抽象函數的定義域、求值、解析式、單調性、奇偶性的應用（5大題型）-2025年高考數學復習熱點題型專項復習（解析版）

熱點題型?選填題攻略

專題03抽象函數的定義域、求值、解析式、單調性、奇偶性

的應用

o-----------題型歸納?定方向-----------?>

目

題型01抽象函數的定義域.......................................................................1

題型02抽象函數求值...........................................................................3

題型03抽象函數的解析式.......................................................................6

題型04抽象函數的單調性......................................................................10

題型05抽象函數的奇偶性......................................................................15

?>----------題型探析,明規(guī)律-----------?>

題型01抽象函數的定義域

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數定義域的確定

所謂抽象函數是指用表示的函數，而沒有具體解析式的函數類型，求抽象函數的定義域問題，關鍵是

注意對應法則。在同一對應法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數式，其制約條件是一致

的，都在同一取值范圍內。

抽象函數的定義域的求法

(1)若已知函數/(x)的定義域為[a,b],則復合函數/(g(x))的定義域由a空(x)@求出.

⑵若已知函數/(g(x))的定義域為[a,b],則/(x)的定義域為g(x)在加時的值域.

注：求函數的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用

集合或區(qū)間來表示.

【典例訓練】

一、單選題

1.(24-25高三上?貴州六盤水?期末)已知函數的定義域為[-1,3],則函數/(2x-1)的定義域為()

A.[-3,5]B.[-1,1]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】D

【分析】由抽象函數的定義域列不等式即可得解.

【詳解】函數"X）的定義域為[T3],

所以-L42x-1*3,

解不等式得0Wx42,

即函數〃2x-l）的定義域為[0,2],

故選：D

5fix}

2.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）已知函數》=/（3]+2）的定義域為[-下1],則函數,=半"的定義域為

3y/x-1

（）

A.（1,5]B.[1,5]C.[-|,1]D.（2,5]

【答案】A

【分析】根據給定條件，利用抽象函數的定義域，結合復合函數定義域列式求解即得.

【詳解】由函數y=/（3元+2）的定義域為[-*1],得則—3W3X+2W5,

即y=/（x）的定義域為[-3,5],在函數y=5當中，由解得

Vx-1[X-1>0

所以所求函數的定義域為（1,5].

故選：A

3.（24-25高三上?云南昆明?期中）已知函數〃x-3）的定義域是[-2,4],則函數〃2x-l）的定義域是（）

A.B.[—5,7]C.[—9,1]D.[—2,1]

【答案】D

【分析】由函數/（x-3）的定義域求出的定義域，進而求出函數/（2x-l）的定義域.

【詳解】因為函數“X-3）的定義域是[-2,4],

所以函數的定義域是[-5』,

令—5V2x—l<l,所以

所以函數〃2尤-1）的定義域是42』.

故選：D.

4.（24-25高三上?上海?階段練習）已知函數”力的定義域為[0,3],則函數/（2工-1）的定義域為（）.

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

【答案】B

【分析】根據抽象函數的定義域及指數函數的性質求解即可.

【詳解】因為函數“X)的定義域為［0,3］,

所以0W2TW3,解得0VxV2,

則函數〃2:1)的定義域為［0,2］.

故選：B.

5.(24-25高三上?陜西咸陽?階段練習)已知函數/(x-1)的定義域為(-8,3］,則函數/［亡)定義域為()

A.[1,2]B.[1,2)

C.(-oo,l]u[2,+oo)D.(-co,l].(2,-H?)

【答案】D

【分析】根據抽象函數的定義域求法列不等式得到片42,然后解不等式即可.

2-x

【詳解】/(X-1)中，令X43,貝！|x—142,

所以/〔事)中二V2n-4。=尸(7(2-尤)比

2-x2-x12—尤wO

解得xWl或兀＞2.

故選：D.

題型02抽象函數求值

【解題規(guī)律?提分快招】

一般采用賦值法，0』，尤,-尤是常見的賦值手段

【典例訓練】

一、單選題

1.(24-25高三上.福建泉州.階段練習)若對任意的x,yeR,函數〃力滿足今@=〃x)+〃y),則/⑴=

()

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【分析】利用賦值法即可求解.

