中考數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練《相似三角形》含答案及解析

重難點突破全等三角形與相似三角形

目錄

題型特訓(xùn)-精準提分

題型01旋轉(zhuǎn)中的全等模型

類型一對角互補模型

類型二對角互補且有一組鄰邊相等的半角模型

類型三手拉手旋轉(zhuǎn)模型

類型四中點旋轉(zhuǎn)模型

類型五通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等

題型02構(gòu)造相似三角形解題

類型一做平行線構(gòu)造“A”型相似

類型二做平行線構(gòu)造“X”型相似

類型三作垂線構(gòu)造直角三角形相似

類型四作垂線構(gòu)造“三垂直”型相似

題型03與相似三角形有關(guān)的壓軸題

類型一運用相似三角形的性質(zhì)與判定求點的坐標

類型二運用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段的最值

類型三利用相似三角形的判定和性質(zhì)求“kAD+BD”型的最值（阿氏圓）

類型四相似中的“一線三等角”模型

類型五相似三角形與多邊形綜合

題型特訓(xùn)-精準提分

題型01旋轉(zhuǎn)中的全等模型

類型一對角互補模型

1.（20-21八年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）如圖，等腰直角三角形4BC中，NA4c=90。，AB=AC,點、M,N

在邊8c上，且/M4N=45。.若8W=1,CN=3,求MV的長.

2.（2021?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓

展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗.讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片4BCZ）折疊，使邊/8、都落在對角線NC上，展開得折痕/￡、AF,連接跖，

如圖1.

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的NE”繞點/旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊2C、CD于點P、Q,連接P。，如圖2.

（2）線段8尸、PQ、。。之間的數(shù)量關(guān)系為；

（3）連接正方形對角線8。，若圖2中的NP4Q的邊NP、月。分別交對角線AD于點M、點N.如圖3,則

CQ=

BM------------------

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線2D剪開，如圖4.

（4）求證：BM2+DN2=MN2.

3.（2020?湖南湘西?中考真題）問題背景：如圖1,在四邊形力BCD中，乙62。=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

AABC=120°,AMBN=60°,NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交4。、DC于E、F.探究圖中線段4E,CF,

EF之間的數(shù)量關(guān)系.小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G,使CG=4E,連接BG,先證明aBCG三

△BAE,再證明△BFC三△8FE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形4BCD中，Z.BAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,^ABC=24MBN,乙MBN繞

B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交4。、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”

或者“不成立，'），不要說明理由.

探究延伸2：如圖3,在四邊形ABCC中，BA=BC,^BAD+^BCD=180°,乙ABC=24MBN,乙MBN繞B

點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交4。、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由.

實際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處艦艇乙在指揮中心南

偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的

速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、

乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70。，試求此時兩艦艇之間的距離.

類型二對角互補且有一組鄰邊相等的半角模型

4.(2022?遼寧朝陽?中考真題)【思維探究】如圖1,在四邊形A8C。中，ZBAD=60°,Z5CD=120°,AB

=AD,連接NC.求證：BC+CD=AC.

(1)小明的思路是：延長CD到點￡,使DE=BC,連接根據(jù)N24D+N2CD=180。，推得N8+N/OC

=180°,從而得到N2=N4DE,然后證明?。石絲從而可證3C+CD=/C,請你幫助小明寫出完整

的證明過程.

(2)【思維延伸】如圖2,四邊形/BCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,連接/C,猜想2C,CD,AC

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)【思維拓展】在四邊形/BCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD=46,NC與相交于點O.若四邊

形/BCD中有一個內(nèi)角是75。，請直接寫出線段OD的長.

5.(20-21九年級上?湖北武漢?階段練習(xí))(1)問題背景.

如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,4B+ND=180°,E、F分別是線段BC、線段CD上的點.若NB4D=

2^EAF,試探究線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.

童威同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點G.使DG=BE.連接4G,先證明△ABE三△4DG.再證明△

4EF三△4GF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是一.

(2)猜想論證.

如圖2,在四邊形4BCD中，AB=AD,4B+"DC=180°,E在線段BC上、尸在線段CD延長線上.若NB4D=

2^EAF,上述結(jié)論是否依然成立？若成立說明理由；若不成立，試寫出相應(yīng)的結(jié)論并給出你的證明.

