中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí):三角形、四邊形綜合(含答案及解析)_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

中考小獨(dú)致一三角形、四邊形稼合

解題方法

1.線段、角的計(jì)算與證明問(wèn)題

中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡(jiǎn)單題或者中檔題,目的在于考察基礎(chǔ)。

第二部分往往就是開(kāi)始拉分的中難題了。對(duì)這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù),更重要的是對(duì)

于整個(gè)做題過(guò)程中士氣,軍心的影響。線段與角的計(jì)算和證明,一般來(lái)說(shuō)難度不會(huì)很大,只要找到關(guān)鍵“題

眼”,后面的路子自己就“通”了。

2.圖形位置關(guān)系

中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中,圖形位置關(guān)系主要包括點(diǎn)、線、三角形、矩形/正方形以及圓這么幾類圖形之間的關(guān)系。在

中考中會(huì)包含在函數(shù),坐標(biāo)系以及幾何問(wèn)題當(dāng)中,但主要還是通過(guò)圓與其他圖形的關(guān)系來(lái)考察,這其中最

重要的就是圓與三角形的各種問(wèn)題。

3.動(dòng)態(tài)幾何

從歷年中考來(lái)看,動(dòng)態(tài)問(wèn)題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn),得分率也是最低的。動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般分兩類,一類是代

數(shù)綜合方面,在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn),動(dòng)直線,一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題,在梯

形,矩形,三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn),對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。

4.幾何圖形的歸納、猜想問(wèn)題

中考加大了對(duì)考生歸納,總結(jié),猜想這方面能力的考察,但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察,

所以大多放在填空壓軸題來(lái)出。對(duì)于這類歸納總結(jié)問(wèn)題來(lái)說(shuō),思考的方法是最重要的。

5.閱讀理解問(wèn)題

如今中考題型越來(lái)越活,閱讀理解題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)當(dāng)中就是最大的一個(gè)亮點(diǎn)。閱讀理解往往是先給一個(gè)材

料,或介紹一個(gè)超綱的知識(shí),或給出針對(duì)某一種題目的解法,然后再給條件出題。對(duì)于這種題來(lái)說(shuō),如果考

生為求快速而完全無(wú)視閱讀材料而直接去做題的話,往往浪費(fèi)大量時(shí)間也沒(méi)有思路,得不償失。所以如何

讀懂題以及如何利用題就成為了關(guān)鍵。

解題策略

1.學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系,尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法(以

形助數(shù)),或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì),解決幾何問(wèn)題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合思

想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái),使問(wèn)題得以解決。

縱觀近幾年全國(guó)各地的中考?jí)狠S題,絕大部分都是與平面直角坐標(biāo)系有關(guān),其特點(diǎn)是通過(guò)建立點(diǎn)與數(shù)即坐

標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì),另一方面又可借助幾何直觀,得到某些代

數(shù)問(wèn)題的解答。

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想

分類討論思想可用來(lái)檢測(cè)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性,常常通過(guò)條件的多變性或結(jié)論的不確定性來(lái)進(jìn)行

考察,有些問(wèn)題,如果不注意對(duì)各種情況分類討論,就有可能造成錯(cuò)解或漏解,縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分

類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。

在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),有時(shí)會(huì)遇到多種情況,需要對(duì)各種情況加以分類,并逐類求解,然后綜合得解,這

就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種重要的解題策略,它

體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

分類的原則:(1)分類中的每一部分是相互獨(dú)立的;(2)一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn);(3)分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行.正

確的分類必須是周全的,既不重復(fù)、也不遺漏。

題型歸納

題型1:相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應(yīng)用

題型2:最值問(wèn)題

題型3:折疊問(wèn)題

題型4:旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

題型5:對(duì)稱問(wèn)題

題型6:三點(diǎn)共線問(wèn)題

題型7:列函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題

題型8:動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型9:情景探究題

題型1:相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應(yīng)用

遮目不(2024.江蘇揚(yáng)州.一模)如圖1,在Rt/\ABC中,90°,AC=6,ABAC=60°,點(diǎn)D在線段BC上,

將△ACD沿AD折疊使得點(diǎn)。落在AB上。點(diǎn)處.

⑴則CD的長(zhǎng)為;

(2)過(guò)點(diǎn)D作DE//AC交4B于點(diǎn)E,點(diǎn)河是線段AD上的動(dòng)點(diǎn),連接并延長(zhǎng)分別交DE,人。于點(diǎn)F、

G.

①如圖2,若點(diǎn)朋?是線段AD的中點(diǎn),求答的值;

Ur

②請(qǐng)問(wèn)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)滿足什么條件時(shí),在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P,使得ZCFG=60°?請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目區(qū)(2024.江蘇蘇州.一模)已知矩形ABCD中,E是BC的中點(diǎn)于點(diǎn)F.

