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文檔簡介
專題五綜合與實踐
題型1幾何圖形等分問題探究
類型1等分三角形面積
類型解讀
等
分
三過頂點
角
形DF等分AABC的面積
面
積
問不過頂點
題
I_.
1【原創(chuàng)】⑴如圖1,過4ABC的頂點A作一條直線,等分這個三角形的面積,
并說明理由.
(2)如圖2,若D為AABC邊AC上任意一點,過點D作一條直線,等分這個三角形
的面積,并說明理由.
R
圖2
方法歸納
過三角形上任意一點等分該圖形面積的兩個關(guān)鍵步驟
⑴過哪7點就以哪一點為頂點構(gòu)造三角形;
⑵構(gòu)造三角形的過程中通過構(gòu)造干行線的方式,借助“同底等圓”進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化.
類型2等分四邊形面積
等分四邊形面積問題
規(guī)則四邊形
不規(guī)則四邊形
(平行四邊形,菱形,
(梯形,一般四邊形)
矩形,正方形)
取上、下底中點…不規(guī)則
對角線AC,/加交于點。所成線段的中點一梯形一-一般四邊形一連對角線,平行轉(zhuǎn)化
四邊形
連接BD,過點A作AE〃BD,
正尸分別為反;的中點,為萬尸的中點
4),3取CE的中點F,連接DF
過點。的直線平分四過點G的直線平分四DF平分四邊形
邊形ABCD的面積邊形ABCD的面積ABCD的面積
2【原創(chuàng)好題】如圖,M為平行四邊形ABCD內(nèi)任意一點,過點M作一條直線,
將平行四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分,并說明理由.
解題指南
左“八〃4((1)連接對角線AC,BD,找出平行四邊形ABCD的中心點°
作半分線〈
1(2)連接M0,構(gòu)造直線M0與AD交于點E,與BC交于點F
、工日日、守產(chǎn)f(1)證明AOED與^OFB全等
證明過程\
1(2)證明四邊形ABFE的面積與4ABD的面積相等
AD
R
,變式設(shè)問
1.問題探究
(1)請在圖1中作出兩條直線,使它們將圓的面積四等分.
(2)如圖2,M是正方形ABCD內(nèi)一定點,請在圖2中作出兩條直線(要求其中一條
直線必須過點M),使它們將正方形ABCD的面積四等分,并說明理由.
問題解決
(3)如圖3,在四邊形ABCD中,AB〃CD,AB+CD=BC,P是AD的中點,如果
AB=a,CD=b,且b>a,那么在邊BC上是否存在一點Q,使PQ所在直線將四邊形
ABCD的面積分成相等的兩部分?若存在,求出BQ的長;若不存在,請說明理由.
圖3
3如圖,在四邊形ABCD中,AB與CD不平行,SAADC>SAABC,過點A能否作出
四邊形ABCD的面積等分線?若能,請畫出面積等分線,并給出證明;若不能,請說明
理由.
?解題指南第一步,連接AC,將四邊形ABCD看作兩個三角形的組合.
第二步,將四邊形轉(zhuǎn)換為三角形,進(jìn)行面積分割,具體操作步驟如下:
①過點B作AC的平行線,與DC的延長線交于點E,連接AE,根據(jù)“同底等高”可以
得至!JSAABC=SAAEC;②等面積轉(zhuǎn)換:S四邊形ABCD=S^ACD+SAABC=SAACD+SAAEC=SAAED.
第三步,將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△AED的面積之后,尋找中點平分即可.
A
B,
,變式設(shè)問
2.【原創(chuàng)好題】如圖,若P為四邊形ABCD邊AD上的任意一點(不與點A,D重合),
過點P作一條直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分,并說明理由.
方法歸納
以特殊四邊形為背景的面積平分問題的三點注意事項
(1)平分面積本質(zhì)就是抓住圖形的“中心對稱性”;
(2)過任意一點平分特殊四邊形面積時,只需找出該四邊形的對稱中心;
(3)連接任意點與對稱中心的直線則平分特殊四邊形,其證明思路就是運用全等進(jìn)行等面
積轉(zhuǎn)換.
類型3面積、周長等分問題
4【原創(chuàng)】如圖,△ABC的面積為16,周長為20,sinB=|,能否在AB上找一點
E,在BC上找一點F,使得線段EF既平分△ABC的面積,又平分^ABC的周長?若
存在,請求出線段BF的長;若不存在,請說明理由.
*卜5(2024.交大附中模擬)【問題引出】
⑴如圖1,在4ABC中,AB=BC=5,AC=8,若D為AC邊上一點,BD平分△ABC的
面積,則BD的長為.
【問題延伸】
(2)如圖2,在4ABC中,NABC=9(r,AB=BC=4,點D在BC邊上,且BD=1,若P為
AC邊上一點,DP平分△ABC的面積,求AP的長.
ACAc
圖1圖2
【問題拓展】
(3)如圖3,四邊形OABC在平面直角坐標(biāo)系中,點A,B在第一象限,點C在x軸上,
已知NAOC=60o,NOAB=150o.NABC=12()o.OA=2,OC=10.若P為0C邊上一點.
且BP平分四邊形OABC的面積,求點P的坐標(biāo).
圖3
I變式設(shè)問
(2024.鐵一中模擬節(jié)選)拓展應(yīng)用:如圖,某公園的一塊空地由三條道路圍成,即線
段AB,BC,念.已知AB=160m,BC=120m,NABC=90。,念的圓心在AB邊上,現(xiàn)規(guī)
劃在空地上種植草坪,并從京的中點P修一條直路PM(點M在AB上).是否存在
PM,使PM平分該空地的面積?若存在,求出此時AM的長;若不存在,請說明理由.
