2024-2025學(xué)年山西省高二年級上冊11月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山西省高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一、二冊占20%,選擇性必修第一冊占80%.

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的

1.已知集合o={'''}'{'}'{'},貝0(%)()

A.{3}B.{1,2}C.{2,3}D.{3,4}

【正確答案】A

【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念與運(yùn)算直接得出結(jié)果.

由題意得用M={3,4},所以(令M)cN={3}.

故選：A

1-i

2.已知復(fù)數(shù)z滿足1—z=——，則z的共輾復(fù)數(shù)亍=()

i

A.-1-iB.-1+iC.2+iD.2-i

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共輾復(fù)數(shù)的概念求解.

因?yàn)樨?=所以z=l—(-t—i)=2+i,則7=2—i.

ii

故選：D.

3.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x?0時(shí)，/(x)=2)則/(—1)=()

A.1B.2D.0

2

【正確答案】B

【分析】由函數(shù)的奇偶性可得/（-I）=/（l）,代入函數(shù)解析式直接得出結(jié)果.

由偶函數(shù)性質(zhì)得，/（-H=2.

故選：B

4.從｛2,3｝和｛4,5｝兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率

是（）

1111

A.—B.-C.—D.一

6324

【正確答案】D

【分析】用列舉法寫出樣本空間，再由概率公式計(jì)算.

組成兩位數(shù)的樣本空間。=｛24,42,25,52,34,43,35,53｝,樣本點(diǎn)總數(shù)為8.能被3整除的數(shù)為

21

24,42,有2個(gè).故所求概率為一=一.

84

故選：D.

5.圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2m,水面寬6m,水面下降1m

后，水面寬度為（）

<6—?

A.3V5mB.3&mC.3詬nD.8m

【正確答案】C

【分析】建立直角坐標(biāo)系，直線交拋物線于兩點(diǎn)，拋物線方程為/（3,-2）代入拋物

線，解得答案.

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)/（3,-2）.設(shè)拋物線的方程為y=ax1,

o）2

由點(diǎn)4（3,—2）可得—2=9a,解得a二—“所以歹=—子

當(dāng)天二一3時(shí)，%=±3a.,所以水面寬度為3j4m.

2

22

6.已知橢圓。：3_+亍=1,過點(diǎn)M（—1,1）的直線交C于A、8兩點(diǎn)，且M是23的中點(diǎn),

則直線的斜率為（）

4224

A.一B.一C.—D.一

9933

【正確答案】A

【分析】設(shè)4（再,必）、B（x2,y2）,利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率.

若線段軸，則線段Z5的中點(diǎn)在x軸上，不合乎題意，所以，直線48的斜率存在，

設(shè)幺（再,必）、B（x2,y2）,由題意可得%=-2,%+了2=2,

X+近=1

042_22_2

則＜1,兩式相減可得?一々—匕=0,

x；y；94

—+—=1

4

工=工.T=彳%=一3尸4,解得

所以，

xr-x2xr-x2xi+x2-299

4

因此，直線Z5的斜率為一.

9

故選：A.

7.若動(dòng)圓過定點(diǎn)4（2,0）,且和定圓C：（X+2）2+/=I外切，則動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程為

()

A.%2_匕=1(x>l)B.-乙=1(x<--)

3232

24y2124y21

C.4x2—--=1(x<——)D.4x2—--=1(x>-)

152152

【正確答案】D

【分析】根據(jù)動(dòng)圓與定圓外切得出|尸。卜|尸旬=1<|/。|=4,再由雙曲線定義判斷

動(dòng)點(diǎn)軌跡，寫出方程即可.

定圓的圓心為C(—2,0),與4(2,0)關(guān)于原點(diǎn)對稱.

設(shè)忸山=「，由兩圓外切可得|尸C|=l+r,

所以|尸C|—|7^=1<以。|=4,

所以尸的軌跡為雙曲線的右支.