圖1

(1)如圖1,若BE=2,求AE-AF的值;

⑵如圖2,連接AC交DF于點(diǎn)G,若叁=京求cos/FCE的值;

(3)如圖3,延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G,若G點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn),過(guò)A作AK〃F。交FD于K,設(shè)△ADK的面

積為Si,/XCDF的面積為S2,則獸的值為

「題目區(qū)(2024.安徽六安.一模)如圖,在OABCD中,E,F分別是AD,AB上的動(dòng)點(diǎn).

(1)已知乙4=90°,EG±EF交DABCD的一邊于點(diǎn)G,tan/EGF=

①如圖1,若點(diǎn)G在CD上,求證:3AF=2DE.

②如圖2,若點(diǎn)G在5C上,且尸4=3,AE=8,求BF的長(zhǎng).

⑵如圖3,乙4W90°,點(diǎn)G在BC上,且/EEG=/B4D,若罪=。笫=1■,求第的值.

題目目(2024.云南.模擬預(yù)測(cè))菱形ABCD的對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)O,0°<ZABO<60°,點(diǎn)G是射線

OD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作GE//。。交射線OC于點(diǎn)、E,以O(shè)E,OG為鄰邊作矩形EOGF.

圖①

(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)F在線段。。上時(shí),求證:DF=FC;

⑵若延長(zhǎng)AD與邊GF交于點(diǎn)H,將△GDH沿直線AD翻折180°得到

①如圖②,當(dāng)點(diǎn)河在EG上時(shí),求證:四邊形EOGF為正方形;

②如圖③,當(dāng)tan乙4B。為定值小時(shí),設(shè)DG=k?。。,%為大于0的常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)k>2時(shí),點(diǎn)M在矩形

EOGF的外部,求利的值.

題目回(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))如圖1,在菱形ABCD中,點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),連接AP和CP,在

射線AP上取點(diǎn)E,使得AAEC+AABC=180°,射線CE交射線于點(diǎn)Q,設(shè)ZABC=2a.

Q

Q

圖1圖2圖3

(1)如圖2,若a=45°,連接AC,交BD于點(diǎn)O,求證:△OPC?△OCQ;

(2)【探究】如圖3,若0=30°,3。=4。J,請(qǐng)畫(huà)出圖形,并求察的值;

【歸納】若=%?DP,穿的值為

.(用含k、a的表達(dá)式表示)

O.i

題型2:最值問(wèn)題

題目回(2024.陜西西安.二模)圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法.如圖1,正方形48co中,E、F

分別在邊AB.BC上,且NEDF=45°,連接EF,試探究AE,CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系.解決這個(gè)問(wèn)題可

將△川0£;繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CDH的位置(易得出點(diǎn)H在的延長(zhǎng)線上),進(jìn)一步證明ADEF與

△Z汨F全等,即可解決問(wèn)題.

圖3

(1)如圖1,正方形ABCD中,NEDF=45°,AE=3,CF=2,則EF=;

(2)如圖2,正方形ABCD中,若NEDF=30°,過(guò)點(diǎn)E作EMUBC交DF于M點(diǎn)、,請(qǐng)計(jì)算AE+CF與EM

的比值,寫(xiě)出解答過(guò)程;

(3)如圖3,若ZEDF=60°,正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=8,試探究4DEF面積的最小值.

題目不(2024.重慶開(kāi)州.二模)在等腰△4BC中,/BAC=45°,=是AC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接BD,

將BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°,得到DE,連接CE.

E

圖1

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在BA邊的延長(zhǎng)線上時(shí),連接AE,=42,求S^CD;

⑵如圖2,取CE的中點(diǎn)F,連接。F,AF,求證:AFLDF;

(3)如圖3,當(dāng)BO,AC時(shí),點(diǎn)G是直線CE上一動(dòng)點(diǎn),連接DG,將/XCDG沿著DG翻折得到40DG,連

接AC'、,若AB=4+22,請(qǐng)直接寫(xiě)出AC+[42—1)BC的最小值.

題型3:折疊問(wèn)題

Ml回(2024.海南省直轄縣級(jí)單位.模擬預(yù)測(cè))如圖1,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)

動(dòng)(不與點(diǎn)B和點(diǎn)。重合),將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF,旋轉(zhuǎn)角等于/歷LC,連接CF,過(guò)點(diǎn)F作

,AC于點(diǎn)

(1)求證:4ABE空/\AMF;

(2)當(dāng)直線■恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí),求CF的長(zhǎng);

(3)如圖2,連接。F.

①當(dāng)DF=CF時(shí),求等的值;

②探究DF是否存在最小值,若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目回(2024?江蘇無(wú)錫?一模)如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=t.G為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),沿BG翻

折△ABG,點(diǎn)力落在點(diǎn)F處.

FF

圖1備用圖

(1)如圖1,若AD=8,且點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí),。F交8。于點(diǎn)區(qū)

①求BE的長(zhǎng);

②若點(diǎn)M在射線歷1上,且AM=孕,求tanZBMF的值.

(2)連接CF,在AD邊上存在兩個(gè)不同位置的點(diǎn)G,使得S^CF=/S^ABC,則t的取值范圍是.

〔題目叵(2024河南?一模)如圖①,小穎將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B落在射線BD1.,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記

為折痕與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F.

