2025屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題

2025屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4言同黑=2左，/eZ},8={尤|隆2尤＜3},則A3=（）

A.{2,4}B.{4,6}

C.{0,2,4}D.{2,4,6}

2.復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2i,其中i為虛數(shù)單位，則忖=（）

A.2B.2應(yīng)C.1D.y/2

3.己知平面向量a涉的夾角為60。，且同=2,卜+.=2若，則忖=（）

A.1B.2C.2血D.4

4.若/,“2為兩條不同的直線，d尸為兩個(gè)不同的平面，則（）

A.若/〃a,mua,貝。/〃加

B.若/〃a,m//a,則/〃加

C.若/_La,m，/3,l±m(xù),則C尸

D.若/〃a,a//p,則〃/￡

5.下列四組數(shù)據(jù)中，方差最小的為（）

A.29,25,37B,30,46,25

C.38,40,35D.40,18,30

6.早在兩千年前，古人就通過觀測發(fā)現(xiàn)地面是球面，并會運(yùn)用巧妙的方法對地球半徑進(jìn)行

估算.如圖所示，把太陽光視為平行光線，。為地球球心，A,B為北半球上同一經(jīng)度的兩點(diǎn)，

且A,B之間的經(jīng)線長度為%于同一時(shí)刻在A,B兩點(diǎn)分別豎立一根長桿A4和8月，通過

測量得到兩根長桿與太陽光的夾角a和夕和夕的單位為弧度），由此可計(jì)算地球的半徑

為（）

LL

Ca+/3D,sin(a+Q)

7.設(shè)函數(shù)〃x）=ln（e2，+l）+禺-x,則不等式〃2XT—/（X+1）40的解集為（）

A.(-oo,2]B.[0,2]

C.[2,+oo)D.(^?,0]U[2,-H?)

8.已知拋物線V=4x的弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為5,則恒用的最大值為（）

A.12B.11C.10D.9

二、多選題

9.已知直線/：Ax-y+2"=。和圓O：/+）?=9,則（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（2,0）

B.存在％使得直線/與直線/。力-2、+2=。垂直

C.直線/與圓。相交

D.若人=-1,直線/被圓。截得的弦長為24

10.已知函數(shù)"x)=sinx?+cos2x,貝[j()

A./（x）是奇函數(shù)

B.的最小正周期為兀

C.〃x)在上單調(diào)遞增

〃尤）的最小值為-日

D.

11.設(shè)曲線C［：y=e*,拋物線C2：y2=2px（p>0）,記拋物線的焦點(diǎn)為尸，M,Q為分別

為曲線G，Q上的動(dòng)點(diǎn)，/為曲線的切線，則（）

試卷第2頁，共4頁

A.若G與G無公共點(diǎn),貝I]pe(o,e)

2

B.若/過點(diǎn)/，貝u/被a截得的弦長為P+F

ez

c.當(dāng)°=1時(shí)，5必2@

112

D.當(dāng)p=l時(shí)，|加@＞正

三、填空題

12.雙曲線--M=i的左，右焦點(diǎn)分別為4,旦，點(diǎn)尸在雙曲線右支上，割母;|=4,則

13.在VABC中，已知C=-^~,tanA-tanB=2-y/i1則cos（A—B）=.

14.有三個(gè)袋子，每個(gè)袋子都裝有“個(gè)球，球上分別標(biāo)有數(shù)字123,…,〃.現(xiàn)從每個(gè)袋子里任

摸一個(gè)球，用x,y,z分別表示從第一，第二，第三個(gè)袋子中摸出的球上所標(biāo)記的數(shù)，則事

件“x+y=z”的概率為.

四、解答題

2

15.已知等差數(shù)列｛%｝滿足%,。用是關(guān)于x的方程x-4nx+bn=0的兩個(gè)根.

⑴求q;

（2）求數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”.

16.在VABC中，角A8,C的對邊分別為a,b,c,AO為邊3C上的中線.

⑴證明：AD=^2（b2+c2）-a2；

TT

（2）若A=§,a=2,求AZ）的最大值.

17.如圖，在四棱錐P—ABC。中，尸。，平面ABC。，ABDC,BC=CD=AD=2,AB=4.

⑴證明：PALBD-.

⑵若四棱錐P-ABCZ)的外接球的表面積為25兀，求二面角C-AB-尸的余弦值.

