2025屆高考數(shù)學(xué)重點突破：球的切接問題（解析版）

微重點球的切接問題

空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點、難點，也是高考命題的熱點，一般是通過對幾何體的

割補或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位

置.

知識導(dǎo)圖

考點一：空間幾何體的外接球

考點二：空間幾何體的內(nèi)切球

ill考點分類講解

考點一：空間幾何體的外接球

規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問題的策略

(1)定球心：球心到接點的距離相等且為半徑.

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素

的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的.

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

【例1】(2024?遼寧撫順?一模)在三棱錐P—ABC中，AB=AC=4,ZBAC=120°,PA=6,

PB=PC=2岳,則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為()

A.IOOTIB.75兀C.80無D.120兀

【答案】A

【分析】在54c中由余弦定理求得BC=2不，由題意證得平面ABC,進(jìn)而確定外接球球心。，由

球心與相關(guān)點的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.

【詳解】在中，BC2=AB2+AC2-2-AB-ACcosZBAC=48,

即BC=4A5，又PB=PC=2屈,

PA2+AC2=PC2,所以B4_LAC,同理R4JLAB,

又由A5AC=A,AB,ACABC,PA_L平面ABC.

BC=4右

設(shè),ABC的外接圓半徑為,，所以而I而一詞一，

~2~

pA2

所以r=4,所以外接球的半徑R滿足長=產(chǎn)+"=16+9=25,

2

回三棱錐P-ABC外接球的表面積為4成2=100兀.

故選：A.

【變式1】（23-24高三下?內(nèi)蒙古赤峰?開學(xué)考試）已知正四面體ABCD的棱長為4,則該四面體的外接球與

以A點為球心，2為半徑的球面的交線的周長為（）

“8廊D4^/3002而c屈

3333

【答案】C

【分析】求出正四面體外接球半徑R=?,利用三角函數(shù)定義求出cosNE4O,則得到sin/EA0=^,

6

再利用三角函數(shù)定義和圓周長公式即可得到答案.

【詳解】設(shè)該正四面體的外接球的半徑為R,為底面3C。的中心，。為該正四面體外接球的球心,

則D0=1742-22=苧

.則該正四面體的高A。=

根據(jù)OO；+002=002,即嫗_R+拽=R2,解得R=卡,

、3)I3,

貝|AO=",AE=2,EO=R=5

AE

如圖，在中，8s㈤。=互=.

AO6

V30

所以sin/EAO=

~6~

在,EAO?中,EO=EAsinZEAO=2?—=—

2263

因為交線為圓，所以周長為加孚二￥加.

【變式2】（2023?昆明模擬）故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐尻殿頂?shù)奈蓓敇邮剑甑?/p>

頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡，故又

稱四阿頂.如圖，某幾何體A88EE有五個面，其形狀與四阿頂相類似.已知底面ABC。為矩形，AB=4,

AD=EF=2,EF//J^ABCD,且EA=ED=FB=PC=BC,則幾何體ABC。所外接球的表面積為（）

【答案】A

【解析】連接AC,BD,設(shè)取EF的中點N,連接MN,

ENF

A-B

由題意知，球心。在直線上，取3c的中點G,連接FG,則FGLBC,

且FG=2X^-=V3.

連接MG,過點尸作FP1MG于點P,則四邊形MPFN是矩形,MN=FP,

則MN=FP=y]FG2-PG2=y/2,

又因AM=^AC,

AC=yjAB2+BC2=24,

則AM=\[5,

因為△AMO和■均為直角三角形，

設(shè)外接球半徑為R,OM=x,

當(dāng)球心O在線段MN上時，

則R』f+（小>，7?2=（V2-X）2+12,

解得x=—乎（舍），

當(dāng)球心。在線段外時，

則R2=f+（小）2,R2=（也+x>+i2,

解得X=孚，故7?2=3+5=?，

所以外接球的表面積S=4冰2=22兀

【變式3]（2023?全國乙卷）已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形,

SA_L平面ABC,則SA=.