(1)如圖②,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)。重合時(shí),請(qǐng)判斷四邊形BEDF的形狀并證明;

(2)在矩形紙片ABCD中,若邊2,BC=273,AC與BD交于點(diǎn)。:

①請(qǐng)判斷4片與對(duì)角線AC的位置關(guān)系并僅就圖③說(shuō)明理由;

②當(dāng)B7?=1時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)AE的長(zhǎng).

題型4:旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

題目五(2024?重慶?一模)已知△ABG是等腰直角三角形,=AC,。為平面內(nèi)一點(diǎn).

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)。點(diǎn)在AB的中點(diǎn)時(shí),連接CD,將CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到即,若AB=4,求△ADE

的周長(zhǎng);

⑵如圖2,當(dāng)D點(diǎn)在ZVIB。外部時(shí),夙F分別是AB,BC的中點(diǎn),連接EF、DE、DF,將DE繞E點(diǎn)逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到EG,連接CG、DG、FG,若AFDG=/FGE,請(qǐng)?zhí)骄縁D、FG、CG之間的數(shù)量關(guān)系并給出

證明;

(3)如圖3,當(dāng)。在△4BC內(nèi)部時(shí),連接A。,將4D繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ED,若ED經(jīng)過(guò)BC中點(diǎn)

F,連接AE、CE,G為CE的中點(diǎn),連接GF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H,當(dāng)AG最大時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出會(huì)空的值.

bbAHG

,題目叵(2024?廣東?一模)在△ABC中,CA=CB,乙4cB=&.點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)4C重合的任意一

點(diǎn).連接AP,將線段4P繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接AD,BD,CP.

⑴觀察證明如圖1,當(dāng)a=60°時(shí)

①猜想BD與CP的數(shù)量關(guān)系為,并說(shuō)明理由.

②直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是

⑵類比猜想

如圖2,當(dāng)a=90°時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出需的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)

⑶解決問(wèn)題

當(dāng)a=90°時(shí),若點(diǎn)E,F分別是CA,CB的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線EF上,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C,P,。在同一直線上

時(shí)弟的值.

【數(shù)學(xué)活動(dòng)】將三角形紙片ABC進(jìn)行以下操作:第一步:折疊三角形紙片ABC使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合,然后展

開(kāi)鋪平,得到折痕DE;第二步:然后將△DEC繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到ADFG,點(diǎn)E、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分

別是點(diǎn)F、G,直線GF與邊力。交于點(diǎn)河(點(diǎn)河不與點(diǎn)4重合),與邊AB交于點(diǎn)N.

(1)折痕。E的長(zhǎng)為.

(2)在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,試判斷研與ME的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(3)在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,探究下列問(wèn)題:

①如圖2,當(dāng)直線GF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),AM的長(zhǎng)為.

②如圖3,當(dāng)直線GF〃47時(shí),求AM■的長(zhǎng).

(4)在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,連接AF,則AF的最小值為

題型5:對(duì)稱問(wèn)題

題目回(2024.河北石家莊.一模)如圖1和圖2,四邊形ABCD中,=6,BC=8,A。=2?7,CD<

AB,/B=/C=90°,點(diǎn)石在AB邊上,且AE=2.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿折線BC—CD—DA運(yùn)動(dòng),到達(dá)

點(diǎn)A時(shí)停止,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為x(x>0).

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,①CD=;

②當(dāng)EP=CP時(shí),求劣的值;

(2)如圖2,當(dāng)0Vc48時(shí),連接當(dāng)EP_LPD時(shí),求證:△BEP和4CDP全等;

⑶當(dāng)0V*<12時(shí),作點(diǎn)B關(guān)于EP的對(duì)稱點(diǎn)B',連接EB',設(shè)EB,與AB所夾的銳角為a,直接寫(xiě)出sina

的值(用含c的式子表示).

題型6:三點(diǎn)共線問(wèn)題

[題目口53(2024?山西太原?一模)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境:綜合實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以正方形為背景,添加適當(dāng)?shù)膸缀卧睾?,探究線段之?間的M數(shù)量關(guān)

系.如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E在線段BC±(CE>BE),以CE為邊作正方形EFGC,使

點(diǎn)G在線段CD上.延長(zhǎng)CD至點(diǎn)使連接AH,AE,AF.

數(shù)學(xué)思考:(1)拼搏小組提出如下問(wèn)題,請(qǐng)你解答:

①求證:AH—AE;

②猜想線段HG與AF之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫(xiě)出結(jié)論;

深入探究:(2)奮進(jìn)小組將正方形CEFG從圖1中位置開(kāi)始,繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(設(shè)點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為提

出如下問(wèn)題,請(qǐng)你解答:

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F恰好落到線段AE上時(shí),連接HG.猜想此時(shí)線段HG與AF之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理

由;

②若AB=6,BE=2,在正方形CEFG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直接寫(xiě)出A,F,G三點(diǎn)在同一直線上時(shí)線段的

長(zhǎng).

題型7:列函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題

[題目[16J(2024?四川南充?一模)如圖,點(diǎn)B是矩形AEFG的邊EF上的動(dòng)點(diǎn),以為邊向右上方作正方形

ABCD.

