2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)教材拓展：圓錐曲線（解析版）

教材挖掘拓展12：圓錐曲線

教材挖掘拓展1：圓錐曲線的由來

【鏈接教材】人教A版選擇性必修第一冊P104第三章序

【應(yīng)用1】2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果.

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線.用垂直于圓錐的軸的

平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐

的一條母線平行時，得到拋物線；用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支

（把圓錐面換成相應(yīng)的二次錐面時，則可得到雙曲線）.現(xiàn)用一個垂直于母線的平面去截一

個等邊圓錐（軸截面為等邊三角形），則所得的圓錐曲線的離心率為.

【答案】昱

3

【解析】如圖口是等邊三角形，設(shè)棱長為12,不妨過點A作垂直于母線P3的平面，得

到截面曲線為橢圓，截面過的中點則橢圓長軸長2。=|AM|=66，

取線段AAf的中點。，連接P。'并延長交A3于點Q,過Q作EPLAB交底面圓于點

E,F,連接PE,PE分別交橢圓于點G,H,則橢圓短軸長26=|GH|,且EE//GH,

取中點N,連接MN,則AfN//PQ,|PQ|=2|MN|,\QO'\=-\MN\=-\PQ\,

24

2b\PO'\33

因此即26=—|EE|,顯然Q,N是線段AB的兩個3等分點，

\EF\\PQ\44

即IA。|=4,|8。|=8,由相交弦定理得|EQf=|AQ||BQ|=32,解得|EQ|=4A/L

于是加=?儂-收2—也

a6

試卷第1頁，共26頁

教材挖掘拓展2：動點與兩定點斜率關(guān)系的軌跡問題

【鏈接教材1】(人教A版選擇性必修第一冊P期例3)如圖，設(shè)A,B

兩點的坐標分別為(一5,0),(5,0).直線AM,3M相交于點且它

44

們的斜率之積是一§(教材P⑵探究斜率之積是§),求點”的軌跡方

程.

解：設(shè)點〃的坐標為(x,y),因為點A的坐標是(一5,0),所以直線AM的

，-y

斜率上I(%W—5).

JiIJ

同理，直線3M的斜率kBM=~^(x#5).

由已知，有=-H(xW±5),

JiIJ人J/

化簡，得點M的軌跡方程為昌+蓋=1戶±5).點〃的軌跡是除去(一5,

~9~

0),(5,0)兩點的橢圓.

此類問題在教材P109練習(xí)T4,P126練習(xí)Tl，P139習(xí)題3.3綜合運用Tu，P145

復(fù)習(xí)參考題3綜合運用T9中多次呈現(xiàn)，是典型的通過動點與兩定點斜率關(guān)系來

確定點的軌跡問題.

拓展:一般地，A(-a,0),B(a,0)(a>0)是兩定點，直線MA與直線M3交于

點兩直線的斜率分別為左1，k2,若

⑴防左2=犯?0)

當(dāng)衣0,且丸W—1時，點M的軌跡是以A,3為頂點的橢圓(去掉點A,B),

當(dāng)丸=—1時，點〃的軌跡是以A,3為直徑的圓(去掉點A,B),

當(dāng)丸>0時，點”的軌跡是以A,3為頂點的雙曲線(去掉點A,B).

【鏈接教材2】(人教A版選擇性必修第一冊P139習(xí)題3.3TH)已知A,3兩點

的坐標分別是(-1,0),(1,0),直線AM,相交于點且直線AM的斜率與直線

的斜率的差是2,求點M的軌跡方程.

【答案】y=l-x2,(xw±l)

試卷第2頁，共26頁

【解析】設(shè)M（x,y）,則凝--==2,整理，得丁=1一/，（XR±1）.

x+1x-1

動點尸的軌跡方程是y=l—V,（xw±l）.故答案為：y=l-x2,（"±1）.

拓展：由后一左2=九得-=九

丸丸Q

即丁=—五f+了，點”的軌跡是頂點為的拋物線（去掉點A,B）.

M—左2=〃4W0）,點〃的軌跡是拋物線（去掉點A,B）.

【鏈接教材3】（人教A版選擇性必修第一冊九5復(fù)習(xí)參考題3T9）,已知A,2兩點的

坐標分別是（-1,。），（1,0）.直線AM,相交干點且它們的斜率之和是2,求點M的

軌跡方程.