【答案】2

【解析】如圖，將三棱錐S—ABC轉(zhuǎn)化為直三棱柱SAW—ABC,

設(shè)△ABC的外接圓圓心為Oi,半徑為r,

則2-SJ：C8=]=2/,可得r=y[3,

2

設(shè)三棱錐s—42c的外接球球心為。，連接。4,001,則。4=2,OO^SA,

因為OA2=OO^+O1A2,

即4=3+1sA2,解得SA=2.

考點二：空間幾何體的內(nèi)切球

規(guī)律方法空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截

面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.

【例2】（2024?湖南?二模）一個正四棱錐底面邊長為2,高為6，則該四棱錐的內(nèi)切球表面積為.

47r4

【答案】

【分析】根據(jù)三角形相似求出內(nèi)切球半徑，再利用球的表面積公式求其表面積.

【詳解】由題意可知該幾何體為正四棱錐，如圖，

。為內(nèi)切球的球心，尸”是棱錐的高，區(qū)尸分別是4瓦。￡?的中點,

連接尸EG是球與側(cè)面PCD的切點，可知6在「歹上，OG±PF,

設(shè)內(nèi)切球半徑為人

貝UOH=OG=r,HF=1,PH=6,PF=2,

由EIPGOEEPaF可知=,即￡=1,解得r=,

HFPF123

所以內(nèi)切球表面積S=4兀產(chǎn)=4兀（塔］=浮

4冗

故答案為：—.

【變式1】（2023?沈陽模擬）如圖，圓臺內(nèi)有一個球，該球與圓臺的側(cè)面和底面均相切.已知圓臺的下底面圓

心為01，半徑為門，圓臺的上底面圓心為。2，半徑為廠2（門＞r2），球的球心為O,半徑為R,記圓臺的表面積

為S1，球的表面積為S2,則"的可能的取值為（）

【答案】A

【解析】如圖，作出圓臺的軸截面，作。垂足為憶

由題意知圓0與梯形A8CZ)相切，

貝I]DC^DE+CE^O2D+OiC^r2+n,

又DC=NDF+也=弋4R2+(n一冷)2,

故弋4序十(八一氏￥—r1+r2,

化簡可得R2="2,

n|S17t(n+ri)+7t(n+r2)(n+ri)

則無=w

n+/j+nr2

2”

_n+zl?12rir2,1

2八-2亍2222

=|(n>r2,故取不到等號)，由于I，3,g都不大于I，故自的可能的取值為‘

【變式2]（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）某包裝設(shè)計部門為一球形塑料玩具設(shè)計一種正四面體形狀的外包裝

盒（盒子厚度忽略不計），已知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入10個塑料球，則該種外包裝盒的棱長

的最小值為（）

A.2+2#B.2+4nC..4+2#D.4+4#

【答案】C

【分析】先確定正四面體的棱長與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，然后根據(jù)當(dāng)。取得最小值時，從上到下每層

中放在邊緣的小球都與正四面體的面都相切，從而計算出棱長的最小值.

【詳解】設(shè)正四面體的棱長為。，高為心內(nèi)切球半徑為「

貝,可得/2=逅〃，

[23)3

X4x—X—tz2xxr=—x—a2xxh,可得

32232212

即正四面體的高等于其棱長的,，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長噂.

如圖，10個直徑為2的小球放進(jìn)棱長為a的正四面體45c。中，構(gòu)成三棱錐的形狀，有3層，從上到下每

層的小球個數(shù)依次為1,3,6.

當(dāng)。取得最小值時，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個球都與正四面體

的底面相切，任意相鄰的兩個小球都外切，位于底層正三角狀頂點的所有相鄰小球的球心連線為一個正四面

體EFGH,底面BCD的中心為0,A。與面RS"的交點為P,

則該正四面體EFG"的棱長為1+2+1=4,

可求得其高為EP=4x1=勺佗，AE=i*平*逅-1=3,

33yJ63

所以正四面體ABC。的高為AO=AE+EP+PO=3+&?+l=4+W^,

33

進(jìn)而可求得其棱長a的最小值為=4+2亞

故選：C.

