中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角形、四邊形綜合（含答案及解析）

中考小獨(dú)致一三角形、四邊形稼合

解題方法

1.線段、角的計(jì)算與證明問題

中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在于考察基礎(chǔ)。

第二部分往往就是開始拉分的中難題了。對(duì)這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù)，更重要的是對(duì)

于整個(gè)做題過程中士氣，軍心的影響。線段與角的計(jì)算和證明，一般來說難度不會(huì)很大，只要找到關(guān)鍵“題

眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.圖形位置關(guān)系

中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，圖形位置關(guān)系主要包括點(diǎn)、線、三角形、矩形/正方形以及圓這么幾類圖形之間的關(guān)系。在

中考中會(huì)包含在函數(shù)，坐標(biāo)系以及幾何問題當(dāng)中，但主要還是通過圓與其他圖形的關(guān)系來考察，這其中最

重要的就是圓與三角形的各種問題。

3.動(dòng)態(tài)幾何

從歷年中考來看，動(dòng)態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動(dòng)態(tài)問題一般分兩類，一類是代

數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯

形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。

4.幾何圖形的歸納、猜想問題

中考加大了對(duì)考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察，

所以大多放在填空壓軸題來出。對(duì)于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的。

5.閱讀理解問題

如今中考題型越來越活，閱讀理解題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)當(dāng)中就是最大的一個(gè)亮點(diǎn)。閱讀理解往往是先給一個(gè)材

料，或介紹一個(gè)超綱的知識(shí)，或給出針對(duì)某一種題目的解法，然后再給條件出題。對(duì)于這種題來說,如果考

生為求快速而完全無視閱讀材料而直接去做題的話，往往浪費(fèi)大量時(shí)間也沒有思路，得不償失。所以如何

讀懂題以及如何利用題就成為了關(guān)鍵。

解題策略

1.學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以

形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合思

想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決。

縱觀近幾年全國各地的中考?jí)狠S題，絕大部分都是與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)，其特點(diǎn)是通過建立點(diǎn)與數(shù)即坐

標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代

數(shù)問題的解答。

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想

分類討論思想可用來檢測(cè)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性，常常通過條件的多變性或結(jié)論的不確定性來進(jìn)行

考察，有些問題，如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分

類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這

就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它

體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行.正

確的分類必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏。

題型歸納

題型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應(yīng)用

題型2:最值問題

題型3:折疊問題

題型4：旋轉(zhuǎn)問題

題型5：對(duì)稱問題

題型6：三點(diǎn)共線問題

題型7：列函數(shù)關(guān)系式問題

題型8：動(dòng)點(diǎn)問題

題型9：情景探究題

題型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應(yīng)用

遮目不（2024.江蘇揚(yáng)州.一模）如圖1,在Rt/\ABC中，90°,AC=6,ABAC=60°,點(diǎn)D在線段BC上,

將△ACD沿AD折疊使得點(diǎn)。落在AB上。點(diǎn)處.

⑴則CD的長為；

（2）過點(diǎn)D作DE//AC交4B于點(diǎn)E,點(diǎn)河是線段AD上的動(dòng)點(diǎn),連接并延長分別交DE,人。于點(diǎn)F、

G.

①如圖2,若點(diǎn)朋?是線段AD的中點(diǎn)，求答的值；

Ur

②請(qǐng)問當(dāng)?shù)拈L滿足什么條件時(shí),在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P,使得ZCFG=60°?請(qǐng)說明理由.

題目區(qū)（2024.江蘇蘇州.一模）已知矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)于點(diǎn)F.

圖1

（1）如圖1,若BE=2,求AE-AF的值；

⑵如圖2,連接AC交DF于點(diǎn)G,若叁=京求cos/FCE的值；

（3）如圖3,延長DF交AB于點(diǎn)G,若G點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)，過A作AK〃F。交FD于K,設(shè)△ADK的面

積為Si,/XCDF的面積為S2,則獸的值為

「題目區(qū)（2024.安徽六安.一模）如圖，在OABCD中，E,F分別是AD,AB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）已知乙4=90°,EG±EF交DABCD的一邊于點(diǎn)G,tan/EGF=

①如圖1,若點(diǎn)G在CD上,求證：3AF=2DE.

②如圖2,若點(diǎn)G在5C上，且尸4=3,AE=8,求BF的長.

⑵如圖3,乙4W90°,點(diǎn)G在BC上，且/EEG=/B4D,若罪=。笫=1■，求第的值.