18.數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以利用函數(shù)工具研究數(shù)列性質(zhì).比如，為了研究數(shù)列

為=[1+：[(〃eN*)的性質(zhì)，對通項(xiàng)公式取對數(shù)得，ln%=ln]l+：J,則可通過研究函數(shù)

y=ln(l+x,的性質(zhì)，得到數(shù)歹！J｛姑4｝的性質(zhì)，進(jìn)而得到｛%｝的性質(zhì).請根據(jù)以上材料，解決

如下問題：

⑴若不等式52111(1+可對任意彳2()恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍，并證明：e>[l+「;

-1714

⑵是否存在常數(shù)。，使得：V〃eN*有，1-。若存在，求。的值；若不存在，

n

請說明理由.

(注：e為自然對數(shù)的底數(shù))

19.線段的長為3,端點(diǎn)分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E滿足M￡=2EN，記點(diǎn)E

的軌跡為曲線C.

⑴求曲線c的方程；

⑵曲線C與X軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,P為c上異于AB的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)￡>(1,0)分別作

直線4〃”，直線4〃時(shí)，其中4與曲線C交于G,“兩點(diǎn)，/?交直線x=-l于點(diǎn)R,點(diǎn)/滿

足|DG|田=QM/G.

①求點(diǎn)/的軌跡方程；

②△〃次的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

《2025屆廣東省大灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案DDBCCABABCDAD

題號11

答案AD

1.D

【分析】解對數(shù)不等式求出集合8,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由log2”<3,gpiog2x<log28,解得0cx<8,

所以8={x'ogzX<3}={x[0<x<8},

^A=^x\x=2k,A:eZ1={4,—2,0,2,4,6,8,1,

所以AB={2,4,6}.

故選：D

2.D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡z,再計(jì)算其模即可.

【詳解】因?yàn)閦（l+i）=2i,所以z=Ry=（[+：）（[Jj）=l+i,

所以忖=Vl2+12=A/2.

故選：D

3.B

【分析】根據(jù)向量模長的關(guān)系，利用平方法轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積公式，解一元二次方程即可得

出答案.

【詳解】由卜+0=2百，

所以,+目=12,即/+2a./?+『=12'

.iri工|2if.

即22+2x2^x85600+].=12,整理得忖+2忖—8=0,

解得W=2或-4（舍去），

所以*2.

故選：B.

答案第1頁，共15頁

4.C

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，

若/〃a,mua,貝l]/〃加或/與機(jī)異面，A錯(cuò)誤；

平行與同一平面的兩條直線位置關(guān)系不確定，可能平行、相交或異面，B錯(cuò)誤;

如圖，Bui,過點(diǎn)B作價(jià)的平行線鼠，設(shè)/,力所在平面為7,

且/IB=b,則"J_匕，

根據(jù)已知/_1_根，所以

則〃/人由/_La,可得6_Le,且人＜=尸，所以a_L/7,C正確；

若/〃a,a//(3,則〃/或/u月，D錯(cuò)誤.

故選：D

5.C

【分析】先分別求平均數(shù)，再分別求出方差，最后比較方差的大小即可.

_29+25+3791

【詳解】對于A,X=-------------------=一

222

672

s2129T+25一事+37一？

3~Z7~

,30+46+25101

對于B,x=------------=----

2166

27

,38+40+35113

對于C,x=------------

3~T

_40+18+3088

對于D,x=------------

33

答案第2頁，共15頁

_2184

27

m生11467221662184

因?yàn)椤?lt;——<----<-----

27272727

所以四組數(shù)據(jù)中，方差最小的為二,

故選：C.

6.A

【分析】過點(diǎn)5作太陽光的平行線，與。4的延長線交于點(diǎn)C,可求出NAO5=/?-。，利

用弧長公式即可求得地球的半徑.

【詳解】如圖所示，過點(diǎn)3作太陽光的平行線，與Q4的延長線交于點(diǎn)C,

則/男尸,ZBCO=a,所以ZAO3=￡—許

設(shè)地球半徑為R,則根據(jù)弧長公式得尺(力-a)=L,所以尺=占，

故選：A.

7.B

【分析】根據(jù)題意判斷了(%)是偶函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性和奇偶性解不

等式即可.

【詳解】Q〃x)=ln(e2*+1)+國-x,xeR,

又/(-x)=In(右2x+1)+國+x

ie、l??

