2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破專練：二次函數(shù)與三角形全等、相似（位似）有關(guān)的問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

類型五二次函數(shù)與三角形全等、相似(位似)有關(guān)的問題

(專題訓(xùn)練)

1.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線>=以2+法+。

過點(diǎn)A(-1,0),B(2,0^DC(0,2),連接BC,點(diǎn)尸(如,〃)(機(jī)>0)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作

加，》軸交直線2(7于點(diǎn)加，交無軸于點(diǎn)N.

⑴度段寫出拋物線和直線BC的解析式；

⑵如圖2,連接OM,當(dāng)OC0為等腰三角形時(shí)，求，"的值；

(3)當(dāng)尸點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在，軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，P,Q為頂點(diǎn)的三角形與以3,

C,N為頂點(diǎn)的三角形相似(其中點(diǎn)P與點(diǎn)C相對應(yīng))，若存在，章撰寫出點(diǎn)P和點(diǎn)。的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線：y=-/+x+2；直線BC：y=-尤+2；(2)m=1或帆=女或m=2；(3)

產(chǎn)(在物,Q(0,'-1)或「(1+石。(0,1)或尸(1+6,-3-廂,2(0,-2)

【分析】(1)由題得拋物線的解析式為y=“(x+l)(x-2),將點(diǎn)CO2)代入求。，進(jìn)而得拋物

線的解析式；設(shè)直線的解析式為，=履+乙將點(diǎn)3,C的坐標(biāo)代入求％,f,進(jìn)而得直線

BC的解析式.

(2)由題得M(m,-m+2),分別求出OC,OM,CM,對等腰,OCM中相等的邊進(jìn)行分

類討論，進(jìn)而列方程求解；

(3)對點(diǎn)尸在點(diǎn)B左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形

的相似比求解機(jī)，進(jìn)而可得尸，。的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：拋物線過點(diǎn)A(-l,0),3(2,0),

拋物線的表達(dá)式為y="(x+D(x-2),

將點(diǎn)C(o,2)代入上式，得2=-2a,

*'■a=-1.

拋物線的表達(dá)式為，=-(x+l)(x-2),即y=_/+x+2.

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+t,

將點(diǎn)8(2,0),C(0,2)代入上式，

叫一

直線BC的表達(dá)式為y=-X+2.

(2)解：:點(diǎn)/在直線BC上，且尸(根,〃)，

，點(diǎn)V的坐標(biāo)為(m,-m+2).

OC=2,CM2=(/M-0)2+(-m+2-2)2=2m2,OM2—m2+(—m+2)2=2m2—4m+4.

當(dāng)為等腰三角形時(shí)，

①若CM=QW,貝1］函2=0知2,

即2機(jī)2=2“—4m+4，

解得"2=1.

@^CM=OC,則C“=oc2,

即2/=4,

解得機(jī)=0■或加=-(舍去).

③若OM=OC,則0”=002,

即2機(jī)2—4/H+4=4,

解得“2=0(舍去)或加=2.

綜上，%=1或〃7=&或加=2.

(3)解：,點(diǎn)P與點(diǎn)C相對應(yīng)，

:.一POQs-CBN或，POQs_CNB.

①若點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)，

貝|JNCBN=45°,BN=2-m,CB=2y/2.

當(dāng)dPOQs_CBN,即NPOQ=45。時(shí),

直線0P的表達(dá)式為y=%

-nr+/M+2=m,解得，〃=&或MJ=-夜(舍去).

0P2=(>/2)2+(^)2=4,即。尸=2.

,OP=OQJ_=_0Q_

BCBN'B2夜2一&'

解得OQ=5/2-1.

P(A/2,V2),2(0,72-1).

當(dāng),POQs一CNB,即ZPQO=45°時(shí)，

PQ=41m,OQ=—m2+m+2+m=—m2+2m+2,

.PQOQy[lm-m2+2m+2

?,一,艮I),

CBNB2V22-m

解得〃z=l+石(舍去)或m=1-石(舍去).

②若點(diǎn)尸在點(diǎn)B右側(cè)，

則NCBN=135°,BN=m-2.