【詳解】令x=y=o,則F=/(o)+f(o)，解得〃0)=。，

令x=l,y=O,貝!］乎=〃1)+〃0),故/⑴=0,

故選：D

2.(24-25高三上?廣東深圳?期中)已知函數/Q)的定義域為(0,+8),Vx,ye(O,+?),都有

(B=/(x)-『(y)+l,且=則〃512)=()

A.-6B.-7C.-8D.-9

【答案】C

【分析】令x=y=l可得”1),令y=2無可得〃2),代入計算，即可得到結果.

【詳解】當x=l,>=1時，/(1)=/6-/(1)+1,所以『(1)=1；

令y=2x得〃2x)=/(x)-l,所以7'(2)=/(1)-1=0；

f(22)=/(2)-l=-l,/(23)=/(22)-1=-2,

/(24)=/(23)-1=-3,....

/(512)=/(29)=/(28)-l=-8.

故選：C.

3.(24-25高三上?廣東江門?階段練習)函數/(x)滿足對任意的實數x,y,均有f(尤-=/(尤)片。,

且了⑴=；，/(2)1/(3)1/(4)1?6(2025)

)

/(I)/(2)/(3)/(2024)

A.1014B.1012C.2024D.2025

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用賦值法可得騎4/⑴，由此計算得解.

【詳解】依題意，對于V/N*,取％=〃+l,y=l,得/⑺"⑴=/(〃+1),而75)w。，

因此鉗阿，所嚅號瑞…卷H-2.

故選：B

4(24-25高三上?山東濰坊?期中)已知定義在R上的函數〃%)滿足"％-y+1)-〃x+y+l)=〃x)/(y),

且"1)=2,則/(2)+/(3)+/(4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】C

【分析】分別對X、y賦值，結合已知條件分別求出7(3)、/(2),/(4)的值，即可得解.

【詳解】令x=y=l可得/(1)_〃3)=/(1)?/⑴，即2_“3)=2'解得/(3)=—2,

令x=l,y=0可得〃1)〃0)=〃2)-/(2)=0,貝！J〃0)=0,

令x=0,y=l可得/(0)-/(2)=/(0)/⑴=0,則〃2)=/(0)=0,

令x=2,>=1可得“2)-"4)=/'⑵〃1)=0,可得〃4)=〃2)=0,

因此，/(2)+/(3)+/(4)=-2.

故選：c.

5.(24-25高三上?黑龍江?階段練習)已知/(x)是定義在R上的函數，且〃x+l)-/a)=l+〃x+l)〃x),

f(l)=2,貝iJ/(2024)=()

￡

B.-3CD.

A.-2-I~2

【答案】C

l+/(x)

【分析】借助賦值法令X=O可得“0)即可得〃尤+1)5荷'再借助賦值法計算可得函數周期,

利用所得周期計算即可得解.

【詳解】因為〃龍+1)-〃力=1+/(尤+1)/(力,

所以當x=0時，〃1)一/(0)=1+〃1)〃0),又"1)=2,所以/(o)=g.

又由“x+l)-〃x)=l+/(尤+l)〃x),可得/(尤+1)=^^，

1J+/(x)

5(嘰__1

所以/(x+2)=/((x+l)+l)=

?1+〃同一“司

1-〃尤)

〃X+4)=〃(X+2)+2)=_〃L)=——=

故函數〃x)是以4為周期的函數，所以"2024)=〃0)=g.

故選：C.

6.(24-25高三上?湖南?階段練習)定義在(0,+向上的函數滿足條件①Vxe(O,+w),〃X)H0,②

Vx,ye(O,—),/(xy)=1/(x)/(y),y)=,則(目的值為()

2r4r8

AA.—B.—C.—D.一

5525

【答案】B

【分析】令》=>=1求出”1),即可求出“2),再令x=y=g求出最后根據/(|，/12+￡|計

算可得.

【詳解】Vx,ye(O,4w),/(xy)=1/(x)/(y),

令x=y=l,得/⑴=g/⑴，X/(l)^0,/./(1)=2,

"1)"⑴

/(2)=/(1+1)==1,

1

再令尤=y=J,/(1)=12〃1)=4,

心+了12I

4

5

故選：B

題型03抽象函數的解析式

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數的模型

【反比例函數模型】

反比例函數：—怒光?則"X)=R均不現

【一次函數模型】

模型1：若/(X士y)=/(x)±/(y),則/(%)=/⑴%；

模型2：若/(%士y)=/(x)±/(y),則/(x)為奇函數；

模型3：若/0+)0=/(%)+/0)+%則/(%)="(1)+詞4_加；

模型4：若于(x-y)=模型--(y)+m,則/(x)=[/(l)-m]x+m；

【指數函數模型】

模型1：若/(x+y)=/(x)/(y)，則/(》)="⑴]'；/(%)>°

模型2：若/(x—y)=04,則/(x)=[〃l)'/(x)>0

/(y)