(3)拓展應(yīng)用.

如圖3,在四邊形4BDC中，4BDC=45°,連接BC、AD,AB:AC:BC=3:4:5,AD=4,且N4BD+NCBD=

180°.則△4CD的面積為.

圖3

6.(2020?河南南陽?模擬預(yù)測)已知四邊形4BCD中，AB_L4D,BC1CD,AB=BC,^ABC=120°,乙MBN=

60°,將NMBN繞點B旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交邊40、DC（或它們的延長線）于點E、F.

圖I圖2

（1）當ZMBN繞點B旋轉(zhuǎn)到4E=CF時（如圖1）,

①求證：AABE=ACBF；

②求證：AE+CF=EF；

（2）當NM8N繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時，AECF,此時，（1）中的兩個結(jié)論是否還成立？請直

接回答.

類型三手拉手旋轉(zhuǎn)模型

7.(2022?山東濟南?中考真題)如圖1,八婚。是等邊三角形，點。在4/BC的內(nèi)部，連接N。，將線段4D

繞點/按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段連接AD,DE,CE.

(1)判斷線段8。與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明;

(2)延長ED交直線BC于點F.

①如圖2,當點尸與點2重合時，直接用等式表示線段BE和CE的數(shù)量關(guān)系為、

②如圖3,當點尸為線段中點，且磯)=EC時，猜想/24D的度數(shù)，并說明理由.

8.(2020?遼寧丹東?中考真題)已知：菱形4BCD和菱形ABAD=^B'A'D',起始位置點4在邊4?

上，點B在4夕所在直線上，點B在點4的右側(cè)，點夕在點4的右側(cè)，連接4C和4L,將菱形28CD以4為旋

轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0。<a<180。).

(1)如圖1,若點4與4重合，S.ABAD=AB'A'D'=90°,求證：BB'=DD'；

(2)若點4與4不重合，M是4c，上一點，當=時，連接BM和4C,BM和4c所在直線相交于點P；

①如圖2,當NB4D=NB7T)=90。時，請猜想線段BM和線段4c的數(shù)量關(guān)系及NBPC的度數(shù)；

D'

②如圖3,當NBA。=N夕A。=60。時，請求出線段BM和線段4c的數(shù)量關(guān)系及48PC的度數(shù);

③在②的條件下，若點4與的中點重合，A'B'=4,AB=2,在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當點P與點M重合時，

請直接寫出線段的長.

9.（2022?河南駐馬店?三模）如圖1,△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，邊NB在射線（W上，且。4=9cm.點

。從O點出發(fā)，沿方向運動.當點D不與點A重合時，將線段CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到CE.連

接BE,DE.

（1）如圖1,當點。在線段CM上運動時，線段8。、BE、2C之間的數(shù)量關(guān)系是,直線4D和直線BE

所夾銳角的度數(shù)是:

（2）如圖2,當點。運動到線段（不與/點重合）上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請說明理

由；若不成立，請寫出正確的結(jié)論并說明理由;

（3）如圖3,將△ABC改為等腰直角三角形，其中斜邊4B=6,其它條件不變，以C。為斜邊在其右側(cè)作等腰

直角三角形CDE,連接2E,請問BE是否存在最小值，若存在，直接寫出答案；若不存在，說明理由.

類型四中點旋轉(zhuǎn)模型

10.(2023?河北唐山?二模)已知：在正方形4BCD中，E為對角線BD上一點，過點E作EF1BD,交BC于點

F,連接DF,G為。F的中點，連接EG,CG.

⑴猜想線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【拓展探究】

⑵將圖1中ABEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到圖2,取DF中點G,連接EG,CG.你在⑴中得到的結(jié)論還成立嗎？

寫出你的猜想并加以證明.

11.(2023?山東淄博?中考真題)在數(shù)學(xué)綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動.

(1)操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片4BCD和CEFG拼成乜”形圖案，如圖①.

(2)深入探究

小紅在保持矩形28C。不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，若28=2,AD=4.

探究一：當點F恰好落在4D的延長線上時，設(shè)CG與DF相交于點如圖②.求aCMF的面積.

探究二：連接2E,取4E的中點H,連接D”，如圖③.

求線段DH長度的最大值和最小值.