【點睛】方法點睛：對于四面體的內(nèi)切球問題，我們最好能熟記正四面體的棱長與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)

系，即正四面體的高等于其棱長的逅，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長的遺，這樣解題的時候我們

312

可以利用這個關(guān)系快速得到我們要的量.

【變式3】（2024?四川宜賓?二模）所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個動點

M、N,則線段MN長度的最大值為.

【答案】2娓

【分析】根據(jù)題意，正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，求出外接球半徑R,內(nèi)

切球半徑小線段MN長度的最大值為R+r得解.

【詳解】由正四面體的棱長為6,則其外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，

設(shè)球心為0,如圖，連接AO并延長交底面BCD于H,

則AHJ_平面BCD,且H為底面△"雪）的中心，

所以2/7=3x6=26，

3

在RtaA/ffi中，可求得AH=，AB?-=,_（2囪=2網(wǎng),

設(shè)外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為小

貝I」R2=BH-+0H2=12+（2?-，

解得R=垣，r=OH=2y[6-R=—,

22

所以線段MN長度的最大值為R+r=2后.

故答案為：26.

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023?浙江紹興?模擬預(yù)測）已知某正六棱柱的所有棱長均為2,則該正六棱柱的外接球的表面積為（）

A.67rB.8兀C.16TID.20兀

【答案】D

【分析】根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可求解半徑，由表面積公式即可求解.

【詳解】由正六棱柱的性質(zhì)可得。為其外接球的球心（如圖），。0'=1

由于底面為正六邊形，所以"B。'為等邊三角形，故AO'=2,

所以AO=ylAO'2+OO'2=A/22+12=A/5，

所以49為外接球的半徑，故外接球表面積為4兀（有『=20兀，

故選：D

2.（2024?廣東梅州?一模）某圓錐的底面直徑和高均是2,則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半

徑為（）

百+1A/5—1

A.-----D.-----

22

C拒+'D書T

'2-2

【答案】B

【分析】作出圓錐的軸截面，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,利用三角形面積關(guān)系建立關(guān)于R的方程，解之即可求

解.

【詳解】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為。，半徑為R,

貝AB=2,CG=2,所以AC=BC=J（竽=布,

又SABC=SADB+SADC+SBDC,

BP-X2X2=-X2/?+-X^+-XA/57?,

2222

解得R=：=與1,即內(nèi)切球的半徑為叵11.

1+V522

故選：B

3.（2024?陜西西安?一模）六氟化硫，化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，

有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正

八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為利,則該正八面

體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（）

7m2271m°

"T"3

【答案】D

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理找出內(nèi)切球的半徑，利用等面積法求出

半徑的大小，即可求解.

【詳解】如圖，連接AC即交于點0,連接0P,

取3C的中點E,連接OE,尸E,

因為AB=〃"所以O(shè)A=OB=OC=O￡?=^〃z,

2

_________B

OP=VAP2-0A2=^—m,

2

由BE=CE,可得BC±OE,BC±PE,OE,尸Eu平面POE,

且OEcPE=E,所以BC1平面POE,

過。作OH_LPE,

因為3C4平面尸OE,OHu平面POE,所以BC_LO〃，

且BCIPE=E,BC,PEu平面PBC,所以O(shè)H_L平面尸BC,

所以O(shè)H為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，

在直角三角形POE中，OP=^m,OE，m,PE=旦乳,

222

由等面積法可得，^-xOPxOE=|xPExOHOH=—m,

226

所以內(nèi)切球的表面積為4兀xj骼m(xù)]=ym2,

p

Q

故選:D.

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當(dāng)

此立體圖形體積最大時，其外接球表面積為（）

“/Q68-16百r11八52-16出

A.47rB.-----------7iC.一7iD.-----------K

929

【答案】B

【分析】首先分類討論得出，滿足題意的直線為所：，=若xT+，一,且此時

4=忸年=力!一"）=i,進(jìn)一步求出底面四邊形外接圓圓心。坐標(biāo)、半徑，從而得a到直線E廠的距離

方，設(shè)出外接球球心到底面的距離％,結(jié)合Q4=O8=R可得尺2=r+環(huán)=（4-4）2+4，由此可得外接球

半徑R,進(jìn)而即可求解.

