2024-2025學(xué)年山東省德州市高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省德州市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知直線<：（4T）x+2y+l=0,l2:ax+（a+2）y+4=0,設(shè)甲：■乙：a=2,則

甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.直線3x-4y+10=0與以點(diǎn)C㈠，-2）為圓心的圓相交于42兩點(diǎn)，且|/同=8,則圓

C的方程為（）

A.（尤+1>+（>+2）2=25B.（x-l）2+3-2）2=25

C.（x+l）2+（y+2）2=5D.（X-1）2+（7-2）2=5

3.與橢圓目+己=1有相同焦點(diǎn)，且長軸長為46的橢圓的方程是（）

94

22222222

X

A.=1B.------F--=1C.-----F--=1D.-----F—y—二A1

2520202520151520

4.下列說法中，正確的是（）

A.點(diǎn)M（3,2,l）關(guān)于平面xOy對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3,2,-1）

B.若直線/的方向向量為工=（1,T,2）,平面。的法向量為碗=（4,-4,8）,貝！|/_La

C.已知。為空間中任意一點(diǎn)，A,B,C,尸四點(diǎn)共面，且/,B,C,P中任意三

點(diǎn)不共線，^OP=mOA--OB+OC,則m=1

2

D.若直線/的方向向量與平面。的法向量的夾角為30。，則直線/與平面。所成

的角為30°

5.已知平面尸的法向量分別為1=（2,1,-3）,0=（1,-3,2）,則平面a,6的夾角

的大小為（）

5兀2兀兀7T

A.—B.—C.-D.一

6336

6.記S）,為等差數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和，若%+%=16,品,=110,則幾=（）

A.240B.225C.120D.30

7.已知拋物線y=6x,直線/過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于4,2兩點(diǎn)，若弦N3

的長為8,則直線/的方程為（

13T13

AA.y=-x--^y=--x+-

c1Tcl

C.y=43x--^y=-A/3X+—D.y=2x——或,=-2x+—

2222

8.空間直角坐標(biāo)系。-平中，過點(diǎn)尸（Xo/o，zo）且一個(gè)法向量為］=（Q也c）的平面。的

方程為a（x-Xo）+〃y-Vo）+c（z-z（））=0.已知平面a的方程為x+y+4z-3=0,直線/是

平面，:x+2y-3=0與平面7：2y+z+l=0的交線，則直線/與平面。所成角的大小為

（）

兀71271

A.—B.-D.——

6433

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知S“是等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，%>0,且耳。=幾，則（）

A.公差1<0B.%6>。

C.%=。D.當(dāng)〃=13時(shí)，S,最大

2

10.雙曲線T：*一/=1的焦點(diǎn)為月（一2,0）,月（2,0）,過久的直線4與雙曲線的左支

a

相交于48兩點(diǎn)，過鳥的直線4與雙曲線的右支相交于C，。兩點(diǎn)，若四邊形A3。

為平行四邊形，則（）

A.a=V3

B.|附-%=26

C.平行四邊形23。各邊所在直線斜率均不為土且

3

DS<更

U,^aABCD~3

11.如圖，在正方體N3CD-44GA中，P為棱8月的中點(diǎn)，。為正方形88cle內(nèi)一

動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法正確的是（）

A.三棱錐。-42。的體積為定值

B.若2。//平面4尸D，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條線段

c.存在。點(diǎn)，使得20，平面4尸。

D.若直線4。與平面8CG片所成角的正切值為2,那么點(diǎn)。的軌跡是以￡為圓

心，半棱長為半徑的圓弧

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和其滿足5“=〃2+”僅—*),則%=.

13.在平行六面體力BCD—40CQ1中，AAX=a,AB=34Z)=c,點(diǎn)尸在4c上，且

&P:PC=2:5,用反)表示則不=.

22

14.已知橢圓C：L+L=1(加＞0,且切力6),直線x+y-4=0與橢圓c相交于4B兩

6m

點(diǎn).若點(diǎn)(1,3)是線段的中點(diǎn)，則橢圓C的半焦距。=.

四、解答題(本大題共5小題)

15.已知直線/過點(diǎn)43,4),0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線/與直線04垂直，求直線/的方程；

(2)若點(diǎn)。到直線/的距離為3,求直線/的方程.