2211r

設(shè)尸的軌跡方程為?一方=1(Q>0/>0)，則6Z=/,C=2,〃=/一/=a,

所以軌跡方程為4/一士=

15I2)

故選：D

8.已知4(2,0),5(10,0),若直線加一4歹+2=0上存在點(diǎn)P,使得方.方=0,則t的取

值范圍為()

9

C.U[3,+oo)D.(-8,-7]U一,+GO

5

【正確答案】B

【分析】設(shè)P(xj),根據(jù)強(qiáng).詬=0，得出產(chǎn)的軌跡方程，再結(jié)合條件尸為直線45上的

點(diǎn)，得到直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.

設(shè)P(x,y),則蘇=(2—x,_y),P5=(10-x,-j),

因?yàn)樘K?屈=0，所以(2—x)?(10—x)+(—y)2=0,

即(x-6)2+/=16,所以點(diǎn)尸在以(6,0)為圓心，4為半徑的圓上.

點(diǎn)尸在直線女—4y+2=0上，

所以直線/x—4y+2=0與圓(x—6)2+「=16有公共點(diǎn)，

|6r+2|21

則［?44,解得——<t<3.

“+165

故選:B.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為/，直線/:y=1)與C在第一象限的交點(diǎn)為尸，

過點(diǎn)P作。的準(zhǔn)線的垂線，垂足為下列結(jié)論正確的是()

7T

A.直線過點(diǎn)EB.直線的傾斜角為一

3

TT

C.ZFPM=-D.是等邊三角形

2

【正確答案】ABD

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，代入驗(yàn)證可判斷A；由直線的斜率求出傾斜角可判斷B；由/"必

與直線的傾斜角的關(guān)系可判斷C；由拋物線定義可知?dú)w廠|=進(jìn)而判斷△"Af的形狀,

從而判斷D.

拋物線C：/=4x的焦點(diǎn)為尸(1,0),而0=百(1-1),所以直線過點(diǎn)少，故A正確；

設(shè)直線的傾斜角a,因?yàn)橹本€/：y=—1)的斜率為左=tana=百，0<a<Ti,

TT7T

所以&=—,即直線的傾斜角為一，故B正確；

33

TT

因?yàn)?a=—,故C錯(cuò)誤；

3

因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，由拋物線定義可知，歸尸|=|m4，

jr

又NFPM=—,所以是等邊三角形，故D正確.

3

故選：ABD.

10.已知函數(shù)/(x)=2sinx(cosx-sinx)+l,則()

A./(x)的最小正周期為兀

57r

B./(x)的圖象關(guān)于直線x=H對稱

8

/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)三,1]

中心對稱

D./(x)在(—J上單調(diào)遞增

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)三角恒等變換的化簡計(jì)算可得/(x)=J5sin2x+；,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與

性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.

詳解】/(%)=2sinx(cosx-sinx)+1=sin2x+cos2x二后sin+：

2兀

A：7二萬=兀，所以/(x)的最小正周期為兀，故A正確；

.-7C7Cjj_7C左兀j_

B:令2%H-Fkit,左￡Z,何X-1---，左￡Z,

4282

5兀

當(dāng)左=1時(shí)，x=—,

8

57r

所以x=—為函數(shù)/(x)的一條對稱軸，故B正確；

8

TTTTKTT

C：令2x+—=左兀,左￡Z,得工=----F—，左EZ,

482

TT

當(dāng)左=0時(shí)，x=—

8

所以-：,0為函數(shù)/(x)的一個(gè)對稱中心，故C錯(cuò)誤;

1

7rITTTtITIT

D：令----1-2kii<2x+—<—+2hi.kEZF得-----卜kn工x工一十kn(keZ),

24288

22

當(dāng)左=0時(shí)，----—,即/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為——

8888

而4喘為的真子集，故D正確.