⑴如圖1,若點(diǎn)。在FG上,求/BGF的度數(shù);

(2)如圖2,若。是FG的中點(diǎn),求證:CH=DH;

(3)正方形ABCD的頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到如圖3位置,若AE=2,EF=3.設(shè)EB=x,CG2=沙,求夕與,的函數(shù)

解析式(不寫(xiě)自變量的取值范圍).

題型8:動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

〔題目〔17](2024.浙江寧波.模擬預(yù)測(cè))綜合與實(shí)踐.

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在正方形ABCD中,E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線,過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線,兩條

垂線交于點(diǎn)F,連接EF,求證:=

【類比探究】

(2)如圖2,在矩形ABCD中,E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)5作BE的垂線,過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線,兩條

垂線交于點(diǎn)F,且/"8=60°,連接即,求筆的值.

AE

【拓展延伸】

(3)如圖3,在⑵的條件下,將E改為直線AC上的動(dòng)點(diǎn),其余條件不變,取線段EF的中點(diǎn)“,連接AW,

CM.若爪2加,則當(dāng)\CBM是直角三角形時(shí),請(qǐng)求出CF的長(zhǎng).

題型9:情景探究題

〔題目⑼(2024?遼寧葫蘆島?一模)【問(wèn)題初探】

(1)如圖1,40是△ABC的中線,BE交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且=求證:AC=BF.

小明和小亮兩名同學(xué)從不同角度進(jìn)行思考,給出了兩種解題思路.

①小明同學(xué)的思考過(guò)程:如圖2,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使。G=DF,連接CG,構(gòu)造△DG。……;

②小亮同學(xué)的解題思路與小明基本一致,也是構(gòu)造三角形,只是構(gòu)造方法不同.如圖3,過(guò)點(diǎn)B作

BGHAC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,于是得到△BDG……;請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路,寫(xiě)出解答過(guò)程.

【遷移應(yīng)用】

(2)請(qǐng)你依照上述兩名同學(xué)的解題思路或者按照自己的思路,解答下面問(wèn)題,如圖4,已知等邊△ABC中,

D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將AD繞著D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DE,連接班;,取BE中點(diǎn)F,連接DF,

猜想CD與DF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

A

圖5

【能力提升】

(3)如圖5,已知△ABC中,"8="C,Z8/C=90°,點(diǎn)D是斜邊BC上的一點(diǎn),且BD<CD,連接

4。,將線段4D繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到線段DE,連接線段BE,點(diǎn)F為線段BE的中

點(diǎn),連接DF,若/CDEANQFg,求線段CD的長(zhǎng)度.

[題目回(2024.江蘇揚(yáng)州.一模)如圖,4MoN=90。,點(diǎn)4B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)。重合),BC

是/ABN的平分線,BC的反向延長(zhǎng)線交AOAB的平分線于點(diǎn)D.

(1)隨著點(diǎn)人、B的運(yùn)動(dòng),ND的大小會(huì)變嗎?如果不會(huì),求的度數(shù);如果會(huì),請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如圖1,若OB與AD相交于點(diǎn)E,連接,當(dāng)。8=6,OE=25時(shí),求ABOD的度數(shù)及BD的長(zhǎng)度.

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B在ON上固定不動(dòng),且OB長(zhǎng)度為6,點(diǎn)F為。河上一定點(diǎn),6,若點(diǎn)G為過(guò)三點(diǎn)人、

B、。的圓的圓心,當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn),點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng),直接寫(xiě)出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

題目M(2024.遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))【問(wèn)題初探】:(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,劉老師給出如下問(wèn)題:如圖1,在四邊形

ABCD中,人3=人。=。。,/人。。+/8_4。=180°,CE_LAD,垂足為E.求證:BC=2CE.

①如圖2,小涵同學(xué)從ZACD+ABAC=180°,這個(gè)條件出發(fā),給出如下解題思路:得出ABAC=2ZCAD,

作AF平分乙民4。交于點(diǎn)F,將AACD+ABAC180°轉(zhuǎn)化為/CAF與/CAD之間的數(shù)量關(guān)系.

②如圖3,小慧同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下的解題思路:延長(zhǎng)CE至點(diǎn)G,使CE=EG,連接AG,將線

段CE與之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段CG與之間的數(shù)量關(guān)系.

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路,寫(xiě)出證明過(guò)程.

【類比分析】:

(2)劉老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想,證明一條線段是另一條線段的2倍,將長(zhǎng)的線段平分或?qū)?/p>

短的線段倍長(zhǎng),從而轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等.為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想,劉老師提出了下面的

問(wèn)題,請(qǐng)你解答.

如圖4,在△ABC中,AC=BC,/ACB=90。,。是4B邊上一點(diǎn),連接CD,過(guò)點(diǎn)B作跳;,。。于點(diǎn)后,

在BE上截取EF=CE,連接AF交CD于點(diǎn)G.求證:BF=2EG.