P
AC
R
方法歸納
等分周長、面積問題的解題思路與步驟
整體思路:先假設(shè),再計算,后驗證,若方程有解,則成立;若方程無解,則不成立.
(1)借助平分周長,設(shè)出未知數(shù)X,用含有X的式子表示出“半周長”;
(2)借助平分面積,用含有x的式子表示出“半面積”圖形的面積關(guān)系式,此時一定要注意
“高”的表示,可借助三角函數(shù)、相似三角形等知識進(jìn)行代數(shù)式表示;
(3)構(gòu)造方程求解即可.
題型2借助函數(shù)思想解決幾何問題
類型1與線段相關(guān)問題
類型解讀函數(shù)思想解決幾何問題.
第一步:利用動點引入?yún)?shù).
第二步:用參數(shù)表示相關(guān)線段長度.
第三步:利用幾何方法構(gòu)建代數(shù)關(guān)系(勾股定理、相似、三角函數(shù)),表示目標(biāo)線段.
第四步:利用函數(shù)性質(zhì)求最值(注意參數(shù)的取值范圍)
酹1【原創(chuàng)】如圖,在平面直角坐標(biāo)中,點A(6,0),以0A為邊作四邊形
OABC,AB=BC,在邊0A上有一點M,且點M到四邊形OABC的四個頂點距離相
等.設(shè)AB=m,四邊形OABC的周長為n,請寫出n與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并探究n
是否存在最大值?
解題指南1.連接MC,MB,引出“輔助圓”.
2.連接AC與BM交于點D,并過點M作MNLAB,借助圓的相關(guān)性質(zhì)及相似三角
形找出DM與m的關(guān)系.
3.運用0C與DM的關(guān)系求出m與n的關(guān)系式,并借助二次函數(shù)求最值.
OMA
,變式設(shè)問
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(0,4),B(l,0),C(4,0),D為線段BC上的動點,以AD
為邊向右側(cè)作正方形ADEF,連接CF,交DE于點求,求CP的最大值.
類型2與面積相關(guān)問題
酸2(2024.新城區(qū)期中節(jié)選)某公園內(nèi)有一塊梯形空地ABCD,如圖所示,現(xiàn)計劃
在該空地中種植花草,已知AD〃:BC,點E,F,P分別在邊AB,CD,BC上,點A到BC
的距離為20m,AD=15m,NABC=45o,NDCB=75o,PF=PC,EP,BC.根據(jù)設(shè)計要求,
需要在AEFP區(qū)域內(nèi)種植120元/n?的花卉,其余區(qū)域內(nèi)種植草坪,為提高花卉區(qū)域
的觀賞范圍,需將△EFP的面積設(shè)計得盡可能大.試問△EFP的面積是否存在最大
值?若存在,求此時種植花卉的總費用;若不存在,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):tan75飛4)
解題指南⑴過點A作AM±BC于點M,過點D作DNLBC于點N,設(shè)BP=x.
(2)說明NEPF=60。,過點E作EGLPF于點6,由4EBP與AEPF的特殊性質(zhì)說明
EP與PF的數(shù)量關(guān)系.
(3)借助三角形面積公式用含有x的式子表示出△EFP的面積,最后由二次函數(shù)的
性質(zhì)可得最值.
I變式設(shè)問
問題解決
某市進(jìn)行河灘治理,優(yōu)化美化人居生態(tài)環(huán)境.如圖,現(xiàn)規(guī)劃在河畔的一處灘地上建
一個五邊形河畔公園ABCDE.按設(shè)計要求,要在五邊形河畔公園ABCDE內(nèi)挖一
個四邊形人工湖OPMN,使點O,P,M,N分別在邊BC,CD,AE,AB上,且滿足
BO=2AN=2CP,AM=OC.已知五邊形ABCDE中,NA=NB=NC=90o,AB=800
米,BC=1200米,CD=600米,AE=900米.為滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地
需要,想讓人工湖面積盡可能小,請問是否存在符合設(shè)計要求的面積最小的四邊形
人工湖OPMN?若存在,求四邊形OPMN面積的最小值及這時點N到點A的距離;
若不存在,請說明理由.
3如圖,某工廠有一塊形如四邊形ABCD的鐵皮,其中NA=NB=90o,AD=8
dm,AB=20dm,BC=24dm.為節(jié)約資源,現(xiàn)要從這塊鐵皮上截取矩形鐵皮BEFG(陰
影部分)備用,點E,F,G分別在AB,CD,BC上.設(shè)矩形鐵皮的邊FG=x(dm),矩形
BEFG的面積為S,求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求矩形BEFG面積的最大值.
?解題指南⑴過點D作DHLBC,與EF交于點M用含x的式子表示出DM的
長度.
(2)利用△DMF與△DHC相似,找出EF與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)利用矩形面積公式列出S與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式,并求最值.
?變式設(shè)問
王師傅有兩塊板材邊角料,其中一塊是邊長為60cm的正方形板子;另一塊是上底
為30cm,下底為120cm,高為60cm的直角梯形板子(如圖1).王師傅想將這兩塊板
子裁成兩塊全等的矩形板材.他將兩塊板子疊放在一起,使梯形的兩個直角頂點分
別與正方形的兩個頂點重合,兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE(如圖2).由于
受材料紋理的限制,要求裁出的矩形要以B為一個頂點.
⑴求FC的長.
(2)利用圖2求出當(dāng)矩形頂點B所對的頂點到BC邊的距離x(單位:cm)為多少時,
矩形的面積y(單位:cn?)最大,最大面積是多少?
(3)若想使裁出的矩形為正方形,試求出面積最大的正方形的邊長.