16.如圖，在四棱柱NBCD-44GA中，四邊形/3C。是正方形,

乙4/。=ZA,AB=6匕/4=08=2,點(diǎn)G為C片的中點(diǎn).

⑴用向量赤，石，聲表示就；

(2)求線段/G的長及直線ZG與8功所成角的余弦值.

312

17.數(shù)列也｝滿足偽=三，^+1=2--,〃eN*,數(shù)列｛叫滿足a“=F，〃eN*.

Jn

(1)證明數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列并求其通項(xiàng)公式.

(2)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S",問S”是否存在最小值？若存在，求S1,的最小值及取得

最小值時(shí)〃的值；若不存在，請說明理由.

18.如圖，在四棱錐P-4BCZ)中，平面平面48CZ),ADLDC,AB//DC,

AB=^CD=AD=\,M為棱PC的中點(diǎn).

(2)若PC=EPD=1,

①求二面角的余弦值；

②在棱P4上是否存在點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到平面的距離是屈？若存在，求出產(chǎn)。

18

的長；若不存在，說明理由.

19.設(shè)耳石分別為橢圓。5+馬=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，尸是橢圓C的短軸的一

ab

個(gè)端點(diǎn)，△期工的面積為近，橢圓C的離心率為也.

3

(1)求橢圓C的方程.

(2)如圖，W,N,G是橢圓。上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)。是AA/NG的重心.

(i)當(dāng)直線NG垂直于x軸時(shí)，求點(diǎn)M到直線NG的距離；

(ii)求點(diǎn)M到直線NG的距離的最大值.

答案

1.【正確答案】B

【詳解】由4〃4，得2。=(。-1)(。+2),化簡得"一”2=0,解得°=2或a=-l.

當(dāng)a=2時(shí)，直線4:x+2y+l=0,直線4：2x+4y+4=0,/]〃4；

當(dāng)a=—1時(shí)，直線:-2x+2y+1=0,直線/2：—x+y+4=0,乙〃/2.

綜上所述：《他等價(jià)于a=2或a=-l.

故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分條件.

故選：B.

2.【正確答案】A

|3x(-l)-4x(-2)+10|

【詳解】因?yàn)閳A心C（-l,-2）至I］直線3尤一4了+10=0的距離1=二3,

A/32+(-4)2

所以圓。的方程為（x+l）2+（y+2）2=25.

故選：A.

3.【正確答案】C

【詳解】因?yàn)闄E圓卷+jl的焦點(diǎn)坐標(biāo)為卜氏0）,（若,0）,

所以所求橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，

設(shè)其方程為，■+/=l（a>6>0）,

貝a2-b2=5.

因?yàn)樗髾E圓的長軸長為4石，即20=4退，

所以/=20，所以/=15,

所以所求橢圓的方程是二+且=1.

2015

故選：C.

4.【正確答案】B

【分析】根據(jù)對稱規(guī)則可判斷A錯(cuò)誤，利用向量共線的條件可得有〃配可得B正

確，由共面定理可知C錯(cuò)誤，再由線面角定義可得D錯(cuò)誤.

【詳解】對于A,點(diǎn)“（3,2,1）關(guān)于平面xOy對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,2,-1）,故A錯(cuò)誤;

對于B,直線/的方向向量為G=(LT2),平面々的法向量為麗=(4,-4,8),

因?yàn)榧?4e,所以切〃e,則/_Ltz,故B正確；

對于C.已知。為空間任意一點(diǎn)，A,B,C,尸四點(diǎn)共面，且/,B,C,尸中任意三

-■—1——?11

點(diǎn)不共線，^OP=mOA--OB+OC,則機(jī)二+1=1,解得加=彳，故C錯(cuò)誤；

222

對于D,若直線/的方向向量與平面。的法向量的夾角為30。，

則直線/與平面。所成的角為90。-30。=60。，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

5.【正確答案】C

【分析】直接由兩平面夾角的向量公式計(jì)算可求.

【詳解】由向量4=(2,1,-3)與n2=(1,-3,2),

/—*—A%?%2x1+1x(—3)+(—3)x21

…W麗至+F+TW+(一3)2-

又0V伍，可V7T,貝麗引=茅所以平面C,6的夾角的大小為:

故選：C.

6.【正確答案】A

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛6｝為等差數(shù)列，則為+%=2%=16,即&=8,

又因?yàn)閹?呸詈｝=5@+%)=H0，可得%=14,

則等差數(shù)列｛叫公差詈=2,可得出=。7+1=16,

所以幾=15g=240.