當(dāng),POQS.CBN,即ZPOQ=135°時(shí)，

直線。尸的表達(dá)式為>=-%,

—nr+m+2=-m,解得〃7=1+6或相=1-石(舍去),

OP=A/2/?7=y/2+>

.OPOQBNA/2+^OQ

BCBN24243-1

解得。。=1.

???P(1+/「I-/),2(0,1).

當(dāng)4POQs二CNB,即NPQO=135。時(shí)，

PQ=41m,OQ=^-m1+m+2+ml=m2—2m—2.

.PQOQyjlmm2-2m-2

,,~~=,即R,

CBNB2A/2m-2

解得機(jī)=1+6或根=1-百（舍去）.

:.PQ+垂,-3-后,2(0,-2).

綜上，尸（也偽,Q（0,直-1）或尸-?。（0」）或尸（1+技-3-6），2（0,-2）.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)

與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知

識是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)丁=依2+區(qū)+《。＞0）.

⑴若。=1,c=-l,且該二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)（2,0）,求b的值；

（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系。孫中，該二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A&,0）,

且占＜。＜%,點(diǎn)。在「-O上且在第二象限內(nèi)，點(diǎn)E在x軸正半軸上，連接OE,且線段DE

3

交V軸正半軸于點(diǎn)尸，NDOF=NDEO,OF=-DF.

2

②當(dāng)點(diǎn)E在線段06上，且郎=1.。的半徑長為線段Q4的長度的2倍，若4雙=-/_〃，

求2〃+6的值.

3

【答案】（1池=-萬；（2）①見解析；②0

【分析】（1）依題意得出二次函數(shù)解析式為y=該二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)（2,0）,

代入即可求解；

（2）①證明.平eDEo,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

②根據(jù)題意可得?！?々-1,OD=-2xlt由①可得絲=:,進(jìn)而得出％=1-3占，由己知

EO3

可得42+1+（2]=0,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得4（%無2）+1+（%+々）2=0,

a\a）

b

將9=1-3%代入，解關(guān)于巧的方程，進(jìn)而得出巧，可得對稱軸為直線x=-白=1,即可求

2a

解.

【詳解】（1）解：:"Lc=-l,

???二次函數(shù)解析式為y=-

??,該二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)（2,0）,

??.4+*1=0

3

解得：b=--；

2

⑵①?：/DOF=/DEO,/ODF=/EDO,

:..DOFs』DEO

.DFOF

^~DO~~EO

.DOOF

^~EO~~DF

3

???OF=-DF

2

.DO2

??二一；

EO3

②??,該二次函數(shù)的圖像與九軸交于點(diǎn)A（%,0）,B（X2,0）,且X]<0<Z，

OA=—x1,OB=x2,

BE=1.

OE=x2-l,

O的半徑長為線段OA的長度的2倍

OD=-2x1,

DO_2

而一屋

-2再2

f

x2-l~3

3玉+x2—1—0,

即％=1-3%①,

:該二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)4（40）,5（^,0）,

占，%是方程加+法+。=0的兩個(gè)根，

._b

??芯+%2=----，

a

,?*4ac=-a2-b1,aw0,

即4（X1X2）+1+（X1+%）2=。②,

①代入②，即4e（1—3%）+1+（菁+1—3%）2=0,

即4石—12%；+1+1+4-Xj—4玉=0,

整理得-8x：=-2,

11

解得：玉=-2（正值舍去）

35

---1--1—5

...拋物線的對稱軸為直線b無

X=---=--1--+-/-_=---2---2

/.b=-2a,

2a+b=0.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知40,2）,8（2,0）.點(diǎn)￡位于第二象限且在直線

y=-2x上，ZEOD=90°,OD=OE,連接AB,DE,AE,DB.

(1)直接判斷A03的形狀：A03是_________三角形；

⑵求證：ZSAOE9△80D；

⑶直線E4交x軸于點(diǎn)C?,0),r>2.將經(jīng)過2,C兩點(diǎn)的拋物線％=以2+法-4向左平移2

個(gè)單位，得到拋物線上.