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)m,則⑴問；

m

模型4：若/(x-y)=m~~~，則/(x)=m‘°)；

/(y)m

【對數函數模型】

模型1：若/(/)=叭處，則”x)=〃a)logaX(a>Cl0.wLx>0)

模型2：若/(取)=/(%)+/(y),則/(x)=/(a)k>gaX(a>(lliLwLx,y>0)

Y

模型3：若/(一)=/O)—/(>),則/(%)=/(。)108。%(。>0且/1,羽丁>0)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=[/(a)+加]log°x—"(「>0且-l,x,y>0)

模型5：若/(：)=/(x)—/(y)+〃z,則/(x)=[〃a)-/"]log“x+Ma>(KwL],y>0)

【暴函數模型】

模型1：若/(盯)=/(x)/(y)，則/(x)=/(a產”(。>0且wl)

模型2：若〃不)=端，則/(%)=/(。產”(。>0且hi,yHO,/(y)HO)

代入/(a)則可化簡為幕函數；

【余弦函數模型】

模型1：若/(%+丁)+/0—丁)=2/0)/(}0(/(%)不11亙?yōu)?),則/(x)=coswx

模型2：若/(乃+/(丁)=2/(三)/(寧乂/(均不恒為0)，則/(x)=coswx

【正切函數模型】

模型：若/(X土y)=r；：，(；))(/(x)/(y)wl)，則/(x)=tanwx

一2

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=4(x)/(y)(/(x”P^M)),貝i]/(x)=^coswx

K

【典例訓練】

一、填空題

1.(23-24高三上?江西南昌?階段練習)已知函數/(X)滿足〃x+2)=〃x)+l,則/?(%)的解析式可以是

(寫出滿足條件的一個解析式即可).

【答案】〃x)=gx(答案不唯一)

【分析】利用待定系數法求解即可，若設/("=依，然后代入化簡求出a即可.

【詳解】設/")=依，由〃x+2)"(x)+l,

代入可得，a(x+2)=ax+\,解得a=；,

，〃尤）=吳

故答案為：〃X）=g尤.（答案不唯一只要正確即可）

2.（23-24高三上?遼寧遼陽?期中）已知“X）是定義在（0,+8）上的單調函數，且V尤e（0,-）,

/（仆）一4）=6,貝1］/（100）=.

【答案】14

【分析】由單調函數的性質，可得-4為定值，可以設r=〃x）-?,貝！1/（%）="?,又由/。）=6,

可得了（X）的解析式求“100）.

【詳解】Vxe（O,田），/（〃司-?）=6,/（%）是定義在（0,+向上的單調函數，

則/㈤-6為定值,設￡=/（力-?,則f（x）=/+?,

f（t^=t+\/t=6,解得f=4,得/（x）=4+^/^,

所以/'（100）=4+A/I53=14.

故答案為：14.

3.（23-24高三上?湖北?期末）函數〃x）滿足/（x）+（￡|=0,請寫出一個符合題意的函數的解析

式■

【答案】/（^）=log2X（答案不唯一）

【詳解】＜/（x）=log2x,

則“X）+/L=log2x+log21=log2，曰=log?1=°，滿足題意.

故答案為：/（x）=log2X（答案不唯一）

4.（24-25高三上?北京?期中）寫出同時滿足以下兩個條件的一個函數/（?=—.

①Vx,yeR,/3）=/（x）/（y）；

@\/x,、＜0收）且無二丁，/.

【答案】V（答案不唯一）

【分析】根據條件可知二次函數可以滿足其要求.

【詳解】令〃力=無2,則〃孫）=（孫7二//=/⑴八封，滿足條件①；

vx,好［0,田）且中幾〃x）+"y）=:+，2＞/+/+2孫/蟲口/一］,滿

足條件②;

故答案為：丁(答案不唯一)

5.(2025高三?全國?專題練習)設是定義在R上的函數，且滿足對任意無，兒等式

/(2y-力=-2/⑴+3y(4x-y+3)恒成立,貝f(x)的解析式為.

