩形ABCD中,AB=15,AD=20,E,F分別為邊BC,BD上的兩動點，且

DF=2BE,則2AE+AF的最小值為

2.如圖，在△ABC中,CDLAB于點D,AD=CD=4,E是CD上的一個動點,CE=2BD,

貝ljAE+2BC的最小值為.

C

A

ADR

題型三:圖形拼湊

部11（2022.陜西中考節(jié)選）如圖，現(xiàn)有一塊△ABC形狀板材,NACB為鈍

角,NBAC=45。.工人師傅想用這塊板材裁出一個△ABP型部件，并要求

NBAP=15o,AP=AC.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點C為圓心，以CA長為半徑畫弧，交AB于點D,連接CD;

②作CD的垂直平分線1,與CD交于點E;

③以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧，交直線1于點P,連接AP,BP,MAABP.

請問,若按上述作法，裁得的^ABP型部件是否符合要求?請證明你的結(jié)論.

解題指南（1）將4ACD補充為正方形AFDC,然后連接PF,進(jìn)而說明^APF為

等邊三角形.

（2）借助補充后的圖形中所蘊含特殊角度數(shù)即可推算NBAP的度數(shù)是否滿足題意.

?變式設(shè)問

某次施工中,工人師傅需要畫一個20。的角,但他手里只有一把帶刻度的直角尺，工

程監(jiān)理給出了下面簡易的作圖方法：

①畫線段OB=15cm,再過它的中點C作m±OB;

②利用刻度尺在m上尋找點A,使得OA=15cm,再過點A作1〃OB;

③利用刻度尺過點O作射線，將射線與AC和1的交點分別記為點F、E,調(diào)節(jié)刻度

尺使FE=acm時（“口”內(nèi)的數(shù)字被污染無法看清），則NEOB=20。；

你認(rèn)為監(jiān)理給的方法可行嗎?如果可行，請寫出“□”內(nèi)的數(shù)字，并說明理由;如果不

可行,請給出可行的方案.

參考答案

題型1幾何圖形等分問題探究

類型1等分三角形面積

例1解析:⑴如圖1,取邊上的中點。，連接AD即可.

A

RDC.

圖1