①若直線以與拋物線弘有唯一交點(diǎn)，求,的值;

②若拋物線方的頂點(diǎn)尸在直線以上，求f的值；

2

③將拋物線力再向下平移，了可個(gè)單位，得到拋物線力.若點(diǎn)。在拋物線以上，求點(diǎn)。

的坐標(biāo).

【答案】⑴等腰直角三角形；⑵詳見解析；(3)①/=3；②t=6；③

【分析】(1)由AQ2),8(2,0)得到04=03=2,又由NAO3=90。，即可得到結(jié)論；

(2)由NEO￡>=90。，〃03=90。得至|40石=/30。，又有40=03,8=OE,利用SAS

即可證明XN0Eg△B0D；

(3)①求出直線AC的解析式和拋物線力的解析式，聯(lián)立得f—。+3)%+3/=0,由

A=Q+3）2-4x3/=（，-3）2=0即可得到t的值;

79

②拋物線％=-：尤2+±(r+2)x-4向左平移2個(gè)單位得到拋物線

一小一彳:+/，則拋物線》的頂點(diǎn)?三,亨]，將頂點(diǎn)尸號，寧]

代入%c=-：龍+2得到/-6/=0，解得乙=。氏=6,根據(jù)t>2即可得到t的值；

③過點(diǎn)E作用軸，垂足為過點(diǎn)。作DNLx軸，垂足為N,先證明

一ODN-EOMgAS),則惻=￡”,￡^=0M，設(shè)￡M=2OM=2加，由。4〃￡M得到

OC:CM=Q4:EM,則‘一=[-,求得機(jī)==，得到二,二7],由拋物線必再向下平移

t+m2mt-1V-lt-lj

2222/2/1、

77FT個(gè)單位，得到拋物線為=->2+丁(-2)》-，^,把川一；，一代入拋物線

(/—1)tt(t-1)vkr—1t—L)

222i

%=-7彳+7?-2)%-^^?,得至|」3/一19/+6=0,解得:=§%=6,由/>2,得f=6,即可得

到點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】(1)證明：???4(0,2),3(2,0),

OA=OB=2,

ZAOB=90°,

.403是等腰直角三角形,

故答案為：等腰直角三角形

(2)如圖，

??ZEOD=90°,ZAOB=90°,

ZAOB-ZAOD=ADOE-ZAOD,

:.ZAOE=ZBOD,

AO=OB,OD=OE,

:./\AOE^ABOD(SAS)；

(3)①設(shè)直線AC的解析式為＞=履+"

A(0,2),C(f,0),

.??[J,

2個(gè)

二.yAC———x+2,

將C(r,O),8(2,0)代入拋物線％=+法-4得，

fo=at?+bt-4

[。=4〃+2。-4'

22

解得Q=—,b=—Q+2),

tt

22

Vi=—I2H—(，+2)x—4,

tt

o22

'直線=--％+2與拋物線％=—x2+—?+2)x—4有唯一交點(diǎn)

ttt

.??聯(lián)立解析式組成方程組解得d-(t+3)x+3/=0

/.A=(，+3)2—4x3t=(t—3)2=0

.\t=3

??

②,?,拋物線/f+_?+2）尤_4向左平移2個(gè)單位得到為，

tt

；?拋物線%=一彳:+*曹，

(t-2"2)2、

拋物線力的頂點(diǎn)P［方，2t)

將頂點(diǎn)尸［一，號B代入%C=-1+2,

t2-6t=0,解得.=。，0=6,

,:t>2,

.\t=6；

③過點(diǎn)E作軸，垂足為過點(diǎn)。作DNLx軸，垂足為N,

：.ZEMO=ZOND=90°,

NDOE=90。,

ZEOM+ZMEO=ZEOM+ZNOD=90°,

???ZMEO=ZNODf

;OD=OE,

：.ODN^EOM(AAS)f

：.ON=EM,DN=OM,

TOE的解析式為y=-2尤，

???設(shè)￡M=2OA1=2機(jī)，

DN=OM=m,

EM_Lx軸,

OA//EM,

：.&CAO-CEM,

.\OC:CM=OA:EM,

.t—2

t+m2m'

t

m=----,

t-1

2tt

：.EM=ON=2OM=2m=——,DN=OM=m=——,

t-1t-1

{t-1t-1)