【答案】/(x)=3x(x+l)

【分析】通過令y=x代入即可求解

【詳解】/(X)是定義在R上的函數，且對任意見％/(2支耳=一2/(尤)+3乂?-〉+3)恒成立，

.?.令y=x,得〃2x-x)=-2/(x)+3x(4x-x+3),即

/(x)=-2/(x)+3x(3x+3),.，.3/(尤)=3x(3x+3),.1/(x)=3x(x+l).

故答案為：〃x)=3x(x+l)

6.(23-24高三上?浙江杭州?期末)寫出一個同時具有性質①對任意。＜玉＜%,都有/a)〉/(%);②

/(孫)=f(x)/(y)的函數〃x)=.

【答案】-(答案不唯一)

X

【分析】根據函數的單調性，結合/(盯)=/(x)/(y)及常見的函數特點即可得結果.

【詳解】因為對任意。＜玉＜天2,都有〃藥)＞〃9),即函數“X)在(0,+8)內單調遞減，

由于/(孫)=f(x)/(y),即可取〃無)=!，

故答案為：-(答案不唯一).

X

7.(23-24高三上?海南海口?期末)已知函數〃x)的定義域為R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),〃0)=l,

請寫出滿足條件的一個/("=(答案不唯一).

【答案】19COSX(答案不唯一)

【分析】根據所給條件分析函數為偶函數，取特殊函數可得答案.

【詳解】令x=0,貝！+y)=2〃o)〃y),

又"0)=1,

所以+〃-y)=2〃y),BP/(-y)=f(y),

所以函數為偶函數，

不妨取偶函數”x)=l,貝!I/(x+y)+/(x—y)=l+l=2xlxl=2/(x)/(y),

也可取/(x)=cos%,貝！1coscx+y)+cos(%—y)=2cosxcosy,滿足題意.

故答案為：1,COS%(答案不唯一)

8.(2024.陜西銅川.三模)已知函數是定義域為R的偶函數，且/(尤+1)為奇函數，寫出函數/(X)的

一個解析式為“X)=.

【答案】COSy(答案不唯一)

【分析】由/(x+1)為奇函數可得/(%)的圖象關于點(1,0)中心對稱，結合偶函數的性質可構造

〃X)=COS最符合題意.

【詳解】由"X)為偶函數，知"X)的圖象關于，軸對稱；

由/(X+1)為奇函數，知/(尤)的圖象關于點(1,0)中心對稱，

據此構造函數〃x)=cos￡,則/⑺是偶函數；

〃x+l)=cos仁卜-si嗒為奇函數,符合題意.

故答案為：COSy(答案不唯一).

題型04抽象函數的單調性

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數的性質

1.周期性：f(x+a)=f(x)=>T=a；/(%+a)=-/(x)^>T=2a；

f(x+a)=>=>T=2a；(左為常數)；f(x+a)=f(x+b)=^T=|a-/?|

J\x)

2.對稱性：

對稱軸：f[a-x)=/>(a+尤)或者f(2a-x)=/(x)=>/"(x)關于x=a對稱；

對稱中心：/(。一%)+/(。+%)=2?；蛘?(2/-％)+/(%)=26n/(%)關于(a,對稱;

3.如果/(X)同時關于x=a對稱，又關于(反c)對稱，則/'(x)的周期T=|a—4

4.單調性與對稱性(或奇偶性)結合解不等式問題

①/'(x)在R上是奇函數，且/'(X)單調遞增n若解不等式/(XJ+/(%2)>0,則有

%]+%>°；

/(X)在R上是奇函數，且/'(X)單調遞減n若解不等式/(%1)+/(%2)>0,則有

再+%<°；

②/'(X)在R上是偶函數，且y(x)在(0,”)單調遞增n若解不等式/(%1)>/(%,),則有歸|〉同(不

變號加絕對值)；

/(x)在R上是偶函數，且/V)在(0,”)單調遞減n若解不等式/(x1)>/(x2),則有忖|<岡(變號

加絕對值)；

③/'(%)關于(。，")對稱,且/"(x)單調遞增n若解不等式f(xl)+f(x,)>2b,則有

x1+x2>2a；

/(x)關于(a,b)對稱，且/(x)單調遞減n若解不等式/(^)+/(%2)>2Z?,則有

玉+%<2。；

④/"(x)關于x=a對稱，且/"(x)在(a,+。。)單調遞增=>若解不等式/(%1)>/(x2),則有忖>怛一。|

(不變號加絕對值)；

/(X)關于x=a對稱，且/(X)在(a,y)單調遞減n若解不等式/(x1)>/(x2),則有忖—&<上—4

(不變號加絕對值)；

【典例訓練】

1.(24-25高三上?河北石家莊?階段練習)已知〃x)是奇函數，g(x)是偶函數，且

2

fM+g(x)=^—+2x-3,貝I不等式/(3—2x)>/(x+2)的解集是()