【詳解】若將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線過三角形的某個頂點且不垂直于三角形的邊，

由題意以。為原點，以邊長為2的等邊三角形的邊為x軸，邊上的高8為了軸建立如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系：

由題意A（-l,。）,8（1,0）,C（0,W）,

不失一般性，設(shè)CD：y="+也,9＞君）（也就是設(shè)點。在不包含端點的線段。4上）,

所以△3CD的面積為sBCDCO=:(1+卓］6=坐.葉8,

22(左J2k

k-y/3

而點A（-l,0）到直線CD:y=kx+^W）的距離為&

7^+1

1、/3左_3

此時二棱錐A-_BCD體積的最大值為K=；S,d=—-----]（此時面ACD_1_面3CZ））,

3BCDl6kjE+1

,伊-3）-11

所以。工廠五

所以0<匕<且；

16

若將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線過三角形的某個頂點且垂直于三角形的邊,

此時上述情況中的點。于原點。重合，

此時三棱錐A-5CD體積的最大值為

K=~SBCO-d2=--（~BO-Oc]-AO=-x-xlxyj3xl=^~（此時面4。0_1面BCO）,

3312）326

其中也為點A到OC的距離，即4。的長度；

將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，且這條線不過三角形的任何頂點，如圖所示：

不失一般性，設(shè)該直線分別與ABIC交于點及尸，

折疊后的立體圖形有外接球，則A,E,￡G四點共圓，從而NCFE+NCAE=n,

IT7T

又因為ZCFE=/FEB+/FBE=/FEB+—/CAE=-,

33

1T

所以NEE3=-=NC4B,所以;.FEB~CAB,

3

由題意A（-l,0）,B（L0）,C（0,石），^EF:y=y/3（x-a）,（-l<a<l）,

2

所以S四邊形AMC=1-^tABC=—X2X2X

過點3向所引垂線，垂足為G,則型=忸6|=>（；"）,

所以四棱錐3-AEFC體積的最大值為

匕=、邊sd=也辿竺3=&T-3）q（/_3/_a+3）,（T<a<l）（此時四邊形

AEFC與三角形麻尸垂直）,

從而匕(°)=g(3〃一6a-l),匕(a)=；(3a?-6a-l)=0=>a=1-2f或a=1+^^-,

當(dāng)一1<°<1一亞時,匕⑷>0,匕(a)單調(diào)遞增,

當(dāng)1-半<.<1時，匕(a)<0,%1)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)且僅當(dāng)叵時,

a=l-2有他）

3

綜上所述，滿足題意的直線為所：，=石1-1+攣],且此時&=|8G|=:（1一"）=1，

I3J3112

此時我們首先來求四邊形AEFC外接圓圓心。1,

一「1

因為A5中點坐標(biāo)為一不，f，A3斜率為山,

V227

所以42的垂直平分線方程為y-母=-[[x+g

所以四邊形A￡FC外接圓半徑為r=盤川=（”+1甘區(qū)|=2"；6,

（24小61+6

而。1到直線跖：丫=有x-1+4-的距離為VI33J32有-1，

（3Jd=-------------------------=---

423

又滿足題意的四棱錐B-AEFC的高為《=\BG\=同「=1,

設(shè)滿足題意的四棱錐B-AEFC的外接球球心為0,

設(shè)球心到平面A￡FC的距離為九，

則由Q4=O8=R可得，A?=r+吊=（&一%）2+M，即16；6=]_24+13；—,

解得4」,小生拽+L3速，

"3999

從而滿足題意的外接球表面積為奧二包目兀.

9

故選：B.

（2O

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是得出滿足題意的直線為E/:y=Wx-l+，一,且此時

4=\BG\=:（「=1,由此即可順利得解.

5.（2024?河北邯鄲?三模）已知在四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角A-BD-C的大小

TT

為且點A,B,C,。都在球。的球面上，M為棱AC上一點，N為棱的中點.若MOrCN，則

Z=（）

1452

A.—B.-C.-D.—

3993

【答案】C

【分析】根據(jù)題意和幾何關(guān)系，并在zviav所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，確定點。,加的位置和坐標(biāo),

即可求解.