拋物線為再向下平移溫了個(gè)單位，得到拋物線力,

222

二?拋物線為=-：*?+”_2)冗_(dá)?_])2，

,”言片)代入拋物線%=一次+》一"春,

3產(chǎn)—191+6=0,

解得％=；出=6,

由t>2,得f=6,

.2t12_12t66

??口一二一二'口一打一丁

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)和幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交

點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角

形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn),綜合性較強(qiáng),熟練掌握二次函數(shù)的平移和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，己知拋物線y=--*-2交x軸于A、8兩點(diǎn)，將該拋物線位于了軸下方的部分沿x

軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交》軸于點(diǎn)C.

(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若直線'=-尤+匕與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請結(jié)合圖象，直接寫出6的值；

⑶尸為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸交直線于點(diǎn)M,交圖象W于點(diǎn)N,是

否存在這樣的點(diǎn)尸，使△CMV與OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-f+x+2(-lWxW2)

(2)6=2或/=3

(3)存在,(1,0)或匕，,0或(1+6,0)

【分析】(1)先求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關(guān)系式即可；

(2)聯(lián)立方程組，由判別式△=()求得b值，結(jié)合圖象即可求解；

(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分/CNM=90°和NNCM=90°討論求解即可.

(1)

解：由翻折可知：C(0,2).

令X,—x—2=0,解得：龍i=-l,巧=2,

AA(-l,0),3(2,0),

設(shè)圖象W的解析式為y=a(x+l)(x-2),代入C(0,2),解得°=-|,

對應(yīng)函數(shù)關(guān)系式為y=-(x+l)(x—2)=——+彳+2(—1<%<2).

⑵

fy=—x+b

解:聯(lián)立方程組

[y=一/+%+2

整理，得：兄2—2%+〃—2=0,

由△uziY（b-2）=0得：b=3,此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

由圖象可知，當(dāng)b=2或b=3時(shí)，直線＞=-x+6與圖象W有三個(gè)交點(diǎn);

（3）

解：存在.如圖1,當(dāng)CN〃OB時(shí)，4OBCs/\NMC,此時(shí)，N與C關(guān)于直線*=1對

稱，

...點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1,.?.*1,0）；

如圖2,當(dāng)CN〃O3時(shí)，AOBCSANMC,此時(shí)，N點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

由彳2-%—2=2,解得再=］+,%,=--（舍），

122

.?.N的橫坐標(biāo)為1+而,

2

所以pj二普,o］；

如圖3,當(dāng)NNCM=90。時(shí)，/XOBCsACMN,此時(shí)，直線CN的解析式為y=x+2,

聯(lián)立方程組：2c，解得匕=1+6,X,=1—y/5（舍），

\y=x"-x-2

AN的橫坐標(biāo)為1+石，

所以P0+石,0）,

因此，綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為。,0）或?邛工o］或（1+右,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及翻折性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函

數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，綜合體現(xiàn)數(shù)形

結(jié)合思想和分類討論思想的運(yùn)用，屬于綜合題型，有點(diǎn)難度.

5.已知拋物線y=-/+2x+8與x軸交于點(diǎn)A、B(其中A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)

C.

(1)求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱在y軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCC'與_POB

相似且尸C與尸。是對應(yīng)邊？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴8(4,0),0(0,8)；(2)存在，P(0,16)或

【分析】

⑴令y=0,求+2工+8=0的根即可；令x=0,求得y值即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)確定拋物線的對稱軸為x=l,確定C'的坐標(biāo)為(2,8),計(jì)算C'C=2,利用直角相等,

兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，分類求解即可.

【詳解】

解：(1)令y=0,則—/+2%+8=0，

%——2,—4

/.8(4,0).

令x=0,則y=8.

/.C(0,8),

(2)存在.由已知得，該拋物線的對稱軸為直線x=l.

?.?點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于直線x=1對稱，

；.C(2,8),CC'=2.

：.CC,//OB.

:點(diǎn)P在y軸上，

:."CC=NPOB=90°

PCcc

...當(dāng)——=——時(shí)，APCCs八POB.