A.B.&+弓C.1-昌(5,+WD.[1,5]

【答案】A

【分析】由函數的奇偶性求出了(尤)，再利用函數的單調性解抽象函數不等式即可；

【詳解】因為/(x)+g(x)=二二+2x2-3①，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，

—XX-xX

貝(Jf(-x)+g{—x)=----F2%2—3,即—f(x)+g(x)=----F2x2—3②，

由①②可得"x)=￡，，

px_p-x

因為函數>=^、y=-e，均為R上的增函數，所以，函數八x)=35J為R上的增函數，

由/'(3-2x)>/(尤+2),可得3-2x>x+2,解得x<；.

因此，不等式"3-2》)>，。+2)的解集是卜夕￡|.

故選:A.

2.(湖北省武漢市問津教育聯合體2024-2025學年高三上學期12月月考數學試題)已知函數/(x)是定義在

[T4]上的偶函數，在[TQ]上單調遞增.若2),則實數尤的取值范圍是()

A.(—oo,—3),(1,+co)B.(—3,1)C.［—3,1)(3,5］D.［-5,-3)(1,3］

【答案】D

【分析】由偶函數性質得出函數在2,4］上單調性，再由偶函數性質變形不等式，然后由單調性化簡后求解.

【詳解】函數八可是定義在［T,4］上的偶函數，在［T,0］上單調遞增，則在［0,4］上單調遞減，

〃》+1)<〃-2)化為/(卜+1|)</(2),即:吧［：<4,解得一5Wx<—3或3">1,

故選：D.

3.(24-25高三上?福建泉州?期中)已知函數"x)=eA3_e3r+x,則滿足〃2機-2)+"租-1)>6的實數加

的取值范圍是()

A.g+JB.||',+00］C.D.(3,+oo)

【答案】D

【分析】構造函數g(x)=f(x+3)-3,分析其奇偶性和單調性，再解不等式即可.

【詳解】令g(x)=/(x+3)-3=e，-er+尤，貝!)g(—x)=葭—e*-x=-g(x),且定義域為R,

所以g(x)為奇函數，

因為函數y=Qx,y=-cx,y=x在R上均為增函數，

所以函數g(x)在R上為增函數，

因為/(2加一2)=g(2加一5)+3,/(加一1)=g(m—4)+3,

所以原不等式可轉化為g(2加-5)+g(機-4)>0,

即g(2/?i-5)>-g(/?t-4)=g(4-m),

由單調性可得2加-5>4-7",解得〃z>3,

所以實數機的取值范圍是(3,包).

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：構造函數g(x)=/(x+3)-3,再根據函數的奇偶性和單調性解不等式，是解決本題

的關鍵.

4.(23-24高三上?浙江杭州?期末)若定義在R上的奇函數f(x)在(-8,0)上單調遞減，且"3)=0,則滿足

4(x-2”。的天的取值范圍是()

A.[-1,0][5,+8)B.[-2,-1]|[0,5]

C.[—2,0][5,+co)D.[-1,0][2,5]

【答案】D

【分析】根據給定條件，求出F(x)的單調區(qū)間,由奇函數性質分段求解不等式即可得出答案.

【詳解】在R上的奇函數在(-8,0)上單調遞減，則〃元)在(0,+8)上單調遞減，且，(。)=。,

/(—3)=—/(3)=0,當％￡(—8,—3)u(0,3)時，/(x)>0,當％￡(—3,0)(3收)時,/(x)<0,

,fx<0_fx>0

由4(x-2)20,得)<n或n<℃或“=°'

解得-14x<0或2VxV5或尤=0,因此-LW.xWO或2VxV5,

所以滿足-2)2。的x的取值范圍是[-1,0][2,5].

