2024-2025學(xué)年貴州省遵義市高三年級(jí)上冊(cè)第四次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年貴州省遵義市高三上學(xué)期第四次月考（12月）

數(shù)學(xué)檢測(cè)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足Z-i=i2°24,則2=（）

A.-1B.-iC.iD.1

2

2.已知集合2={123,4},5={X|X-2X-4<0}；則仙=（）

A.{234}B.{USc.{GM}D0

3,已知向量"=（1/），6=（匹2）,若。，（2°+與，則》=（）

A.-6B.-4C.-1D.0

4.已知參觀某次航展的中小學(xué)生人數(shù)和購(gòu)買(mǎi)航展模型的比率分別如圖1、圖2所示.

為了解各學(xué)段學(xué)生對(duì)航展的愛(ài)好程度，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取1%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，則樣本量和抽取的初中生里購(gòu)買(mǎi)航展模型的人數(shù)（估計(jì)值）分別為（

圖1圖2

A.200,24B.200,28C.100,24D.100,28

5.若函數(shù)/（x）="Mx+2x的圖象在點(diǎn)（1,2）處的切線不經(jīng)過(guò)第二象限，且該切線與坐標(biāo)

軸所圍成的三角形的面積為7,則〃=（）

_22

A.-1B.3c.3D.1

6.已知,〃},也}均為等差數(shù)列，且％=4=1,&=4,則數(shù)列{〃〃+“}的前9項(xiàng)和為

（）

A.45B.50C.54D.60

7.已知尸是拋物線V=12x上的動(dòng)點(diǎn)，”是拋物線的準(zhǔn)線/上的動(dòng)點(diǎn)，"（0,4）,則

忸M+沖1的最小值是（）

A.5B.4C.4及D.372

8.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為%E,尸分別為棱8,G2的中點(diǎn)，則

三棱錐尸-/DE外接球的體積為（)

C.327tD.36%

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知函數(shù)"x）的定義域?yàn)镽,且W（x）=^G）,則/（x）的解析式可以為（）

A.?。?0B./O'c."x）=2xD./（力工？

y^sin^

10.已知函數(shù)5-COS2X,則（）

A./（X）為奇函數(shù)B./（X）的最大值為］

C./（X）的最小正周期為支D./（X）的圖象關(guān)于直線x=兀對(duì)稱(chēng)

11.笛卡爾葉形線是一個(gè)代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出.如圖，葉形線

Ud+j?經(jīng)過(guò)點(diǎn)

點(diǎn)p（xo，y。）在c上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線V=-x與C有3個(gè)公共點(diǎn)B.若點(diǎn)尸在第二象限，則工。+為＜°

Q%+%＞一］D.%+為43

三、填空題（本大題共3小題）

p?一2；

12.在I》＞的展開(kāi)式中，獷6的系數(shù)為

13.已知八力,aM,"[。叫sin(a+°)=sin3+e)=歹,則c°s(a")=

14.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>。時(shí)，/(x)=x-“.若VxeR,

f(x-a2)<f(x^則。的取值范圍為.

四、解答題(本大題共5小題)

cosAsinB

15.記V48c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知sin/1+cosS.

(1)證明：V/2C是等腰三角形.

(2)若。=1,求6+sin”的最大值.

16.如圖，在四棱錐P-NBCZ)中，底面為矩形，尸/，平面/BCD,

4

PA=AD=2AB,￡為線段PC上一點(diǎn)，AELPD,且該四棱錐的體積為3.

P

(1)求AE的長(zhǎng)度；

(2)求二面角尸-3E-/的正弦值.

17.某項(xiàng)編程技能比賽分為兩輪：第一輪初賽，賽題由6道基礎(chǔ)編程題和4道中級(jí)編

程題組成，基礎(chǔ)編程題每題答對(duì)得5分，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，初賽至少得

60分才能進(jìn)入第二輪復(fù)賽，否則淘汰；第二輪復(fù)賽，賽題由2道中級(jí)編程題和2道

高級(jí)編程題組成，中級(jí)編程題每題答對(duì)得10分，高級(jí)編程題每題答對(duì)得20分.所有

的題答錯(cuò)都不扣分.已知甲同學(xué)能答對(duì)每道基礎(chǔ)編程題，中級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為

2]_

3,高級(jí)編程題每題答對(duì)的概率為3,且各題答對(duì)與否互不影響.

(1)求甲同學(xué)初賽被淘汰的概率；

(2)已知甲同學(xué)第一輪初賽得滿(mǎn)分70分，求甲同學(xué)兩輪比賽所得總分X的分布列及期

望.

22

18.已知片，片分別為橢圓+記一乂”…）的上、下焦點(diǎn)，'（°廠2百）是橢圓

C的一個(gè)頂點(diǎn)，尸是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，P,I片三點(diǎn)不共線，當(dāng)△尸耳耳的面積最大

時(shí)，其為等邊三角形.