PO0B

設(shè)尸（0?），

y—82

i）當(dāng)y〉8時(shí)，則2^—=-,

y4

，y=16.

P（0,16）

8-y2

ii）當(dāng)0<y<8時(shí)，則一二=:,

V4

PC1

iii）當(dāng)y<0時(shí)，則CP>OP,與—=一矛盾.

PO2

二點(diǎn)P不存在

P（0,16）或P（O,g）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，對稱軸的意義，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟

練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形的相似和進(jìn)行一元二次方程根的求解是解題的關(guān)鍵.

6.已知拋物線丁=。必+法—3與X軸相交于4—1,0）,3（3,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

圖I圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若〃<3,過點(diǎn)N作X軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P,交直線于點(diǎn)G.過點(diǎn)P

作PD，5c于點(diǎn)D,當(dāng)n為何值時(shí)，PDG今BNG；

(3)如圖2,將直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過線段0C的中點(diǎn)，然后將它向

上平移三3個(gè)單位長度，得到直線。耳.

2

(1)tanZBOBl-；

②當(dāng)點(diǎn)N關(guān)于直線OB】的對稱點(diǎn)凹落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】⑴y=2x-3；⑵〃=4；(3)①[②+：而,o)或(25-；而刀).

【分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)A,3的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；

(2)先根據(jù)拋物線的解析式可得點(diǎn)C,P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式，

從而可得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后分別求出PG,BG的長，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

PG=BG,由此建立方程求解即可得；

(3)①先利用待定系數(shù)法求出直線3。的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得直線。片的解析

式，從而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；

②先求出直線NN】的解析式，再與直線。片的解析式聯(lián)立求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得

點(diǎn)N]的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式求解即可得.

【詳解】

[a—b—3—0

解：⑴將點(diǎn)4—1,0),8(3,0)代入y=o?+bx—3得：、°,.八，

9〃+3。-3二。

a=l

解得IC，

b=-2

則拋物線的解析式為y=/-2x-3；

(2)由題意得：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為P(〃,/—2”—3),

對于二次函數(shù)丁=/—2x—3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=—3,即C(0,—3),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+c,

3kc—0k—]

將點(diǎn)8(3,0),C(0,—3)代入得：。,解得,

c=-3[c=-3

則直線BC的解析式為y=x—3,

G(n,n-3),

PG=H—3—{n"—2n—3)=—n~+3n,BG=\l(n—3)123+(n—3)2=(3—H)A/2>

,PDG=BNG,

:.PG=BG,即-n2+3n=(3-n)42,

解得“=&或〃=3(與〃<3不符，舍去)，

故當(dāng)〃=a時(shí)，F(xiàn)DGNBNG；

(3)①如圖，設(shè)線段0c的中點(diǎn)為點(diǎn)。，過點(diǎn)6作x軸的垂線，交直線。用于點(diǎn)E，

Kr?*j

AI內(nèi)9.■

「審/

3

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(0,-5),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3,

設(shè)直線3。的解析式為y=%x+c()，

(f1

劣3左o+與=0左o=不

將點(diǎn)3(3,0),。(0,—R代入得：3，解得

2cn=——3

13

則直線BD的解析式為y=-x--,

由平移的性質(zhì)得：直線。片的解析式為y=gx,

33

當(dāng)x=3時(shí)，y=],即石(3,5),

3

:.OB=3,BE=~,

2

BF1

tanZBOB.=——=—,

1OB2

故答案為：—；

2

②由題意得：NN,1OB,,

則設(shè)直線NN】的解析式為y=-2x+Cl,

將點(diǎn)N(〃,0)代入得：—2"+q=。，解得q=2〃,

則直線NN】的解析式為y=—2x+2〃，

4

y=—2x+2nx=-n

聯(lián)立,1，解得＜5

y=-x2

y=-n

4?

