湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟屆高三年級2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題85分在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由條件根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式求結(jié)論.【詳解】.故選：D.2.已知集合，則P的真子集個數(shù)為（）A.7B.8C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域求出集合，再根據(jù)真子集的概念即可求解．【詳解】由，解得或，所以，所以P的真子集個數(shù)為故選：A.3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列前項積，且，，則（）A.1B.C.D.2【答案】B第1頁/共20頁【解析】【分析】由條件求，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求，由此可得結(jié)論.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列前項積，所以，，則，可得故選：B.4.已知，，且，則（）A.4B.2C.D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算列方程，求得，進而求得.【詳解】因為，解得，則，則，則故選：A5.函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由有解，結(jié)合三角函數(shù)的值域來求得正確答案.第2頁/共20頁【詳解】，因為函數(shù)在上不單調(diào)，所以函數(shù)有零點，所以方程有根，所以函數(shù)與因為函數(shù)的值域為，所以故選：D6.在四面體ABCD中，平面ACD，，，，，該四面體ABCD外接球表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通過補形為長方體的方法求得外接球的半徑，進而求得外接球的體積.【詳解】將四面體補形為長方體，則外接球的直徑即為長方體的體對角線長，即，因此外接球的半徑為，其表面積為故選：B7.近年來，各地旅游事業(yè)得到飛速發(fā)展，越來越多的周邊游客來參觀天門市的陸羽故園、胡家花園、天門6處景點.現(xiàn)甲、乙兩位游客準備從6處景點各隨機選一處游“甲和乙至少有一個人前往陸羽故園”“甲和乙選擇不同的景點”則（）第3頁/共20頁AB.C.D.【答案】C【解析】條件概率公式求解即可.【詳解】甲、乙從6處景點各選一處的總情況數(shù)為種，“甲和乙至少有一個人前往陸羽故園”的對立事件是“甲和乙都不前往陸羽故園”，甲不選陸羽故園有5種選法，乙不選陸羽故園也有5種選法，所以甲和乙都不前往陸羽故園的情況數(shù)為種，則，“甲和乙至少有一個人前往陸羽故園且甲和乙選擇不同的景點”，分兩種情況：（1）甲去陸羽故園，乙不去，甲去陸羽故園有1種選法，乙從除陸羽故園外的5個景點選有5種選法，共種情況；（2）乙去陸羽故園，甲不去，乙去陸羽故園有1種選法，甲從除陸羽故園外的5個景點選有5種選法，共種情況，所以，所以.故選：.8.已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，若的周長為8a，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】第4頁/共20頁【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及已知條件列不等式，化簡求得離心率的取值范圍.【詳解】由題可得：，，，又，所以，又因為過的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，所以，即，，可得，又，所以雙曲線離心率的取值范圍是故選：C二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某射擊運動員在一次射擊中射靶次，命中的環(huán)數(shù)依次為，，，，下論述中正確的是（）A.平均數(shù)是B.中位數(shù)是C.眾數(shù)是D.方差是【答案】AC【解析】平均數(shù)判斷ABC樣本數(shù)據(jù)的方差判斷D.【詳解】對于A，平均數(shù)是，故A正確；對于B，，，，，從小到大排列為，，，，，故中位數(shù)為，故B錯誤；對于C，眾數(shù)為，故C正確；第5頁/共20頁對于D，方差為，故D錯誤.故選：AC.10.記已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.的最大值為C.在上單調(diào)遞增D.方程上最多有個解【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合新定義，化簡函數(shù)解析式，作函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐項判斷結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；則，由此可得的部分圖象，如圖所示，對于A，由圖象可知，函數(shù)不關(guān)于直線對稱，故A錯誤；對于B，由圖象可知，的最大值為，故B正確；第6頁/共20頁對于C，由圖象可知，在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，當(dāng)時，方程為常數(shù)在上有個解，方程在上最多有個解，故D錯誤.故選：BC.平面曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度.曲率半徑主要是用來描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度.如：圓越小，曲率越大；圓越大，曲率越小.定義函數(shù)的曲率函數(shù)（其中是的導(dǎo)數(shù)，是在處的曲率半徑為此處曲率的倒數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)在無數(shù)個點處的曲率為1B.函數(shù)，則曲線在點與點處的彎曲程度相同C.函數(shù)的曲率半徑隨著x變大而變大D.若函數(shù)在與處的曲率半徑相同，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)新定義結(jié)合導(dǎo)函數(shù)二次求導(dǎo)，分別判斷各個選項即可.【詳解】對于A，已知，則，，根據(jù)曲率函數(shù)，可得當(dāng)，時，，，此時，所以函數(shù)在無數(shù)個點處的曲率為1，故A正確；對于B，對于，，，第7頁/共20頁則，因為，所以為偶函數(shù)，所以曲線在點與點處的彎曲程度相同，故B正確；對于C，，，則函數(shù)的曲率半徑，令，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，，，則函數(shù)的曲率半徑，，依題意，，令，，則方程有兩個不等正根，，即直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為因此當(dāng)時，方程有兩個不等正根，，第8頁/共20頁令，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，令，則，，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：新定義問題的求解過程可以模型化，一般解題步驟如下：第一步：提取信息—對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號，第二步：加工信息—細細品味新定義的概念、法則，對所提取的信息進行加工，探求解決方法，有時可以用學(xué)過的或熟悉的相近知識進行類比，明確它們的共同點和不同點—如果是新定義的運算法則，直接按照運算法則計算即可，如果是新定義的性質(zhì)，一般需要理解和轉(zhuǎn)化性質(zhì)的含義，得到性質(zhì)的等價條件（如等量關(guān)系、圖形的位置關(guān)系等）第四步：計算，得結(jié)論—結(jié)合題意進行嚴密的邏輯推理、計算，得結(jié)論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.