故選：D

5.(24-25高三上?河北邢臺?期末)已知函數是定義在R上的減函數，且〃%-1)-2為奇函數，對任意

的14-2,3],不等式/(〃—)+/(/—1/4恒成立，則實數/的取值范圍是()

3

A.(-8,3]B.—00,—

4

C.[13,-KO)D.[-j+s]

【答案】B

【分析】設g(x)=〃xT)—2,把/(a一)+/(〃_1)<4轉化成g(a-+l)+gS)VO,再結合函數g(x)的

奇偶性，把不等式轉化成gSy+l)4g(F2),再結合g(尤)的單調性，得到°—+分離參數，根

據二次函數的性質，可求實數I的取值范圍.

【詳解】令g(x)=/(尤—1)-2,貝！]〃x)=gG+l)+2,

由-1)V4,可得g(“T+l)+2+g(〃-1+1)+244,

即g(a-t+l)+g(a2)<0,g(a-t+l)<-g(a2)^g(-a2).

因為/(x)是定義在R上的減函數，所以g⑴也是定義在R上的減函數，

故CL-1+1之一a29即(CI+—.

因為。?-2,3],所以區(qū)，即實數/的取值范圍是，與：.

故選：B

6.(24-25高三上?甘肅天水?期末)函數“X)的定義域為。，若對于任意的網,馬€。，當王<吃時，都有

)4/(9),則稱函數〃%)在。上為非減函數.設函數在[0』上為非減函數，且滿足以下三個條件:

①/(0)=0;②/'1齊⑺；③〃1T)=1—“X).則/g]+<￡|等于()

1B.」2

A.C.—D.

1282565124

【答案】D

【分析】根據題設條件可得1以及從而可得/&]=；和/e）=/a]=：,根據

不＜%時，都有/國）＜4%）可得了\上（jv/、｝從而可求/（j的值后可得u的值.

【詳解】函數〃x）在[0』上為非減函數,

①"0)=0,③/(l-x)+/(x)=l,

令工=0,得/（1）=1；令尤=

令X=l,得1=2/〔IH

令X=；,得/

當&＜4時，都有/1（%）〈/（尤2），1＜：＜）,

9oo

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：抽象函數的函數值的計算，解題的關鍵點是注意根據不等關系求確定的值，一般用“夾

逼”的方法（如.

7.（24-25高三上?江蘇?期末）已知/（X）是定義在R上的偶函數，若%,%?0,+?）且x產尤2時，

＞3（%+々）恒成立,“1）=3,則滿足〃/+小3（/+耳2的實數x的取值范圍為（）

-I-A/5-1+V51r,-F-l+Vsl小，1

A.-B.[-1,1]C.0,^^D.[0,1]

【答案】A

【分析】利用構造函數法，結合函數的單調性、奇偶性來求得x的取值范圍.

【詳解】設可＞%，由"%-＞3（西+灰）,

xl—x2

得/（%）-"/）＞3（%+々）（％-々）=3任一期,所以〃石）一3V＞/（可）一3",

令g(x)=/(x)-3X2,則g&)>g(w),

所以函數g(x)在[0,+8)上單調遞增，

因為/(無)是定義在R上的偶函數，所以/■(-%)=/(X),

所以對任意的xeR,g(-x)=/(-x)-3(-x)2=/(%)-3x2=g(x),

所以，函數g(x)為R上的偶函數，且g(l)=/。)—3xF=3—3=0,

S/(X2+X)<3(X2+X)2,可得/(/+同-3卜2+440,即g(d+x)Vg(l),

即卜一+耳《1,所以-IVJT+XWI,即I2,n>解得xe—；—，一--?

11[x+x+l>022

故選：A

【點睛】方法點睛：形如"無‘A"")的已知條件,往往是給出函數的單調性，可以利用函數單調性的定

玉—x2

義來進行求解.利用函數的單調性和奇偶性來求解不等式，可將不等式轉化為函數不等式的形式，然后結合

單調性、奇偶性去掉函數符號，再解不等式來求得答案.

題型05抽象函數的奇偶性

【典例訓練】

1.(24-25高三上?江蘇揚州?期中)已知函數y=〃x)對任意實數x,y都滿足

2/(%)/(y)=/(x+y)+/(x-y),且/。)=一1,/(0)^0,則函數“力是()

A.奇函數B.偶函數

C.既奇又偶函數D.非奇非偶函數

【答案】B

【分析】用賦值法，先令元=y=o求得/(0),再令*=。求解后即可判斷.