即直線NN1與直線OB】的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-n,-n),

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為乂(型)，

s+n43

=-ns--n

25534

則，解得《,即N](—n,—n),

1+024

--------nt=—n

[255

343c34

將點(diǎn)代入y=7_2x_3得：(y")2_2xg〃_3=g”,

整理得：9n2-50/7-75=0,

板-25+10加-25-10厲

斛得n=----------------或〃=-----------，

99

m”q12tti；25+10A/13.25—10A/13

則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(----―,0)或(--------―,0)

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、全等三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識點(diǎn)，熟練

掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.如圖，己知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B(—3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0,—3),

對稱軸為直線x=-1,直線y=—2x+m經(jīng)過點(diǎn)A,且與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)E,

與對稱軸交于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式和m的值；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與AAOD相似，若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；

(3)直線y=l上有M、N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè))，且MN=2,若將線段MN在直線y=l上平

移，當(dāng)它移動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形MEFN的周長會達(dá)到最小，請求出周長的最小值(結(jié)果

保留根號).

【答案】⑴y=(x+l)2—4；m=2；⑵存在,尸(0,12)或(0,14.5)；(3)10&+46+2

【分析】

(1)根據(jù)拋物線的對稱性求出A(1,0),再利用待定系數(shù)法，即可求解；再把點(diǎn)A坐標(biāo)

代入直線的解析式，即可求出m的值；

(2)先求出E(-5,12),過點(diǎn)E作EPLy軸于點(diǎn)P,從而得二EDPsADO,即可得到P

的坐標(biāo)，過點(diǎn)E作EP,IAE,交y軸于點(diǎn)尸'，可得aPDEsADO,再利用tanZADO=tan

ZPEP,,即可求解；

(3)作直線y=l,將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位得到P，作點(diǎn)E關(guān)于y=l的對稱點(diǎn),連接E'F'

與直線y=l交于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FN〃E尸，交直線y=l于點(diǎn)N,在RjEWF中和

E'W中分別求出EF,E'F'，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

(1)解：???二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B(-3,0)兩點(diǎn)，對稱軸為直線x=—1,

；.A(1,0),

設(shè)二次函數(shù)解析式為:y=a(x-l)(x+3),把C(0,—3)代入得：-3=a(0-l)(0+3),解得：a=l,

二次函數(shù)解析式為：y=(x-l)(x+3),即：y=(x+l)~—4,

:直線y=-2x+m經(jīng)過點(diǎn)A,

.\0=-2X1+m,解得：m=2；

(2)由(1)得：直線AF的解析式為：y=-2x+2,

又：直線y=-2x+2與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)E,

.,.當(dāng)x=0時(shí),y=2,即D(0,2),

y=-lx+2

聯(lián)立k(x+l)-'解得,再——5%=1

3二12/=0

?.,點(diǎn)E在第二象限,

AE(-5,12),

過點(diǎn)E作EPLy軸于點(diǎn)P,

VZADO=ZEDP,ZDOA=ZDPE=90°,

/.LEDPsADO,

：.P(0,12)；

過點(diǎn)E作EP'^AE，交y軸于點(diǎn)P,可得&PDEsADO,

,：ZEDP'+ZPED=ZPEP，+ZPED=90°,

ZADO=ZEDP'=ZPEP',即：tanZADO=tanZPEP',

?0APP'1PP'

——，即：-=——，解得：P尸=2.5,

'~ODEP25

P'(0,14.5),

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,12)或(0,14.5)；

(3)?.?點(diǎn)E、F均為定點(diǎn),

線段EF長為定值，

；MN=2,

/.當(dāng)EM+FN為最小值時(shí)，四邊形MEFN的周長最小，

作直線y=l,將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位得到，作點(diǎn)E關(guān)于y=l的對稱點(diǎn)￡,連接E'F'與

直線y=l交于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FN〃E'F'，交直線y=l于點(diǎn)N,

由作圖可知：EM=E'M,F'M=FN,

又M,尸三點(diǎn)共線，

EM+FN=E'M+F'M=E'F',此時(shí)，EM+FN的值最小，

點(diǎn)F為直線y=-2x+2與直線x=-l的交點(diǎn)，

AF(-1,4),

F'(34),

又：E(-5,12),

E'(-5,-10),

延長FF'交線段EE,于點(diǎn)W,

廣與直線y=l平行,

.?.FWLEfi7,

.在中，由勾股定理得：EF=412_4『+(_1+5『=4指，

在RLE'W中，由勾股定理得：E'F'=^(4+10)2+(-3+5)2=1072，

，四邊形MEFN的周長最小值=ME+FN+EF+MN=E'F'+EF+MN=10及+475+2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，添

加輔助線，利用軸對稱圖形的性質(zhì)，構(gòu)造線段和的最小值，是解題的關(guān)鍵.