【答案】x2-xy-l=0（x^±l）

【解析】設(shè)M（x,y）,因為直線AM,的斜率存在，所以xw±l,

因為左■+左BM=2,即上+上=2,整理可得/一移一1=0,

x+1x-1

所以點M的軌跡方程為V-盯—l=0（xw±l）.

拓展：由—九得意+言=九即尸^X一誓?點M的軌跡如

圖所示.

yy=x

（3）M+攵2=犯￡0）//\

當(dāng)7<0時，點M的軌跡是以直線x=0與直線y—?----x―\

=—x為漸近線的雙曲線（去掉點A,3）,/||

當(dāng)丸>0時，點M的軌跡是以直線x=0與直線y=x為漸近線的雙曲線（去掉

點A,B）.

【鏈接教材4】（人教A版選擇性必修第一冊P"練習(xí)T4）已知A,3兩點的坐標分

別是（—1,0）,（1,0），直線AM,相交于點M,且直線AM的斜率與直線的斜率的商

是2,點M的軌跡是什么？為什么？

【答案】點M的軌跡是直線久=一3,并去掉點（一3,0）

【解析】設(shè)點M的坐標為O,y）,則%”=系（％力-1），kBM=g（*Kl），

當(dāng)y*0時，警=*=2,整理得x=-3（yK0）,

試卷第3頁，共26頁

所以點M的軌跡是直線x=-3,并去掉點（-3,0）.

拓展：｝=970,且2W1）,點〃的軌跡是與A3垂直（除去與x軸的交點）

的直線.

證明：（1）設(shè)點M的坐標為（x,y）.由后左2=2（4W0）得~^一?一^一=2,

JCIClXCL

即h^—y1=Xa1.

①當(dāng)A=一1時，/十9=4,點M的軌跡是以（0,0）為圓心，半徑為〃的圓

（去掉點A,B）.

，V2

②當(dāng)2＜0,且2W—1時，/U2—丁2=筋2即為三十［2=1.

a-Aci

點M的軌跡是以A,3為頂點的橢圓，

而且當(dāng)水一1時，點”的軌跡是焦點在y軸上的橢圓（去掉點A,B）,

當(dāng)一1＜丸＜0時，點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓（去掉點A,B）.

③當(dāng)丸＞0時，lx2—y2=Atz2,即為”—蘇=1.點”的軌跡是以A,3為頂

點，焦點在x軸上的雙曲線（去掉點A,B）.

特別地，當(dāng)丸=1時，點舷的軌跡是等軸雙曲線.

k、x~\~ci1+21+2

（4）由鼠=A=A,即x=^—o（yWO）,點”的軌跡是去掉點（"）一7

人2y1—z1—z

x—a

A+1

0）,與九軸垂直的直線7a.

X—1

［易錯提醒］ki,心的不同關(guān)系（即加減乘除關(guān)系），可得到直線（去點）、

圓、橢圓、雙曲線（都去掉點A,3）等重要軌跡，但是在做題時要注意分類討

論.

教材挖掘拓展3：圓錐曲線的第二定義：圓錐曲線的統(tǒng)一定義

【鏈接教材1】（人教A版選擇性必修第一冊P您例5）動點M（x,y）與定點歹（4,0）的

距離和它到定直線/:尤='的距離的比是常數(shù)一，求動點M的軌跡.

43

試卷第4頁，共26頁

解：設(shè)d是點〃到直線/的距離，根據(jù)題意，動點M的軌跡就是點的集合

22

將上式兩邊平方，并化簡，得7f—9丁=63,即土-J.

97

所以，點M的軌跡是焦點在無軸上，實軸長為6、虛軸長為2J7的雙曲

線(圖3211).

【鏈接教材2](人教A版選擇性必修第一冊Pi”例6)動點M(x,y)與定點9(4,0)的距

離和M到定直線/:久=胃的距離的比是常數(shù)g求動點M的軌跡.

45

解：如圖3.1-12,設(shè)“是點M到直線=弓的距離，根據(jù)題意，動點M的軌跡就是集合

。=岡等=才由此得隼產(chǎn)

將上式兩邊平方，并化簡，得9/+25y2=225,即卷+?=L

所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10,6的橢圓.