【學(xué)以致用】:

(3)如圖5,在△ABC中,AB=AC,sinB=。是BC中點(diǎn),點(diǎn)E在線段BD上,連接AE,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)

5

F,使CF=BE,連接DF,若/CDF=/BAE.求嘴的值.

AB

題目a1(2024.河南周口.一模)【綜合與實(shí)踐】綜合實(shí)踐課上,老師帶領(lǐng)同學(xué)們研究“菱形背景下的旋轉(zhuǎn)問(wèn)

題”.

問(wèn)題情境:在菱形ABCD中,/ABC=60°為邊AD上一點(diǎn)(與A,O不重合),連接BE,并將射線班繞點(diǎn)

B在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為&(0°<&<360°).

操作感知:(1)小華取4=60°,如圖1,射線BE與射線AC交于點(diǎn)F,請(qǐng)你幫小華同學(xué)補(bǔ)全下面兩個(gè)問(wèn)題的

答案:①線段BE與BF的數(shù)量關(guān)系是;②線段AB,AE,AF的數(shù)量關(guān)系是.

圖1圖2

猜想論證:(2)小夏取1=120。,如圖1,射線.與射線交于點(diǎn)干,小夏在筆記本上記錄了自己的思考

過(guò)程:

線段BE與BF的數(shù)量關(guān)系與(1)①相同……

但線段AB,AE,AF的數(shù)量關(guān)系好像不再成立……

我發(fā)現(xiàn)線段之間好像具有與⑴②類似的數(shù)量關(guān)系……

請(qǐng)你幫小夏同學(xué)完成線段之間數(shù)量關(guān)系的猜想并給出證明.

拓展探究:(3)小夢(mèng)測(cè)量得到AB=2,BE=3,如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,設(shè)點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,當(dāng)點(diǎn)F落在菱

形ABCD的邊或?qū)蔷€所在直線上時(shí),記點(diǎn)F到直線BC的距離為d,請(qǐng)你幫小夢(mèng)同學(xué)直接寫(xiě)出所有大于

血的d的值.

中考小獨(dú)致一三角形、四邊形稼合

解題方法

1.線段、角的計(jì)算與證明問(wèn)題

中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡(jiǎn)單題或者中檔題,目的在于考察基礎(chǔ)。

第二部分往往就是開(kāi)始拉分的中難題了。對(duì)這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù),更重要的是對(duì)

于整個(gè)做題過(guò)程中士氣,軍心的影響。線段與角的計(jì)算和證明,一般來(lái)說(shuō)難度不會(huì)很大,只要找到關(guān)鍵“題

眼”,后面的路子自己就“通”了。

2.圖形位置關(guān)系

中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中,圖形位置關(guān)系主要包括點(diǎn)、線、三角形、矩形/正方形以及圓這么幾類圖形之間的關(guān)系。在

中考中會(huì)包含在函數(shù),坐標(biāo)系以及幾何問(wèn)題當(dāng)中,但主要還是通過(guò)圓與其他圖形的關(guān)系來(lái)考察,這其中最

重要的就是圓與三角形的各種問(wèn)題。

3.動(dòng)態(tài)幾何

從歷年中考來(lái)看,動(dòng)態(tài)問(wèn)題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn),得分率也是最低的。動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般分兩類,一類是代

數(shù)綜合方面,在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn),動(dòng)直線,一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題,在梯

形,矩形,三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn),對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。

4.幾何圖形的歸納、猜想問(wèn)題

中考加大了對(duì)考生歸納,總結(jié),猜想這方面能力的考察,但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察,

所以大多放在填空壓軸題來(lái)出。對(duì)于這類歸納總結(jié)問(wèn)題來(lái)說(shuō),思考的方法是最重要的。

5.閱讀理解問(wèn)題

如今中考題型越來(lái)越活,閱讀理解題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)當(dāng)中就是最大的一個(gè)亮點(diǎn)。閱讀理解往往是先給一個(gè)材

料,或介紹一個(gè)超綱的知識(shí),或給出針對(duì)某一種題目的解法,然后再給條件出題。對(duì)于這種題來(lái)說(shuō),如果考

生為求快速而完全無(wú)視閱讀材料而直接去做題的話,往往浪費(fèi)大量時(shí)間也沒(méi)有思路,得不償失。所以如何

讀懂題以及如何利用題就成為了關(guān)鍵。

解題策略

1.學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系,尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法(以

形助數(shù)),或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì),解決幾何問(wèn)題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合思

想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái),使問(wèn)題得以解決。

縱觀近幾年全國(guó)各地的中考?jí)狠S題,絕大部分都是與平面直角坐標(biāo)系有關(guān),其特點(diǎn)是通過(guò)建立點(diǎn)與數(shù)即坐

標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì),另一方面又可借助幾何直觀,得到某些代

數(shù)問(wèn)題的解答。

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想

分類討論思想可用來(lái)檢測(cè)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性,常常通過(guò)條件的多變性或結(jié)論的不確定性來(lái)進(jìn)行

考察,有些問(wèn)題,如果不注意對(duì)各種情況分類討論,就有可能造成錯(cuò)解或漏解,縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分