一1,3一

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-一廠+—X+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A,

"42

B,C三點(diǎn)

(1)求證：ZACB=90°

(2)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)

F.

①求DE+BF的最大值；

②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與二AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】⑴(2)①9；②。(4,6)或。(3,—).

■4

【分析】

(1)分別計(jì)算A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的長，最后利用

勾股定理逆定理解題；

1,3

(2)①先解出直線BC的解析式，設(shè)。(x,-一一+―x+4),接著解出

42

1,

BF=8—x,DE=—jr+2x,利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的

4

中線性質(zhì)，解得AG的長，再證明NC4O=NDEC,再分兩種情況討論以點(diǎn)C,D,E為

頂點(diǎn)的三角形與。AOG相似，結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可.

【詳解】

解：（1）令x=0,得y=4

C(0,4)

令y=。得

13/八

——x2+—x+4=0

42

\x2-6x-16=0

(x-8)(九+2)=0

.?.A(—2,0),3(8,0)

AB=10,AC=J(0+2。+(4-0)2=2底BC=7(8-0)2+(0-4)2=4也

TO?=(2后+(4后

AB2=AC2+BC2

:.ZACB=90°

(2)①設(shè)直線BC的解析式為：,=依+/左。0),代入3(8,0),C(0,4)得

8k+b=Q

b=4

k=--

.,?<2

b=4

1，

/.y=——x+4

2

i3

設(shè)。(%,——x2+—x+4)

42

1311

BF=8—x,DE——%2H—x+4—(—x+4)=—%2+2x

4224

1

DE+BF——x9+2%+8—x

4

1

——x9+x+8

4

1

(x92—4x)+8

1,

:.--(x-2)2<0

1,

——U-2)2+9<9

4

DE+BF<9

即DE+BF的最大值為9；

②???點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，

在中，OG=-AC=AG=45

2

即-AOG為等腰三角形，

ZCAO+ZACO=ZACO+ZOCB=90°

:.ZCAO^ZOCB

OC//DF

:.ZOCB=ZDEC

:.ZCAO^ZDEC

若以點(diǎn)C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與，AOG相似,

則①也=匹=走

AOCE2

12c

-“+2x=舊

CE~~~1

又：OC//DF

CEBC

7)F~OB

aBCOF迅x

CE=----------=------

OB2

,1,._V5x75

..—x+2x------x—

422

x2-3x=0

.,.玉=0,x2=3

25

???。(0,4)或。(3,一)

4

經(jīng)檢驗(yàn)：。(0,4)不符合題意，舍去，

②姐=0=亙

AODE2

又?OC//DF

CEBC

7)F~OB

aBCOF迅x

OB2

A/5X

2=小

-~X2+2X2

4

整理得，/.x2—4x=0

二.玉=0,x2=4

.??。(0,4)或。(4,6),

同理：0(0,4)不合題意，舍去，

25

綜上所述，。(4,6)或。(3,上).

4

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、

勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識，是重要考點(diǎn)，有難度，掌

握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

9.二次函數(shù)y=g?+6x+4(a片0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4-4,0),5(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P

為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接成、AC,交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)P作尸軸于點(diǎn)D.

y

M

（i）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接BC,當(dāng)ZDPB=2ZBCO時(shí),求直線8P的表達(dá)式；

（3）請判斷：笑是否有最大值，如有請求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒有請說明理由.