【鏈接教材3】(人教A版選擇性必修第一冊％用信息技術(shù)探究點的軌跡：橢圓)

20

設(shè)動點M與定點F(c,O)(c>0)的距離和M到定直線/：了=幺的距離的比是一(a>c),求

ca

動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.

【解析】設(shè)動點M(x,y),設(shè)d為點M到直線/的距離,

由題意得早

22

左右同時平方，化簡可得幺2CX小

(x-c>+y2=W=aH---------2cx,

aca

所以(?-/)尤2+a2y2=42(/_°2),令/一「2=匕2,

22

所以。必=?！?/p>

2+a2y222,即=+二=1(。〉6〉0),所以動點M的軌跡方程為

ab

工+3=l(a〉6〉0),為焦點在x軸，長軸為2a,短軸為2b的橢圓.

ab

試卷第5頁，共26頁

軌跡為橢圓；

?2

當(dāng)e>l時，a<c,令反=，一片,得興—^2=1,軌跡為雙曲線.

結(jié)合拋物線的定義，可知圓錐曲線的統(tǒng)一定義成立.

拓展1：圓錐曲線的統(tǒng)一定義(也稱第二定義)：平面內(nèi)到定點R的距離與到

定直線/(R雙)的距離之比為常數(shù)e(e>0)的動點的軌跡是圓錐曲線.其中，定點R

為圓錐曲線的焦點，常數(shù)e是圓錐曲線的離心率，定直線/為圓錐曲線的準線.

當(dāng)0<e<l時，曲線是橢圓；當(dāng)e>l時，曲線是雙曲線；當(dāng)e=l時，曲線是拋

物線.

拓展2：焦半徑公式

2

【應(yīng)用1】(人教A版選擇性必修第一冊Pm練習(xí)T2)經(jīng)過橢圓：+y2=i的左焦

點A作傾斜角為60。的直線/,直線/與橢圓相交于46兩點，求的長.

【答案】隨

7

2

【解析】???橢圓方程為晟+y2=1,.?.焦點分別為&(―1,0),F2(l,0),

???直線4B過左焦點Fi傾斜角為60。，.??直線4B的方程為y=V3(x+1),

將4B方程與橢圓方程消去y,得7寵2+12x+4=0設(shè)4(%i，%)，B(x2,y2).可得

2

%1+x2=-y,x/2=三ki_犯1=J(-y)-4=竽

因此，|4B|="+3,%—亞1=.故答案為:

【應(yīng)用2】已知點A(—2,小),設(shè)/為橢圓旨=1的右焦點，M為橢圓

上一動點，求|“川+2比0的最小值，并求此時點M的坐標.

【解析】如圖，過點A作右準線/:x=8的垂線，垂足為N,與橢圓交于點

M.

因為橢圓的離心率e=T,

所以由第二定義得2|MF|=,

所以|MA|+2|MW的最小值為|AN|的長，且|AN|=2+8=10,

所以|MA|+21Mbi的最小值為10,此時點M的坐標為(2小，小).

試卷第6頁，共26頁

橢圓的焦半徑公式:

22

【應(yīng)用3】已知橢圓石：=+:=1（。>6〉0）的左、右焦點分別為耳,耳,尸為橢圓上不

ab

與頂點重合的任意一點，/為△尸耳工的內(nèi)心，記直線。尸/的斜率分別為勺/2,若

k\=，2,則橢圓E的離心率為.

4

【解析】設(shè)尸（5，%），/（%/%），設(shè)圓與尸耳,「工,工軸相切于點M,N,T,

所以|PM|=|PN|,閨閭=山7|,優(yōu)時=優(yōu)乙所以出T|+|PN|+|N閭=a+c,

即⑶T|+pK|=o+c,所以閨T|=x,+c.由橢圓的第二定義可知歸閭=o—%,

所以|耳刀=。+。一（。一氣），所以為=%,由等面積法得到

—(2(7+2c)y=—x2cy,所以y,=―U.因為左i=—修，所以

2r20c+〃4

A=1XO+C；所以”=4c,即6=’.故答案為：-

xn4CXO44

a

教材挖掘拓展4：圓錐曲線的第三定義

若平面內(nèi)一動點與兩定點Ai(—a,0),A2(a,0)(或4(0,-a),A2(0,a))連

線的斜率的乘積等于常數(shù)e2—1,則動點的軌跡為橢圓或雙曲線.其中兩定點為

橢圓或雙曲線的頂點.當(dāng)0<e2<l時為橢圓，當(dāng)e2>l時為雙曲線.