題目目（2024.云南.模擬預(yù)測(cè)）菱形ABCD的對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)O,0°<ZABO<60°,點(diǎn)G是射線

OD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G作GE//。。交射線OC于點(diǎn)、E,以O(shè)E,OG為鄰邊作矩形EOGF.

圖①

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)F在線段。。上時(shí)，求證：DF=FC；

⑵若延長AD與邊GF交于點(diǎn)H,將△GDH沿直線AD翻折180°得到

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)河在EG上時(shí),求證：四邊形EOGF為正方形；

②如圖③，當(dāng)tan乙4B。為定值小時(shí)，設(shè)DG=k?。。，%為大于0的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)k>2時(shí)，點(diǎn)M在矩形

EOGF的外部，求利的值.

題目回（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在菱形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一點(diǎn),連接AP和CP,在

射線AP上取點(diǎn)E,使得AAEC+AABC=180°,射線CE交射線于點(diǎn)Q,設(shè)ZABC=2a.

Q

Q

圖1圖2圖3

（1）如圖2,若a=45°,連接AC,交BD于點(diǎn)O,求證：△OPC?△OCQ；

（2）【探究】如圖3,若0=30°,3。=4。J,請(qǐng)畫出圖形,并求察的值；

【歸納】若=%?DP,穿的值為

.（用含k、a的表達(dá)式表示）

O.i

題型2:最值問題

題目回（2024.陜西西安.二模）圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的一種重要方法.如圖1,正方形48co中，E、F

分別在邊AB.BC上，且NEDF=45°，連接EF,試探究AE,CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系.解決這個(gè)問題可

將△川0￡；繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CDH的位置（易得出點(diǎn)H在的延長線上），進(jìn)一步證明ADEF與

△Z汨F全等，即可解決問題.

圖3

（1）如圖1,正方形ABCD中，NEDF=45°,AE=3,CF=2,則EF=；

（2）如圖2,正方形ABCD中，若NEDF=30°,過點(diǎn)E作EMUBC交DF于M點(diǎn)、,請(qǐng)計(jì)算AE+CF與EM

的比值，寫出解答過程；

（3）如圖3,若ZEDF=60°,正方形ABCD的邊長AB=8,試探究4DEF面積的最小值.

題目不（2024.重慶開州.二模）在等腰△4BC中，/BAC=45°,=是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD,

將BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°,得到DE，連接CE.

E

圖1

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在BA邊的延長線上時(shí),連接AE,=42,求S^CD；

⑵如圖2,取CE的中點(diǎn)F,連接。F,AF,求證：AFLDF；

（3）如圖3,當(dāng)BO，AC時(shí)，點(diǎn)G是直線CE上一動(dòng)點(diǎn)，連接DG,將/XCDG沿著DG翻折得到40DG,連

接AC'、,若AB=4+22,請(qǐng)直接寫出AC+[42—1）BC的最小值.

題型3:折疊問題

Ml回（2024.海南省直轄縣級(jí)單位.模擬預(yù)測(cè)）如圖1,矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)

動(dòng)（不與點(diǎn)B和點(diǎn)。重合），將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF,旋轉(zhuǎn)角等于/歷LC,連接CF,過點(diǎn)F作

，AC于點(diǎn)

（1）求證：4ABE空/\AMF；

（2）當(dāng)直線■恰好經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，求CF的長；

（3）如圖2,連接。F.

①當(dāng)DF=CF時(shí)，求等的值；

②探究DF是否存在最小值，若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

題目回（2024?江蘇無錫?一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=t.G為AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿BG翻

折△ABG,點(diǎn)力落在點(diǎn)F處.

FF

圖1備用圖

（1）如圖1,若AD=8,且點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，。F交8。于點(diǎn)區(qū)

①求BE的長；

②若點(diǎn)M在射線歷1上，且AM=孕,求tanZBMF的值.

（2）連接CF,在AD邊上存在兩個(gè)不同位置的點(diǎn)G,使得S^CF=/S^ABC，則t的取值范圍是.

〔題目叵（2024河南?一模）如圖①，小穎將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在射線BD1.,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記

為折痕與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F.

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)。重合時(shí),請(qǐng)判斷四邊形BEDF的形狀并證明；

（2）在矩形紙片ABCD中，若邊2,BC=273,AC與BD交于點(diǎn)。：

①請(qǐng)判斷4片與對(duì)角線AC的位置關(guān)系并僅就圖③說明理由；

②當(dāng)B7?=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AE的長.

題型4:旋轉(zhuǎn)問題

題目五（2024?重慶?一模）已知△ABG是等腰直角三角形，=AC,。為平面內(nèi)一點(diǎn).