圖1圖2
方法歸納
內(nèi)接矩形求面積問題的核心思路口訣
遇見平行想相似,
相似比例要運用,
對應(yīng)邊高也成比,
函數(shù)關(guān)系來構(gòu)造,
最值增減性來套.
題型3構(gòu)造輔助圓解決實際問題
類型1探究特殊角存在問題
1【原創(chuàng)】已知線段AB=a,根據(jù)要求作點M的軌跡,使得NAMB滿足相對應(yīng)
的角.
(1)當(dāng)NAMB=30。時,找出點M的弧形軌跡,并求出點M軌跡所對應(yīng)的圓的半徑.
(2)當(dāng)NAMB=45。時,找出點M的弧形軌跡,并求出點M軌跡所對應(yīng)的圓的半徑.
解題指南(1)任意作出一個NAMB,使得NAMB滿足對應(yīng)的度數(shù).
(2)作4AMB的外接圓,AMB'即為點M滿足的軌跡.
(3)確定其圓心為0,連接0A,0B,結(jié)合△0AB的形狀特征,進(jìn)行半徑計算.
?變式設(shè)問
如圖,某校學(xué)生禮堂的平面示意圖為矩形ABCD,其寬AB=20米,長BC=24米.為了
能夠監(jiān)控到禮堂的內(nèi)部情況,現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M
進(jìn)行觀測,并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區(qū)域,同時為了觀測效果達(dá)到最佳,
還需要從點M出發(fā)的觀測角NAMB=45。.請你通過所學(xué)知識進(jìn)行分析,在墻面CD
區(qū)域內(nèi)是否存在滿足要求的點M?若存在,畫出點M的示意圖,并求出MC的長度;
若不存在,請說明理由.
方法歸納
探究特殊角頂點軌跡的步驟
(D找準(zhǔn)特殊角所對的邊;
(2)以此邊為突破口,通過構(gòu)造特殊三角形(如等腰直角三角形,等邊三角形);
(3)作三角形的外接圓,或者通過以特殊三角形中特殊角的頂點為圓心,三角形的腰長為
半徑構(gòu)造圓;
(4)利用圓周角定理及其推論找出特殊角,進(jìn)而根據(jù)所作圓推斷出特殊角頂點的軌跡弧即
可.
類型2利用圓的定義構(gòu)造輔助圓求距離最值問題
類型解讀
如圖,A為圓外一點,在圓上找一點P,使得PA最小.
圓的定義:平面內(nèi)到定點的距離等于定值的所有點構(gòu)成的集合.
構(gòu)造思路:若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值,則其軌跡是圓或圓弧.
2【原創(chuàng)好題】如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,E,F分別是
AC和BD上的動點,且EF=6,P為EF的中點.已知AC=16,BD=12,連接BP,CP,求
△BPC面積的最大值與最小值.
解題指南探究△BPC面積的最值時,先找出點P的運動軌跡,具體操作步驟如
下:
(1)在菱形ABCD中,對角線AC,BD的關(guān)系為垂直,即ZAOB=90°.
(2)在4EOF中,P為EF的中點,且EF的長度一定,連接0P,則0PqEF,由于點P
隨著EF的運動而運動,且點P到點0的距離始終為定值,則點P的軌跡為以0為
圓心,以3為半徑的圓.
(3)探究△BPC面積的最值時,只需考慮點P所在的圓上的點到BC的距離的最值
即可.
I變式設(shè)問
如圖,在矩形ABCD中,AD=2遮,AB=6,點E,F分別在邊BC,CD上,且線段EF=2,G
是EF的中點,連接BG并延長交CD于點H,過點G作CD的平行線交BD于點I,
連接HI,BljABHI的面積是否存在最小值?若存在,求出△BHI面積的最小值;若不
存在,請說明理由.
方法歸納
構(gòu)造輔助圓求距離最值問題的思路與方法
(1)利用圓的定義構(gòu)造輔助圓思路:若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值,則該動點
軌跡是圓或圓弧;
(2)點、圓距離最值:如圖1,Q是OO上的一個動點,則圓外一點P到圓上的最小距離是
PQi,最大距離是PQ2,其中P,O,QI,Q2四點共線;
(3)線、圓距離最值:如圖2,P為OO上的任意一點,直線I為。O外一條直線,過點P作
PQ±1于點Q,則PQ的最大值為PiQ,PQ的最小值為P2Q.
圖1圖2
類型3利用“定邊定角”探究幾何最值問題
類型解讀解題原理:定邊所對角為定角等價于同?。ǖ然。┧鶎A周角相等.
AB為定值,NP為定角,則點P的軌跡是一個圓弧.
第一步,找三角形外接圓,確定圓心位置.
常見特殊角找圓心:比如30°,45°,60°,120°.
第二步,確定最值類型,以圓心為參照,解決最值相關(guān)問題.
方向一:過圓心作垂直(面積相關(guān)).
方向二:連圓心(線段相關(guān)).
3【原創(chuàng)好題】如圖,在△ABC中,頂角NA=a,BC=a^>UABC的最大面積為
多少?
二解題指南第一步,作△ABC的外接圓,并記圓心為點O;
第二步,過圓心O作BC的垂線,該垂線與京前交于點A:則A'B=A'C;
第三步,過點A作AELBC,交BC于點E,連接OA,根據(jù)點到直線的距離最短可以
得至UA'D=OA'+OD=OA+OD>AE;
第四步,結(jié)合圓心角與圓周角的關(guān)系可
知,NBOC=2NBAC=2NBAC,NBOC=2NBOD=2NCOD;
第五步,根據(jù)垂徑定理可知,BD=CD與1BC=1*a,結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系可知,在
RtABOD中,OD=T-n7vn=n-Z----,0B=―—>r>=o~^——;
'tanzBOD2tana"smzyBpOrD2sina,
第六步,根據(jù)三角形面積公式計算.
