2024-2025學(xué)年廣西柳州市高一年級(jí)上冊期末考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣西柳州市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.集合Z={x1bg兀％>1},則（）

A.leAB.2GJC.3eAD.4eA

2.在三角形45。中，若點(diǎn)。滿足麗=2皮，則近=（）

1—?2—?5—?2―?

A.-AC+-ABB.-AB+-AC

3333

2—?1―?

C.-AC+-ABD.-AC——AB

3333

3.已知命題夕：VXGR,x2+x-1>0,貝1為（）

A.3x0GR,XQ+x0-1<0B.3%0GR,XQ+XQ—1W0

C.VXGR,%2+x-l<0D.VxeR,x2+x-1<0

l-cos2x

4.化簡:）

A.sinxB.cosxC.2sinxD.2cosx

5.為了得到函數(shù)y=2sin，x-野的圖象，只要把y=2sin2x的圖象上的所有的點(diǎn)（

A.向左平移？個(gè)單位長度B.向右平移展個(gè)單位長度

O

C.向左平移匚個(gè)單位長度D.向右平移三JT個(gè)單位長度

7.““>g”是“函數(shù)?。?愴（"-1）在區(qū)間（°,+8）上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題(本大題共4小題)

9.已知函數(shù)/(x)=2sinx,則()

A./(x)是R上的奇函數(shù)“X)的最小正周期為2萬

C.“X)有最大值1/(x)在［0,可上為增函數(shù)

10.下列命題正確的是（）

A.若a>b,貝I」/>/

B.若/>戶,則°>b

C.若a>0,b>。,且a+b=6,貝UabW3

D.若a>—1,貝！J-------!■<2>1

11.奇函數(shù)〃x)(xeR)滿足=則下列選項(xiàng)正確的是()

A.“X)的一個(gè)周期為2B./（100.4）</（2.6）

/為偶函數(shù)D./(2x-4)為奇函數(shù)

12.已知函數(shù)/(x)=Gsin3_r+cos3x-21g(無+1)的所有非負(fù)零點(diǎn)從小到大依次記為

xx,x1,---,xn,貝I()

A.幾=8B.〃=9

Vx>

C.Xj+x2H----FX〃—1>D.再+X2■1-----n

三、填空題(本大題共4小題)

13.已知同=2,且￡與B的夾角為60。，工為與3方向相同的單位向量，則向量Z在向

量b上的投影向量為.

14.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

3

15.已知$M(60。+0：)=,，30°<a<120°,則cose=.

16.已知函數(shù)=若函數(shù)了=/[.]所有零點(diǎn)的乘積為1,則實(shí)數(shù)。

[e+l,x<0I0J

的取值范圍為.

四、解答題(本大題共6小題)

17.已知函數(shù)〃x)=2sin(2龍-/).

⑴求函數(shù)“X)的最小正周期及對稱軸;

(2)求〃x)在區(qū)間上的最值.

18.已知〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，且x(0時(shí)，/(x)=bg]-x+l).

3

⑴求函數(shù)“X)在(0,+的上的解析式，并判斷其單調(diào)性(無需證明)；

(2)若求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.(1)已知sina=3cosa,求sin?e-2sin?的值；

(2)求4cos40°-百tan50°的值.

20.如圖為2022年卡塔爾足球世界杯吉祥物，其設(shè)計(jì)靈感來自于卡塔爾人的傳統(tǒng)服飾,

寓意自信與快樂，現(xiàn)有國內(nèi)一家工廠決定在國內(nèi)專項(xiàng)生產(chǎn)銷售此吉祥物，已知生產(chǎn)這種

吉祥物的年固定成本為20萬元,每生產(chǎn)x千件需另投入資金c(無)萬元，其中c(x)與x之

ax2+bx,0<x<30,xeN,

間的關(guān)系為:c(x)*，且函數(shù)c(x)的圖象過

20x+-------888,x>30,xeN

x-2

/(6,18),8(12,48),C(82,952)三點(diǎn),通過市場分析，當(dāng)每千件吉祥物定價(jià)為10萬元時(shí)，該

廠年內(nèi)生產(chǎn)的此吉祥物能全部銷售完.