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當(dāng)。點(diǎn)在AB的中點(diǎn)時(shí)，連接CD,將CD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到即，若AB=4,求△ADE

的周長；

⑵如圖2,當(dāng)D點(diǎn)在ZVIB。外部時(shí)，夙F分別是AB,BC的中點(diǎn),連接EF、DE、DF,將DE繞E點(diǎn)逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90°得到EG,連接CG、DG、FG,若AFDG=/FGE,請(qǐng)?zhí)骄縁D、FG、CG之間的數(shù)量關(guān)系并給出

證明；

（3）如圖3,當(dāng)。在△4BC內(nèi)部時(shí)，連接A。,將4D繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到ED,若ED經(jīng)過BC中點(diǎn)

F,連接AE、CE,G為CE的中點(diǎn)，連接GF并延長交AB于點(diǎn)H,當(dāng)AG最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出會(huì)空的值.

bbAHG

,題目叵（2024?廣東?一模）在△ABC中，CA=CB,乙4cB=&.點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)4C重合的任意一

點(diǎn).連接AP,將線段4P繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接AD,BD,CP.

⑴觀察證明如圖1,當(dāng)a=60°時(shí)

①猜想BD與CP的數(shù)量關(guān)系為，并說明理由.

②直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是

⑵類比猜想

如圖2,當(dāng)a=90°時(shí),請(qǐng)直接寫出需的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)

⑶解決問題

當(dāng)a=90°時(shí)，若點(diǎn)E,F分別是CA,CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C,P,。在同一直線上

時(shí)弟的值.

【數(shù)學(xué)活動(dòng)】將三角形紙片ABC進(jìn)行以下操作:第一步:折疊三角形紙片ABC使點(diǎn)。與點(diǎn)A重合,然后展

開鋪平，得到折痕DE；第二步:然后將△DEC繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到ADFG,點(diǎn)E、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分

別是點(diǎn)F、G,直線GF與邊力。交于點(diǎn)河（點(diǎn)河不與點(diǎn)4重合），與邊AB交于點(diǎn)N.

（1）折痕。E的長為.

（2）在△DEC繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷研與ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（3）在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中，探究下列問題：

①如圖2,當(dāng)直線GF經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，AM的長為.

②如圖3,當(dāng)直線GF〃47時(shí)，求AM■的長.

（4）在△DEC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中,連接AF,則AF的最小值為

題型5:對(duì)稱問題

題目回（2024.河北石家莊.一模）如圖1和圖2,四邊形ABCD中，=6,BC=8,A。=2?7,CD<

AB,/B=/C=90°,點(diǎn)石在AB邊上，且AE=2.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿折線BC—CD—DA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)

點(diǎn)A時(shí)停止，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為x（x>0）.

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,①CD=；

②當(dāng)EP=CP時(shí)，求劣的值；

（2）如圖2,當(dāng)0Vc48時(shí)，連接當(dāng)EP_LPD時(shí),求證：△BEP和4CDP全等；

⑶當(dāng)0V*<12時(shí)，作點(diǎn)B關(guān)于EP的對(duì)稱點(diǎn)B',連接EB'，設(shè)EB，與AB所夾的銳角為a，直接寫出sina

的值（用含c的式子表示）.

題型6：三點(diǎn)共線問題

［題目口53（2024?山西太原?一模）綜合與實(shí)踐

問題情境:綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以正方形為背景，添加適當(dāng)?shù)膸缀卧睾?，探究線段之?間的M數(shù)量關(guān)

系.如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E在線段BC±（CE>BE）,以CE為邊作正方形EFGC,使

點(diǎn)G在線段CD上.延長CD至點(diǎn)使連接AH,AE,AF.

數(shù)學(xué)思考：（1）拼搏小組提出如下問題，請(qǐng)你解答：

①求證：AH—AE；

②猜想線段HG與AF之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；

深入探究：（2）奮進(jìn)小組將正方形CEFG從圖1中位置開始，繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（設(shè)點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為提

出如下問題，請(qǐng)你解答：

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F恰好落到線段AE上時(shí),連接HG.猜想此時(shí)線段HG與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由；

②若AB=6,BE=2,在正方形CEFG旋轉(zhuǎn)過程中,直接寫出A,F,G三點(diǎn)在同一直線上時(shí)線段的

長.

題型7:列函數(shù)關(guān)系式問題

［題目［16J（2024?四川南充?一模）如圖，點(diǎn)B是矩形AEFG的邊EF上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右上方作正方形

ABCD.