根據(jù)橢圓、雙曲線的第三定義，可得到以下常用結(jié)論：

22

性質(zhì)1：橢圓三+與=（a〉6〉0）上任意一點（不是長軸端點）與長軸的兩個端點的連線斜

ab

率之積為一4（=e?-1）；

a

2

證明：設(shè)A(—a,0),B(a,0),P(xo,泗)(泗。0),貝1kpA-kpB=層

，看?高、/(。2一君)

又方+*=1,所以％=^"(1-^2)=/

C4-UCXL4-

/b2（后一看）1吩

所以扇?姓B=高二了=”.至二了=右一1

試卷第7頁，共26頁

性質(zhì)2:橢圓?+今=（a〉匕〉0）中弦所在直線斜率與弦中點與原點連線斜率之積為

類似地：雙曲線與-2=（。，6〉0）上任意一點（不是左右頂點）與實軸的兩個端點的連線

的斜率之積為與（=e2-l）,雙曲線二―1=（q,6〉0）中弦所在直線斜率與弦中點與原

點連線斜率之積為勺（=e2-l）

【應(yīng)用1】已知A,3是雙曲線E的左、右頂點，點M在E上，AABM

為等腰三角形，且頂角為120。，則E的離心率為（）

A.小B.2C.小D.y[2

【解析】設(shè)雙曲線E:六—京=1（?>0,b>0）,設(shè)點“在雙曲線的右支

上，由題意，/A3脛=120°,ZBAM=ZBMA=3Q°,設(shè)點N為x軸上且在點3

右側(cè)一點，則/MBN=180°-ZABM=60°,所以直線AM和直線BM的斜率分

別為卓和小，由雙曲線第三定義，得廄如&共三V

所以離心率e=\j2.

教材挖掘拓展5：焦點三角形

22

（人教A版選擇性必修第一冊P“5習(xí)題3.1T5）已知尸是橢圓2+匕=1上的一點，

54

且以點P及焦點F1，尸2為頂點的三角形的面積等于1，求點P的坐標.

【答案】（綜1），（-綜1），律T），（-手T）.

【解析】由橢圓方程可得尻（—1,0）,尸2（1,0）,P?y）是橢圓上一點，

則SgL泄尸21小1=加=1，代入橢圓9+*1，則|%|=亨,

所以點P的坐標為（半，1）,（—誓，1）,（苧廠1）,（—苧，—1）

拓展：（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）（常利用第一定義和正弦、余弦

定理求解）設(shè)橢圓或雙曲線上的一點P（%,%）到兩焦點耳，耳的距離分別為小馬，焦點

試卷第8頁，共26頁

A耳桃的面積為S.

5.1橢圓焦點三角形

222

YV22b

在橢圓下+T=1中，(1)cos6=-----1,且當(dāng)｛二々即尸為短軸端點時，。最大，

abr1r2

_2n

2

^^max=<cos6?)min=——；(2)S=btan-=c|,v0|,

a'2

(3)當(dāng)|為1=6即P為短軸端點時，的最大值為be；

(4)焦點三角形的周長為2(。+c).

(5)當(dāng)時，即點尸的位置為短軸端點時，0最大；

5.2雙曲線中焦點三角形

22

在雙曲線二―1=1(。〉0,6〉0)中，F(xiàn)],6分別為左、右焦點，尸為雙曲線上一

ab

點，=0,AP4鳥的面積記為S"F但,則：

ZFXPF2

(1)焦點三角形面積公式LSAPF|F2=^\F1F2\\yp|=c|

II.cos6=l-^-III.S、PFF=~lPF\IIIPF21sin^IV.

牡122-

S上

tan—

2

(2)若焦點三角形尸的內(nèi)切圓與切于點Q，則點。為雙曲線的頂點.

注意：在求圓錐曲線中焦點三角形面積時，根據(jù)題意選擇適合的公式，注意結(jié)合圓錐曲線

的定義，余弦定理，基本不等式等綜合應(yīng)用.

