2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第六章 平面向量及其應(yīng)用 6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 6.3.2 6.3.3（教學(xué)用書）教學(xué)實錄 新人教A版必修第二冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.26.3.3（教學(xué)用書）教學(xué)實錄新人教A版必修第二冊主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容教材：新人教A版必修第二冊

章節(jié)：第六章平面向量及其應(yīng)用

內(nèi)容：6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示，包括6.3.2向量的坐標(biāo)表示，6.3.3向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生運用向量語言描述現(xiàn)實問題的能力，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)；強化空間觀念，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算能力；通過向量坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生幾何直觀和數(shù)據(jù)分析的應(yīng)用意識。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生在進(jìn)入本章節(jié)學(xué)習(xí)前，通常已經(jīng)具備平面幾何、坐標(biāo)幾何以及向量的基本概念和運算的基礎(chǔ)知識。他們能夠理解和運用向量加法、減法、數(shù)乘等基本運算，以及平面直角坐標(biāo)系中的點坐標(biāo)表示。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高中學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣參差不齊，部分學(xué)生對幾何問題尤其是涉及向量運算的問題表現(xiàn)出較高的興趣。學(xué)生的能力水平也各異，有的學(xué)生具有較強的空間想象能力和邏輯推理能力，能夠較快地理解和應(yīng)用新知識；而有的學(xué)生可能在空間概念的理解和幾何問題的抽象思考上存在困難。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好通過圖形直觀理解概念，而有的學(xué)生則更傾向于通過公式和邏輯推導(dǎo)來解決問題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示時，學(xué)生可能會遇到以下困難和挑戰(zhàn)：一是對向量坐標(biāo)表示的理解，尤其是如何從幾何圖形中準(zhǔn)確提取坐標(biāo)信息；二是向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式推導(dǎo)和應(yīng)用，可能會因為抽象性較強而感到困難；三是將向量知識應(yīng)用于解決實際問題，需要學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)建模能力，這可能是學(xué)生們的難點之一。此外，學(xué)生在處理復(fù)雜向量問題時，也可能因為運算錯誤或概念混淆而出現(xiàn)困難。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，即新人教A版必修第二冊。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，以幫助學(xué)生直觀理解向量坐標(biāo)表示和數(shù)量積的概念。

3.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，包括清晰的黑板、投影屏幕，以及用于演示的向量圖形板和坐標(biāo)紙。教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對平面向量及其應(yīng)用的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“向量在日常生活中有哪些應(yīng)用？你們能想到哪些例子？”

展示一些生活中的向量應(yīng)用場景，如風(fēng)力方向、水流速度等圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受向量的魅力或特點。

簡短介紹平面向量的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.平面向量基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解平面向量的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解平面向量的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)：起點、終點、方向和長度。

詳細(xì)介紹平面向量的組成部分或功能，使用向量圖形和坐標(biāo)紙幫助學(xué)生理解。

3.平面向量案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解平面向量的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的平面向量應(yīng)用案例進(jìn)行分析，如物理中的運動學(xué)問題、工程中的力矩計算等。

詳細(xì)介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學(xué)生全面了解平面向量的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用平面向量解決實際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與平面向量相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論，如“如何利用向量解決幾何問題”。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時加深全班對平面向量的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)平面向量的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括平面向量的基本概念、組成部分、案例分析等。

強調(diào)平面向量在現(xiàn)實生活或?qū)W習(xí)中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用平面向量。

7.布置課后作業(yè)（5分鐘）

目標(biāo)：鞏固學(xué)習(xí)效果，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和解決問題的能力。

過程：

布置課后作業(yè)，要求學(xué)生完成以下任務(wù)：

（1）復(fù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，總結(jié)平面向量的關(guān)鍵知識點。

（2）選擇一個生活中的實際問題，嘗試運用平面向量知識進(jìn)行解決。

（3）撰寫一篇簡短的報告，分享自己的學(xué)習(xí)心得和對平面向量應(yīng)用的思考。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.理解與掌握平面向量基本概念：

學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠準(zhǔn)確理解平面向量的定義、幾何意義和坐標(biāo)表示方法。他們能夠識別并描述向量的大小、方向和起點，以及如何用坐標(biāo)形式表示向量。

2.掌握向量運算：

學(xué)生學(xué)會了向量加法、減法、數(shù)乘等基本運算，并能夠熟練應(yīng)用這些運算解決實際問題。他們能夠正確計算向量的和、差和數(shù)乘結(jié)果，以及解決涉及向量運算的幾何問題。

3.應(yīng)用平面向量解決幾何問題：

學(xué)生能夠運用平面向量解決平面幾何問題，如計算線段的長度、角度的大小、平行四邊形的面積等。他們能夠利用向量運算解決向量與直線、平面相關(guān)的位置關(guān)系問題。

4.發(fā)展空間想象能力：

通過學(xué)習(xí)平面向量，學(xué)生的空間想象能力得到了顯著提升。他們能夠更好地理解幾何圖形在空間中的位置關(guān)系，以及向量在空間幾何中的應(yīng)用。