⑴如圖1,若點(diǎn)。在FG上，求/BGF的度數(shù)；

（2）如圖2,若。是FG的中點(diǎn)，求證：CH=DH；

（3）正方形ABCD的頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到如圖3位置，若AE=2,EF=3.設(shè)EB=x,CG2=沙,求夕與，的函數(shù)

解析式（不寫自變量的取值范圍）.

題型8:動(dòng)點(diǎn)問題

〔題目〔17］（2024.浙江寧波.模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐.

【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)B作BE的垂線,過點(diǎn)。作AC的垂線，兩條

垂線交于點(diǎn)F,連接EF,求證：=

【類比探究】

（2）如圖2,在矩形ABCD中，E為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)5作BE的垂線，過點(diǎn)。作AC的垂線，兩條

垂線交于點(diǎn)F,且/"8=60°,連接即,求筆的值.

AE

【拓展延伸】

（3）如圖3,在⑵的條件下,將E改為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，其余條件不變,取線段EF的中點(diǎn)“，連接AW,

CM.若爪2加，則當(dāng)\CBM是直角三角形時(shí),請(qǐng)求出CF的長.

題型9：情景探究題

〔題目⑼（2024?遼寧葫蘆島?一模）【問題初探】

（1）如圖1,40是△ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且=求證：AC=BF.

小明和小亮兩名同學(xué)從不同角度進(jìn)行思考，給出了兩種解題思路.

①小明同學(xué)的思考過程:如圖2,延長FD到點(diǎn)G,使。G=DF,連接CG,構(gòu)造△DG?！?；

②小亮同學(xué)的解題思路與小明基本一致，也是構(gòu)造三角形,只是構(gòu)造方法不同.如圖3,過點(diǎn)B作

BGHAC交AD延長線于點(diǎn)G,于是得到△BDG……；請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路,寫出解答過程.

【遷移應(yīng)用】

（2）請(qǐng)你依照上述兩名同學(xué)的解題思路或者按照自己的思路，解答下面問題,如圖4,已知等邊△ABC中，

D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,將AD繞著D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DE,連接班;，取BE中點(diǎn)F,連接DF,

猜想CD與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

A

圖5

【能力提升】

（3）如圖5,已知△ABC中，"8="C,Z8/C=90°,點(diǎn)D是斜邊BC上的一點(diǎn)，且BD<CD，連接

4。，將線段4D繞。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段DE，連接線段BE，點(diǎn)F為線段BE的中

點(diǎn)，連接DF,若/CDEANQFg，求線段CD的長度.

［題目回（2024.江蘇揚(yáng)州.一模）如圖，4MoN=90。,點(diǎn)4B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)。重合），BC

是/ABN的平分線，BC的反向延長線交AOAB的平分線于點(diǎn)D.

（1）隨著點(diǎn)人、B的運(yùn)動(dòng)，ND的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求的度數(shù);如果會(huì)，請(qǐng)說明理由.

（2）如圖1,若OB與AD相交于點(diǎn)E,連接,當(dāng)。8=6,OE=25時(shí)，求ABOD的度數(shù)及BD的長度.

（3）如圖2,當(dāng)點(diǎn)B在ON上固定不動(dòng)，且OB長度為6,點(diǎn)F為。河上一定點(diǎn)，6,若點(diǎn)G為過三點(diǎn)人、

B、。的圓的圓心，當(dāng)點(diǎn)A從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng),直接寫出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長.

題目M（2024.遼寧沈陽?模擬預(yù)測(cè)）【問題初探】：（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,劉老師給出如下問題:如圖1,在四邊形

ABCD中，人3=人。=。。,/人。。+/8_4。=180°,CE_LAD,垂足為E.求證：BC=2CE.

①如圖2,小涵同學(xué)從ZACD+ABAC=180°,這個(gè)條件出發(fā)，給出如下解題思路:得出ABAC=2ZCAD,

作AF平分乙民4。交于點(diǎn)F,將AACD+ABAC180°轉(zhuǎn)化為/CAF與/CAD之間的數(shù)量關(guān)系.

②如圖3,小慧同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下的解題思路:延長CE至點(diǎn)G,使CE=EG,連接AG,將線

段CE與之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段CG與之間的數(shù)量關(guān)系.

請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程.

【類比分析】：

（2）劉老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，證明一條線段是另一條線段的2倍,將長的線段平分或?qū)?/p>

短的線段倍長，從而轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等.為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，劉老師提出了下面的

問題，請(qǐng)你解答.

如圖4,在△ABC中，AC=BC,/ACB=90。，。是4B邊上一點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)B作跳；，。。于點(diǎn)后，

在BE上截取EF=CE,連接AF交CD于點(diǎn)G.求證：BF=2EG.