故選：A.

7.【正確答案】B

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物

線定義求解即得.

【詳解】拋物線/=6x的焦點(diǎn)尸弓,0),依題意，直線/的斜率存在，且不為0,

3

設(shè)直線/的方程為了=心-》心,乂)，B(x2,y2),

'3

由)，=5"消去乃整理得/f-(3/+6)X+2/=0,網(wǎng)+3=迎聿，

/=6x4-k-

于是|AB|=+x2+3=二：6+3=8,解得后？=3,k=士也,

所以直線/的方程為V=K(X-1)或y=-6(x-1).

故選：B

8.【正確答案】B

【分析】根據(jù)平面方程對應(yīng)的法向量，由三個(gè)平面方程得出法向量，由線面角的向

量求法計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】依題意，平面。的一個(gè)法向量為加=(14,4),平面廣的一個(gè)法向量為

?=(1,2,0),平面/的一個(gè)法向量為彼=(0,2,1).

設(shè)直線I的方向向量為行=(x,?,z),

：.lU/3,Iuy,

n-a=0,x+2了=0,令》=2,

一即貝（Jk=（2,-1,2）.

n-b=0,2y+z=0,'

設(shè)直線/與平面a所成的角為巴

|2-1+8|y/2

則sin^=|cosm,=

V18x3—2

故選：B.

9.【正確答案】ACD

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為1，

,c0,口s10x97I,16x15.

由o10=516,得lUqH——--a=H--------a,

2

則24+25d=0,貝Ud=—<0，故A正確；

=4+15d=4+15x|總a\=—ax<0,故B錯(cuò)誤;

邑6=26%+^—d=13（%+6/）=0,故C正確；

21

l"|"|。13="i+12d=〃]+12x]>0,

3刃w25色

%4=q+13d=a1+13xf—%

如<0,

則〃K13時(shí)，%>0;〃214時(shí)，％<0,

所以當(dāng)”=13時(shí)，S“最大，故D正確.

故選：ACD.

10.【正確答案】BC

【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判定A,由平行四邊形與雙曲線的對稱性及雙曲

線定義可判定B,利用雙曲線的性質(zhì)可判定C,設(shè)直線4方程，聯(lián)立雙曲線利用韋達(dá)

定理及弦長公式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判定D.

【詳解】由題意可得c=2,?2=C2-1=3,貝隈=±6，故A錯(cuò)誤.

由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：|C耳|=|"周，

則||"|-|切卜歸用_|。3=|24=26，B正確.

設(shè)任一邊所在直線為l=履+方（斜率存在時(shí)），聯(lián)立雙曲線八，

[x-3y-3=0

聯(lián)立得（1-3左2）X2-6BX-362-3=0,

則1一3發(fā)2片0,即左w土之，C正確.

3

由^oABCD—4SaCOD，

x=ty+2

設(shè)4：X=）+2,（H＜石）；（7（再,弘）,￡）（工2，%）,

x2-3y2-3=0'

聯(lián)立得仁一少?+40+1=0,

?—411

弘》2=；^<0,n

I—JI—J

\COF+S.DOF=g|必一%I,2

則%⑺=g22

+i

=|必fl=+.%）2—4必力='

k2-3|

設(shè)，產(chǎn)+1=m＞貝U1（加＜2,

、2A/3W2V5m

33_"T=匚蕨:丁，

m

_2仆26

44??d

又〉=——冽單調(diào)遞減，則0<——m<3,.ACOD-

mm-----m

m

故S.s2速，D錯(cuò)誤.

aAtSCD3

故選：BC

11.【正確答案】ABD

【詳解】設(shè)正方體的棱長為2a.

對選項(xiàng)A,三棱錐。-42。的體積即三棱錐。-4。。的體積，

因?yàn)椤癚Q的面積為定值2r，點(diǎn)。到平面的距離為定值2a,

所以三棱錐。-42。的體積為定值.故A正確；

對選項(xiàng)B,如圖，分別取3C，C|C的中點(diǎn)E,尸，連接DiE,D、F,EF,PF.

由尸尸〃8c//NR且PF=&&=49,知四邊形4尸ED1是平行四邊形，

所以。尸〃4尸.因?yàn)椤Ｊ?平面4尸。，4?u平面4尸。，所以2尸//平面4尸。.