R
4【原創(chuàng)好題】⑴如圖1,在RtAABC中,NC=9(r,AB=a,則RtAABC的最大
周長為多少?
(2)如圖2,在4ABC中,NA=2a,BC=a4lUABC的最大周長為多少?
如圖,在△ABC中,NBAC=6(r,BC邊上的中線AD=6,求△ABC面積的最大
值.
解題指南⑴延長AD至點T,使得AD=DT,又BD=CD,證得四邊形ABTC是平
行四邊形.
(2)由AC//BT,ZBAC=60°,MZABT=120°.
⑶由AT=12,NABT=120。,即AT為定長,NABT為定值,得點B的軌跡為圓.
(4)利用定邊定角求最值.
如圖,在等邊4ABC中,AB=6,M,N分別為BC,AC上的動點,且BM=CN,連接AM
和BN交于點P,求出△APB面積的最大值,并說明理由.
BMC.
16園林設(shè)計部門準(zhǔn)備在奧體廣場用鮮花拼成一個平行四邊形的花卉展覽場
地供市民觀賞.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為AD邊上一點,且
DE=3AE,ZBEC=60°,AB=6米.為了種植更多的鮮花,要求四邊形ABCD的面積盡
可能大.請問四邊形ABCD的面積是否存在最大值?如果存在,求出四邊形ABCD
面積的最大值;如果不存在,請說明理由.
變式設(shè)問
(2024.西安蓮湖區(qū)模擬)如圖,有一個矩形水池ABCD,BC=30m,AB=20m.設(shè)計者
想把水池分為四部分,分別是^AED,ACED,ABEC,△AEB,G為BC上的任意一
點,點E在AG上,且BF±AG,BF=2EF,^ACED區(qū)域養(yǎng)魚,其他區(qū)域養(yǎng)蝦.已知養(yǎng)
魚的費用為1000元/nF養(yǎng)蝦的費用為800元/n?,請問花費的最少費用是多少?
R
類型4利用“定高定角”探究幾何最值問題
類型解讀
在解決某類面積最值問題時,通過旋轉(zhuǎn)、平移等變換將問題轉(zhuǎn)換為某三角形面積
最小,可以發(fā)現(xiàn)三角形中:有定角和定角所對邊上的高為定值時,可考慮引入圓,找
三角形的外接圓,利用半徑+邊心距的距離與高之間的關(guān)系可求出半徑最小,如
圖,NBAC=45。,由AO+OENAD,得R+^NAD,可求得半徑最小,通過三角形三邊關(guān)
系可求底邊最小.
解決問題:求邊最小,面積最小,周長最小.
7【原創(chuàng)好題】如圖,在△ABC中,人口,:8。/:6人?=01人口=11,探究4ABC面積
的最小值.
解題指南(1)SAABC=^BCAD,其中AD為定值,要探究^ABC面積的最小值,只
需探究BC的最小值.
(2)作4ABC的外接圓0,連接0AQBQC,過點0作0ELBC,根據(jù)圓周角與圓心
11
角的關(guān)系可以得至UNB0E=NC0E昔NB0C/BAC甘NB0C.
(3)設(shè)圓0的半徑為R,則在RtABOE中,OE=R.cosa,BE=Rsina,此時
BC=2BE=2R-sina.
(4)根據(jù)垂線段最短可知QA+OENAD,進(jìn)而有R+Rcos婦h,解得R>^J?—.
ICzL-/JLA*
(5)根據(jù)半徑R的最小值,得出BC的最小值,最后計算△ABC面積的最小值即可.
f卜8(2024.鐵一中模擬節(jié)選)如圖,矩形ABCD是某農(nóng)業(yè)觀光園的部分平面示意
圖,AB=50,AD=80,AB邊上的點E為休息區(qū),且AE=20,三條觀光小路EG,EF,FG(小
路寬度不計,F在AD邊上,G在BC邊上)擬將這個園區(qū)分成四個區(qū)域,用來種植不
同的蔬菜,根據(jù)實際需要,NFEG=60。,并且要求^EFG的面積盡可能小,是否存在
滿足條件的△EFG?若存在,求出△EFG的面積的最小值;若不存在,請說明理由.
,變式設(shè)問
1.如圖,正方形ABCD是綠地公園的一塊空地,其邊長為100米.公園設(shè)計部門為了
給兒童提供更舒適、更安全的活動場地,準(zhǔn)備將空地中的四邊形BEDF部分作為
兒童活動區(qū),并用圍欄擋起來,只留三個出入口,即點D,點E,點F,而且根據(jù)實際需
要,要使得NEDF=45。,并將兒童活動區(qū)(即四邊形BEDF)劃分為△DEF和^BEF
兩種不同的游戲場地,兒童活動區(qū)之外的部分種植花草.請問是否存在一種設(shè)計方
案,使得兒童活動區(qū)的面積最大?若存在,請求出兒童活動區(qū)面積的最大值;若不存
在,請說明理由.
2.某觀光景區(qū)準(zhǔn)備在景區(qū)內(nèi)設(shè)計修建一個全民健身區(qū).如圖,△ABC為全民健身區(qū)
的大致示意圖,并將全民健身區(qū)分成^BED,ADFC和四邊形AEDF三部分,其中
在^BED和^DFC兩區(qū)修建室外大型器材健身區(qū),在四邊形AEDF區(qū)域修建室內(nèi)
健身休閑區(qū).根據(jù)設(shè)計要求,NBAC=60。,點D,E,F分別在邊BC,AB,AC上,且
DE=DF,NEDF=120。,四邊形AEDF的面積為200百平方米.為了節(jié)約修建成本,全
民健身區(qū)^ABC的面積是否存在最小值?若存在,請求出^ABC面積的最小值;若
不存在,請說明理由.