【學(xué)以致用】：

（3）如圖5,在△ABC中，AB=AC,sinB=。是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段BD上，連接AE,延長AC至點(diǎn)

5

F,使CF=BE,連接DF,若/CDF=/BAE.求嘴的值.

AB

題目a1（2024.河南周口.一模）【綜合與實(shí)踐】綜合實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們研究“菱形背景下的旋轉(zhuǎn)問

題”.

問題情境:在菱形ABCD中,/ABC=60°為邊AD上一點(diǎn)（與A,O不重合）,連接BE,并將射線班繞點(diǎn)

B在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為&（0°<&<360°）.

操作感知：（1）小華取4=60°,如圖1,射線BE與射線AC交于點(diǎn)F,請(qǐng)你幫小華同學(xué)補(bǔ)全下面兩個(gè)問題的

答案:①線段BE與BF的數(shù)量關(guān)系是；②線段AB,AE,AF的數(shù)量關(guān)系是.

圖1圖2

猜想論證：（2）小夏取1=120。，如圖1,射線.與射線交于點(diǎn)干,小夏在筆記本上記錄了自己的思考

過程：

線段BE與BF的數(shù)量關(guān)系與（1）①相同……

但線段AB,AE,AF的數(shù)量關(guān)系好像不再成立……

我發(fā)現(xiàn)線段之間好像具有與⑴②類似的數(shù)量關(guān)系……

請(qǐng)你幫小夏同學(xué)完成線段之間數(shù)量關(guān)系的猜想并給出證明.

拓展探究：（3）小夢(mèng)測(cè)量得到AB=2,BE=3,如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,當(dāng)點(diǎn)F落在菱

形ABCD的邊或?qū)蔷€所在直線上時(shí)，記點(diǎn)F到直線BC的距離為d,請(qǐng)你幫小夢(mèng)同學(xué)直接寫出所有大于

血的d的值.

中考小獨(dú)致一三角形、四邊形稼合

解題方法

1.線段、角的計(jì)算與證明問題

中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在于考察基礎(chǔ)。

第二部分往往就是開始拉分的中難題了。對(duì)這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù)，更重要的是對(duì)

于整個(gè)做題過程中士氣，軍心的影響。線段與角的計(jì)算和證明，一般來說難度不會(huì)很大，只要找到關(guān)鍵“題

眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.圖形位置關(guān)系

中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中，圖形位置關(guān)系主要包括點(diǎn)、線、三角形、矩形/正方形以及圓這么幾類圖形之間的關(guān)系。在

中考中會(huì)包含在函數(shù)，坐標(biāo)系以及幾何問題當(dāng)中，但主要還是通過圓與其他圖形的關(guān)系來考察，這其中最

重要的就是圓與三角形的各種問題。

3.動(dòng)態(tài)幾何

從歷年中考來看，動(dòng)態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動(dòng)態(tài)問題一般分兩類，一類是代

數(shù)綜合方面，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯

形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考察。

4.幾何圖形的歸納、猜想問題

中考加大了對(duì)考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識(shí)要到高中才會(huì)正式考察，

所以大多放在填空壓軸題來出。對(duì)于這類歸納總結(jié)問題來說，思考的方法是最重要的。

5.閱讀理解問題

如今中考題型越來越活，閱讀理解題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)當(dāng)中就是最大的一個(gè)亮點(diǎn)。閱讀理解往往是先給一個(gè)材

料，或介紹一個(gè)超綱的知識(shí)，或給出針對(duì)某一種題目的解法，然后再給條件出題。對(duì)于這種題來說,如果考

生為求快速而完全無視閱讀材料而直接去做題的話，往往浪費(fèi)大量時(shí)間也沒有思路，得不償失。所以如何

讀懂題以及如何利用題就成為了關(guān)鍵。

解題策略

1.學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以

形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合思

想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決。

縱觀近幾年全國各地的中考?jí)狠S題，絕大部分都是與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)，其特點(diǎn)是通過建立點(diǎn)與數(shù)即坐

標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一方面可用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代

數(shù)問題的解答。

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想

分類討論思想可用來檢測(cè)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性，常常通過條件的多變性或結(jié)論的不確定性來進(jìn)行

考察，有些問題，如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分

類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這

就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它

體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行.正

確的分類必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏。

題型歸納

題型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應(yīng)用

題型2:最值問題

題型3:折疊問題

題型4：旋轉(zhuǎn)問題

題型5：對(duì)稱問題

題型6：三點(diǎn)共線問題

題型7：列函數(shù)關(guān)系式問題

題型8：動(dòng)點(diǎn)問題

題型9：情景探究題

題型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應(yīng)用

遮目不（2024.江蘇揚(yáng)州.一模）如圖1,在Rt/\ABC中，90°,AC=6,ABAC=60°,點(diǎn)D在線段BC上,

將△ACD沿AD折疊使得點(diǎn)。落在AB上。點(diǎn)處.