(1)求a,6,c的值，并寫出年利潤“x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠所獲年利潤最大？并求出最大年利潤.

21.m,"為函數(shù)/(x)=x2-2xlog.6+k)g6a的兩個(gè)零點(diǎn)，且0<〃<1<加.

(1)若皿=2,求不等式/(x)<0的解集；

(2)比較a,b,1的大小關(guān)系.

22.已知函數(shù)〃x)=2cos[x+《'inx,g(x)=

⑴求函數(shù)〃無)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)g(x)的零點(diǎn);

121兀一

(3)若不等式2〃g(x)+—+cos2x-2g(v)+—cos2x-3a+3>0在工￡0,—時(shí)恒成立,

求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

答案

1.【正確答案】D

【分析】求出集合A,結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.

【詳解】VlogIIx>l=logII7t,：.X>71,：.A={x\x>n},

可知1e/,2史故A、B、C錯(cuò)誤；4eA,故D正確.

故選：D.

2.【正確答案】C

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合點(diǎn)。的位置，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

0________0________1____o

由題意得通=方+麗=下+(反三方+:國一碼三方+(記

故選：C

3.【正確答案】A

【分析】全稱命題的否定為存在命題，利用相關(guān)定義進(jìn)行判斷即可

【詳解】全稱命題的否定為存在命題，命題P：\/xeR,x2+x—1>0,

則F為叫wR,XQ+xo-l<O.

故選：A.

4.【正確答案】C

【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式，逐步化簡，即可得到本題答案.

l-cos2x1-(1-2sin2x)2sin2x,.

”.---7----=---------------=-------=2sinx

【詳解】(兀)sinxsinx.

(2)

故選：C

5.【正確答案】B

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象之間的變換，結(jié)合題意，即可容易判斷.

兀

【詳解】為了得到函數(shù)y=2sin［2X---］--的--圖象，只需把函數(shù)P=2sin2x的圖象上所有

12

7T

的點(diǎn)向右平移萬個(gè)單位長度.

故選：B

6.【正確答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性，結(jié)合特殊點(diǎn)，即可求解.

【詳解】函數(shù)/(x)=q奈的定義域?yàn)镽,

4sin(-x)_4sinx

=一/(4,

E+l-x2+l

，函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，排除AC；

當(dāng)時(shí)

此時(shí)圖像在x軸的上方，排除B.

故選：D

7.【正確答案】B

【分析】結(jié)合對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.

【詳解】令〃=辦-1，了=lg",

若/(x)=lg(ax-l)在(a,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)閥=lg"是(0,+網(wǎng)上的增函數(shù),

則需使〃="-1是(。,+℃)上的增函數(shù)且u>0,貝U。>0且/一120,解得。21.

因?yàn)椋跮+s)，故是心1的必要不充分條件,

故選：B.

8.【正確答案】C

【分析】已知條件式變形為/+3。=(3-6)2+33弋構(gòu)造函數(shù)/(幻=/+3)利用單調(diào)性

得a=3-b,從而/+6=/一〃+3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值.

7797

【詳解】由/一9二學(xué)—3?！?6得/+3。=62—66+9+.=(3—6y+333,

令〃、)=/+3",6),

???f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，a,6￡(0,3),3-6G(0,3),

;.a=3—b,/./+b=Q?—Q+3=(Q—yH—,

24

故當(dāng)a時(shí)，取最小值1^.

24

故選：c.