類型5探究最大張角問題
類型解族在某動點問題中,且動點在直線上運動時,從動點上觀測某定長線段的角
度會發(fā)生變化,因此存在角度最大問題,或三角函數(shù)值最值問題,可考慮引入圓,利
用當(dāng)AABP的外接圓與動點所在直線相切時,切點處觀測的角度最大,最大張角分
為三類:①平行類;②垂直類一陜西15年25題;③斜交類.
問題解決:角度最大,余弦值最小,正弦值最大.
卜9【原創(chuàng)好題】問題提出
⑴如圖1,在。。中,直線1過。O,P1,P2,P3分別為直線1上三點,P2為1與。。的交
點,AB為O0的弦,求證:NAPIB<NAP2B<NAP3B.
問題探究
(2)如圖2,若AB是O0中的定弦,直線1是O0的切線,求證:切點P是直線1上滿
足NAPB度數(shù)最大的唯一點.
解題指南在角度比較過程中,要注意尋找“中間角”當(dāng)作媒介進(jìn)行比較.
第⑴問中,以圓周角NAP2B當(dāng)作媒介進(jìn)行比較,根據(jù)三角形的一個外角等于與它
不相鄰的兩個內(nèi)角的和及圓周定理可以得知NAP3B>NAP2B,NAP2B>NAPiB.
第(2)問中,在直線1上任取一點P,然后對比切點P與弦AB所形成的角即可,這一
過程也是利用圓周角作為“中間角”進(jìn)行比對的.
卜1。問題發(fā)現(xiàn)
⑴如圖1,點A和點B均在。0上,且NAOB=90。,點P和點Q均在射線AM上,
若NAPB=45。網(wǎng)點P與。0的位置關(guān)系是渚NAQB<45。,則點Q與。0
的位置關(guān)系是.
問題解決
如圖2,在四邊形ABCD中,AB=1,AD=2V2,P
是BC邊上任意一點.
(2)當(dāng)NAPD=45。時,求BP的長.
(3)是否存在點P,使得NAPD最大?若存在,請說明理由,并求出BP的長;若不存在,
也請說明理由.
解題指南(1)根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可判斷.
(2)構(gòu)造斜邊為AD的等腰直角三角形AOD,以0為圓心,0A為半徑作。0交BC
于點P,P,易知NAPD=NAPD=45。.求出BP和BP的長即可解決問題.
(3)作線段AD的垂直平分線,交AD于點E,交BC于點F,點0在EF上,以0A的
長為半徑作。0,當(dāng)。。與BC相切于點P時,NAPD最大,求出此時BP的值即可.
?變式設(shè)問
1.如圖,在四邊形ABCD中,AD//BC,CD±BC,NABC=6(T,AD=8,BC=12.在四邊形
ABCD的邊AD上,是否存在一點P,使得cosZBPC的值最小?若存在,求出此時
cosZBPC的值;若不存在,請說明理由.
B1
2.如圖,這是矩形足球場的示意圖,其中寬AB=66米,球門EF=8米,且EB二FA.P,Q
分別為BC,AD上的點,BP=7米,NBPQ=135。.一位左前鋒球員從點P處帶球,沿PQ
方向跑動,球員在PQ上的何處才能使射門角度(NEMF)最大?求出此時PM的長.
A9__,D
F
EM
BC
方法歸納
探究幾何最值問題的方法
探究幾何最值問題時,通??刹捎帽容^的方式,即說明一個幾何量是最大或者是最小時,
可隨機(jī)找出一個與其相關(guān)的幾何量進(jìn)行對比.其方式如下:
對比所尋比參照角大
紀(jì)…“找參般-------4最大角
所探究目標(biāo)角--------?
最小角
比參照角小
類型6利用切線性質(zhì)探究最值問題
11【原創(chuàng)好題】如圖,在矩形EBCF中,點A在邊EF上運動,NBAC=a,BC=a,
則當(dāng)點A運動到何處時,矩形EBCF的面積最大?并求出其最大面積.
解題指南(1)如圖1,過點A作人口,:8。并作出4ABC的外接圓。0,根據(jù)
NBAC=a,BC=a,由“定邊對定角”可知,點A的軌跡為BAC.
圖1圖2
(2)如圖2,要求矩形EBCF面積的最大值,本質(zhì)是探究BE或CF的最大值,當(dāng)A為
麗C的中點(即EF的中點)時,AD最大,即矩形EBCF的寬最大,此時矩形EBCF
的面積最大.
變式設(shè)問
【原創(chuàng)好題】如圖,有一片平面示意圖為矩形ABCD的試驗田,點N在AD上,點
M在CD上,連接MN,NB,MBAABN,ADMN,ABMC,ABMN為該試驗田所劃分
的四個區(qū)域.經(jīng)過實地考察得知AB=3NA=60m,NNMB=45。.請你根據(jù)以上信息分
析試驗田所在矩形ABCD是否存在最大面積.若存在,求出其最大值;若不存在,請
說明理由.
D
N
A
方法歸納
借助相切情況探究面積或者線段最值的本質(zhì)要抓住的幾個“題眼”
(1)當(dāng)探究線段的最值時,觀察這條線段的頂點是否為某個角度數(shù)一定的角的頂點,此時
可以借助該點的運動軌跡(多為圓弧)抓住相切條件.
(2)探究面積最值時,無論是四邊形還是三角形,都要抓住“定邊對定角”的條件,找出弧線
形運動軌跡,要使面積最大,那么對應(yīng)的圖形的高一定最大,而借助圓與直線的位置關(guān)系,只有
相切滿足題目條件.