同理可得所//平面4PD,因?yàn)镋FcRF=F,EF,RFu平面D/F,

所以平面4PD//平面REF,則。點(diǎn)的軌跡為線段EF,故B正確；

對選項(xiàng)C,以點(diǎn)2為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（2a,0,0）,尸（2a,2a,a）,D（0,0,2”）.設(shè)Q（x,2a,z）,0Vx<2a,0<z<2a,

則4。=（-2a,0,2a）,&P=（0,2a,a\DXQ=^c,2,a,z）.

m-Z5=0

設(shè)施=（",v,M為平面4尸。的一個(gè)法向量，貝I]__L

m-AXP=0

[-2,au+2aw=0u-w

即，得<w取取=2,則所=（2,-1,2）.

2av+aw=0v=----

I2

若20，平面4尸￡）,則麗〃應(yīng)，即存在XeR,使得而=4成，

x=2Z

則<2"=-4,解得x=z=-4a,與0Vx?2〃,0?z?2〃矛盾，

z=24

故不存在點(diǎn)。使得2。，平面4尸。，故c錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D,因?yàn)橐褍?chǔ)，平面5。。的，

所以/D?G即為直線2。與平面BCQB1所成的角.

因?yàn)橹本€4。與平面8CG4所成角的正切值為2,

所以G0=a.因?yàn)辄c(diǎn)。為正方形88CC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），

所以點(diǎn)。的軌跡是以￡為圓心，半棱長為半徑的圓弧（正方形88CC內(nèi)），

7T

且其圓心角為5,故D正確.

12.【正確答案】10

fa,n=1

【分析】由公式%=。'9、.，將力=5代入即可得結(jié)果.

[5?-5?_15n>2

【詳解】由題得出=$5-8=52+5-（42+4）=30-20=10.

故10.

5-9-?-

13.【正確答案】-a+-b+-c

777

【分析】利用空間向量的基本定理可得出方關(guān)于￡、b>）的表達(dá)式.

【詳解】如下圖所示：

—?2?—?—?2/—(■—?\

由題意可知，AXP=-AXC,可得NP-/4=,(/C-

—?2—?5——?5——?2i—.-52-2

所以，AP=-AC+-AA,=-AA,+-[AB+AD]=-a+-b+-c,

771717^1777

故答案為.15-+72-+2-

777

14.【正確答案】2月

【分析】利用點(diǎn)差法來求解橢圓方程中的加值，然后根據(jù)橢圓中a,b,c的關(guān)系求出半

焦距J

2

fV

【詳解】設(shè)必），次馬,%）,因?yàn)?8在橢圓c：L+匕=i上，

6m

才+K=i2222

m

所以62.兩式相減得五H+反二”=0,即

X,%16m

—+—=1

、6m

（再+丫2）（占一%）I（M+%）（必一%）：0

6m

因?yàn)辄c(diǎn)（l,3）是線段4B的中點(diǎn)，所以占+尤2=2,乂+%=6.

28斜率一1="士，得2（*-尤2）+6（乂一%）=0,即2+6x（T）=。,解得不=18.

再一超6m6m

22_

當(dāng)加=18時(shí)，橢圓方程為二+匕=1,可得°2=18-6=12,所以C=2A/L

618

故答案為.26

15.【正確答案】（l）3x+4k25=0

（2）X=3或7、-24>+75=0

/、

【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)工（3,4）,所以直線。4的斜率為/4—0=4

3—03

3

因?yàn)橹本€/與直線Q4垂直，所以直線/的斜率為-=.

4

又直線/過點(diǎn)/（3,4）,則直線/的點(diǎn)斜式方程為y-4=-：仁-3）,

整理得3x+4k25=0.

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=3,此時(shí)原點(diǎn)。到直線/的距離為

3,滿足題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為V-4=MX-3）,即布-y-3左+4=0.

得|4一蕓3月d

根據(jù)題意及點(diǎn)到直線的距離公式,所以|4-3用=3，1+/.

7

兩邊平方，化簡得24左-7=0,解得上=三.

24

7

此時(shí)直線/的方程為y-4='卜-3）,整理得7x-24y+75=0.

綜上，直線/的方程為x=3或7x-24y+75=0.