5.提升邏輯推理能力：

在學(xué)習(xí)平面向量過程中，學(xué)生需要運用邏輯推理來證明向量的性質(zhì)和解決幾何問題。這有助于提高他們的邏輯思維能力和推理能力。

6.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力：

學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量及其應(yīng)用的過程中，學(xué)會了如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。他們能夠從實際問題中提取關(guān)鍵信息，運用向量知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并求解模型得到答案。

7.提高幾何直觀能力：

通過對向量坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠直觀地理解向量的幾何意義。他們能夠通過坐標(biāo)圖直觀地看到向量的大小、方向和位置關(guān)系，從而提高幾何直觀能力。

8.強化數(shù)學(xué)運算能力：

在學(xué)習(xí)向量運算的過程中，學(xué)生需要掌握多種運算方法，如向量的數(shù)量積、點積等。這有助于提高他們的數(shù)學(xué)運算能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)。

9.增強合作學(xué)習(xí)意識：

在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會了與他人合作，共同解決問題。這有助于培養(yǎng)他們的團(tuán)隊合作精神，提高溝通能力和協(xié)作能力。

10.培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力：

學(xué)生在小組討論中提出創(chuàng)新性想法和建議，如如何改進(jìn)現(xiàn)有算法或模型。這有助于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維能力，為未來職業(yè)生涯奠定基礎(chǔ)。課后作業(yè)1.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec=(-1,4)$，求向量$\vec{a}+\vec$的坐標(biāo)表示。

解答：

$\vec{a}+\vec=(2,3)+(-1,4)=(2-1,3+4)=(1,7)$

2.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(4,-2)$和$\vec=(3,5)$，求向量$\vec{a}-\vec$的坐標(biāo)表示。

解答：

$\vec{a}-\vec=(4,-2)-(3,5)=(4-3,-2-5)=(1,-7)$

3.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(5,2)$和$\vec=(3,-1)$，如果$\vec{a}$和$\vec$平行，求實數(shù)$k$的值。

解答：

由于$\vec{a}$和$\vec$平行，存在實數(shù)$k$使得$\vec{a}=k\vec$。

因此，$5=3k$和$2=-k$。

解得$k=\frac{5}{3}$和$k=-2$。由于$\vec{a}$和$\vec$平行，$k$的值應(yīng)為$\frac{5}{3}$。

4.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(2,4)$和$\vec=(-3,6)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的數(shù)量積。

解答：

$\vec{a}\cdot\vec=(2,4)\cdot(-3,6)=2\times(-3)+4\times6=-6+24=18$

5.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec=(3,4)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的夾角余弦值。

解答：

$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{(1,2)\cdot(3,4)}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{1\times3+2\times4}{\sqrt{5}\sqrt{25}}=\frac{11}{5\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{25}$

6.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(2,-1)$和$\vec=(4,3)$，求向量$\vec{a}$在$\vec$方向上的投影長度。

解答：

投影長度$=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}=\frac{(2,-1)\cdot(4,3)}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{2\times4+(-1)\times3}{5}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1$

7.作業(yè)內(nèi)容：

已知向量$\vec{a}=(3,5)$和$\vec=(2,-1)$，求向量$\vec{a}$和$\vec$的夾角正弦值。

解答：

$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{3\times2+5\times(-1)}{\sqrt{3^2+5^2}\sqrt{2^2+(-1)^2}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{6-5}{\sqrt{34}\sqrt{5}}\right)^2}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{170}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{1}{170}}=\sqrt{\frac{169}{170}}=\frac{13\sqrt{10}}{10\sqrt{17}}$反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.實踐與理論相結(jié)合：在教學(xué)中，我嘗試將抽象的向量概念與具體的物理現(xiàn)象、工程問題相結(jié)合，讓學(xué)生在實際案例中感受向量的應(yīng)用，提高他們的實踐能力。

2.多媒體輔助教學(xué)：利用多媒體資源，如動畫、視頻等，直觀展示向量的運動和變化，幫助學(xué)生更好地理解向量的幾何意義。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.學(xué)生對向量概念的理解不夠深入：部分學(xué)生在學(xué)習(xí)向量時，對概念的理解停留在表面，缺乏對向量本質(zhì)的把握。

2.學(xué)生解決實際問題的能力有待提高：在實際應(yīng)用中，學(xué)生往往難以將所學(xué)知識靈活運用到實際問題中，需要加強這方面的訓(xùn)練。

3.課堂互動不足：在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生參與課堂討論的積極性不高，需要改進(jìn)教學(xué)方法，提高學(xué)生的參與度。

反思改進(jìn)措施（三）

1.深入講解向量概念：在講解向量概念時，注重引導(dǎo)學(xué)生從幾何和代數(shù)的角度理解向量，并結(jié)合實例幫助學(xué)生加深對概