2025版高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.3.3導數(shù)的實際應用練習含解析新人教B版選修1-1

PAGE1-3.3.3導數(shù)的實際應用課時過關·實力提升1.把長為80cm的鐵絲分為兩段,分別圍成正方形,要使兩個正方形面積之和最小,則兩段鐵絲的長分別為()A.20cm和60cm B.30cm和50cmC.35cm和45cm D.40cm和40cm答案:D2.用邊長為36cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時,在鐵皮的四個角各截去一個面積相等的小正方形,然后把四邊折起,就能焊接成一個鐵盒.要使所做的鐵盒容積最大,在四個角截去的正方形的邊長為()A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm答案:A3.容積為108L的底面為正方形的長方體無蓋水箱,要運用料最省,它的高為()A.2dm B.3dm C.4dm D.6dm解析:設水箱的底面邊長為adm,高為hdm,則V=a2h=108,即h=用料最省,即表面積最小.S表=S底+S側=a2+4ah=a2+4a×S表'=2a-432a2,令S表'=2a-432答案:B4.設底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,則其表面積最小時,底面邊長為()A解析:設底面邊長為x,則表面積S(x)=32x2+43xV(x>0),S'(x)=3x答案:C5.已知矩形的兩個頂點A,D位于x軸上,另兩個頂點B,C位于拋物線y=4-x2在x軸上方的曲線上,則這個矩形的面積最大時的邊長分別為.

解析:設矩形的邊長AD=2a,則AB=4-a2,∴矩形面積為S=2a(4-a2)=8a-2a3(0<a<2).∴S'=8-6a2.令S'=0,解之,得a1=233,a2=-2當0<a<233時,S'>0;當233<a<∴當a=233時,S取最大值為∴矩形的邊長分別是433答案:6.已知圓柱的表面積為定值S,求當圓柱的容積V最大時,圓柱的高h的值.解:設圓柱的底面半徑為r,高為h,則S=2πr2+2πrh.∴h=又圓柱的體積V(r)=πr2h=r2(S-2πr2)=rS-2πr32.而V'(r∴h=2r,又r=S6π即當圓柱的容積V最大時,圓柱的高h為答案:B7.某商品每件成本為9元,售價為30元,每星期賣出432件,假如降低價格,銷售量可以增加,且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位:元,0≤x≤30,且x∈N)的平方成正比.已知商品單價降低2元時,一星期多賣出24件.(1)將一個星期的商品利潤表示成x的函數(shù);(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大?分析:由每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位:元,0≤x≤30,且x∈N)的平方成正比,可得多賣出商品件數(shù)為kx2.又由商品單價降低2元時,一星期多賣出24件.可得k=6.從而得到商品利潤與x之間的函數(shù)關系,進而用導數(shù)求利潤的最大值.解:(1)設商品降價x元,則多賣出的商品數(shù)為kx2,若記商品在一個星期的獲利為f(x),則依題意,有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)·(432+kx2).又由已知條件,24=k·22,于是有k=6,所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30],且x∈N.(2)依據(jù)(1),有f'(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).x[0,2)2(2,12)12(12,30]f'(x)-0+0-f(x)↘微小值8664↗極大值11664↘故x=12時,f(x)達到極大值,因為f(0)=9072,f(12)=11664,f(30)=-52488,所以定價為30-12=18元時能使一個星期的商品銷售利潤最大.8.“過低碳生活,創(chuàng)建綠色家園”.為了在夏季降溫柔冬季供暖時削減能源損耗,房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層.某幢建筑要建立可運用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿意關系:C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔熱層,每年能源消耗費用為8萬元,設f(1)求k的值及f(x)的表達式;(2)求隔熱層修建多厚時,總費用f(x)達到最小,并求出最小值.分析:由于不建隔熱層時,每年能源消耗費用為8萬元,可得C(0)=k5=8,即k=40.再由題意得到f(x)=6x+20×解:(1)由題意知,C(0)=k5故C(x)所以f(x)=6x+20×403x+5=(2)f'(x)=6-2400(3x+5即6解得x=5