——1—1-----

16.【正確答案】（1）/6=/8+540+,/4

0、岳M

⑵丁T

【詳解】（1）方法一：由題意知

就=在+就+京=方+而+:西=萬+25+：網(wǎng)一嗎

方法二：因?yàn)镚為c片的中點(diǎn)，所以

就=g（函+碼=;（方+石+方+珂=益+g石+：麴.

i^AG=AB+-AD+-AA,.

22

(2)因?yàn)樗倪呅问钦叫危?0P,/&=248=2,

J?fKZs-55=0,28.314=1x2xcos60°=l,ZO-14=1x2xcos60°=1,

21----?-21-----2------------、--------、1---------,,

所以國+-AD+-AA+ABAD+AB-AA+-AD-AA

4^4441121

i+Li+i+L姮,

422

即線段/G的長為姮.

2

因?yàn)锽Q=/2—45=力。+7<4—45,

所以\BD\=^(AD+AA^AB『=SJAD2+A^2+AB2+^D-AA^^D^AlT-24A^A^

=Jl+4+l+2-2=&.

又AGBD]加+53+)4\AD+AAX-AB

111121*■2?21*1,***]]

=-AD+-AAX-AB+-ADAB+-ABAA.+AD-AA,=-+2-1+-+1=3,

??西

即直線4G與所成角的余弦值為巫.

故線段/G的長為姮，直線/G與3A所成角的余弦值為畫.

25

17.【正確答案】(1)證明見解析，?！?2〃-7；

(2)存在，(5?)min=-9,n=3.

【詳解】(1)由?！?匕，得"=2+1="^,又%1=2-：,則

b“Tananbn

2Q3

即一+U^=1，整理得?！?「?！?2,由得4=-5,

所以｛%｝是以首項(xiàng)q=-5,公差d=2的等差數(shù)列，%=%+(〃-l)d=2〃-7.

7

(2)由(1)知，數(shù)列｛叫是遞增等差數(shù)列，由%<0,得*,

因此｛%｝前3項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第4項(xiàng)起為正數(shù)，

所以數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和E,存在最小值，此時(shí)"=3,(5?)min=-9.

18.【正確答案】(1)證明見解析

(2)①g；②存在；PQ=^

【詳解】(1)證明：如圖，取尸D的中點(diǎn)N,連接AN,MN.

為棱PC的中點(diǎn)，：.MN//CD,MN=-CD.

2

-??AB//CD,AB=-CD,AB//MN,AB=MN,

二四邊形4BAW是平行四邊形，:.BM||^.

又BM2平面PAD,ANu平面PAD,BM//平面PAD.

屋

（2）解：PC=45,PD=1,CD=2,PC2=PD2+CD2,PDA.DC.

?平面尸DC_L平面ABCD,平面POCA平面48C。=OC,PDu平面PDC,

.?.PD_L平面ABCD.

又NOu平面ABCD,:.PDLAD.

又vAD1DC,DA,DC,DP兩兩垂直.

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4。。,。尸所在直線分別為陽y/軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則P（0,0,l）,D（0,0,0）^（l,0,0）,C（0,2,0）,5（l,l,0）.

令z=2,則y=-l,x=l,

所以元=(1,-1,2)為平面BD"的一個(gè)法向量,

PS=(l,l,-l),PC=(O,2,-l),

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為訪=(。也。)，

m?PB=a+b-c=0

則一一，

m?PC=2b-c=0

令b=L則。=l,c=2,

所以所=（1,1,2）為平面平面P8C的一個(gè)法向量,

慶?五42

所以cos〈泣力=麗=不區(qū)

3

根據(jù)圖形得二面角尸-瓦W-D為銳角，

2

則二面角P-氏位-。的余弦值為

②假設(shè)在棱尸4上存在點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到平面5。河的距離是城.

18

設(shè)PQ=APA,Q<A<1?則。(40,1—2),BQ=—1,—1,1—A).

由①知平面3DM的一個(gè)法向量為k=(1,T,2),

?.■52-77=2-1+1+2(1-2)-2-2,

二點(diǎn)。到平面的距離是嗎4=與=板，解得2=：.

\n\V6183

在RM/DP中，PA=C,:.PQ=

22

19.【正確答案】⑴土+匕=1；

32

0、3c3百

22

【分析】(1)根據(jù)已知可得a=/c，bc=&，再結(jié)合/=〃+c2求出橢圓方程.

(2)(i)設(shè)出M,N,G三點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)重心坐標(biāo)公式和已知條件列出方