1515P04

【答案】（1）y=—x2,—3x+4；（2）y=----xH—；（3）有最大值為一，P點(diǎn)坐標(biāo)

88QB5

為（-2,6）

【分析】

（1）將4（一4,0）,8（1,0）代入y=ax2+6x+4（aw0）中，列出關(guān)于a、b的二元一次方程

組，求出a、b的值即可；

（2）設(shè)族與y軸交于點(diǎn)E,根據(jù)PDUy軸可知，ZDPB=NOEB,當(dāng)ZDPB=2ZBCO,

即/OEB=2NBCO,由此推斷為等腰三角形，設(shè)QE=a,則CE=4—。，所以

BE=4-a,由勾股定理得BE?=0^2+032,解出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法確定出

BP的函數(shù)解析式即可；

（3）設(shè)與AC交于點(diǎn)N,過B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M.由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)

可得AC所在直線表達(dá)式，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則=5,由BM//PN,可得

△PNQsABMQ,^=—=—,設(shè)P（%,—42—3%+4）（_4</<0）,則

N（a。,a。+4）或=W；—3a。+4—（a。+4）=士乜=一（……,根據(jù)二次函數(shù)

QB555

性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：（1）由題意可得:

（-4）2+/,,（^）+4=0

a+b+4=0

a——1

解得：”

b=—3’

...二次函數(shù)的表達(dá)式為y=—爐—3X+4；

(2)設(shè)族與y軸交于點(diǎn)E,

?；PD//y軸，

：.ZDPB=ZOEB,

■:NDPB=2NBCO,

：.ZOEB=2ZBCO,

ZECB=ZEBC,

BE=CE,設(shè)OE=a，

則CE=4—a,.".BE=4—a,

在Rt_BOE中，由勾股定理得BE2=OE2+OB2，

.?.（4-a）2=/+i2

解得a=--,

8

設(shè)BE所在直線表達(dá)式為y=Ax+e(左，0)

,15

,八15k=-----

k-O+e=——,8

8解得＜

15

左?l+e=O.e=一.

8

二直線BP的表達(dá)式為y=-—x+—.

88

(3)設(shè)尸。與AC交于點(diǎn)N.

過B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M.

由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-4,0),(0,4)

可得AC所在直線表達(dá)式為y=x+4

；.M點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5),BM=5

由BM//PN，可得乙PNQS/\BMQ,

.PQPNPN

QB~BM~5

設(shè)尸(“°，-—3ao+4)(—4</<0),則N(%,%+4)

.PQ-a：-3a0+4-(%+4)-a：-4ao-(%+2)2+4

??透一5-5-5

PO

???當(dāng)。0=-2時(shí)，3有最大值0.8,

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,6).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)以及一次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖像的性質(zhì)，相似三角形，勾股定

理等知識點(diǎn)，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，本題綜合性強(qiáng)，涉及知識面廣，

難度較大，屬于中考壓軸題.

10.如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(3,12)和(-2,-3),與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A,

B,C,它的對稱軸為直線1.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)P是該拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作1的垂線，垂足為D,E是1上的點(diǎn).要使以P、D、E

為頂點(diǎn)的三角形與AAOC全等，求滿足條件的點(diǎn)P,點(diǎn)E的坐標(biāo).

【分析】

(1)將點(diǎn)(3,12)和(-2,-3)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

(2)由題意得：PD=DE=3時(shí)，以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，分點(diǎn)P在拋

物線對稱軸右側(cè)、點(diǎn)P在拋物線對稱軸的左側(cè)兩種情況，分別求解即可.

【解析】

(1)將點(diǎn)(3,12)和(-2,-3)代入拋物線表達(dá)式得解得｛。二，3'

故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+2x-3；

(2)拋物線的對稱軸為x=-1,令y=0,則x=-3或1,令x=0,則y=-3,

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-3,0)、(1,0)；點(diǎn)C(0,-3),

故OA=OC=3,

,.-ZPDE=ZAOC=90°,

.?.當(dāng)PD=DE=3時(shí)，以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，

設(shè)點(diǎn)P(m,n),當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸右側(cè)時(shí)，m-(-1)=3,解得：m=2,

故n=22+2X2-5=5,故點(diǎn)P(2,5),

故點(diǎn)E(-1,2)或(-1,8)；

當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸的左側(cè)時(shí)，由拋物線的對稱性可得，點(diǎn)P(-4,5),此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)

同上，

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,5)或(-4,5)；點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,2)或(-1,8).

11.如圖，已知拋物線y=ax?+bx+6經(jīng)過兩點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C是拋物線