【詳解】由題意知與△BCD均為等邊三角形，連接AN,CN,則ANJLBD,CNJ.BD,ZANC

是二面角A-BD-C的平面角，

7T

所以ZANC=§,又易知AN=CN,所以AACW是等邊三角形.

設(shè)尸為△BCD的外心，Q為CN的中點，連接。尸,ON,AQ,則點O,P,。都在平面ACN內(nèi)，建立平面直

角坐標(biāo)系如圖.

設(shè)AN=NC=AC=2,則NP=2,ZONP=-,所以。尸=友.

369

22

又AQ=g,所以O(shè)P=gAQ,因為MOHCN,易知CM=§C4,

,OM5

,從而MOZ=--

CN9

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合幾何關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為平面幾何問

題.

6.（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知四棱錐尸-ABCD的底面為矩形，AB=2上,BC=4,側(cè)面為正三角形

且垂直于底面ABCD,〃為四棱錐P-ABCD內(nèi)切球表面上一點，則點M到直線距離的最小值為（）

A.710-2B.y/10-lC.2石-2D.2道-I

【答案】B

【分析】"N分別為48和的中點，平面PEW截四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球。所得的截面為大圓，求

出圓的半徑，利用圓心到直線距離求點M到直線C。距離的最小值.

【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為廠，取A3的中點為“，8的中點為N,連接尸”，PN,

HN,

球。為四棱錐尸—ABCD的內(nèi)切球，

底面ABCD為矩形，側(cè)面弘8為正三角形且垂直于底面ABCD,

則平面尸/W截四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球。所得的截面為大圓，

此圓為一的內(nèi)切圓，半徑為廠，與HN,分別相切于點E,F,

平面R4B_L平面A3CD,交線為AB,平面叢B,

為正三角形，有平面A3CD,

HZVu平面ABC。，PH1.HN,

AB=2y/3,BC=4,貝I］有尸8=3,HN=4,PN=5,

貝UPHN中,5PHjV=1x3x4=1r（3+4+5）,解得r=l.

所以，四棱錐尸-ABC。內(nèi)切球半徑為1,連接ON.

（2尸//，平面45儀），CDu平面A5CD,:.CD1PH,

又CD1HN,PH,HNl平面尸/W,PHHN=H,

\CC>A平面PHN,ONu平面尸/W,可得ON_LCD,

所以內(nèi)切球表面上一點M到直線CD的距離的最小值即為線段ON的長減去球的半徑，

y.ON=ylOE2+EN-=V10.

所以四棱錐P-ABCD內(nèi)切球表面上的一點M到直線CD的距離的最小值為V10-1.

故選：B.

【點睛】方法點睛：

四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球，與四棱錐的五個面都相切，由對稱性平面尸五N截四棱錐尸-ABCD的內(nèi)切球

。所得的截面為大圓，問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)切圓，利用面積法求出半徑，即內(nèi)切球的半徑，由球心到直線

。的距離，求點M到直線8的距離的最小值.

7.（2024?河南開封?二模）已知經(jīng)過圓錐SO的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩

部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【答案】C

【分析】作出圓錐SO的軸的截面，根據(jù)題意推出上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的半徑之比為

1:3,從而可得上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為1:27,從而可得解.

【詳解】如圖，作出圓錐SO的軸截面&48,

設(shè)上、下兩部分幾何體的兩部分的內(nèi)切球的球心分別為E,F,半徑分別為,，R,

即=fU=R,EG=r,

根據(jù)題意可知△SA3為正三角形，易知SE=2r,圓錐SO的底面半徑08=&R,

SO=2r+〃+R+R=3〃+2R,SO=y/3OB,

.\3r+2R=3R,：.R=3r,

，上部分圓錐的底面半徑為Gr,高為3r,

又圓錐S。的底面半徑為08=石尺=3右r,高為SO=3r+2R=9r,

上部分圓錐的體積與圓錐SO的體積之比為,

⑶27

二上、下兩部分幾何體的體積之比是1:26.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是找到上、下底面的半徑的關(guān)系，從而得到兩圓錐的體積之比.