類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。

在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),有時(shí)會(huì)遇到多種情況,需要對(duì)各種情況加以分類,并逐類求解,然后綜合得解,這

就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法,是一種重要的數(shù)學(xué)思想,同時(shí)也是一種重要的解題策略,它

體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

分類的原則:(1)分類中的每一部分是相互獨(dú)立的;(2)一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn);(3)分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行.正

確的分類必須是周全的,既不重復(fù)、也不遺漏。

題型歸納

題型1:相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應(yīng)用

題型2:最值問(wèn)題

題型3:折疊問(wèn)題

題型4:旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

題型5:對(duì)稱問(wèn)題

題型6:三點(diǎn)共線問(wèn)題

題型7:列函數(shù)關(guān)系式問(wèn)題

題型8:動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型9:情景探究題

題型1:相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應(yīng)用

遮目不(2024.江蘇揚(yáng)州.一模)如圖1,在Rt/\ABC中,90°,AC=6,ABAC=60°,點(diǎn)D在線段BC上,

將△ACD沿AD折疊使得點(diǎn)。落在AB上。點(diǎn)處.

⑴則CD的長(zhǎng)為;

(2)過(guò)點(diǎn)D作DE//AC交4B于點(diǎn)E,點(diǎn)河是線段AD上的動(dòng)點(diǎn),連接并延長(zhǎng)分別交DE,人。于點(diǎn)F、

G.

①如圖2,若點(diǎn)朋?是線段AD的中點(diǎn),求答的值;

Ur

②請(qǐng)問(wèn)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)滿足什么條件時(shí),在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P,使得ZCFG=60°?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴2遍

⑵①需=匕②當(dāng)DM=坐③或竺臣<DM44V3時(shí),滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè),見(jiàn)解析

Ub375

【分析】⑴由折疊的性質(zhì)得ADAC=30°,在Rt/\ADC中,根據(jù)銳角三角函數(shù)正切定義即可求得。。長(zhǎng);

(2)①由題意易求得BC=61,BD=4遍,由全等三角形判定ASA得4DFM名A4GA/,根?據(jù)全等M三角形

性質(zhì)得OF=AG,根據(jù)相似三角形判定得ABEF?/\BAG,由相似三角形性質(zhì)得答=需=等,將

AGrA.B

DF=4G代入即可求得答案;②由圓周角定理可得△CQG是頂角為120°的等腰三角形,再分情況討論:

當(dāng)OQ與_DE相切時(shí),結(jié)合題意畫(huà)出圖形,過(guò)點(diǎn)。作Qf/工AC,并延長(zhǎng)HQ與DE交于點(diǎn)P,連接QC,

QG,設(shè)。Q半徑為r,由相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得?!伴L(zhǎng);當(dāng)。Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí),結(jié)合題意畫(huà)出圖

形,過(guò)點(diǎn)。作CK_LAB,設(shè)。Q半徑為r,在RtAEQK中,根據(jù)勾股定理求得r,再由相似三角形的判定和

性質(zhì)即可求得DM長(zhǎng);當(dāng)。Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí),結(jié)合題意畫(huà)出圖形,此時(shí)點(diǎn)河與點(diǎn)G重合,且恰好在點(diǎn)A處,由

此可得ZW長(zhǎng).

【解析】(1)解:???△47。沿AD折疊使得點(diǎn)。落在AB上。點(diǎn)處,/B4C=60°,

A4DAC=30°.

在RtAADC中,

ADC^AC-tan30°=273,

故答案為:2盜;

(2)解:①???4。=6,ABAC=60°,DC=2y/3,

:.BC=6V3,BD=4V3.

DEIIAC,

NEDA=ADAC,4DFM=AAGM.

AM=DM,

/\DFM^^AGM(ASA),

AG=DF.

DEIIAC,

△BEF?ABAG,

,EF__BE_BD

**AG-~~AB-BC,

,EF__EF_BD_4V3_2.

,,市一~~^G

②?:乙CPG=60°,過(guò)C,P,G作外接圓,圓心為Q,

△CQG是頂角為120°的等腰三角形,

當(dāng)。Q與DE相切時(shí),如圖1,過(guò)Q點(diǎn)作QHLAC,并延長(zhǎng)與DE交于點(diǎn)P,連接QC,QG,

設(shè)0Q的半徑QP=r則QH=-yr,r+-r=2V3,

解得了=今四.

o

.-.CG=^-V3XV3=4,AG=2.

o

?:DEIIAC,

:?/\DFM?4AGM,

.DM=DF=4

**AM~~AG~~39

.DM_4

,,34D--7,

JDM=-y-V3.

②當(dāng)。Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí),如圖2,過(guò)。點(diǎn)作CK_LAB,垂足為K.

設(shè)。Q的半徑QC—QE=『,則QK—3V3—r.

在放△£?/<中,12+(3,^一/)2=『2,

解得r=號(hào)通,

.-.CG=^V3xV3=^

yo

?:DEIIAC,

:.4DFM~4AGM,

同理可得:。河=4四

5

③當(dāng)。Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí),如圖3,

此時(shí)點(diǎn)”與點(diǎn)G重合,

且恰好在點(diǎn)A處,

由(2)得DM=4代.