=ln-^「+|x|+x

=ln(e*t+l)+|x|-x=/(x),所以函數(shù)是偶函數(shù)，

當(dāng)尤NO時(shí)，/(x)=ln(e2x+l),易得/(x)單調(diào)遞增，

不等式”2x—l)—〃x+l)W0,gp/(2x-l)</(x+l),

等價(jià)于

答案第3頁，共15頁

+,可得（2x-1）~W（x+lj,解得0VxV2,

所以不等式〃2x—1）—〃x+l）4。的解集為[0,2].

故選：B.

8.A

【分析】根據(jù)拋物線定義,可得|/用+忸耳=12,數(shù)形結(jié)合可得|AF|+|BF以初|,得解.

【詳解】設(shè)拋物線＞2=4x的焦點(diǎn)為尸，A,3的橫坐標(biāo)分別為毛，/，貝|%+%=10,

拋物線稅=4x的準(zhǔn)線為x=-l,貝1AF|=玉+1,忸尸|=w+l，

|/l/^l+1=x1+Xj+2=12,

|AF|+忸尸以（當(dāng)且僅當(dāng)尸，A,3共線時(shí)取等號）如圖所示，

即|AB|的最大值為12.

故選：A.

9.BCD

【分析】A選項(xiàng)，化為點(diǎn)斜式可以看出直線恒過的點(diǎn)，B選項(xiàng)兩直線斜率存在且垂直，斜率

乘積為-1,從而存在上=-2滿足題意,C選項(xiàng)直線過的定點(diǎn)在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項(xiàng)；

當(dāng)左=-1時(shí)，先求圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長

【詳解】直線/：履一V+2左=0,即y=A（x+2）,則直線恒過定點(diǎn)（一2,0）,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)左=-2時(shí)，直線/:日一〉+24=0與直線：尤一2、+2=0垂直，故B正確：

:定點(diǎn)（-2,0）在圓。N+y2=9內(nèi)部，；.直線/與圓。相交，故C正確：

IQI

當(dāng)左=-1時(shí)，直線/化為-x-y-2=0,即x+y+2=0,圓心。到直線的距離〃=《=拒，直

答案第4頁，共15頁

線/被圓O截得的弦長為2回工=2近，故D正確,

故選：BCD.

10.AD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)+可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)

7(0)=個(gè)］=0可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)二倍角公式結(jié)合=~可得選項(xiàng)D正確.

【詳解】由題意得，/(%)=siar-A/1+2COS2X-1=V2sinx?|cos%|.

A.V函數(shù)的定義域?yàn)镽，/(-%)=&sin(—x)?|cos(-x)|=_0sinx-|cosx|=-f(x),

.??/(x)是奇函數(shù)，選項(xiàng)A正確.

B.尤+兀)=0sin(x+7r)Jcos(x+7t)|=_0sinrJcosX=—/(x),

???兀不是函數(shù)“X)的周期，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

7171

C.V/(0)=V2sin0.|cos0|=0,/后吟cos—=0,

2

JT

???/(%)在a.上不是單調(diào)遞增函數(shù)，選項(xiàng)c錯(cuò)誤.

6

D.V/(x)=Icosx|>-|V2sirLxcosx|=一--|sin2x|,0<|sin2x|<1,

.??/(x)的最小值為一4,選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

11.AD

【分析】選項(xiàng)A將G與。2無公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為/(x)=e2%_2px無零點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)求最小值大于0

即得；選項(xiàng)B先求切線方程為y-e°”=e嗎卜-p-gj,聯(lián)立y?=2px,利用韋達(dá)定理和

弦長公式即可求得；選項(xiàng)C利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)=e2，+g］的最小值小于進(jìn)而可得;

答案第5頁，共15頁

選項(xiàng)D根據(jù)G:y=e￡的切線方程y=x+l和拋物線的切線方程y=x+；為。，進(jìn)而可得.