8.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知AB,C,。四點均在半徑為R（R為常數(shù)）的球。的球面上運動，且

4

AB=AC,AB±AC,AD.LBC9若四面體A3CD的體積的最大值為則球。的表面積為（）

C9兀c

A.2兀B.3兀C.—D.9兀

4

【答案】D

【分析】如圖，取BC中點為M結(jié)合題意可得四面體A3CD的體積最大時，平面ABC,且球心在

19

DN上,后可得四面體A3CD的體積表達(dá)式為］（K+ON）（R-ON）,其中R為球體半徑，結(jié)合均值不等式

可得R,即可得答案.

【詳解】因AB=4C,AB_LAC,取2C中點為N,則AN_LBC,又ADLBC,AN,ADu平面4⑦，

ANAD=A,

則平面AAZ>,8Cu面ABC,則平面ABC，平面4VD,要使四面體A3CO的體積最大，則有DN

_L平面ABC,且球心。在OV上.

設(shè)球體半徑為R,則OA=OD=R,則展…卜iN=%BC.AN）（R+ON）,

又注意到BC=24V,AN2=OJ^-ON2=R2-ON2,貝U

111

29

VD_ABC=-SABCDN=-AN-（R+ON）=-（R+ONy（R-ON）.

汪意至!j—（R+ON）（R-ON）=—（R+ON）（R+ON）（2R-2ON）W—\-----------------------------=--—

3'66（3）6\3

4

當(dāng)且僅當(dāng)2R-2ON=R+ON,即R=3ON時取等號.又四面體A3CD的體積的最大值為§,貝I

則球的表面積為4TI我=9無.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此類問題需結(jié)合題目條件，設(shè)置合理的變量，得到相關(guān)的代數(shù)表達(dá)式，后由不等式

取等條件得到等量關(guān)系，從而解決問題.

二、多選題

1.（23-24高三下?重慶,階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A瓦G中，若

/AC3=90,AC=3C=；A4,=l,2E分別是4VMG的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.DC1平面3DC

B.AE〃平面BOG

C.點C到平面BOG的距離為祖

3

D.三棱錐C1-8OC外接球的半徑為亞

2

【答案】ABD

【分析】利用線面垂直的判定即可判斷A；利用線面平行的判定即可判斷B,利用等體積法即可求出點到

平面距離，找到球心位于BG的中點，則得到外接球半徑，即判斷D.

【詳解】對A,因為平面441GC,OGu平面AAGC,所以5C，￡>G.

在△CQC中，因為O￡=OC=0,CG=2,所以。C；+OC2=CC；,

則又3Cu平面BOCDCu平面BOCBCcOCnC,所以。平面3OC,故A正確.

對B,取。為8G的中點，連接OE,OD.易知OE//AOOE=A。，所以四邊形4。。石為平行四邊形，

則4片〃。。.又AE<Z平面8DG，Z)Ou平面所以人后〃平面B^G，故B正確.

對C,設(shè)點C到平面BOG的距離為x,則x是以C為頂點，BDG為底面的三棱錐的高.

因為平面441GC,所以BC是三棱錐B-CDC,的高.又sCDG為直角三角形，

所以SSG=gx夜Xe=1,所以％eg=31義1=；.

又△BCD是直角三角形，所以8。="二=若.又OG=后,8弓=后7=行，

所以m+2=*,所以叫是直角三角形，則％皿°,=gx忘x石=牛

由％cg=@B%，得\"x=L貝鼠=逅，即點C到平面瓦乂的距離為好，故C錯誤.

32333

對D,因為2/和MG均為直角三角形，所以。為三棱錐G-皿外接球的球心，即半徑為東故

D正確.

故選：ABD.

2.(2024?新疆?一模)如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體E-ABCD-F,且該八面體的各棱長均相

等，則()

A.異面直線AE與2P所成的角為60°

B.BD^CE.