12.（2021?江蘇宿遷?中考真題）已知正方形48co與正方形/EFG,正方形NEFG繞點Z旋轉(zhuǎn)一周.

（1）如圖①，連接3G、CF,求行的值；

DG

（2）當正方形4EFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CRBE,分別取CRBE的中點X、N,連接MN、試探究:

與2E的關(guān)系，并說明理由；

（3）連接BE、BF,分別取BE、8尸的中點N、Q,連接0N,AE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.

類型五通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等

13.（2022-內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）如圖，點P是正方形4BCD內(nèi)一點，且點尸到點/、B、C的距離分別為

2百、&、4,則正方形/BCD的面積為（）

B.14+4V3C.12D.24

14.（2023?湖北隨州?中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直

線上的三個點B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里

拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個頂點）

當△ABC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將aapc繞，點c順時針旋轉(zhuǎn)60。得到連接pp:

由PC=P'C,Z.PCP'=60°,可知△PCP'為①三角形,故PP，=PC,又P'A=P4,故P4+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',N在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為AB,此時的

P點為該三角形的“費馬點”，且有乙4PC=Z.BPC=乙4PB=③；

已知當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NBAC2120。,

則該三角形的“費馬點”為④點.

⑵如圖4,在△4BC中，三個內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,乙4cB=30。，已知點P為△ABC的“費

馬點”，求P4+PB+PC的值；

（3）如圖5,設(shè)村莊/,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知4C=4km,BC=2V3km,^ACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向N,B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊n,B,C的鋪設(shè)成本分別為“

元/km,a元/km,迎a元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果用

含a的式子表示）

15.（23-24九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）【問題背景工如圖1,點D是等邊△ABC內(nèi)一點，連接

將△ABD繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4CE,連接DE,觀察發(fā)現(xiàn)：8。與CE的數(shù)量關(guān)系為,直線BD

與CE所夾的銳角為度；

【嘗試應(yīng)用】：如圖2,在等腰直角中，AB=AC,^BAC=90°,點。是等腰直角△28C內(nèi)一點，連

接AD,BD,CD,若AD=2a,BD=5,CD=3,求△BCD面積；

【拓展創(chuàng)新】:如圖3,在等腰△28C中,AB=4C,NB4C=120。，點。為平面內(nèi)一點，且乙=60。,鬃=3,

圖3

題型02構(gòu)造相似三角形解題

類型一做平行線構(gòu)造“A”型相似

16.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，E為。。上的一點，點C是弱的中點，連接BC,過點

C的直線垂直于BE的延長線于點D,交B4的延長線于點P.

（1）求證：PC為。。的切線；

（2）若PC=2aB0,PB=10,求BE的長.

17.（2018?湖北黃石?中考真題）在aABC中，E、F分別為線段AB、AC上的點（不與A、B、C重合）.

(1)如圖1,若EF〃:BC,求證：紅絲￡=空絲

ABCABAC

(2)如圖2,若EF不與BC平行，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由;

(3)如圖3,若EF上一點G恰為AABC的重心，笠=。，求受空的值.

AB4S&4BC

類型二做平行線構(gòu)造“X”型相似

18.(2023九年級?全國?專題練習(xí))在△ABC中，已知。是BC邊的中點，G是△ABC的重心，過G點的直

線分別交/8、NC于點E、F.

⑴如圖1,當EFIIBC時,求證：。+收=1；

(2)如圖2,當EF和不平行，且點從尸分別在線段AB、AC上時，(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請

給出證明；如果不成立，請說明理由.

(3)如圖3,當點￡在4B的延長線上或點尸在2C的延長線上時，(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請給出

證明；如果不成立，請說明理由.

19.(2023?湖北孝感?三模)【問題情境】

小睿遇到這樣一個問題:如圖1,在△ABC中，點D在線段BC上,NB4D=75°,ACAD=30°,AD=4,BD=2DC,

求4C的長.

AAA

D

BDCBD\/C

EB

圖1圖2圖3

【問題探究】

小睿發(fā)現(xiàn)，過點C作CEIIAB,交4。的延長線于點E,經(jīng)過推理和計算能夠使問題得到解決，如圖2.

⑴①“CE的度數(shù)為；②求4C的長；

【問題拓展】

(2)如圖3,在四邊形4BCD中，NB4C=90°,/.CAD=30°,zX￡)C=75。,2。與8。交于點&4￡'=2m,BE=2ED,

求BC的長.