題型4與圖形變換結(jié)合的問題探究
類型1“將軍飲馬”求最值——單動點問題
1(2024.西工大模擬節(jié)選)如圖,在RtAABC中,NABC=9(T,AB=6,BC=8,D是
邊AC的中點.以點A為圓心,2為半徑在^ABC內(nèi)部畫弧,若P是上述弧上的動
點,Q是邊BC上的動點,求PQ+QD的最小值.
解題指南(1)作點D關(guān)于BC的對稱點D,將問題轉(zhuǎn)化為點D到圓弧上的最短
距離.
(2)連接AD,AD與圓弧的交點P即為所找點,以AD為斜邊構(gòu)造直角^AD'E.
(3)借助三角形的相似關(guān)系與勾股定理計算PQ+QD的最小值.
A
BO
,變式設(shè)問
如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形內(nèi)部有一動點P滿足SAPAB=|S矩形ABCD,
則點P到A,B兩點的距離之和PA+PB的最小值為多少?
方法歸納
單動點的“將軍飲馬”問題模型解讀
模型分析:如圖1,點A,點B為直線1同側(cè)的兩個定點,在直線1上找一點P,使得PA+PB
最小.
B
__4__________y:I
Z爾
圖1圖2
思路:如圖2,點P滿足PA+PB最小.
類型2“將軍飲馬”求最值——雙動點問題
2如圖,NA0B=6(T,P是NAOB內(nèi)一定點,且0P=2.若M,N分別是射線OA,OB
上異于點0的動點,則△PMN周長的最小值是多少?
解題指南(1)作出點P關(guān)于OAQB的對稱點F,E,連接EN,MF,根據(jù)對稱性可知
PN=EN,PM=MF;
(2)CAPMN=PN+PM+MN=EN+MF+MN>EF;
(3)將4PMN的周長轉(zhuǎn)為線段長后,結(jié)合對稱性可
知,OP=OE=OF,NEOF=2NAOB=12。。,最后借助含有特殊角的等腰三角形性質(zhì)計
算結(jié)果即可.
N久
O'MA
3(2024.西工大附中模擬節(jié)選)如圖,矩形ABCD是某在建的公園示意圖,其中
AB=200V3m,BC=400m.根據(jù)實際情況,需要在邊DC的中點E處開一個東門,同
時根據(jù)設(shè)計要求,要在以點A為圓心,在公園內(nèi)以10m為半徑的圓弧上選一處點P
開一個西北門,還要在邊BC上選一處點Q,在以Q為圓心,在公園內(nèi)以10m為半
徑的半圓的三等分點的M,N處開兩個南門.線段PM,NE是要修的兩條道路.為了
節(jié)約成本,希望PM+NE最小.試求PM+NE最小值及此時BQ的長.
解題指南(1)由M,N為半圓的三等分點可知MN的距離不變,將點E向左平移
MN長的單位得到E,并連接EM,進(jìn)而得EN=EM,從而將問題轉(zhuǎn)化為PM+E'M.
(2)作點A關(guān)于直線MN的對稱點A;連接AM,由對稱性可將PM+E'M轉(zhuǎn)化為
AM+ME-AP,由兩點之間線段最短,得A'M+ME,-AP=A,E,-AP.
(3)以AE為斜邊構(gòu)造直角三角形AEL,最后運用勾股定理計算出AE即可.
,變式設(shè)問
1.如圖,NMON=30。,點A在射線OM上,OA=2,點D在射線ON±,OD=4,C是射線
OM上任意一點,B是射線ON上任意一點,則AB+BC+CD的最短長度為多少?
M
2.(2024.師大附中期中節(jié)選)如圖,某社區(qū)廣場有一塊正方形花園ABCD,其中
AB=60m,E是CD的中點,現(xiàn)要在花園內(nèi)規(guī)劃幾條小道,經(jīng)社區(qū)廣泛收集居民建議,
設(shè)計方案,修建四條小道AM,MN,NE,EA,其中M,N均在BC上,且N在M的右
邊,MN=20m,要使得修建的小道AM+MN+NE+EA的值最小,試求此時CN的長和
AM+MN+NE+EA的最小值.
方法歸納
雙動點的“將軍飲馬”問題模型解讀
(1)模型分析:如圖1,P為NAOB內(nèi)部一定點,在NAOB的邊OA上找一點E,邊OB上找
一點F,使得△PEF的周長最小.
P,
圖2
思路:如圖2,(CAPEF)min=PlP2.
(2)模型分析:如圖3,P,Q為NAOB內(nèi)部兩個定點,在NAOB的邊0A上找一點E,邊OB
上找一點F,使得四邊形PEFQ的周長最小.
思路:如圖4,(C四邊形PEFQ)min=P'Q'+PQ.
(3)已知A,B兩點,MN長為定值,求確定M,N位置使得AM+MN+NB值最小?
思路:考慮MN長為定值,故只要AM+BN的值最小即可.將AM平移使M,N重
合,AM=AN,將AM+BN轉(zhuǎn)化為A'N+NB.
構(gòu)造點A,關(guān)于MN的對稱點A",連接A”B,可依次確定N,M位置.
類型3“兩動一定”問題的探究
如圖,在正方形ABCD中,AB=4,E是BC邊的中點,F是CD邊上的一點,且
DF=1.若M,N分別是線段AD,AE上的動點,則MN+MF的最小值為多少?
?解題指南(1)作點F關(guān)于AD的對稱點G,過點G作GNLAE,且GN與AD交
于點M.
(2)借助△ABEs/XMDFsaMNA,列出對應(yīng)比例關(guān)系式,求出MN與MG即可.