綜上所述,當(dāng)DM="通或單述<DM44V3時(shí),滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè).

75

【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題,考查了相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,圓周角定理等知識(shí),解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用特殊位置解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.

題目團(tuán)(2024?江蘇蘇州?一模)已知矩形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),OF,AE于點(diǎn)F.

圖1圖3

(1)如圖1,若BE=求AE-AF的值;

⑵如圖2,連接47交DF于點(diǎn)G,若需■=1■,求cos/FCE的值;

(3)如圖3,延長(zhǎng)DF交AB于點(diǎn)G,若G點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn),過(guò)A作AK〃F。交FD于K,設(shè)△ADK的面

積為S,ACDF的面積為S?,則善的值為

【答案】(1)6;

⑵爭(zhēng)

⑶*

【分析】(1)證明△ABE?/\DFA,得到=第,即可求解;

4AKDAr

⑵延長(zhǎng)DF交CB的延長(zhǎng)線于H,連接。E、AH,證明△ADG?△CHG,得到需=叁=~|■,推出EH

=BC=AD,進(jìn)而得到四邊形ADEH是菱形,得到DF=HF,NAEH=AAED,DE=AD=EH=BC,得

出。£=。£)£,即可得/CDE=30°,得到/AEH=/AED=60°,據(jù)此得到30°=/CDE,再由

2FCE=ZCFE=J/AEH=30°即可求解;

(3)過(guò)F作PQ_L4B于P,交CD于Q,作KH_L人。于X,證明&ABE?ADAG,得到48=4D,推導(dǎo)出

四邊形ABCD是正方形,得到AB=BG=GD=AD=PQ,設(shè)AB=BC=CD=AD=PQ=4a,則BE=

AG—2a,可得tanZADG=tanZBAE=AE—DG—2V5a,由三角形面積得到AF=證■明

/o

△APF?AABE,得到AP=,PF=,進(jìn)而得到CQ=PB=孕a,FQ=畢a,由tan/ADG=嘯

5555DH

4

=9,設(shè)KH=rc,則DH=2c,證明AAHK?AFQC,得到AH=卜,由AH+OH=AD可得方程得工+

2力=4Q,解方程得x=~ra,即KH—,再由三角形面積公式即可求解.

55

【解析】(1)解::石是石。的中點(diǎn),

??.BC=2BE=20

???四邊形48co是矩形,

??.AD=BC=25,LB=90°,AD//BC,

:./AEB=/DAF,

?:DF_LAEf

:.NATO=900=",

???/\ABE"DFA,

.AE=BE

??亞一羽’

??.AEAF=ADBE=272xV2=4;

⑵解:延長(zhǎng)OF交CB的延長(zhǎng)線于H,連接OE、如圖2,

???四邊形ABCD是矩形,

??.AD//BC,AD=BC,/BCD=90°,

???4ADG?ACHG,

.AD=-G=2

,9~CH~~CG~~39

.BC=2

??而一.,

???石是BC的中點(diǎn),

??.BE=CE=BH,

:.EH=BC=AD,

:.四邊形4DEH是平行四邊形,

?:DF±AE9

???四邊形ADE"是菱形,

??.DF=HF,/AEH=/AED,DE=AD=EH=BC,

,CE=[BC=[DE,

sin/CDE=g,

LJEJN

???/CDE=30°,

??.ZCED=90°-30°=60°,

???/AEH=AAED=60°,

?.?DF.LAE9

:./FDE=30°=/CDE,

:.FE=[DE=CE

??.AFCE=ACFE=1/AEH=30°,

???cosZFCE=^;

(3)解:過(guò)F作PQ_LAB于P,交CD于Q,作KH_L4D于H,如圖3,

則P。=AD,AP=OQ,PQ〃BC〃AD,

???G是AB的中點(diǎn),石是BC的中點(diǎn),

???AB=2AG,BC=2BE,

???四邊形ABCD是矩形,

??.AD=BC,AB=CD,4B=ND4G=90°,

?:DF_LAEf

??.AADF+ZDAF=/RAE+ZDAF=90°,

???/BAE=/ADF,

:.AABE?4DAG,

.AB=BE

?,布一運(yùn)’

??.ABAG=ADBE,

即yAB2=yAZ?2,

:.AB—AD,

???四邊形ABCD是正方形,

:.AB—BC—CD—AD=PQ,

設(shè)AB=BC=CD=AD=PQ=4a,則BE=AG=2Q,

/.tan/ADG=tanZBAE?=,AE=DG=(2a)2+(4a)2=2V5a,

???S^DG=^DG-AF=^AD-AG,

.AG-AD2aX4a475

???PQ//BC,

???AAPF?/\ABE,

.AP=PF=AF

"AB-BE-AEJ

4戰(zhàn)c

即絲二理==

4a2a2V5a

解得AP=§a,PF=3a,

55

CQ=PB=AB—AP=4Q—■=孕a,FQ=PQ—PF=4a-3a=半a,

5555

?:KH±ADf

???tan/ADG=真去=[,

UrL/

設(shè)則。H=2N,

?:PQ//AD,AK//FC,

:./DAF=/QFE,ZKAF=ZCFE,

???乙DAK=AQFC,

又???/AHK=ZFQC=90°,

???/XAHK?4FQC,

.HK=AH

??西一溝’