【詳解】選項(xiàng)A：聯(lián)立丁得e2*-2kO,設(shè)/⑺=e/_2px,

[y=2px

由題意可知無零點(diǎn)，f\x)=2^-2p,

故當(dāng)xe(0,14npj時(shí)，尸(%)<0,當(dāng)xe(gin/?,+/]時(shí)，/(久)>0,

故/(x)N/，lnp1=p(l-lnp),由題意p(l-lnp)>0,得。<p<e,故A正確；

選項(xiàng)B：由題意由'二^得了二d,

設(shè)/與曲線Ci的切點(diǎn)為(天,廣)，則切線方程/為y-e*=e&(x-%),

因/過點(diǎn)尸]，oj,故一e*=ew\-xj,解得/=1+1,

所以I的方程為y-=e'+[x-;p-1J,即y=e；>[x-；p],

與產(chǎn)=2Px聯(lián)立得/-[p+p^]x+?=0,

設(shè)/與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為/(%i，yj8(%2,丫2)，

可設(shè)為(x,e，),貝,

設(shè)g(x)=e2x+(AgJ,g'(x)=2e2*+2x—l,

設(shè)/z(x)=2e2x+2x-l,貝(x)=生2工+2>o,

故h(x)在R上單調(diào)遞增，又//(0)=1>0,/?(-1)=2e-2-3<0,

答案第6頁，共15頁

故濟(jì)使得/(%)=0,

則g(x)在(-8,%)上單調(diào)遞減，在(%,+力)上單調(diào)遞增,

故的最小值為g(x°),又g(x0)<g(o)=；,故忻M.v?，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：當(dāng)。=1時(shí)，C2：y2=2尤在(xo，%)處的切線方程為/':%y=x+Xo，

11

將無o=5必代入得/'：x-%y+5y；=。,

而曲線C：y=ex在x=f處的切線方程為/:e'x-y+(lT)e'=O,

要使得兩曲線上得點(diǎn)M,。之間距離最小，當(dāng)t=0時(shí)，/：x-y+l=O,

11--

tHl,則%=1,/'猶一丁+彳=0,兩直線的距離為2_7r2,

2^T=T

顯然兩切點(diǎn)為(O，l)(2,g)得連線與切線不垂直，故M@>d=亨，故D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題選項(xiàng)A,C關(guān)鍵是把幾何問題解析化，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.

12.120°

【分析】根據(jù)雙曲線的定義求得|至|,再利用余弦定理求解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線右支上，且|晝|=4,

則仍囚=|P￡|—2a=4—2=2,又閨&|=2近，

在「百月中，由余弦定理可得cosN尸PF=不+一一。夕).1,/耳尸與40,71),

'122x4x22

所以/月「耳=120°.

故答案為：120。.

答案第7頁，共15頁

【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合條件切化弦可得cosAcos8=叵2，將條件

4

tanAtan8=2-石切化弦運(yùn)算得解.

2九

【詳解】QtanA.tan5=2-6，C=—

tanA+tanB，即艮tanA+tanB

「.tanC——tan(A+5)=—

1-tanA-tanB1一（2一⑹，

左力,口I-口口smAsin3cr-

解得tanA+tanB=3-v3,即----H------=3一13,

cosAcosB

所以sin(A+5)=(3—GkosAcos5,又A+5=TT—C,

得cosAcosB=@里

4

?,r~—sinA-sinBr-

又由tanA-tanB=2-V3，可得---------=2->j3,

cosA-cosB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

V3+l_V3

=(3-道卜0$AcosB=(3-道)x

42

故答案為：4

一九一1

14-百

【分析】歸納求出滿足z=x+y的情況種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式求解.

【詳解】由題意，從三個(gè)袋子中摸出的球上所標(biāo)記的數(shù)的總的情況為/種,

滿足z=x+y,則2wzw〃,

當(dāng)z=2時(shí)，x,y對應(yīng)的情況有（1,1）,i種；

當(dāng)Z=3時(shí)，X,y對應(yīng)的情況有（1,2）,（2,1）,2種;

當(dāng)z=4時(shí),X,y對應(yīng)的情況有（1,3）,（2,2）,（3,1）,3種;

L

當(dāng)2=〃時(shí),x,y對應(yīng)的情況有（1,〃—1）,（2,〃一2）,L,（77—1,1）,"-1種;

所以滿足2=乂+丫的情況有1+2+3++d-1）=當(dāng)力種，

答案第8頁，共15頁

n\n

故所求事件的概率為n-1.

P=2

n3

故答案為:

15.⑴《=1

1

⑵S“=T+(-l)

2n+l

【分析】(1)根據(jù)韋達(dá)定理可得?！?%包=4",利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列式計(jì)算；

An(11>

(2)由⑴求得通項(xiàng)。代入運(yùn)算可得(-1)"7=(-1)"--+---,利用裂

bny2n-l2n+lJ

項(xiàng)求和得解.

【詳解】(1)根據(jù)題意，由韋達(dá)定理可得見+4+1=4",

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

所以q+(幾一l)d+q+幾d=4〃，即2dn+2ax-d=4n,

2d二4一

則＜G/八，解得d=2,q=1,

\2a1-a=0

6=1.