20.(2023?廣東深圳?中考真題)(1)如圖，在矩形4BCD中，E為2D邊上一點，連接BE,

①若BE=BC,過C作CF1BE交BE于點F,求證：△4BE王△FCB；

②若S矩形4BCD=20時，則BE-CF=.

(2)如圖，在菱形4BCD中，cos4=1,過C作CE_L交4B的延長線于點E,過E作EF1AD交4。于點尸,

若S菱形ABCD=24時，求EF?8C的值.

(3)如圖，在平行四邊形4BCD中，NA=60。，AB=6,AD=5,點E在CD上，且CE=2,點F為BC上一

點，連接EF,過E作EG交平行四邊形4BCD的邊于點G,若EF-EG=78時，請直接寫出4G的長.

11D,E

缶用圖

類型三作垂線構(gòu)造直角三角形相似

21.(2022?山西?中考真題)綜合與實踐

問題情境：在比△NBC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板ED尸中NED尸=90。，將三角板的直角

頂點。放在用△NBC斜邊8C的中點處，并將三角板繞點。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊。E,。尸分別與邊

(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊的中點時，試判斷四邊形/地W的形狀，并說明理由;

問題解決:

(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當=時，求線段CN的長；

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當4M=4N時,直接寫出線段ZN的長.

22.(2020?江蘇南通?中考真題)【了解概念】

有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點的線段稱為對余線.

【理解運用】

(1)如圖①，對余四邊形NBCD中，AB=5,BC=6,CD=4,連接4c.^AC=AB,求sin/C4。的值;

(2)如圖②，凸四邊形/BCD中，AD=BD,AD±BD,當ZCD+CB』。?時，判斷四邊形/BCD是否為

對余四邊形.證明你的結(jié)論；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐標系中，點/（-1,0）,B（3,0）,C（1,2）,四邊形48CZ）是對余四邊形，點E在

對余線8。上，且位于△/2C內(nèi)部，ZAEC=90°+ZABC.設(shè)熊="，點。的縱坐標為人請直接寫出M關(guān)于

，的函數(shù)解析式.

類型四作垂線構(gòu)造“三垂直”型相似

23.⑵-24九年級上?江蘇揚州?階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCC中，乙4BC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,

DA=5V5，貝1JBD的長為

24.（2022上?江蘇揚州?九年級統(tǒng)考期中）將一張以4B為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，

在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的

四邊形紙片/BCD,其中NA=90。，AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,則該矩形與4B相鄰的另一條邊

25.（2023九年級?全國?專題練習(xí)）如圖，在△4B2中,ABAC=60°,4ABC=90°,直線。||12||13,2與%之

間距離是1,%與G之間距離是2,且，1，5G分別經(jīng)過點兒B,C,則邊4C的長為（）

c3V21

A.2V3BVTTC.---D.雪

.4

題型03與相似三角形有關(guān)的壓軸題

類型一運用相似三角形的性質(zhì)與判定求點的坐標

26.（2023?湖北鄂州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，。4=。8=3有，點（；為平面內(nèi)一

動點，BC=|,連接AC,點M是線段4C上的一點，且滿足=1:2.當線段0M取最大值時，點M的

坐標是（）

A-G-l）B.（|迎2）C.（|，Y）D.QV5,yV5）

27.（2021?湖南婁底?中考真題）如圖，直角坐標系中，以5為半徑的動圓的圓心/沿無軸移動，當。4與直

線Q只有一個公共點時，點N的坐標為（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

28.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)如圖，正比例函數(shù)y=-3%與反比例函數(shù)y=豐0)的圖象交于N,8(1,m)

兩點，點C在x軸負半軸上，^ACO=45°.

(l)m=,k=,點C的坐標為.

(2)點尸在x軸上，若以8,。，尸為頂點的三角形與△AOC相似，求點P的坐標.

類型二運用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段的最值

29.（2021?四川綿陽?中考真題）如圖，在△4CD中,4D=6,BC=5,AC2=4BQ4B+8。）,且4DAB?ADCA,

若AD=34P,點Q是線段4B上的動點，則PQ的最小值是()

叱V6

A.B.C.當D

22-1

30.(2022?貴州銅仁?中考真題)如圖，在邊長為2的正方形/BCD中，點E為/。的中點，將4CDE沿CE

翻折得點M落在四邊形4BCE內(nèi).點N為線段CE上的動點，過點、N作NP//EM交MC于點、P,則

MN+NP的最小值為.