I變式設(shè)問
(2024.西工大附中模擬節(jié)選)如圖,四邊形ABCD是一塊板材,其中
AD/7BC,ZA=90°,AD=20cm,BC=40cm,AB=60cm,工人師傅想用這塊板材裁剪
出一塊四邊形OMBN的部件,使得。是CD的中點,點M,N分別在AB,BC上,并
要求四邊形OMBN部件的面積是四邊形ABCD板材面積的去求裁剪長度
(OM+ON)的最小值.
方法歸納
根據(jù)對稱變換探究點線最值模型解讀
模型分析:如圖1,M為/AOB內(nèi)一定點,P為OA上任意一點,Q為OB上任意一點,找出
點P與點Q的位置,使得MP+PQ最小.
圖1
思路:如圖2,(MP+PQ)min=M'Q.
類型4“胡不歸”模型求線段和最值問題
5【原創(chuàng)好題】如圖,A為射線1的頂點,B為射線1上的一個動點,P為射線1
外一定點(位置固定).
(1)當(dāng)PB+|AB最小時,確定點B的位置;
⑵當(dāng)PB+yAB最小時,確定點B的位置;
(3)當(dāng)PB+yAB最小時,確定點B的位置.
解題指南形式:PA+kPB的形式,0<k<l時,在射線外側(cè)構(gòu)造定角,如k=sina,或
借助特殊三角形的三邊關(guān)系;當(dāng)k>l時,提k后,再按上述步驟操作,將含有系數(shù)的線
段和最值計算問題轉(zhuǎn)化為點到直線最值問題.
關(guān)鍵突破點當(dāng)對應(yīng)動點所在射線旋轉(zhuǎn)30。,乎對應(yīng)動點所在射線旋轉(zhuǎn)45。,苧對應(yīng)動
點所在射線旋轉(zhuǎn)60°.
如圖,A,B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路,點B
到AC的距離為360km.今計劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M,再在BM間修一
條筆直的公路.如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍,那么為使
通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達(dá)到最小值,求此時AM的長.
AC
方法歸納
“胡不歸,,模型求線段的和最值的兩點注意事項
探究“AB+k?CD(O<k<l)”這種類型的最值問題時,注意:①兩條線段和的最值問題本質(zhì)上
都是探究在“同一直線”上的問題;
②將系數(shù)k轉(zhuǎn)化為1,這里的系數(shù)k就是對應(yīng)變換射線的旋轉(zhuǎn)角a的正弦值,即k=sina.
類型5利用旋轉(zhuǎn)解決線段和問題——“費馬點”探究
6【改編】如圖,在銳角△ABC的內(nèi)部找一點M,連接MA,MB,MC,并使得
MA+MB+MC最小.
解題指南(1)WAABM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ABN,進(jìn)而得△BMN的
形狀為等邊三角形;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABM手△ArBN,即AM=A'N,由此可得
MA+MB+MC=A'N+MN+MC>A'C;
(3)當(dāng)點M,N在A'C上時,滿足MA+MB+MC最小,此時在^ABC內(nèi)的點M滿足
ZAMB=ZBMC=ZAMC=120°.
A
M
B
變式設(shè)問
【原創(chuàng)好題】如圖,某商業(yè)區(qū)的平面示意圖為矩形ABCD,AD=a,AB=b.其中點A,D
為該商業(yè)區(qū)的兩個污水排出口,生活用水供給口Q在BC上,市政部門為了合理控
制新建商業(yè)區(qū)的用水情況,擬在該商業(yè)區(qū)ABCD內(nèi)安裝一個用水總閥門P,且要求
總閥門P到供給口Q和兩個出水口A,D所鋪設(shè)的主管道PQ,PA,PD總和最短.請
你根據(jù)要求在圖中找出點P的位置,并計算出所鋪設(shè)管道PQ+PA+PD的最短長度
方法歸納
尋找“費馬點”求最值思路
將所求最值線段所在三角形向圖形外進(jìn)行旋轉(zhuǎn)
一將共點三線段轉(zhuǎn)化為順次連接形式
一以旋轉(zhuǎn)所成等邊三角形尋找費馬點
一通過全等三角形對應(yīng)邊轉(zhuǎn)化線段等量關(guān)系
一確定位置并計算
類型6利用圖形間的旋轉(zhuǎn)變換求最值問題
7【原創(chuàng)好題】(1)如圖1,0為直線1外一定點,A為直線1上的一動點,連接
0A,將0A繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)至0B,其旋轉(zhuǎn)角NA0B為定角,則點B的運動軌跡
如何?
(2)如圖2,點A在O0上運動,將AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到AD,其旋轉(zhuǎn)角ZBAD為
定角,請說明點D的運動軌跡.
圖1
C卜8(2024.西工大附中模擬節(jié)選)如圖,四邊形ABCD是某市在建的休閑廣場,按
照設(shè)計要求,休閑廣場要利用點B,D的兩座涼亭,需建在BD的兩邊,且滿足
sinNABC=g,sinNADC=|,BcWAB,經(jīng)測量兩座涼亭B,D之間的距離為500m,若
計劃在建成的休閑廣場內(nèi)的△ACD區(qū)域內(nèi)種植花卉,問能否使得種植花卉的面積
最大?若能,求出種植花卉的最大面積;若不能,請說明理由.
解題指南(1)由BC=^AB,這一條件為突破口淅△ABD繞點B進(jìn)行旋轉(zhuǎn),并在
旋轉(zhuǎn)過程中使得^ABD按照比例縮小,得到△BCE,即構(gòu)造△BCE^ABAD.
(2)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得到BE的長度,再由
43
sinNABC=sinNDBE=5,sinNADC=sinNBDE=Q,解出△BDE的邊長DE.