(2)由(1)d=2,q=l,貝-1,

?.也=q?%=(2n-l)(2n+1),

11

-----------1------------

MT"?…?西常MT?2n-l2n+l

11

-11+-1++L+(-1)"------------1------------

"I3小14*2n—l2〃+1

=-1+(-1)-

I'2?+1

16.(1)證明見解析

⑵g

【分析】⑴方法一：對AD=：(AB+AC)兩邊平方，再由余弦定理可得答案；方法二：在

4)8和△ADC中，由余弦定理可得答案;

(2)在VABC中，由余弦定理得f=片+/一℃,結(jié)合(1)再利用基本不等式可得答案.

答案第9頁，共15頁

【詳解】(1)方法一：AD為BC邊上中線，AD=；(A2+AC),

AD=；(AB+AC)2=>AD=*?+鏟+26ccosA),

在VABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA,

2Z?ccosA=b2+c2-a2,

:.Alf=^(2b2+2c2-a2),

AD=1^2(Z?2+C2)-4Z2.

方法二：A￡>為BC邊上中線，

在VABC中，AADB+ZADC=兀,「.cosZADB+cosZADC=0,

在，ADB和△AOC中，由余弦定理得：

AD2+BD2-AB2AD~+CD2-AC2八皿…

+=U,BD=CD,

2ADBD--------2ADBD

即2AD2+BD2+CD2-AB2-AC2=0,

AD2=^2+c2-^a2^,

即AO=；^b2+c2)-a2；

7r

(2)A=-,。=2,由余弦定理可得a=^+cZ—bc,

故戶+C2-4=6CV；W+C2),即〃+C248,

[b=c

當(dāng)且僅當(dāng)722/,時(shí)，即人=。=2時(shí)等號成立，

[b+c-4=bc

所以AO=g,2伊+目一片=；^2(/72+C2)-4<1V16-4=6,

所以AD取得最小值為6.

17.(1)證明見解析

*

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)證明線線平行，先證m1平面上4。即可.

(2)先確定四棱錐尸-ABCD的外接球的球心，即可得PD的長，過。作DE工AB于E,

所以/尸即為二面角C-AB-P的平面角，求解即可.

【詳解】(1)取A8的中點(diǎn)。-連接CO一則由題意知△BCQ為正三角形,

所以NABC=60,

答案第10頁，共15頁

由等腰梯形知NBC￡>=120,設(shè)AD=CD=BC=2,則AB=4,BD=2#),

^ACT+BUT=AB\即得NAD3=90。，所以

因?yàn)镻D_L平面ABC。，BDu平面ABC。，所以PD1.BD,

因?yàn)锳￡>IPZ)=。，AD,PDu平面尸AD,所以平面PAD,

因?yàn)镋4u平面PAD,所以

(2)由于4O=A0]=2,

又〔ZDAB=60°,??.AO。為等邊三角形，

OXD=O{A=O[B=O1C=2,

即。i為四邊形ABCD外接圓的圓心，且半徑廠=qA=2,

過。i作平面ABCD的垂線/,則尸。〃/,

在平面尸￡>。1內(nèi)作PD的垂直平分線交/與點(diǎn)0,

則O尸=OD==03=OC,即。為四棱錐尸-ABCD的外接球的球心,

則5=4無尺2=25%.-./?=!,

且半徑R=OD=

2

1號)+'=夫2=子，則尸0=3,

過。作OE2AB于E,ABLPD,DE,PDu平面PDE,DEPD=D,

所以A5_L平面電史，又尸Eu平面PDE,

則AB_LPE,所以NP￡D為二面角C-AB-尸的平面角,

tanZPED=—=A/3,

DE石=A

所以二面角C-AB-尸的平面角的余弦值為

18.(l)c>l；證明見解析

⑵存在，a=e2

答案第11頁，共15頁

【分析】(1)當(dāng)％=0時(shí)，夕之山。+力恒成立，ceR；當(dāng)X>0時(shí)，cx>ln(l+x)可化為

c/n(l+x),令g(x)J(l+x),久>0,利用導(dǎo)數(shù)方法判斷其單調(diào)性，結(jié)合洛必達(dá)法則即

XX

可求出C的范圍；得出以x21n(l+x),將尤=L代入整理，即可證明不等式成立；

n

(2)先由題意得到a>0；由?</-1推出21n&>ln(l+2],結(jié)合(1)的結(jié)果，可求出

nn\nJ

-1?、二2_

a>e2;對于1一。〃<—,當(dāng)〃=1或〃=2時(shí)，于1一〃"<—顯然恒成立；當(dāng)〃之3時(shí)，推出以

nn

Inf1—|<—lna=—ln?,同(1)構(gòu)造函數(shù)，求出aVe?;從而可求出結(jié)果.