31.（2023?四川瀘州?中考真題）如圖，E,F是正方形48CD的邊4B的三等分點，P是對角線4C上的動點,

當PE+PF取得最小值時，黑的值是

32.（2022?湖南郴州?中考真題）如圖1,在矩形/8CO中，AB=4,BC=6.點E是線段上的動點（點

⑴求證：AAEFFDCE；

（2）如圖2,連接CR過點2作BGLCF,垂足為G,連接ZG.點M是線段2C的中點，連接GM.

①求4G+GM的最小值;

②當4G+GM取最小值時，求線段。E的長.

類型三利用相似三角形的判定和性質(zhì)求“kAD+BD”型的最值（阿氏

圓）

33.（2020?廣西?中考真題）如圖，在RtaABC中，4B=AC=4,點、E,尸分別是NC的中點，點尸是

扇形/斯的即上任意一點，連接BP,CP,則打尸+CP的最小值是.

34.(2023?山東煙臺?中考真題)如圖，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于4,8兩點，與y軸交于點&4B=4.拋

物線的對稱軸x=3與經(jīng)過點4的直線y=kx-1交于點D,與％軸交于點E.

(1)求直線2。及拋物線的表達式；

(2)在拋物線上是否存在點M,使得△ADM是以4D為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點M的坐標；

若不存在，請說明理由；

(3)以點B為圓心，畫半徑為2的圓，點P為OB上一個動點，請求出PC+卷PA的最小值.

35.(2021?四川達州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x2+bx+c交x軸于點2和C(l,0)，

交y軸于點8(0,3),拋物線的對稱軸交x軸于點E,交拋物線于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段OE繞著點0沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段OE',旋轉(zhuǎn)角為a(0。<a<90°),連接4E',BE',求BE'+

豺的最小值.

(3)M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N,使得以4B,M,N為頂點的四邊形為矩

形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由；

類型四相似中的“一線三等角”模型

36.（23-24九年級上?陜西西安?階段練習(xí)）（1）如圖1,^ABC=90°,分別過4C兩點作經(jīng)過點5的直線

的垂線，垂足分別為E、F,AE=4,BE=2,BF=3,求CF的長度為一.

圖1

(2)如圖2,在矩形ABCD中，4B=4,BC=10,點E、尸、M分別在ZB、BC、AD1.,乙EMF=90°,AM=2,

當BE+BF=9時，求四邊形MEBF的面積.

=90。，AC=15,BC=20,點E、尸分別在邊48、BC上，^CEF=aS.

圖3

37.（23-24九年級上?黑龍江哈爾濱?開學(xué)考試）在綜合實踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開

展數(shù)學(xué)活動.有一張矩形紙片4BCD,點E在射線4B上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為DE,點N的對應(yīng)點記為點

F.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點尸恰好落在矩形4BCD的邊BC上，直接寫出一個與△BEF相似的三角形;

⑵深入探究:如圖2,若點尸落在矩形4BCD的邊BC的下方時,EF、DF分別交BC于點M、N,過點尸作FG1BC,

FH1DC,垂足分別為點G、H,當點G是BC的中點時，試判斷△DEF與△DFH是否相似，并證明你的結(jié)

論;

(3)問題解決：在(2)的條件下，若2D=3,BE=^,求的長.

38.(2023?河南周口三模)(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,/-ABC=a,將邊AC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段CE,

在射線BC上取點。，使得NCDE=a.請求出線段BC與DE的數(shù)量關(guān)系;

(2)類比探究：如圖2,若a=90。，作乙4CE=90。，且CE=24C,其他條件不變，則線段BC與DE的數(shù)

量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明;

(3)拓展延伸：如圖3,正方形ABC。的邊長為6,點E是邊4。上一點，且4E=2,把線段CE逆時針旋轉(zhuǎn)

90。得到線段EF,連接直接寫出線段BF的長.