(3)由于sinZABC與sinZADC的關(guān)系可知二者互余,再結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可
知:NDCE=180°-(NBAD+NBCD)=90°.
(4)借助DE為固定邊,NDCE為固定角,求出△DCE的面積最大值.
11
(5)過點A作AGLCD,最后由SAADC=]CD.AG甘ADcinNADCCD,轉(zhuǎn)化為△DCE
的面積最大關(guān)系計算即可.
變式設(shè)問
1.【一題多解】如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點,且BE=1,F為AB
邊上的一個動點,連接EF,以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小
值為.
2.(2024.高新一中開學(xué)考節(jié)選)如圖,這是某公園的一個面積為2567rm2的圓形施工
區(qū)示意圖,公園開發(fā)部門計劃在該施工地內(nèi)設(shè)計一個四邊形區(qū)域ABCD作為兒童
戶外拓展中心.按設(shè)計要求,A、B、C、D四個點都在圓上護(hù)欄AB=CD=16m,為
了讓孩子們有更好的活動體驗,四邊形ABCD的面積越大越好,請求出四邊形
ABCD面積的最大值.
3.(1)如圖1,將兩個含有30。角的直角三角板的60。角的頂點重合(其中
NBAC=NBA'C'=30°,NACB=NA'C'B=90。),繞點B旋轉(zhuǎn)△CA'B,當(dāng)旋轉(zhuǎn)至CC'=4
時,求AA,的長.
(2)如圖2,0為等腰RtAABC的斜邊AB的中點,AC=BC=5夜,OE=2,連接BE,作
RtABEF,其中NBEF=90o,tan/EBF=;,連接AF,求四邊形ACBF的面積的最大值.
4
圖2
方法歸納
利用圖形間的旋轉(zhuǎn)變換求最值問題模型總結(jié)
(I)如圖1.△APQ的形狀固定,且A為定點,當(dāng)點P在直線BC上運動時,點Q的運動軌跡
(2)如圖3,A為定點,點P在圓O上運動,AP=AQ,且APLAQ,則點Q的運動軌跡為如圖4
所示的。M;
(3)如圖5,A為定點,點P在圓O上運動,AQ與AP之間的比值為定值,則點Q的運動軌跡
為如圖6所示的OM.
類型7利用構(gòu)造法解決幾何應(yīng)用問題
類型解讀有一類線段和求最值問題,主要特征在兩個動點(在不同線段上動),且運
動過程距離相等或距離成倍數(shù)關(guān)系,在此類問題中,可利用構(gòu)造全等或者相似三角
形,進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)移及放縮,將兩條目標(biāo)線段進(jìn)行拼接,從而利用兩點之間線段最
短進(jìn)行求值.
題型一:構(gòu)造全等
?如圖,在等腰直角△ABC中,/?=90。八?=:6?=魚足》為邊人。:6(2上的兩個
動點,且CF=AE,連接BE,AF,則BE+AF的最小值為.
1.如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,E,F分別是邊BC,CD上的動點,且BE=CF,
連接BF,DE,則BF+DE的最小值為.
2.如圖,已知等邊△ABC的邊長為1,AF為高,D,E分別是AC,AF上的兩個動點,且
AE=CD,則BD+CE的最小值為_________________.
HF
題型二:構(gòu)造相似
陋10【一題多解】如圖,在正方形ABCD中,M為AD上一點,且需=|,E,F分別
為BC,CD上的動點,且BE=2DF,若AB=4,求ME+2AF的最小值.
變式設(shè)問
1.如圖,在矩形ABCD中,AB=15,AD=20,E,F分別為邊BC,BD上的兩動點,且
DF=2BE,則2AE+AF的最小值為
2.如圖,在△ABC中,CDLAB于點D,AD=CD=4,E是CD上的一個動點,CE=2BD,
貝ljAE+2BC的最小值為.
C
A
ADR
題型三:圖形拼湊
部11(2022.陜西中考節(jié)選)如圖,現(xiàn)有一塊△ABC形狀板材,NACB為鈍
角,NBAC=45。.工人師傅想用這塊板材裁出一個△ABP型部件,并要求
NBAP=15o,AP=AC.工人師傅在這塊板材上的作法如下:
①以點C為圓心,以CA長為半徑畫弧,交AB于點D,連接CD;
②作CD的垂直平分線1,與CD交于點E;
③以點A為圓心,以AC長為半徑畫弧,交直線1于點P,連接AP,BP,MAABP.
請問,若按上述作法,裁得的^ABP型部件是否符合要求?請證明你的結(jié)論.
解題指南(1)將4ACD補充為正方形AFDC,然后連接PF,進(jìn)而說明^APF為
等邊三角形.
(2)借助補充后的圖形中所蘊含特殊角度數(shù)即可推算NBAP的度數(shù)是否滿足題意.
?變式設(shè)問
某次施工中,工人師傅需要畫一個20。的角,但他手里只有一把帶刻度的直角尺,工
程監(jiān)理給出了下面簡易的作圖方法:
①畫線段OB=15cm,再過它的中點C作m±OB;
②利用刻度尺在m上尋找點A,使得OA=15cm,再過點A作1〃OB;
③利用刻度尺過點O作射線,將射線與AC和1的交點分別記為點F、E,調(diào)節(jié)刻度
尺使FE=acm時(“口”內(nèi)的數(shù)字被污染無法看清),則NEOB=20。;
你認(rèn)為監(jiān)理給的方法可行嗎?如果可行,請寫出“□”內(nèi)的數(shù)字,并說明理由;如果不
可行,請給出可行的方案.
參考答案
題型1幾何圖形等分問題探究
類型1等分三角形面積
例1解析:⑴如圖1,取邊上的中點。,連接AD即可.
A
RDC.
圖1
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