22

【應(yīng)用1】(多選)已知雙曲線C：q—==1(?！?,6〉0)與直線丫=1?交于人、B兩點，

ab

點P為C上一動點，記直線PA,PB的斜率分別為kPA歡P5,C的左右焦點為《，尸2,若

kpA-kpB=；，且C的焦點到漸近線的距離為1,則下列說法不正確的是()

A.C的離心率為三B.若P在右支上，則公尸打工的內(nèi)切圓與x軸相切于右頂點

C.若PF]1PF2,則AP^F2的面積為2

試卷第9頁，共26頁

D.若"FR的面積為2A/5,則AP片F(xiàn)2為鈍角三角形

【答案】AC

e===

【解析】kPA.kPB=-T=71J~2~}~~2~，故A錯誤，C的焦點到漸近

at"\aja乙

b2

線的距離為b=l,（由雙曲線焦三角形的性質(zhì)知B正確；S*FF=---------=1,故C錯誤;

tan45

對于D選項，設(shè)P（x0,先）,S"F島=1l耳網(wǎng)?>ol=V5|JOI=2A/5,|蒲=2,代入

2—

y-/=l,得1/1=2岔,由對稱性，不妨取P（2技2）

EP-EF；=（V5,2）-（-275,0）=-10<0,NP工片為鈍角，故D正確.

教材挖掘拓展6：焦點弦三角形

橢圓和雙曲線統(tǒng)稱為有心圓錐曲線.有心圓錐曲線一個焦點弦的兩個端點與另一個焦點構(gòu)成

的三角形稱為有心圓錐曲線的焦點弦三角形

【鏈接教材】（人教A版選擇性必修第一冊P。練習(xí)T3）已知經(jīng)過橢圓1

2516

的右焦點4作垂直于X軸的直線4B,交橢圓于4B兩點后是橢圓的左焦點.

（1）求44&B的周長；

（2）如果28不垂直于%軸/4&B的周長有變化嗎?為什么？

【解析】（1）由橢圓的定義得：|4Fi|+|4F2l=2a=10,|BFi|+|BF2「=2a=10,

所以2MF1B的周長為MF/+\AF2\+IBFJ+\BF2\=4a=20.

（2）不變，由橢圓的定義的周長為M&I+MF2I+由&I+IBF2I=4。只受a的影

響，不受28與％軸的位置關(guān)系影響.

拓展：探究焦點弦三角形的周長和面積，焦點弦三角形的面積最大值是多少？

教材挖掘拓展7：直線與拋物線（雙曲線）只有一個公共點問題

【鏈接教材】（人教A版選擇性必修第一冊巳39習(xí)題3.3T12）已知拋物線的方程為

y2=4x,直線/繞點P（-2,1）旋轉(zhuǎn)，討論直線/與拋物線/=4%的公共點個數(shù)，并回答下

列問題：

（1）畫出圖形表示直線/與拋物線的各種位置關(guān)系，從圖中你發(fā)現(xiàn)直線/與拋物線只有一

個公共點時是什么情況？

試卷第10頁，共26頁

（2）y2=4x與直線/的方程組成的方程組解的個數(shù)與公共點的個數(shù)是什么關(guān)系？

【答案】（1）相切或相交于一點；（2）相等.

【解析】（1）直線1與拋物線的位置關(guān)系有相交、相切、相離三種，如圖：其中相交時有相交

于兩個公共點和相交只有一個公共點（圖中直線/o）,

觀察圖形知，直線/與拋物線只有一個公共點時，直線/與拋物線相切（圖中直線/i,與和

相交于一個公共點（圖中直線/o與x軸平行）；

（2）直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的斜率為鼠方程為丁-1=左（％+2）,即

米一,+2左+1=0,

kx—y+2左+1=0

由《2\消去X得：4y+4（2左+1）=0,

=4x

:0時，產(chǎn)1,x=~,方程組只有一個解，由圖知直線/與拋物線相交，只有一個公共

4

點，直線/的斜率為0；

"wO時,A=16—16左（21+1）=—16（24—1）（1+1），

△=0,左=,或左=一1時，方程組有兩個相同的實數(shù)解，由圖知直線/與拋物線相切，只

2

有一個公共點，直線/的斜率分別為1；

2

△>0?e（-l,O）u（O,g）時，方程組有兩個不同的實數(shù)解，由圖知直線/與拋物線交于兩

試卷第11頁，共26頁

點，直線/的斜率左e(—1,0)5。,；)；

△<0,左€(-8,-1)U(；,+8)時，方程組沒有實數(shù)解，由圖知直線/與拋物線相離，沒有

公共點，直線/的斜率左6(—8,—1)U(L+8)；

2

x--2

直線/的斜率不存在時，/的方程為廣-2,顯然方程組42/沒有實數(shù)解，由圖知直線/

與拋物線相離，沒有公共點，直線/的斜率不存在，

所以拋物線=4x與直線/的方程組成的方程組解的個數(shù)與拋物線產(chǎn)=4%與直線/公共

點的個數(shù)相等.