故選：ABD

11.若￡公平面7,be平面7,所，平面7,則稱點(diǎn)F為點(diǎn)E在平面7內(nèi)的正投影，記為

尸=多(￡).如圖，在直四棱柱48co中，BC=2AD>AD1AB,P,N分別

為幺4，Cq的中點(diǎn)，方0=3兩，/8=BC=Z4=6.記平面ZRC為a,平面ABCD

為月,病=4聞0<4<1),為=%[%(〃)].&=<％(>)].()

A.若麗=2羽—2乖+〃福，則〃=1

B.存在點(diǎn)H,使得〃&//平面a

C.線段HK1長度的最小值是上

5

D.存在點(diǎn)H,使得HK]LHK2

【正確答案】ABC

【分析】先建系，對于選項(xiàng)A,先證Q,B,N,P四點(diǎn)共面，再計(jì)算〃的值；對于選項(xiàng)B,

先找出K2,可得N瓦是平面a的一個(gè)法向量，結(jié)合〃￡//平面a,則函?我=0,

依此求出H的位置;對于選項(xiàng)C,表示出|函求解其最小值即可;對于D,依據(jù),

則立?魂=0,從而可判定H的存在性.

對于A：因?yàn)?5CD—48001為直四棱柱，AD1AB,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB,

Z4所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，連接PQ,BN.

A

Q

則4（006）,43,0,0,5（0,6,0）,N（6,6,3）,P（0,0,3）,

故&=13,0,1],麗=（6,0,3）,

所以麗=2加，即Q,B,N,P四點(diǎn)共面，

若不=2而—2套+〃福，則2—2+〃=1,解得〃=1,A正確；

對于B：過點(diǎn)H作笈交，逐于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作AB的垂線，垂足即&,

過點(diǎn)A作/逐的垂線，垂足即K2,連接HK1,HK2,由題意可得=62（0<2<1）,

則H（0,0,64）,G（0,3-32,3+32）,&（0,3—34,0）,K2（0,3,3）,

故我=（0,3,3）,函=（0,3-3九-62）,加=（0,3,3-62）,聾=（0,6,-6）,

易得7瓦是平面a的一個(gè)法向量，若〃￡//平面a,

貝4函.磯=0,Bp3（3-32）+3（-62）=0,解得幾=；e（0,l）,符合題意，

所以存在點(diǎn)H,使得〃&//平面a,B正確,

防卜,(3-34)2+(—64)2=3453—2X+1=3,5(2—，

對于c：

當(dāng)力=1時(shí),取得最小值，最小值為生5,C正確.

55

對于D：若HKJH"則依「m2=3(3—32)—6X(3—6X)=0,

得4%—34+1=0,無解，所以不存在點(diǎn)H,使得〃(,網(wǎng)2,D錯(cuò)誤.

故選：ABC

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意可知用,犬2在平面48片4上，然后建立坐標(biāo)系，根據(jù)投影表示所需要

點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)計(jì)算即可.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知單位向量扇B滿足卜-可=|司，則3與在的夾角為.

7T

【正確答案】y##60°

_1

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得限6=—,結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.

2

_1

由5一q=同，可得鏟一2晨B+后=@解得萬0=—,

2

/——\G.b1

則cos?,Q=麗=5,又伍%[0,兀],

JT

所以2與3的夾角為一.

3

故W

13.如圖，在棱長為2的正方體/BCD-4用G2中，R是CR的中點(diǎn)，則

AF-AC=.

【正確答案】6

}

【分析】~AF=^ADl+ACyAZCn為等邊三角形，利用向量數(shù)量積的定義求善.充即

可.

棱長為2的正方體ABCD-中，

連接AD-則AACDi是邊長為2行的等邊三角形，

22

AF-AC=-(AD.+AC]-AC=-AD,-AC+-AC=-X2A/2x272XCOS-+-X(2A/2)=6

2、,22232

故選：6

V2

14.已知橢圓G：J+=1（。>6>0）與雙曲線6:=1（加>0,〃>0）有公共焦

ab2mn2

點(diǎn)片，鳥,G與。2在第一象限的交點(diǎn)為尸，且尸片，尸8，記。1，。2的離心率分別為,，％，則

11

---1----

【正確答案】2

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得|尸耳卜°+冽,忸工|=a-加，根據(jù)勾股定理化簡可得

a2+m2=2C2＞結(jié)合離心率定義即可得結(jié)果.