【詳解】在2〃x)[(y)"(x+y)+〃x7)中,

令無=y=0,貝!]2/(0)=/(0)+/(0),又“0)4,所以"0)=1,

令x=0得2/(0)/(得=f(y)+f(-y),所以f(y)=

所以，(尤)是偶函數，

故選:B.

2.(24-25高三上?山東濟寧?期中)己知函數的定義域為R,滿足〃x+y)-"(x)+〃y)]=2024,則

下列說法正確的是()

A.〃尤)是偶函數B.“X)是奇函數

C./(x)+2024是奇函數D./(x)+2024是偶函數

【答案】C

【分析】根據抽象函數，利用奇偶函數的性質直接判斷即可.

【詳解】因為〃x+y)—[〃x)+〃y)]=2024,

所以令x=〉=0,可得〃0)=一2024,

令丫=-%,貝！|/(0)-〃2-〃-0=2。24,

所以〃T)=—/⑺―4048,

則/(彳)既不是奇函數又不是偶函數，

且f(-%)+2024=-[〃司+2024],

所以〃力+2024是奇函數.

故選：C

3.(18-19高三?全國?課后作業(yè))已知對任意x,yeR,都有/("+且〃°)片0，

那么“X)()

A.是奇函數但不是偶函數B.既是奇函數又是偶函數

C.既不是奇函數也不是偶函數D.是偶函數但不是奇函數

【答案】D

【分析】令x=y=o,結合〃。戶?？汕蟮谩╫)的值，再令y=f即可判斷的奇偶性.

【詳解】令x=y=o,有2〃0)=2〃0)"(0),

因為〃。)ao,所以〃。)=1,

再令y=—x,得：/(^)+/(-x)=2/(O)-/(x)=2/(x),

所以〃—x)=/(x)，又XWR,

所以是偶函數.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：抽象函數的奇偶性的判斷，根據所給的等式進行取值是解題的關鍵.

4.(23-24高三下?河南洛陽?期末)已知函數〃x)的定義域為R,f?f?-f(a)=ab-b,貝l]()

A./(0)=0B.41)=2C.-1為偶函數D.〃x)-l為奇函數

【答案】D

【分析】對于A,令6=0,可求出/(0)進行判斷，對于B,令a=b=\,可求出了⑴進行判斷，對于CD,

令“=0力=彳，可求出f(x),從而可求出了(司-1,進而可判斷其奇偶性.

【詳解】對于A,令b=0,則=得〃。)"(0)-1]=0,

所以/(。)=?；?0)=1,

當/(“)=。時，〃“)/(6)-〃。)=向-6不恒成立，所以"0)=1,所以A錯誤，

對于B,令a=b=l,則〃1)〃1)-〃1)=0,得/(1)"(1)-1]=0,

所以/⑴=0,或"1)=1,

由選項A可知了(1)/0,所以/■⑴=1,所以B錯誤，

對于CD,令。=0*=x,貝(IH0)〃X)_〃0)=T,由選項A可知"0)=1,

所以/(x)=l-x,所以/(x)T=l-x-l=r,

令g(x)=f(x)-l=-x,貝!Ig(-x)=X=-g(x),

所以g。)為奇函數，即/(x)-l為奇函數，所以C錯誤，D正確，

故選：D

5.(多選)(24-25高三上廣東?階段練習)已知函數“X)滿足〃x+l)〃y+l)=〃x)〃y)+〃x)+〃y)+l,

且/(o)=o,y(i)>o,則()

A./(-1)=-1B./(x+l)=/(x)+l

C.不可能是奇函數D.在[0』上單調遞增

【答案】AB

【分析】利用賦值法和舉例法即可逐個選項進行判斷.

【詳解】對于A,取尤=y=-l,得〃T)X〃-1)+2〃-1)+1=[〃-1+1)T=0,

所以/(—1)=T,A正確；

對于B,取x=y=0,得卜⑴[2=1,X/(l)>0,

所以“1)=1,令y=0,得/(x+l)=/(x)+l,B正確；

對于C,若/'("=無滿足/(x+l)/(y+l)=/(x)/(y)+/(x)+〃y)+l,C錯誤；

對于D,取〃力=國(區(qū)表示不超過x的最大整數)，則〃x+l)=/(x)+l,

從而有/(尤+i)/(y+l)=/(尤)/(y)+/(x)+/(y)+i,

當xe[0,l]時，/(x)=0,D錯誤.