C.此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為!

D.直線AE與平面8OE所成的角為60。

【答案】ABC

【分析】根據(jù)異面直線的夾角、線面垂直的判定、外接和內(nèi)切球，線面角等知識點逐項判斷即可.

【詳解】將正八面體E-A8CD/置于一個正方體中，該正八面體的頂點為正方體六個面的中心，如圖所

不，

QN

設(shè)AC,交于點O,易知。為正方體的中心，

由正方體性質(zhì)易知，AE為GM/V的中位線，則AE//MN,

同理PQ〃C尸，又PQ/IMN,則AE//CF,

則直線AE與BF所成角即CF與BF所成角，

因為△）方為正三角形，所以NCF3=60。，A正確，

由正方體性質(zhì)易知瓦羽平面AFCE,CEu平面AFCE,故BZKICE,B正確；

設(shè)正方體的棱長為2,

因為OE=OF=OA=OB=OC=OD=1,

所以。為此八面體外接球的球心，即此八面體一定存在外接球，且外接球半徑為R=l,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為,，

_.i12x24

八面體的體積為丫=24_筋8=2X§SMCZ>xl=§,

又八面體的表面積為8sABE=8x^x2=4?,

所以呼=：,解得廠=3，

333

此八面體內(nèi)切球與外接球的表面積之比為&*：=1，故C項正確.

4TIR23

由正方體性質(zhì)易知AC0平面3￡）及故NAEO為直線AE與平面BDE所成的角,

又。E=CM=1,故44召0=45,故D錯誤.

3.（2024?江西上饒?一模）空間中存在四個球，它們半徑分別是2,2,4,4,每個球都與其他三個球外

切，下面結(jié)論正確的是（）

A.以四個球球心為頂點的四面體體積為6與4

B.以四個球球心為頂點的四面體體積為:

C.若另一小球與這四個球都外切，則該小球半徑為廠=遞一4

3

D.若另一小球與這四個球都內(nèi)切，則該小球半徑為r=豈叵+4

3

【答案】ACD

【分析】設(shè)半徑為2的兩球球心為A,B；半徑為4的兩球球心為C,D,根據(jù)內(nèi)切關(guān)系可得三棱錐

的各棱長，根據(jù)線線關(guān)系確定線面關(guān)系從而可求以四個球球心為頂點的四面體體積及與這四個球都外切或

內(nèi)切的球的半徑，逐項判斷即可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)半徑為2的兩球球心為A,B；半徑為4的兩球球心為C,D,易知AB=4,8=8,

AC=AD=BC=BD=6,

取AB中點E,連接

c

因為AC=3C=6,AD=B￡>=6,點E為AB中點，

所以AE=BE=2,則

CE=^AC2-AE2=^62-22=4A/2,DE=y/AD2-AE2=^62-22=40，

故CE?+￡>爐=C￡>2,則CEJ_r)E,

因為48門。￡=￡',45,?！?lt;=平面24￡￡),所以CE_L平面ABD,

貝I匕一的=；SAB]CE=；xgx4x4忘x4&=:，故A正確，B不正確；

若另一小球與這四個球都外切，設(shè)小球中心為0,半徑為廣，則點。在四面體ABCD內(nèi)，取A3中點E,

8中點尸，連接所,

CE1DE,所以所=工。=4,

貝UAO=3O=2+r,CO=OO=4+r,又CE=DE=4啦,

2

則球心。在E尸上，所以。歹=A/(?C2-CF2=J(4+r)2-42=〃(r+8),

同理0E=Jr(r+4),代入小+。尸=4解得r=孚一4或r=一半一4(舍)，故C正確；

若另一小球與這四個球都內(nèi)切，設(shè)小球中心為Q,半徑為R,則AO=BO=R—2,CO=DO=R-4,且

點。1在所上，

所以O(shè)P=y]0C2-CF2=J(R_4,_軍=y/R(R-8),

同理=-4),代入。E+QP=4得氏=半+4或氏=一半+4(舍)，故D正確.

故選：ACD.