⑴則CD的長為；

（2）過點(diǎn)D作DE//AC交4B于點(diǎn)E,點(diǎn)河是線段AD上的動(dòng)點(diǎn),連接并延長分別交DE,人。于點(diǎn)F、

G.

①如圖2,若點(diǎn)朋?是線段AD的中點(diǎn)，求答的值；

Ur

②請(qǐng)問當(dāng)?shù)拈L滿足什么條件時(shí),在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P,使得ZCFG=60°?請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴2遍

⑵①需=匕②當(dāng)DM=坐③或竺臣＜DM44V3時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，見解析

Ub375

【分析】⑴由折疊的性質(zhì)得ADAC=30°,在Rt/\ADC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)正切定義即可求得。。長；

（2）①由題意易求得BC=61,BD=4遍，由全等三角形判定ASA得4DFM名A4GA/,根?據(jù)全等M三角形

性質(zhì)得OF=AG,根據(jù)相似三角形判定得ABEF?/\BAG，由相似三角形性質(zhì)得答=需=等,將

AGrA.B

DF=4G代入即可求得答案;②由圓周角定理可得△CQG是頂角為120°的等腰三角形，再分情況討論：

當(dāng)OQ與_DE相切時(shí)，結(jié)合題意畫出圖形,過點(diǎn)。作Qf/工AC,并延長HQ與DE交于點(diǎn)P,連接QC,

QG,設(shè)。Q半徑為r,由相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得?！伴L；當(dāng)。Q經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，結(jié)合題意畫出圖

形，過點(diǎn)。作CK_LAB,設(shè)。Q半徑為r,在RtAEQK中,根據(jù)勾股定理求得r,再由相似三角形的判定和

性質(zhì)即可求得DM長;當(dāng)。Q經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，結(jié)合題意畫出圖形，此時(shí)點(diǎn)河與點(diǎn)G重合，且恰好在點(diǎn)A處，由

此可得ZW長.

【解析】（1）解：???△47。沿AD折疊使得點(diǎn)。落在AB上。點(diǎn)處，/B4C=60°,

A4DAC=30°.

在RtAADC中，

ADC^AC-tan30°=273,

故答案為：2盜；

（2）解:①???4。=6,ABAC=60°,DC=2y/3,

：.BC=6V3,BD=4V3.

DEIIAC,

NEDA=ADAC,4DFM=AAGM.

AM=DM,

/\DFM^^AGM（ASA）,

AG=DF.

DEIIAC,

△BEF?ABAG,

,EF__BE_BD

**AG-~~AB-BC，

,EF__EF_BD_4V3_2.

,,市一~~^G

②?：乙CPG=60°,過C,P,G作外接圓，圓心為Q,

△CQG是頂角為120°的等腰三角形,

當(dāng)。Q與DE相切時(shí)，如圖1,過Q點(diǎn)作QHLAC,并延長與DE交于點(diǎn)P,連接QC,QG,

設(shè)0Q的半徑QP=r則QH=-yr,r+-r=2V3,

解得了=今四.

o

.-.CG=^-V3XV3=4,AG=2.

o

?:DEIIAC,

：?/\DFM?4AGM,

.DM=DF=4

**AM~~AG~~39

.DM_4

，，34D--7，

JDM=-y-V3.

②當(dāng)。Q經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，如圖2,過。點(diǎn)作CK_LAB,垂足為K.

設(shè)。Q的半徑QC—QE=『，則QK—3V3—r.

在放△￡?/<中，12+（3，^一/）2=『2,

解得r=號(hào)通，

.-.CG=^V3xV3=^

yo

?：DEIIAC,

：.4DFM~4AGM,

同理可得：。河=4四

5

③當(dāng)。Q經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，如圖3,

此時(shí)點(diǎn)”與點(diǎn)G重合，

且恰好在點(diǎn)A處，

由（2）得DM=4代.

綜上所述，當(dāng)DM="通或單述＜DM44V3時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P只有一個(gè).

75

【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決數(shù)學(xué)問題，屬于中考?jí)狠S題.

題目團(tuán)（2024?江蘇蘇州?一模）已知矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，OF，AE于點(diǎn)F.