故選：AB

6.(24-25高三上?安徽宿州?期中)已知定義在(-8,0)(0,+8)上的函數“X),滿足〃》)+2=〃x)+〃y),

且當尤>1時，/(無)>2,則下列說法錯誤的是()

A.〃-1)=2B./(尤)為偶函數

C.f(-2025)</(-2024)D.若/(x+2)<2,則一3Vx<-1

【答案】C

【分析】A選項，先令x=y=l,可得"1)=2,再令x=y=T,可判斷選項正誤；

B選項，令》=-1,結合/(無)定義域可判斷選項正誤；

C選項，由題可判斷在(0，+力)上單調遞增，后由B選項分析可判斷選項正誤；

D選項，由ABC選項可解不等式〃x+2)<2.

【詳解】A選項，在/(孫)+2=〃x)+/(y)中，令尤=y=l,

得/(1)+2=/(1)+〃1),解得"1)=2；再令x=y=T,

得/。)+2=/(-1)+/(-1),解得f(-l)=2,故A正確；

B選項,令y=-l,得/(-x)+2=/(x)+〃-1),所以f(一x)=f(x),

又的定義域關于原點對稱，所以“X)是偶函數，故B正確；

C選項，設0<為<超，則/=垣>1,所以/(。>2,

x\

所以/(々)=/的)=/(。+/(%)-2>/(%),

所以/⑴在(0,+8)上是增函數，因為/⑴是偶函數，

所以/⑴在(-8,0)上是減函數，從而-2025)>”-2024),故C錯誤；

D選項,因為/⑺是偶函數,則/'(尤+2)<2o/(|x+2|)<〃l),

又在(0,+8)上是增函數，所以k+2|<1,解得-3<x<-l,故D正確.

故選：C.

艙----------題型通關?沖高考-----------?>

一、單選題

1.(2024.山西.一模)已知函數〃尤)是定義在何*0｝上不恒為零的函數，若/3)=理+勺，則()

yx

A."1)=1B.=1

C.y(x)為偶函數D.為奇函數

【答案】C

【分析】根據題意，令x、y取特殊值逐一驗證四個選項即可.

【詳解】令x=y=i,則/。)=2/⑴,故/⑴=o,A選項錯誤;

令x=y=-l,貝匹⑴=2/(-1),故〃T)=。，B選項錯誤；

令y=-1，則/(-耳=/6)+/0=/.),故〃尤)為偶函數，C選項正確；

因為“X)為偶函數，又函數/(X)是定義在｛RxwO｝上不恒為零的函數，D選項錯誤.

故選：C

3r

2.(24-25高三上?遼寧丹東?期中)已知函數〃司=(尤.2戶+1，對于任意的，er[T，2],不等式

y(2r)+/(a+r)V2恒成立，則實數。的取值范圍是()

A.(-00,-2]B.(YO,-10]C.[-3,+00)D.[7,+co)

【答案】A

3

【分析】令g(x)=爐，原不等式可轉化為g⑵-2)+g(a+-2)W0,根據函數的單調性和奇偶性解不等式

即可求解.

3

【詳解】令g(尤)=尤5,則f(x)=g(x-2)+l,

所以不等式y(tǒng)(2r)+y(a+t)<2可化為g(2f-2)+l+g(a+f—2)+lW2,

3

即g(2"2)+g(a+-2)40,因為g(元)=/是奇函數且在R上單調遞增，

所以g(2t-2)<—g(a+t—i)=g｛—a—t+i),貝！]2r-2V-aT+2,

所以?！匆?f+4在"[-1,2]上恒成立，則aV-2,

即實數a的取值范圍是

故選：A

3.(2024.河南.模擬預測)已知函數/(X)的定義域為R,對于任意實數x,y滿足

/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),且/(1)=1,則下列結論錯誤的是()

A./(o)=2B.“X)為偶函數

c.“X)為奇函數D./(2)=-1

【答案】C

【分析】由條件等式通過取特殊值求/(0),/(2)由此判斷A,D,再取特殊值確定/(x),/(-尤)的關系結

合函數的奇偶性的定義判斷選項B,C.

【詳解】因為Vx,yeR,/(%+y)+/(x-y)=/(x)/(y),

取x=I,y=0可得〃+=又/■⑴=1,所以/'(。卜？；A對；

取*=