*

H

類型五相似三角形與多邊形綜合

39.(2023?山東濟南?中考真題)在矩形4BCD中，AB=2,AD=2V3,點E在邊BC上，將射線4E繞點4逆

時針旋轉(zhuǎn)90。，交CD延長線于點G,以線段ZE,AG為鄰邊作矩形4EFG.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,連接皿，求N8DC的度數(shù)和能的值;

BE

(2)如圖2,當點尸在射線BD上時，求線段BE的長;

(3)如圖3,當E4=EC時，在平面內(nèi)有一動點P,滿足PE=EF,連接P4PC,求P2+PC的最小值.

40.(2023?湖北武漢?中考真題)問題提出：如圖(1),E是菱形28C0邊8C上一點，△4EF是等腰三角形,

AE=EF,乙4EF=A4BC=a(aN90°),4尸交CD于點G,探究NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題探究:

(1)先將問題特殊化，如圖(2),當a=90。時，直接寫出NGCF的大??；

(2)再探究一般情形，如圖(1),求NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展：

⑶將圖⑴特殊化，如圖(3),當a=120。時，若捋=5求詈的值?

41.(2021?山東日照?中考真題)問題背景：

如圖1,在矩形48C0中，AB=2V3,乙48。=30。，點E是邊4B的中點，過點E作EF，4B交8。于點F.

實驗探究：

(1)在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的△8EF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，如圖2所示，得到結(jié)論:

①籌=;②直線4E與。F所夾銳角的度數(shù)為

DF

(2)小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請問探究(1)中的結(jié)論是否

仍然成立？并說明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，當&BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點共線時，則△ADE的面積為

重難點突破全等三角形與相似三角形

目錄

題型特訓(xùn)-精準提分

題型01旋轉(zhuǎn)中的全等模型

類型一對角互補模型

類型二對角互補且有一組鄰邊相等的半角模型

類型三手拉手旋轉(zhuǎn)模型

類型四中點旋轉(zhuǎn)模型

類型五通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等

題型02構(gòu)造相似三角形解題

類型一做平行線構(gòu)造“A”型相似

類型二做平行線構(gòu)造"X”型相似

類型三作垂線構(gòu)造直角三角形相似

類型四作垂線構(gòu)造“三垂直”型相似

題型03與相似三角形有關(guān)的壓軸題

類型一運用相似三角形的性質(zhì)與判定求點的坐標

類型二運用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段的最值

類型三利用相似三角形的判定和性質(zhì)求“kAD+BD”型的最值（阿氏圓）

類型四相似中的“一線三等角”模型

類型五相似三角形與多邊形綜合

題型特訓(xùn)-精準提分

題型01旋轉(zhuǎn)中的全等模型

類型一對角互補模型

1.(20-21八年級上?江蘇南京?階段練習(xí))如圖，等腰直角三角形/8C中，NBAC=90。,AB=AC,點、M,N

在邊上，且NM4N=45。.若5M=1,CN=3,求MV的長.

【答案】V10

【分析】過點C作CE_LBC,垂足為點C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.通過證明△ABMgA

ACE(SAS)推知全等三角形的對應(yīng)邊AM=AE、對應(yīng)角/BAM=/CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)

和NMAN=45。得到/MAN=NEAN=45。，所以△MANgaEAN(SAS),故全等三角形的對應(yīng)邊MN=

EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2.

【詳解】解：如圖，過點C作CELBC,垂足為點C,截取CE,使CE=BM.連接AE、EN.

：AB=AC,ZBAC=90°,

.,.ZB=ZACB=45°.

VCEXBC,

ZACE=ZB=45°.

AB=AC

在AABM和AACE中｛NB=41CE,

BM=CE

.".△ABM^AACE(SAS).

；.AM=AE,/BAM=/CAE.

VZBAC=90°,ZMAN=45°,

ZBAM+ZCAN=45°.

于是，由/BAM=/CAE,得NMAN=NEAN=45。.

AM=AE

在AMAN和4EAN中｛NM4N=NE4N,

AN=AN

.".△MANDAEAN(SAS).

；.MN=EN.

在Rt^ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2.

.*.MN2=BM2+NC2.

：BM=1,CN=3,

.".MN2=l2+32,

.\MN=V10.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，掌握

三角形的全等的判定定理是解題關(guān)鍵.

2.(2021?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與實踐

數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓

展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗.讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣.