9.【正確答案】AB

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A：函數(shù)的定義域?yàn)镽,且/'(-x)=2sin(-尤)=-2sinx=-/(_r),為奇函數(shù)，故

A正確；

B：函數(shù)的最小值正周期為7=7=2%，故B正確；

C：-l<sinx<l,得/(x)=2sinx的最大值為2,故C錯(cuò)誤；

D：函數(shù)/(x)=2sinx的單調(diào)增區(qū)間為一5+2^71,5+2左兀(左EZ),

當(dāng)上=0時(shí)，-y+2hl,y+2^>[-p^,即函數(shù)在上為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.【正確答案】BD

【分析】根據(jù)特例判斷A,由作差法可判斷B,由均值不等式可判斷CD.

【詳解】對A,0>-1成立，但。2>(-1)2不成立，故A錯(cuò)誤；

又寸B,/>投(u—b+ab+Z>2)>0,

而/+"+/=(a+2>>0(q,b不同時(shí)為零)，所以Q—6>0,即a>b,故B正

24

確；

對C,由均值不等式可得/4(9)2=9,故仍43不成立，故C錯(cuò)誤；

對D,ci>—1,。+1>0,/.—-—卜a+122」—-—(a+1)=2,即----故D正確.

a+1Va+1a+\

故選：BD

11.【正確答案】ACD

【分析】由/(x)=〃l-X)得/(X)的對稱軸為x=g,結(jié)合/(無)的奇函數(shù)性質(zhì)對選項(xiàng)

逐一辨析即可.

【詳解】/(x)=/(l-x),/(X)的對稱軸為尤=；,

/(x+2)=/(-x-l)=-/(^+l)=-/(-^)=/(^)>；.T=2,A正確；

7=2,故/。00.4)=/(0.4),/(2.6)=/(0.6),

“X)關(guān)于x=；時(shí)稱，故/(0.4)=/(0.6),B錯(cuò)誤；

7J尤一￡|=一/13一2尤;==尤一?，/Qx-g］偶函數(shù)，C正確；

/(2X-4)=/(2X+4)=-/(-2X-4),〃2x-4)為奇函數(shù)，D正確，

故選：ACD.

12.【正確答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，故

作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再由正弦型函數(shù)的對稱性判斷CD選項(xiàng).

【詳解】由f(JC)=V3sin3jc+cos3x-21g(JC+1)=2sin(3x+-^)-2lg(x+1)=0,

JT

可得sin(3x+—)=lg(x+1),

6

即尸sin(3x+g)與y=lg(x+l)的圖象在第一象限交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為玉

6

因?yàn)閂=sin(3x+：)<1,>=lg(x+l)=l時(shí)，x=9,如圖，

令sin（3x+工）=-1,解得3%+匹=2加+龍，k￡Z,EPx=^^+—,kGZ,

66239

_47r27r4兀4兀4兀

故由圖象可矢口XI+%2>2X,x3+x4>2x,x5+x6>2x,

c/6兀4兀

X

7+%8>2*（7+歹），

x"現(xiàn)

所以X]+%+…+/>2

99

巾生104兀13171

因?yàn)樵?%2+…+/>~^―若再+x+…+x+x>

289~9~

則需兀，由圖知，/<9<3兀，故不成立,

綜上可知，BC正確，AD錯(cuò)誤.

故選：BC

13.【正確答案】e

【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，求解即可.

【詳解】因?yàn)椤┡cB的夾角為60。，

所以）在向量B上的投影向量為「卜0$60。？=2*5?=￡.

故答案為.2

14.【正確答案】—5+°°j

【分析】由函數(shù)“X）定義域求出1--的取值范圍，再由?！旱膯握{(diào)性即可得解.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，而1-x2〈l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”，又

（；）,在R上單調(diào)遞減，

于是有§尸&（權(quán)=；,

所以函數(shù)/（x）=Qjx的值域?yàn)?/p>

故

15.【正確答案】拽二^

10

34

【分析】先根據(jù)5皿60。+口）=丁30°＜6/＜120°,求出3$（60。+a）=-不，再根據(jù)湊角

法，余弦的差角公式進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)?0。＜。＜120。，所以90。＜60。+。＜180。，

因?yàn)閟in（60。+a）=（,所以cos（60。+a）=-^1-sin2（60°+cr）=一g,

故cosa=cos［（60。+a）-60。］=cos（60°+cr）cos60°+sin（60°+or）sin60°

525210

故答案為.36-4

10

16.【正確答案】（0』U（2,+s）

【分析】令/則可得y（x）=a,結(jié)合的圖象，即可得答案.

a

【詳解】解：令4區(qū)=/,

a

則有/（。=o=，=1,

f（x）=a,

滿足題意.