拓展：(1)直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和

相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有一個交點；如果直線與

拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；

22

(2)過雙曲線二一仁=1外一點P(%,%)的直線與雙曲線只有一個公共點的情況

a"b"

如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分

別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)

時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸

近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時

不存在這樣的直線；(3)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩

條切線和一條平行于對稱軸的直線。

2

【應(yīng)用】已知點尸(1,2)和雙曲線C:Y一》=],過點P且與雙曲線C只有一個公共點的直

線有()

A.2條B.3條C.4條D.無數(shù)條

2

【解析】由題意可得，雙曲線/一二=1的漸近線方程為、=±2不點(1,0)是雙曲線的頂

4

點,

①若直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=l,此時，直線/與雙曲線C只有一個公共

點，合乎題意；

②若直線/的斜率存在，則當(dāng)直線平行于漸近線y=-2x時，直線/與雙曲線只有一個公共

點.

若直線/的斜率為2,則直線/的方程為y=2x,此時直線/為雙曲線c的一條漸近線，不合

試卷第12頁，共26頁

乎題意.綜上所述，過點尸(1,2)與雙曲線只有一個公共點的直線/共有2條.故選：A.

教材挖掘拓展8:拋物線的性質(zhì)

(1)過拋物線V=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線相交于

22

4>1，%)3(%,%),則有為%=~p,xlx2=4p,

即％.KOB=-；(。為原點)

①4%,%)3區(qū),%)，則有=-=4憂即降=-；(。為原點)

②加三七阿=7^(。為AB的傾斜角).

③表+看為定值家

④焦點弦端點與頂點構(gòu)成的三角形面積：

p211

SAAOB—品=乎8|⑷=祁才1如一M

⑤以AB為直徑的圓與準線相切.

⑥以AF或為直徑的圓與y軸相切.

⑦過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上

【鏈接教材1】(人教A版選擇性必修第一冊九6例5)經(jīng)過拋物線焦點廠的直線交

拋物線于A,B兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點。，求證：直線

平行于拋物線的對稱軸.

分析：我們用坐標法證明這個結(jié)論，即通過建立拋物線及直線的方程，運用方程研究直線

與拋物線對稱軸之間的位置關(guān)系.建立如圖3.3-5所示的直角坐標系，只

要證明點D的縱坐標與點B的縱坐標相等即可.

證明：如圖3.3-5,以拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點為原點，建立平

面直角坐標系x°y.設(shè)拋物線的方程為V=2px(p>0),①

點A的坐標為］,,%)為H0)，則直線。4的方程為y=芋》，②/力

拋物線的準線方程是X=-4.③'

2

?2

聯(lián)立②③，可得點D的縱坐標為一幺.

為

因為焦點廠的坐標是已,0,當(dāng)時，直線A尸的方程為

試卷第13頁，共26頁

聯(lián)立①④，消去x,可得p2）y—%"2=0,即

（y-%乂%y+22）=0，

p2

可得點2的縱坐標為一匕，與點。的縱坐標相等，于是。3平行于x軸.

為

當(dāng)￥=p2時，易知結(jié)論成立.所以，直線。3平行于拋物線的對稱軸.

【鏈接教材2]（人教A版選擇性必修第一冊P⑶練習(xí)T4）兩條直線y=丘和

y=-履分別與拋物線丁=2px（p>0）相交于不同于原點的A,B兩點,左為何值時，直

線AB經(jīng)過拋物線的焦點？

【答案】k=+2

【解析】?.?直線y=履和y=-近斜率互為相反數(shù)，且都過原點，則兩直線關(guān)于X軸對稱,

又拋物線V=2px（p>0）關(guān)于％軸對稱，焦點坐標為已0）

則A,B兩點關(guān)于％軸對稱，

iX-2PV

)

由

<^即A

1

功

—y-T

要使直線經(jīng)過拋物線的焦點，則衛(wèi)=',解得左=±2,

k-2

所以當(dāng)人=±2時，直線A2經(jīng)過拋物線的焦點.