折一折：將正方形紙片/BCD折疊，使邊/8、4D都落在對角線NC上，展開得折痕4E、AF,連接ER

如圖1.

圖1圖2圖3

（1）^EAF=。，寫出圖中兩個等腰三角形：（不需要添加字母）；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的NR4F繞點/旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊2C、CD于點P、Q,連接尸。，如圖2.

（2）線段8尸、尸。、。。之間的數(shù)量關(guān)系為；

（3）連接正方形對角線AD,若圖2中的NP2Q的邊4P、40分別交對角線AD于點M、點N.如圖3,則

CQ

BM

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線8。剪開，如圖4.

（4）求證：BM2+DN2=MN2.

【答案】（1）45,△ABC,△ADC；（2）BP+DQ=PQ；（3）/；（4）見解析

【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知：/-DAF=^FAC,^BAE=/.EAC,^EAF=A.FAC+/.EAC,根據(jù)正方形的

，性質(zhì)：AB=BC=CD=AD,ABAD=90°=ADAF+4FAC+^BAE+Z.EAC,貝Ij/EAF=^BAD=45°,

△ABC,AADC為等腰三角形；

（2）如圖：將△40Q順時針旋轉(zhuǎn)90。，證明△APQ三△4PQ，全等，即可得出結(jié)論；

（3）證明aacQs△力BM即可得出結(jié)論；

（4）根據(jù)半角模型，將△4DN順時針旋轉(zhuǎn)90。，連接MN，，可得DN=BN',通過三△力MN，得出MN=

MN',△BMN，為直角三角形，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可知：^DAF=Z.FAC,Z.BAE=Z.EAC

???48C0為正方形

???乙BAD=90°,AB=BC=CD=AD

??.△ABCA/DC為等腰三角形

???Z-BAD=Z.DAF+Z.FAC+Z-BAE+Z.EAC

???乙BAD=2(ZFXC+乙EAC)

Z.EAF=Z.FAC+Z-EAC

11

Z.EAF=-Z.BAD=-x90°=45°

22

(2)如圖：將順時針旋轉(zhuǎn)90。，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AQ=AQf,DQ=BQrZ-DAQ=^BAQr

由(1)中結(jié)論可得4P4Q=45。

???/BCD為正方形，/-BAD=90°

??.Z.BAP+Z.DAQ=45°

(BAQ'+乙BAP=45°

??.Z.PAQ=乙PAQ，

???在△4PQ和△4PQ'中

AP=AP

乙PAQ=Z.PAQ'

、AQ=AQr

.-.AAPQ=AAPQr

?*PQ=PQ'

???PQ，=BQ'+BP

.?.PQ=DQ+BP

(3)???為正方形ABC。對角線

AC=>/2AB

：./.ABM=^ACQ=45°,/.BAC=45°

???Z.PAQ=45°

???/,BAM=45°-/.PAC,Z-CAQ=45°-^PAC

??.ABAM=z_CAQ

???△ABMACQ

...絲上夜

BMAB

(4)如圖：將△?!￡?可順時針旋轉(zhuǎn)90。，連接MAT,

由（2）中的結(jié)論可證△AMN'三ZkAMN

???MN=MN'

???AD=45°,/.ABD=45°

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：乙D=4ABN'=45°,DN=BN'

???乙MBN'=AABD+乙ABN'=90°

.?.在Rt△中有BM?+BN'2=MN'2

BM2+DN2=MN2

【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，能夠綜合運用這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.（2020?湖南湘西?中考真題）問題背景：如圖1,在四邊形4BCD中，/.BAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

AABC=120°,乙MBN=60°,NMBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分另U交2D、DC于E、F.探究圖中線段力E,CF,

E尸之間的數(shù)量關(guān)系.小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G,使CG=HE,連接BG,先證明aBCG三

△BAE,再證明△BFCmaBFE,可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形4BCD中，^BAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,4ABe=2AMBN,乙MBN繞

B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交4。、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”

或者“不成立”），不要說明理由.

探究延伸2：如圖3,在四邊形4BCD中，BA=BC,ABAD+/.BCD=180°,乙ABC=2乙MBN,4MBN繞B

點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交4。、DC于E、F.上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由.

實際應(yīng)用：如圖4,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30。的A處艦艇乙在指揮中心南

偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時的

速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向以100海里/小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、

乙兩艦艇分別到達E、F處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70。，試求此時兩艦艇之間的距離.