故（0,l]U（2,y）

ATI?兀7ry

17.【正確答案】（1）7=71,X=----1---，左￡/;

23

【分析】（1）根據(jù)公式直接求解最小正周期，利用整體法結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可

求得結(jié)果；

（2）利用換元法，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)?（x）=2sin（2x-力，所以/（x）的最小正周期7=蕓=/=無；

^2x~—=kn+—,keZf解得X=如+'■，左EZ,

6223

所以“X）的對稱軸方程為x=g+：丘Z.

/、人7T,兀兀，2兀兀

（2）令2%-2=%,由xw一■,知”---,—,

6L44」|_33_

所以要求〃尤）在區(qū)間-抬上的最值，即求了=2singe上的最值，

當(dāng)/='時(shí)，/n=2sin[-]]=-2,當(dāng)"/時(shí)，y111ax=2s嗚=6,

所以/（xL=Gj（x）mm=2

18.【正確答案】⑴函數(shù)/（x）在（O,+e）上的解析式為〃x）=bg：（x+l）,

函數(shù)在（0,+"）上單調(diào)遞減，在（-*0）上單調(diào)遞增；

7

【分析】（1）設(shè)x>0,貝!|-尤<0,根據(jù)題意得出無+D,然后利用函數(shù)為偶

函數(shù)即可求解；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，求出8）=/（8）=-2,將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為|3a-1|<8,解之即

可求解.

【詳解】（1）設(shè)x>0,貝iJ-x<0,所以/（T）=bg/尤+1）,

3

又因?yàn)椤癤）是定義在R上的偶函數(shù)，所以V=/（》）=/（-x）=logJx+i）,

則函數(shù)“X）在（0,+為上的解析式為〃x）=bgjx+l）,

函數(shù)在（0,+司上單調(diào)遞減，在（-8,0）上單調(diào)遞增；

（2）由（1）可知：/（-8）=/（8）=-2,所以不等式〃3.-1）>-2可化為

八3.-1）>-2=/（8）=〃-8）,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知：|3?-1|<8,

77

解得：-所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為-彳<。<3.

33

7

19.【正確答案】（1）—；（2）1.

【分析】（1）由已知條件求得tana,再求齊次式的值即可;

（2）利用三角恒等變化，轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）sina=3cosa,則tana=3,

222

,,.2c2「兀1.232sincr-2cosatana-2

故sina—2sin----a=sina-2cosa=——-----------——=------------

12)sina+cosatana+1

^32-2_7

-32+l-io

(2)4cos40°-V§tan50°=4cos40°^sin5°°=4cos40。cos501Qsm50。

cos50cos50

_4sin40"cos40°-6sin50°_2sin80"-QOn50°_2sin(50°+30°)-V5sin50°

cos50°cos50°cos50°

_2sin50°cos30°+2cos50°sin30°-Csin50°_73sin50°+cos50°-\Tbin50

cos50°cos50°

cos50°

cos50°

——%2+8x-20,0<x<30,xGN

20.【正確答案】(1)。=3,6=2,c=16000；“x)=，

6-lOx-1^222+868,X>30,XGN*

x—2

⑵產(chǎn)量為24（千件）時(shí)，利潤最大為76（萬元）

【分析】⑴根據(jù)將/（6,18）,8（12,48）,C（82,952）三點(diǎn)代入c（x）中，即可求出a,b,c的值，

根據(jù)利潤等于收益減總成本，列出關(guān)系，將c（x）代入即可；

（2）根據(jù)（1）中的解析式，分別求出0<x<30,x230時(shí)的最值,進(jìn)行比較即可求得最大年利

潤.