6

即x—4H

暑Q售丁

55

解得

???AH+DH=AD,

4

--X+2rc=4a,

o

解得X—

5

KH—§Q,

5

???/\ADK的面積為S尸^-ADKH,/XCDF的面積為S2=%CDFQ,

.S'_KH_石6a「3

"S2~FQ~l^a~8,

故答案為:w

o

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),菱形的判定和性質(zhì),

正方形的判定和性質(zhì),三角函數(shù),勾股定理,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

題目區(qū)(2024.安徽六安.一模)如圖,在AABCD中,E,F分別是AD,4B上的動(dòng)點(diǎn).

⑴已知=90°,EG,EF交HABCD的一邊于點(diǎn)G,tan/EGF=.

①如圖1,若點(diǎn)G在CD上,求證:3AF=2DE.

②如圖2,若點(diǎn)G在BC上,且FA=3,AE=8,求的長(zhǎng).

(2)如圖3,乙4W90。,點(diǎn)G在BC上,且乙FEG=/BAD,若笫=看,第=日,求鎧的值.

【答案】(1)①見(jiàn)解析;②9

(分析】⑴①由EG_LEF,tan/EGF=日得出ZAEF+AGED=90°,EF=卷EG,由矩形的判定與性質(zhì)

OO

得出AADC=/A=90°,NAFE+NAEF=90°,推出AAFE=ADEG,證明/\AEF?^DGE,得出票

2石G

=第==?,即可得證;②作GHX.AD于X,由EG,EF,tan/EGF=?得出AAEF+AGEH

h/GrB/Gr33

=90°,EF=QG,由矩形的判定與性質(zhì)得出乙4。。=乙4=90°,乙4EE+/ABF=90°,推出/AFE=

tj

2EG

NHEG,證明△AEF?/\HGE,得出架=等=-^―=《■,求出班;=號(hào),后歹=y/AE2+AF2=V73,

HEEGEG32

則EG=得EF=,再由勾股定理求出GH=y/EG2-EH2=12,即可得解;

⑵在AD的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)連接GM,使GM=AB,則四邊形ABGM■是等腰梯形,證明4AEF?

△MGE得出篇=部=器結(jié)合鋸空罪T,計(jì)算即可得出答案.

【解析】⑴①證明:;EG±EF,tan/EGF=磊,

O

???/FEG=9U°,tan"GF=隹=:

9

NAEF+AGED=90°,EF=-^EG,

o

???/A=90°,

??.ZAFE+ZAEF=90°,四邊形ABCD是矩形,

???4AFE=/DEG,Z.ADC=NZ=90°,

???AAEF?/1DGE,

.AF=EF=犯6=2

*'~DE~^G~EG~~39

???3AF=2DE;

②如圖,作GH_L4D于H,

2

???EG工EF,tan/EGF=9,

o

:.NFEG=90°,tan/EGF=需=與,

h/Cjr3

9

ZAEF+ZGEH=90°,EF=£EG,

o

乙4=90°,

ANAFE+NAEF=90°,四邊形ABCD是矩形,

AAAFE=AHEG,/B=/A=90°,

?:GH±AD,

:.AGHA=/B=NA=90°,

四邊形ABGH是矩形,AAEF?/\HGE,

EF2

AB=CGH,A?

HE~EG3

AE=8fFA=3,

:,HE=J,EF=VAE\AF2=V73,

:.EG=^EF=^^~,

:.GH=y/EC^-EH2=12,

??.AB=GH=12,

:.BF=AB-AF=12-3=9;

⑵解:如圖,在AD的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)A/,連接GM,使GM=AB,

則四邊形4BGM是等腰梯形,

??.ZA=ZM,

???/FEG=/BAD,AFEG+ZAEF+4GEM=ZBAD+Z.AEF+Z.AFE=180°,

???4AFE=/GEM,

:.dAEF?/\MGE,

.FE=AE

,9~GE~~GM9

8

??GM—ABAB—AAE_旦

?GM-AB,%。一5,4。一7,

AD

.FE=AE=AE=^=15

--

''~GE~GMAB-±AD28,

5

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正切的定義,熟練掌握以上知

識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用,添加適當(dāng)?shù)妮o助線,是解此題的關(guān)鍵,屬于中考?jí)狠S題.

題目回(2024.云南.模擬預(yù)測(cè))菱形ABCD的對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)O,0°<NABO<60°,點(diǎn)G是射線

OD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作GE〃O。交射線OC于點(diǎn)、E,以O(shè)E,OG為鄰邊作矩形EOGF.

⑴如圖①,當(dāng)點(diǎn)F在線段。。上時(shí),求證:OF=FC

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