【答案】EF=AE+CF.探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立.探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立.實際

應(yīng)用：210海里.

【分析】延長FC到G,使CG=4E,連接BG,先證明△BCG三△BAE,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,再

證明△BGF三△BEF,可得GF=EF,即可解題；

探究延伸1：延長FC至4G,使CG=4E,連接BG,先證明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,

再證明△BGF三ZiBEF,可得GF=EF,即可解題；

探究延伸2：延長FC至！JG,ffiCG=AE,連接BG,先證明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,

再證明△8G尸三△BEF,可得GF=EF,即可解題；

實際應(yīng)用：連接EF,延長AE,BF相交于點C,然后與探究延伸2同理可得EF=AE+CF,將AE和CF的

長代入即可.

【詳解】解：EF=AE+CF

理由：延長FC到G,使CG=4E,連接BG,

在4BCG和aBAE中,

BC=BA

乙BCG=乙BAE=90°,

、CG=AE

：.ABCG=ABAE(SAS),

???BG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=120°,ZMBN=60°,

???ZABE+ZCBF=60°,

???NCBG+NCBF=60。，

BPZGBF=60°,

iSABGF和ABEF中，

BG=BE

Z-GBF=Z-EBF,

、BF=BF

.,.△BGF^ABEF(SAS),

AGF=EF,

?;GF=CG+CF=AE+CF,

AEF=AE+CF.

探究延伸1：結(jié)論EF=AE+CF成立.

理由：延長FC到G,使CG=4E,連接BG,

A

圖2N

在4BCG和4BAE中，

BC=BA

/.BCG=Z.BAE=90°,

CG=AE

:ABCG=ABAE(SAS),

/.BG=BE,ZCBG=ZABE,

ZABC=2ZMBN,

，NABE+NCBF上NABC,

2

/./CBG+NCBF//ABC,

2

-1

即NGBF苫NABC,

在ARGF和aBEF中,

BG=BE

乙GBF=乙EBF,

、BF=BF

：.ABGF^ABEF(SAS),

AGF=EF,

?「GF=CG+CF=AE+CF,

???EF=AE+CF.

探究延伸2：結(jié)論EF=AE+CF仍然成立.

理由：延長FC到G,使CG=ZE,連接BG,

V/.BAD+乙BCD=180°,ZBCG+ZBCD=180°,

???ZBCG=ZBAD

在4BCG和4BAE中，

BC=BA

乙BCG=4BAE,

、CG=AE

AABCG=ABAE(SAS),

???BG=BE,ZCBG=ZABE,

ZABC=2ZMBN,

???ZABE+ZCBF-ZABC,

2

i

???ZCBG+ZCBF-ZABC,

2

即/GBF=|/ABC,

在aBGF和aBEF中，

'BG=BE

Z.GBF=乙EBF,

、BF=BF

：.ABGF^ABEF(SAS),

???GF=EF,

?「GF=CG+CF=AE+CF,

AEF=AE+CF.

實際應(yīng)用：連接EF,延長AE,BF相交于點C,

,/ZAOB=30o+90°+(90o-70°)=140°,ZEOF=70°,

/EOFJ/AOB

2

：OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90o-30°)+(70o+50°)=l80°,

符合探索延伸中的條件

?.結(jié)論EF=AE+CF仍然成立

即EF=75x1.2+100x1.2=210(海里)

答：此時兩艦艇之間的距離為210海里.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

類型二對角互補且有一組鄰邊相等的半角模型

4.(2022?遼寧朝陽?中考真題)【思維探究】如圖1,在四邊形N8CD中，ZBAD=60°,ZBCD=120°,AB

=AD,連接/C.求證：BC+CD^AC.

圖1圖2

(1)小明的思路是：延長CO到點E,使DE=2C,連接根據(jù)/240+/2。。=180。，推得N2+N4DC

=180。，從而得到N2=/4DE,然后證明A4DE之ZUBC,從而可證BC+CD=/C,請你幫助小明寫出完整

的證明過程.

(2)【思維延伸】如圖2,四邊形/BCD中，NBAD=NBCD=90。,AB=AD,連接/C,猜想BC,CD,AC

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)【思維拓展】在四邊形/B