由題意可知，|下羽|+|尸閭=2a,|F罵|—|尸閭=2加,

所以忸片上a+m,\PF2\=a-m.

22

因?yàn)槭L尸鳥，所以4c2=（4+加y+g—冽）2,即/+加2=2/,'+笄=2,

CC

11c

所以“3=2,

故2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知在V/8C中，4（2,1）,5（2,3）,C（6,l）,記VZ3C的外接圓為圓M.

（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求過點(diǎn)A且與圓M相切的直線的方程.

【正確答案】（1）（x—4r+0—2）2=5

（2）2x+j-5=0

【分析】（1）方法一，求兩條線段垂直平分線的交點(diǎn)確定圓心，圓心到圓上一點(diǎn)的距離確定半

徑，從而得到圓的方程；

方法二，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，待定系數(shù)法求圓的方程.

（2）先求圓心與A點(diǎn)連線的斜率，利用垂直關(guān)系，確定切線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解切

線方程.

【小問1詳解】

（方法一）直線48的方程為x=2,A、3的中點(diǎn)為（2,2）,

所以線段AB的中垂線方程為＞=2,

直線ZC的方程為＞=1,A、。的中點(diǎn)為（4,1）,

線段ZC的中垂線方程為x=4.

直線y=2與直線x=4的交點(diǎn)為（4,2）,即圓河的圓心為（4,2）.

點(diǎn)（4,2）與點(diǎn)4（2,1）的距離為44-2）2+（2_咪=,

即圓M的半徑為石，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）2+⑶-2）2=5.

（方法二）設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—a『+（y—bp=/,

(2-療+(1Wa2-4a+b~-2b+5=r2

貝”(2—4+(3—4=/,

<a2-4a+b~-6b+13=r~

(6—a/+(1—6)2=/a2-12a+b2-2b+31=r2

a=4

解得b=2

r2=5

故圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）2+3—2）2=5

【小問2詳解】

圓M的圓心為M（4,2）,4（2,1）,直線ZM的斜率為左===萬,

所以切線斜率為左2=一[=-2,所求切線方程為y-1=-2（x-2）,

整理得2x+v-5=0.

16.如圖，長方體48co-4B1G2的底面48co是正方形，E/,G分別為。。”力用,。。

的中點(diǎn)，24=248.

（1）證明：EF〃平面ZGD].

（2）求二面角G—2，—。的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可證明線面平行;

（1）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二面角的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

設(shè)幺4=248=2,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),。(1,0,2),G

設(shè)平面AGDX的法向量為五=(x,y,z),

~7rTnfx+2z=0,

n?AD.=0,

則《一i即〈1八

n-AG=0,+―J7-0?

iI2

令x=2,則為=(2,—4,一1).

證明.￡(1,1』),尸［0；1；麗=1-1,-：,01

因?yàn)镋F-n=-1x2——x(—4)+0x(—1)=0,所以EFJ_萬,

EF<Z平面ACDr,所以￡尸〃平面AGDX.

【小問2詳解】

易知方為平面的一個(gè)法向量，且48=（0,1,0）.

AB,五4V21

cos(AB,n

RS21

易得二面角G-AD.-D為銳角，所以二面角G-AD.-D的余弦值為生包.

21

2

17.已知橢圓G：■+￡=I(a〉6〉0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2:y=2px(p>Q)的焦點(diǎn)

重合，過點(diǎn)E且與x軸垂直的直線交C2于48兩點(diǎn)，M是G與C2的一個(gè)公共點(diǎn),|71^|=5,

叫=6.

(1)求。與。2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)A且與C?相切的直線與Ci交于點(diǎn)C。，求|CD|.

22

【正確答案】(1)G的標(biāo)準(zhǔn)方程為不+以=1,G的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=i2x

7

【分析】(1)由拋物線的定義代入計(jì)算，即可求得G的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將點(diǎn)河的坐標(biāo)代入橢圓

方程，即可得到的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

記廠(c,0)(c>0),則拋物線的方程為/=4cx,其準(zhǔn)線方程為x=-c.