\njnn

【詳解】(1)當(dāng)％=0時(shí)，c%21n(l+x)顯然恒成立，ceR；

當(dāng)%>0時(shí)，cx>ln(l+x)可化為0之山(1+”,

x

令g(x)="3,無〉。，則一W-Ml+x)x_(l+x)ln(l+x),

2

xSU-x2(l+x)x

令人(x)=x_(l+x)ln(l+x),x>0,貝!j/?'(x)=l-ln(l+尤)一l=-ln(l+x)<0在xe(0,+oo)上

恒成立，

因此/z(x)=x-(l+x)ln(l+x)在(0,+a))上單調(diào)遞減，所以/2(x)</z(0)=0,

x-(l+x)ln(l+x)

即g'(尤)=<0在xe(0,+<o)上恒成立,

(1+元)尤2

所以8(同=時(shí)>在(0,+s)上單調(diào)遞減，

ln1+%

又由洛必達(dá)法則可得：lim()==limJ_=i,

Xf0XXf0xfXf01+x

所以g(x)<l恒成立，因此，為使c(ln(l+x)對任意%>0恒成立,只需讓1；

X

綜上，C>1;

所以xNln(l+x),因?yàn)?，?,所以:>ln[l+J,

則+[=,所以e〉e1/=(1+!)得證;

_12-

(2)存在〃=e2,使得：V〃cN*有，1-a〃<*<〃〃-1,證明如下:

n

答案第12頁，共15頁

-1?-一

由題意，為使1一〃n<—<an-1V〃wN*恒成立，必有a>0；

n

⑴由2V加—1得加>i+2,所以14na>lnjl+2],則2m&>皿[1+2],因?yàn)?>o,

nnnynJn\n)n

由(1)知九Nln(l+x)對任意%>0恒成立,

2

為使一ln6>In|1+—jx/nGN*都成立，只需ln6>1,解得a2e;

n\nJ

-1?、二2_

(ii)對于1一〃〃<—,當(dāng)〃=1或〃=2時(shí)，于1一。〃<—顯然恒成立；

nn

99--99-12I—

當(dāng)〃之3時(shí)，一一<一一<0,由1一〃及<士得1一.<〃〃，所以In1一—<一一lna=一一In，

3nnnyn)nn

22r~

令x=——,則——<x<0,ln(l+x)<xlnv^,

n3

所以lnG<ln(+“),同(1)令g(x)=9。±M,-f<x<0,

xx3

則g，⑶=+"=x-(l+x)ln(l+x),

x2(l+x)x2

2

令/z(x)=x-(l+x)ln(l+x),--<x<0,

貝I]/z'(x)=l-ln(l+x)-l=-ln(l+x)>O^Exe—g,。]上恒成立，

因此M%)=x-(l+x)ln(l+x)在-|>o]上單調(diào)遞增，所以//(%)<,(0)=0,

因此g'x=-1—^<0在XE-丁,0上恒成立,

(l+x)fL3)

所以8自卜皿;到在一訓(xùn)上單調(diào)遞減，

又=1曲」(1+用=limJ_.1；

x-0x尤-0Xfx-01+X

2

所以當(dāng)-gV尤<0,g(x)>l；

因此，為使In夜〈I"""恒成立,只需解得“We?；

■--2-

由(i)(ii)可得，a=e2;即存在a=e"使得：VneN1-tz"<—<a"-1.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：

利用導(dǎo)數(shù)的方法求解不等式中的參數(shù)時(shí)，一般可利用分離參數(shù)的方法，先分離出所求參數(shù),

再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)的最值即可.

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19.⑴——+>2=1

4-

⑵①x=4（yH0）,②存在最小值，最小值為3.

【分析】⑴設(shè)點(diǎn)E（x,y）,M（O,a）,N（b,O）,根據(jù)|肱V|=3及"+"=9計(jì)算即可;

（2）①由題意，可設(shè)/ULGI=2田L(fēng)1LU.I，則。UULG1=-/LILDILU8I，利用點(diǎn)差法得V