圖1圖3

（1）如圖1,若BE=求AE-AF的值；

⑵如圖2,連接47交DF于點(diǎn)G,若需■=1■，求cos/FCE的值；

（3）如圖3,延長DF交AB于點(diǎn)G,若G點(diǎn)恰好為AB的中點(diǎn)，過A作AK〃F。交FD于K,設(shè)△ADK的面

積為S,ACDF的面積為S?，則善的值為

【答案】（1）6;

⑵爭

⑶*

【分析】（1）證明△ABE?/\DFA,得到=第，即可求解；

4AKDAr

⑵延長DF交CB的延長線于H,連接。E、AH,證明△ADG?△CHG,得到需=叁=~|■，推出EH

=BC=AD,進(jìn)而得到四邊形ADEH是菱形，得到DF=HF,NAEH=AAED,DE=AD=EH=BC,得

出?！??！辏?即可得/CDE=30°,得到/AEH=/AED=60°,據(jù)此得到30°=/CDE,再由

2FCE=ZCFE=J/AEH=30°即可求解；

（3）過F作PQ_L4B于P,交CD于Q,作KH_L人。于X,證明&ABE?ADAG,得到48=4D,推導(dǎo)出

四邊形ABCD是正方形，得到AB=BG=GD=AD=PQ,設(shè)AB=BC=CD=AD=PQ=4a,則BE=

AG—2a,可得tanZADG=tanZBAE=AE—DG—2V5a,由三角形面積得到AF=證■明

/o

△APF?AABE,得到AP=,PF=,進(jìn)而得到CQ=PB=孕a,FQ=畢a,由tan/ADG=嘯

5555DH

4

=9，設(shè)KH=rc,則DH=2c,證明AAHK?AFQC,得到AH=卜，由AH+OH=AD可得方程得工+

2力=4Q,解方程得x=~ra,即KH—，再由三角形面積公式即可求解.

55

【解析】（1）解：:石是石。的中點(diǎn)，

??.BC=2BE=20

???四邊形48co是矩形，

??.AD=BC=25,LB=90°,AD//BC,

：./AEB=/DAF,

?：DF_LAEf

：.NATO=900=",

???/\ABE"DFA,

.AE=BE

??亞一羽’

??.AEAF=ADBE=272xV2=4;

⑵解:延長OF交CB的延長線于H,連接OE、如圖2,

???四邊形ABCD是矩形，

??.AD//BC,AD=BC,/BCD=90°,

???4ADG?ACHG,

.AD=-G=2

，9~CH~~CG~~39

.BC=2

??而一.，

???石是BC的中點(diǎn),

??.BE=CE=BH,

：.EH=BC=AD,

：.四邊形4DEH是平行四邊形,

?：DF±AE9

???四邊形ADE"是菱形，

??.DF=HF,/AEH=/AED,DE=AD=EH=BC,

，CE=[BC=[DE,

sin/CDE=g,

LJEJN

???/CDE=30°,

??.ZCED=90°-30°=60°,

???/AEH=AAED=60°,

?.?DF.LAE9

：./FDE=30°=/CDE,

:.FE=[DE=CE

??.AFCE=ACFE=1/AEH=30°,

???cosZFCE=^;

(3)解:過F作PQ_LAB于P,交CD于Q,作KH_L4D于H,如圖3,

則P。=AD,AP=OQ,PQ〃BC〃AD,

???G是AB的中點(diǎn)，石是BC的中點(diǎn)，

???AB=2AG,BC=2BE,

???四邊形ABCD是矩形，

??.AD=BC,AB=CD,4B=ND4G=90°,

?：DF_LAEf

??.AADF+ZDAF=/RAE+ZDAF=90°,

???/BAE=/ADF,

：.AABE?4DAG,

.AB=BE

?,布一運(yùn)’

??.ABAG=ADBE,

即yAB2=yAZ?2,

:.AB—AD,

???四邊形ABCD是正方形，

:.AB—BC—CD—AD=PQ,

設(shè)AB=BC=CD=AD=PQ=4a,則BE=AG=2Q,

/.tan/ADG=tanZBAE?=,AE=DG=(2a)2+(4a)2=2V5a,

???S^DG=^DG-AF=^AD-AG,

.AG-AD2aX4a475

???PQ//BC,

???AAPF?/\ABE,

.AP=PF=AF

"AB-BE-AEJ

4戰(zhàn)c

即絲二理==

4a2a2V5a

解得AP=§a,PF=3a,

55

CQ=PB=AB—AP=4Q—■=孕a,FQ=PQ—PF=4a-3a=半a,

5555

?：KH±ADf

???tan/ADG=真去=[,

UrL/

設(shè)則。H=2N,

?：PQ//AD,AK//FC,

：./DAF=/QFE,ZKAF=ZCFE,

???乙DAK=AQFC,

又???/AHK=ZFQC=90°,

???/XAHK?4FQC,

.HK=AH

??西一溝’