因?yàn)樵?6,所以62=",解得c=3,則G的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=12x.

不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，記M(X〃,為J(XM>0,加>0),因?yàn)樗目?5,

所以。+%=5,解得應(yīng)=2.因?yàn)閥j=12%，所以加=2遍，即上(2,2n).

,22,(2A/6)2

2

--------------------------二1a—36,

由<a2b12'解得

段=27,

a2=b2+9,

22

所以G的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+二=1.

3627

【小問2詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則/（3,6）.

設(shè)直線=—6）+3.

聯(lián)立｛2得12/W+72〃L36=0.

J=12x,

由A=（12加）-4x（72冽-36）=0,解得加=1,則/:x-y+3=0.

設(shè)。（石,乂）,。（々,歹2）.

x-v+3=0,

-2472

聯(lián)立<12+）2]得7x?+24x-72=0，貝！1再+%2=—）

,36+27-'

故=V2xJ（X]+%）~—4XJX2=■

18.如圖，在三棱錐尸中，為等邊三角形,V/3C為等腰直角三角形,

PA=2,AC1BC,平面平面48c.

(1)證明.A8d.pc

(2)點(diǎn)。在線段PC上，求直線/￡)與平面尸8C所成角的正弦值的最大值.

【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由線面垂直的判定定理可證48,平面POC,再由其性質(zhì)定理即可證明；

(2)根據(jù)題意，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角

的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：取48的中點(diǎn)。，連接。

因?yàn)锳P/B為等邊三角形，所以O(shè)PJ.N6.

因?yàn)閂48C為等腰直角三角形，且所以。瓦

因?yàn)?。Pu平面POC,OCu平面POC,OPcOC=O,所以ZB，平面POC,

所以48_LPC.

【小問2詳解】

因?yàn)槠矫鍼AB1平面ABC,平面尸4Sc平面ABC=AB,OP<z平面PAB,OP±AB,所

以。P_L平面ABC.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則^(O,-1,O),C(1,O,O),尸(0,0,V3),5(0,1,0),C5=(-1,1,0),CP=(-1,0,揚(yáng)，

設(shè)麗=2而則而=就+函=(1/,0)+2(-1,0,省)

設(shè)平面PBC的法向量為記=(x,y,z),

CB-n=Q,-x+j=0,

則《即《

CP-n=O,—x+A/SZ=0,

令z=G，則x=3,y=3,所以為=（3,3,班）.

設(shè)直線AD與平面PBC所成的角為8,

3-32+3+326

則sin"cos（AD,n

當(dāng)且僅當(dāng)人:時(shí)，等號成立.

故直線AD與平面PBC所成角的正弦值的最大值為生8.

7

19.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C?！?l（a>0/>0）的左、右頂點(diǎn)分別為,圓

必+/=1過點(diǎn)％,與雙曲線c的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為。，且|44=6.

（1）求。的方程；

（2）過點(diǎn)M（T,0）?>a）且斜率不為0的直線與雙曲線C的左、右兩支的交點(diǎn)分別為。，尸,

連接。。并延長，交雙曲線。于點(diǎn)R,記直線4區(qū)與直線4尸的交點(diǎn)為3,證明：點(diǎn)8在曲

—+—----=1

線/爪…）上

t+a

2

【正確答案】（1）/—2=1

3

（2）證明見解析

【分析】（I）由圓f+j?=1過點(diǎn)4得。=1,由已知得A。。外是等邊三角形，進(jìn)而得漸近

線的斜率，即可求出Z）,即可得出C的方程；

（2）設(shè)直線/:》=叼—/,P（XI，K）,Q（X2*2），聯(lián)立直線與雙曲線。的方程，根據(jù)韋達(dá)定理

得%+，將直線4尺與直線4尸的方程變形可得

加班1%一(7+1)?2=(x—l)%%①

由①+②