【詳解】（1）解:將16,18）,5（12,48）,C（82,952）三點(diǎn)代入c（x）中有:

a=-

36a+6b=186

<144Q+⑵=48，解得b=2

c=16000

20x82+———888=

I82-2

19*

—X2+2x,0<x<30,xGN

故c(x)

20x+1^22-888,x>30,xe

x-2

-1x2+8x-20,0<x<30,xeN*

由題知Z(x)=10xx-c(x)-20=<

1

_10x_^222+868,x>30,xeN

x—2

-1X2+8X-20,0<X<30,XGN*

(2)由(1)知“x)=，

-1Ox-^0+868,x230,xeN

x—2

ii9

當(dāng)0<x<30時(shí),"x)=——X2+8X-20=——(x-24)+76,

66

所以當(dāng)尤=24(千件)時(shí)，“4^=76(萬元)，

當(dāng)x230時(shí)，￡(x)=-10尤一^^+868=868-fl(kI16000

x—21x—2,

c/icL八/9160001°°c11oiI~16000.,

=848-l0(x-2)+--------<848-2/iQx-)-------二4g

卜x2JYx2

當(dāng)且僅當(dāng)l0(x-2)="絆，即x=42(千件)時(shí)取等，

x—2

所以“X）皿="42）=48（萬元），

綜上：當(dāng)x=24（千件）時(shí)，〃x）1mx=76（萬元）

所以當(dāng)年產(chǎn)量為24千件時(shí)，該廠的年利潤最大，最大年利潤76萬元.

21.【正確答案】（1）（后-1,2）

(2)6〉?！?或0<6<〃vl

【分析】(1)由韋達(dá)定理聯(lián)立消去bg.b得(加+小?加〃=2,從而求得〃的值，得到

/(x)<0的解集；

(2)解法一：根據(jù)零點(diǎn)的分布列出滿足的不等式組求解即可；

解法二：根據(jù)不等式%+〃>2標(biāo)及韋達(dá)定理得log,6>l,求解即可.

【詳解】(1)由換底公式得1。8“小1。及。=用?整=1,

1g”Igb

[m+n=2logb/、

依題意得,,兩式相乘得加+”?加〃=2

\mn=logba

代入加=2,得〃2+2〃-1=0

由0<〃<1,得〃=行—1，而/(%)<。

故不等式解集為(0T,2)

7(0)=iogfl&>0

(2)解法一：因?yàn)?<〃<1<加，故</(l)=lTog”b<0,

bg“b>Q

化簡得logf>1,

[a>\fO<tz<l

故人或，A，

\b>a[0<6<〃

即6>〃〉1或。<6<a<l.

解法二：V0<m<n,m+n>2y[mn

BP2logab>2yjlogba,故(味小丫>1,BPlogab>1

[a>\fO<tz<l

故人或「A,

\b>a[0<6<〃

即6>Q>1或。<6<Q<1.

TT2TT

22.【正確答案】(1)—+ATI,—+An,keZ

o3

兀、5兀

(2)x=--F左?；颍?---卜kn,kGZ

v71212

f-3-V71

⑶[2J

【分析】(1)利用三角恒等變換化簡〃x),結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出單調(diào)減區(qū)間;

(2)求出g(x)的解析式，令g(x)=0,求解即可；

(3)原不等式化簡為2q(sin2x+cos2x)2-2(sin2x-cos2x)-3〃+3〉0,令

t=sin2x-cos2x，問題轉(zhuǎn)化為2/+2%一?！?<0在［TU上恒成立，結(jié)合一次函數(shù)和二

次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論可得結(jié)果.

【詳解】(1)

/(x)=2cos(x+jsinx=(囪cosx-