6

即x—4H

暑Q售丁

55

解得

???AH+DH=AD,

4

--X+2rc=4a,

o

解得X—

5

KH—§Q,

5

???/\ADK的面積為S尸^-ADKH,/XCDF的面積為S2=%CDFQ,

八

.S'_KH_石6a「3

"S2~FQ~l^a~8,

故答案為：w

o

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，

正方形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

題目區(qū)（2024.安徽六安.一模）如圖，在AABCD中，E,F分別是AD,4B上的動(dòng)點(diǎn).

⑴已知=90°,EG，EF交HABCD的一邊于點(diǎn)G,tan/EGF=.

①如圖1,若點(diǎn)G在CD上,求證：3AF=2DE.

②如圖2,若點(diǎn)G在BC上，且FA=3,AE=8,求的長.

（2）如圖3,乙4W90。,點(diǎn)G在BC上，且乙FEG=/BAD,若笫=看,第=日，求鎧的值.

【答案】（1）①見解析;②9

（分析】⑴①由EG_LEF,tan/EGF=日得出ZAEF+AGED=90°,EF=卷EG，由矩形的判定與性質(zhì)

OO

得出AADC=/A=90°,NAFE+NAEF=90°,推出AAFE=ADEG,證明/\AEF?^DGE,得出票

2石G

=第==?,即可得證;②作GHX.AD于X,由EG，EF,tan/EGF=?得出AAEF+AGEH

h/GrB/Gr33

=90°,EF=QG,由矩形的判定與性質(zhì)得出乙4。。=乙4=90°,乙4EE+/ABF=90°,推出/AFE=

tj

2EG

NHEG,證明△AEF?/\HGE，得出架=等=-^―=《■，求出班;=號(hào),后歹=y/AE2+AF2=V73,

HEEGEG32

則EG=得EF=，再由勾股定理求出GH=y/EG2-EH2=12,即可得解；

⑵在AD的延長線上找一點(diǎn)連接GM,使GM=AB,則四邊形ABGM■是等腰梯形，證明4AEF?

△MGE得出篇=部=器結(jié)合鋸空罪T，計(jì)算即可得出答案.

【解析】⑴①證明：；EG±EF,tan/EGF=磊,

O

???/FEG=9U°,tan"GF=隹=：

9

NAEF+AGED=90°,EF=-^EG,

o

???/A=90°,

??.ZAFE+ZAEF=90°,四邊形ABCD是矩形，

???4AFE=/DEG,Z.ADC=NZ=90°,

???AAEF?/1DGE,

.AF=EF=犯6=2

*'~DE~^G~EG~~39

???3AF=2DE;

②如圖，作GH_L4D于H,

2

???EG工EF,tan/EGF=9，

o

：.NFEG=90°,tan/EGF=需=與,

h/Cjr3

9

ZAEF+ZGEH=90°,EF=￡EG,

o

乙4=90°,

ANAFE+NAEF=90°,四邊形ABCD是矩形,

AAAFE=AHEG，/B=/A=90°,

?：GH±AD,

：.AGHA=/B=NA=90°,

四邊形ABGH是矩形,AAEF?/\HGE,

EF2

AB=CGH,A?

HE~EG3

AE=8fFA=3,

:,HE=J,EF=VAE\AF2=V73,

：.EG=^EF=^^~,

：.GH=y/EC^-EH2=12,

??.AB=GH=12,

：.BF=AB-AF=12-3=9;

⑵解:如圖，在AD的延長線上找一點(diǎn)A/,連接GM,使GM=AB,

則四邊形4BGM是等腰梯形，

??.ZA=ZM,

???/FEG=/BAD,AFEG+ZAEF+4GEM=ZBAD+Z.AEF+Z.AFE=180°,

???4AFE=/GEM,

：.dAEF?/\MGE,

.FE=AE

，9~GE~~GM9

8

??GM—ABAB—AAE_旦

?GM-AB,%。一5，4。一7，

AD

.FE=AE=AE=^=15

--

''~GE~GMAB-±AD28,

5

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、正切的定義，熟練掌握以上知

識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解此題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題.

題目回（2024.云南.模擬預(yù)測(cè)）菱形ABCD的對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)O,0°<NABO<60°,點(diǎn)G是射線

OD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G作GE〃O。交射線OC于點(diǎn)、E,以O(shè)E,OG為鄰邊作矩形EOGF.

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)F在線段。。上時(shí),求證：OF=FC