【鏈接教材2]（人教A版選擇性必修第一冊P.例4）斜率為1的直線/經(jīng)過拋物線

,2=4%的焦點尸，且與拋物線相交于A,8兩點，求線段的長.

下面介紹另外一種方法一一數(shù)形結(jié)合的方法.

在圖3.3-4中，設(shè)A（x[，x）,B（x2,y2）.由拋物線的定義可知，|A/|等于點A到準線的

距離|A4'|.由0=2,修=1,得|A4[=X]+K=X]+1,于是|A7q=X]+l.同理，

試卷第14頁，共26頁

\BF\^\BB'\=X2+-^=X2+1,于是得

IAB|=|AF|+|BF|=石+%+P=石+/+2.

由此可見，只要求出點A,B的橫坐標之和玉+々，就可以求出

解：由題意可知，0=2,R=l,焦點產(chǎn)的坐標為（1,0）,準線方程為％=-1.如圖3.3-

2

4,設(shè)A（/x）,B（x2,y2）,A,B兩點到準線的距離分別為口，dB.由拋物線的定

義，可知|AP|==再+1，IBF|==x2+1,

于是|AB|=|AF\+\BF^Xl+x2+2.

因為直線/的斜率為1,且過焦點廠（1,0）,所以直線/的方程為

y=x-i.①

將①代入方程V=4x,得（x—l）2=4x,化簡，得/一61+1=0.

所以％+%2=6,|48|=%+%+2=8.所以，線段的長是8.

【鏈接教材3】（人教A版選擇性必修第一冊九8習(xí)題3.3T5）如圖，M是拋物線

V=4x上的一點，尸是拋物線的焦點，以及為始邊、EM為終邊的角NxfM=60°,求

\FM\.

【答案】|9|=4

【解析】拋物線）？=4x的準線為％=-1,過M作MB垂直于直線x=-1,垂足為8,

作物，MB于A,直線x=-l與x軸交于點K,如圖：

則MB//尤軸，即=NxFM=60°，四邊形A3KP是矩形，R/0A/E4中，

\MA\=^\FM\,

由拋物線定義知IMB|=|FM|,/（1,0）,而

\MA\+\AB|=|WB|,|AB|=|KF\=2,

則L|FM|+2=|FM|,解得|加|=4,所以|EM|=4.

2

［應(yīng)用1］（湖北省鄂州市鄂南高中2024屆高三下學(xué)期高考模擬T"）已知拋物線

試卷第15頁，共26頁

C:y2=2px（p>0）的準線方程為戶一1,過拋物線C的焦點尸的直線/交拋物線C于A,B

兩點，則下列說法正確的是（）

A.以AF為直徑的圓與y軸相切

B.設(shè)Q（3,2）,則AQA尸周長的最小值為4

C.若加=2雨，則直線/的斜率為2a或-20

D.x軸上存在一點N,使4期+軟陷為定值

【答案】ACD

【解析】A選項，拋物線。：>2=2°?>0）的準線方程為產(chǎn)_1,所以5=1,貝|p=2,

所以拋物線C:y2=4x,如圖，取AP的中點為D,過點。作y軸的垂線，垂足為2,

則AAJ/OF,DDt是梯形OFAA的中位線，

由拋物線的定義可得|A&HACH4C=|AFT，

~.\OF\+\AA,\1+lAFl-l\AF\

所以DR=J一=—J―」=J^,

11222

所以以AP為直徑的圓與y軸相切，故A正確；

B選項，如圖，過點A作準線的垂線，垂足為C,交y軸于

A,F（1，O）,根據(jù)拋物線的定義可得|AF|=|AC|,

所以△QAF周長為|A刊+1AQ|+\QF\=|AC|+|AC|+^/（3-1）2+22=|AC|+\AQ\+272,

由圖可知，當(dāng)A,C與點Q三點共線時，|AC|+|AQ|有最小值,

最小值為Q到準線%=-1的距離為3-（-1）=4,所以（|AC|+1AQ%+2亞=4+2也，

所以△Q4尸周長的最小值是4+2夜，故B錯誤;