三、填空題

1.（2024?貴州?三模）已知一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，其頂點為底面圓心為0,點尸

是線段。。上的一點，ABC是底面內(nèi)接正三角形，且PAL平面P3C,則AC=；三棱錐

P-ABC的外接球的表面積是.

【答案】百

【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出上4的長；

（2）確定三棱錐ABC的外接球，即為以尸C,PB,PA為棱的正方體的外接球，再求其半徑，最后應(yīng)用球

的表面積公式即可求出.

【詳解】解：由題意，圓錐的底面半徑為1,母線長為2,

ABC是底面內(nèi)接正三角形，結(jié)合題設(shè)有三定=2,所以AC=g,

sinoO

由上4_1_平面PBC,P8$Cu平面P3C,則叢_1_尸臺，PA1PC,

ABC為正三角形，則AC=BC=AB,顯然。為_ASC中心，

結(jié)合對稱性，易知PBA^PBC=PCA,即PCJ_P3,且PC=PB=PA=&,

2

三棱錐尸-ABC的外接球，即為以PC為相鄰棱的正方體的外接球，

故外接球半徑為R=-xJ-+|+-=2，

2\2222V2

9

所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積是4K/?2=-7i.

9

故答案為：＞/3;

2.（2024,廣東?一模）已知表面積為8兀的球。的內(nèi)接正四棱臺ABC。-ABC。，AB=2,A瓦=1，動點尸

在△AC2內(nèi)部及其邊界上運動，則直線與平面AC?所成角的正弦值的最大值為.

【答案】且/J/

22

【分析】先根據(jù)條件得到oq=手，進(jìn)而得到叩=0,^DXOD=^,利用線面垂直的性質(zhì)作出防，

BF

面ACR,故Z5PE為直線8尸與平面ACR所成角，再利用sinNBPEuE；,得知當(dāng)尸與。重合時，PB最

BP

小，再利用對頂角相等，即可求出結(jié)果.

【詳解】如圖，?！?。分別是上下底面的中心，設(shè)球心為M,半徑為R,易知Me。。，

由題知4兀爐=8兀，得到R=后，又AB=2,4月=1,得到。。=0，2。［=2，

所以M與。重合，由R2=aD；+O02,得到oq=乎，

所以皿=拈DO)?+C0；=0,又OD、=OD=叵,所以"0￡>=微，

因為0。_1面48。。，ACu面ABCD,所以。O|_LAC,

又AC工BD,BDr>OO1=O,BD,OQu面3￡>。與，所以4(7_1面，

連接。。并延長，過B作BE，，。，交2。的延長線于E,

又BEu面BDRBI，所以防，AC,又ACcRO=O,4(7,。。匚面40)1，

BF

所以5￡，面43，，連接尸E,則—3PE為直線8尸與平面AC，所成的角，sinZBPE=—,

在Rt^BEO中，易知ZBOE=工，0B=O，所以BE=0xsinq=逝，

332

所以當(dāng)網(wǎng)最小時，直線8尸與平面AC，所成角的正弦值的最大值，

又動點P在△ACA內(nèi)部及其邊界上運動，所以當(dāng)尸與。重合時，PB最小，

此時ZBOE為直線BP與平面ACD,所成的角，所以直線BP與平面ACD｝所成角的正弦值的最大值為

【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于點尸位置的確定，通過利用線面垂直的性質(zhì)作出面AC，，從

RF

而得出Z3PE為直線BP與平面AC"所成角，再利用sin/BPE==,將問題轉(zhuǎn)化成求旅的最小值，即

可確定點尸位置，從而解決問題.

3.（23-24高三下?陜西安康?階段練習(xí)）如圖為某三棱錐的三視圖，其正視圖的面積為g,則該三棱錐外接

俯視圖

【答案】8兀

【分析】由三視圖還原幾何體，利用正弦定理可用AC表示出三棱錐的高〃和ASC的外接圓半徑，結(jié)合基

本不等式可求得代入球的表面積公式即可.

【詳解】由三視圖可還原幾何體如下圖所示，其中SCL平面ABC,加工平面&4C,

設(shè)AC=a,SC=h,