在二項式的展開式中，常數(shù)項為____.【答案】24【解析】【分析】求出展開式的通項，再令的指數(shù)等于零即可得解.第9頁/共20頁【詳解】二項式的展開式的通項公式為，令，解得，展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.13.曲線與曲線在點處的切線互相垂直，則_____.【答案】0【解析】【分析】結(jié)合求導(dǎo)公式求，由條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求.【詳解】由題意得，則，因為，所以，因為曲線與曲線在點處的切線互相垂直，所以，即，解得故答案為：.14.表示不超過x的最大整數(shù)，例如，已知函數(shù)與的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是___.【答案】【解析】的定義化簡應(yīng)方程恰有兩個解，對方程進行換元變形轉(zhuǎn)化為相對熟悉的兩個函數(shù)，一個一次函數(shù)可確定所過定點，一第10頁/共20頁個分段函數(shù)，然后數(shù)形結(jié)合因為這兩個函數(shù)圖像恰有兩個交點，確定直線的斜率取值范圍，解不等式求出k的取值范圍.【詳解】，，令，則，直線過定點，斜率為.，，如圖，作出函數(shù)和的圖象，其中，，，，，，，，依題意，或，或，或，即實數(shù)k的取值范圍是故答案為：四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中，，底面，平面底面，M是延長線上一點，且，D為中點，連接.（1）證明：平面；第11頁/共20頁（2）取中點Q，求與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】至點N，使得M為的中點，連接CN，連接與交于點E，連接，由中位線性質(zhì)分別得到，，從而，根據(jù)線面平行的判定即可證明；（2）利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，進而得到線線垂直，分別證得和，再以為原點，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求線面角的方法求解即可.【小問1詳解】證明：延長至點N，使得M為的中點，連接CN，連接與交于點E，連接在中，，分別是和的中點，，在中，，M分別是和的中點，，，又平面，平面，平面；【小問2詳解】在三棱柱中，因，即，又平面底面，平面底面，底面，第12頁/共20頁所以平面，所以同理，故，，兩兩垂直.以為原點，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，，，，，，即，，，設(shè)平面的一個法向量為，，令，則，，得，，，，設(shè)與平面夾角為，，即與平面夾角的正弦值為.16.設(shè).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；第13頁/共20頁（2）在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）化簡可得，令，即可得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用和角的范圍求得角，結(jié)合正弦定理和化簡整理得，再根據(jù)銳角三角形得到，代入求得的取值范圍，即為周長的取值范圍.【小問1詳解】，由，得，的單調(diào)增區(qū)間為，【小問2詳解】因為，可得，第14頁/共20頁由題意知A為銳角，則，由正弦定理可得，則，，所以，因為，解得，則，所以，則，所以，即周長的取值范圍為.17.已知：.（1）證明：有兩個極值點，；（2）對（1）中的兩個極值點，，若，求a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1結(jié)論；（2）結(jié)合（1）化簡不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單第15頁/共20頁調(diào)性，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】令有個零點、又不妨設(shè)，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增有個極值點，為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，【小問2詳解】結(jié)合（1）可得∴令，，在單調(diào)遞增又.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點和上頂點分別為P，Q且直線l經(jīng)過交C于A，在x軸上方兩點，當(dāng)l垂直于x軸時，直線OA的斜率是直線PQ斜率的倍.（1）求C的方程；第16頁/共20頁（2）求面積的最大值；（3PAPB與y軸分別交于MN的外接圓是否經(jīng)過點N說明理由?【答案】（1）（2）（3）經(jīng)過點，理由見解析【解析】1）由題意建立的等量關(guān)系，求解即可；（2，l的方程為本不等式求面積的最大值即可；（3）求得直線AP的方程為，從而得到點M，N的坐標，則，，求解數(shù)量積證明.同理證得即可.【小問1詳解】依題意有，，，，因為，則，解得，故有，解得，，則橢圓方程為【小問2詳解】設(shè)，，l的方程為，第17頁/共20頁聯(lián)立得，，由韋達定理有，，則，于是令，，，時取等號，則，故面積的最大值為【小問3詳解】的外接圓經(jīng)過點，理由如下：直線AP的方程為，令，則，故，同理可得，第18頁/共20頁則，，故有.，故，同理可證，于是的外接圓經(jīng)過點.19.的方法.（1）現(xiàn)在用這種方法生成數(shù)列，滿足：，，求后三項中每一項都不小于前一項的概率；（2）利用這種方法生成數(shù)列，，，.滿足：，用表示未連續(xù)出現(xiàn)三次的概率，試求出的遞推公式；（3）利用這種方法生成數(shù)列，滿足：①，，；②當(dāng)出現(xiàn)“”時，操作停止，求和至多相差一項的概率（當(dāng)時，）.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）由條件確定滿足條件的數(shù)列的總個數(shù)，再求后三項中每一項都不小于前一項的數(shù)列的個數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式求結(jié)論；（2）考慮第次，第次，第次的取值情況，結(jié)合概率乘法公式及加法公式求解；（3）先求數(shù)列，第時才出現(xiàn)的概率，再結(jié)合概率公式求和至多相差一項的概率.第19頁/共20頁【小問1詳解】滿足條件的數(shù)列共有個，從中任選個數(shù)（允