C選項，設(shè)直線川的方程為xi+l,聯(lián)立I伊x=…my+1,整理可得一.一4%-4=。，

易知A>0,設(shè)AG，%）,8（工2，%），可得%+為=47",%%=-4,

：BF=2FA,，%=一2%,解得%=8"J%=-4〃2,，327"2=4,解得M=

O

;.k=±,-7—±2^/5，因此C正確;

m

試卷第16頁，共26頁

D選項，設(shè)在x軸上存在一點N?,0),

則kAN+kBN==-----—7+------77|一：

xx-tx2-tmy{+l-tmy2+l-t

=2/盯+2m(-4)+4(lT)"

m2yly2+07)機(％+%)+(17丫-4m2+4(l-/)m2+(l-r)2

2m(-4)+4(1-/)機-4m(z+1)

-4m2+4(1-0加2+0_/J(]_/J_4m2/，

故當(dāng)r=-l時，左期+%BN=。，即存在點N(-1,O)使得左她+左9為定值0.故D項正確.

故選：ACD.

教材挖掘拓展9:拋物線的重要結(jié)論2

【鏈接教材1】(人教A版選擇性必修第一冊P忸習(xí)題3.3T6)如圖，直線

y=x-2與拋物線J?=2x相交于A,B兩點,求證：OA±OB.

[y=x-2。

【解析】由＜2個得y-2y-4=0,設(shè)A(再,%工例々，％)，

y=2x

則有X%=—4，玉々=花?義=^^=4，

224，y

OAC)B=\x2+=4+(-4)=0,即厲J_礪，所以O(shè)A_LOB.

拓展：結(jié)論：直線1與拋物線C：V=2px交于A,B兩點，。為坐標原

點，且。4，。8,則直線/過定點(2P,0),反之亦成立

【鏈接教材2】(人教A版選擇性必修第一冊Pus復(fù)習(xí)參考題3T10)如圖，已知直

線與拋物線：/=2力(2＞0)交于48兩點，且。4,OB,a)_LAB交A3于點。，點

￡＞的坐標為(2,1),求P的值.

試卷第17頁，共26頁

【解析】：.kOD=^,-.-ODLAB,：.kAB=-2,

則直線AB的方程為：y-l=-2（x-2）,即y=—2x+5,

設(shè)AB兩點的坐標分別為A（x1,y1）,B（x2,y2）,

y2二2DX

聯(lián)立〈■',消X得：/+py-5p=Q,.,.x%=-5p,

y=-lx+5-

—.—.y2y2255

OAJ_OB,OA-OB=X1%2+%%=——二-+%%=-----5p=0,p=一.

2p2p44

教材挖掘拓展10：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

【鏈接教材】選擇性必修一P140閱讀與思考：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用

【應(yīng)用1]橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，

反射光線交于橢圓的另一個焦點上.請根據(jù)橢圓的這一光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：已知橢圓C:

22

R+工=1,其左、右焦點分別是第，F(xiàn)2,直線/與橢圓C相切于點P,且I尸居1=2,《關(guān)于

直線/的對稱點為居'，過點P且與直線/垂直的直線/'與橢圓長軸交于點則下列結(jié)論正

確的是（）

JT

A."PF?.B.F；,p,B三點共線

C.NRPM=NF2PMD.忸=

【答案】BCD

【解析】由題意可知：a=4,b=3,c=da2-H=布,即因用|=2療，

尸耳|+|尸盟=8,則忸閭=6,

」.cosR工」吶：用即”=；,且N甲里e（O,江貝I]/甲迅舊，A錯誤；

根據(jù)結(jié)合光線反射可知：ZF1PM=ZF2PM,C正確；

設(shè)用ZrV=N,根據(jù)對稱可知：NF\PN=NF：PN,

：.ZF}PF2=ZF^PFl+ZF}PF2=2(ZFlPN+ZFiPM)=2ZNPM=n,故耳'，P,6三點共

線，B正確;

在黨加中,由正弦定理號:閨尸I\FtM\sinZFtPM

sin/耳MP，人」,尸|sinZFtMP

試卷第18頁，共26頁

FMsinZFPM

同理在口后尸”中得22

sinZF2MP

?「NF2Mp=7t-/F[MP,貝Usin/F2Mp=sin（兀一ZFiMP）=sinZF{MP,

*FM\FP1

皿優(yōu)MXX

貝。-----=I----------=—即閨閭:叵闿=1:3D正確;

FM\FP3

國尸「