（1）求橢圓0的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若M為4尸的中點(diǎn)，°為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線加交直線了=46于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作

0E〃/P交直線了=于點(diǎn)￡,證明：NOEF\=NODR.

19.己知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,區(qū)間。G/,若則稱(chēng)/是

"X）在。上的不動(dòng)點(diǎn)，集合"=｛%"向）=%，/€。｝為/@）在。上的不動(dòng)點(diǎn)集.

⑴求函數(shù)"x）-2x一——在（0,+s）上的不動(dòng)點(diǎn)集;

兀71

⑵若函數(shù)gG）="一,缶2》在

212上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求。的取值范圍;

⑶若函數(shù)“卜）=/-（3療-1b+1（加＞°）在R上的不動(dòng)點(diǎn)集為任應(yīng)應(yīng)｝,求

x；+考+考的取值范圍.

答案

1.【正確答案】B

【詳解】因?yàn)閆-id024=1,所以Z=T.

故選：B

2.【正確答案】B

［詳解］由f_2x-4<0,l-6<x<l+石，所以*91一石<》<1+

所以/c3={l,2,3}.

故選：B

3.【正確答案】A

【詳解】因?yàn)?=（"）,"=（x，2）,所以2N+B=2（1,1）+（X,2）=（2+X,4）

aJ-(2a+61t?萬(wàn),?萬(wàn)+6)=2+%+4=0久

又l4所以＜J,解得x=-6.

故選：A

4.【正確答案】D

(4000+3500+2500)x1%=100

【詳解】樣本量為

抽取的初中生人數(shù)為4000x1%=40,

所以抽取的初中生里購(gòu)買(mǎi)航展模型的人數(shù)約為40x70%=28.

故選：D

5.【正確答案】D

【詳解】由/（x）=alnx+2x,得了O—,小”.，

則/（x）的圖象在點(diǎn)（L2）處的切線方程為尸（。+2）…,

由題意可知。+2彳0,

a

將x=0代入切線方程，得y=-a,將>=°代入切線方程，得X一五i,

因?yàn)樵撉芯€與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為6,

a

l|_al.=L_2

所以5a+2%,解得0=1或”-3,

當(dāng)。=1時(shí)，切線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，符合題意；

__2

當(dāng)“一§時(shí)，切線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不符合題意

故。=1.

故選：D

6.【正確答案】C

【詳解】因也｝均為等差數(shù)列，且%=4,可得包｝的公差為匚I

則an=1+("T)=",

而｛%+0｝的前9項(xiàng)和為為+出+…+旬+4+打+…+4

9(1+9)b,+bn0.,..

=—----+」——x9=45+a*9n=54

225

故選：C.

7.【正確答案】A

【詳解】拋物線,=⑵的焦點(diǎn)為歹(3,0),準(zhǔn)線/的方程為x=-3,

當(dāng)尸時(shí)，1尸1圖的值最小，此時(shí)，由拋物線的定義，可得\PM\=\PF\,

8.【正確答案】D

【詳解】因?yàn)閂/DE為直角三角形，其外接圓圓心為/E的中點(diǎn),

設(shè)/￡的中點(diǎn)為G,過(guò)G作平面/BCD的垂線與/月交于點(diǎn)。,

OA=-AF=-ylEF2+AE2=3

22

—x33=3671

三棱錐尸一/DE外接球的體積為3

故選：D

9.【正確答案】ABC

【詳解】首先，各選項(xiàng)給出的函數(shù)定義域均為R.

對(duì)A：W(x)=yx0=0,^&)=xx0=0,所以W(x)=4'3)成立，故A符合題意;

對(duì)B：W（x）=A,獷＞00=盯，所以W（x）=^。）成立，故B符合題意;

對(duì)C：yf(x)=yx2x=2xyxf（y）=xx2y=2xy所以W（x）=獷&）成立，故c符合題

忌；

對(duì)D：yf(x)=yxx2=x2yxf（y）=xxy2=xy2所以0。）=好'（V）不是恒成立，故口

不合題意.

故選：ABC

10.【正確答案】AB

sin(一x)sinx

2sinxsinx則…=-f(x)

/（x）=22

【詳解】5-cos2%3-cos2x,3-cos(-x)3-cosx

所以/（x）為奇函數(shù)，A正確.

sin(x+7i)sinx

/(X+Tl)=-f(x)

3-COS2(x+7l)3-cos2X

,所

以7（x）的最小正周期不是兀，C不正確.

sin(2K-x)sinx

“2兀-x)==~f(x)

3-cos2(2兀-x)3-cos2x

所以/（X）的圖象不關(guān)于直線X=7I對(duì)稱(chēng)，D不正確.

sinxsinx

f(x)=

3-cos2x2+sin2x,

顯然/(X)=/(X+2TI),且/(0)=/(兀)=o.

小)=----

當(dāng)xe(O,兀)時(shí)，SinX+sinT,

由0<sinx41,設(shè)f=sinx,/e(O,l],

2-+t>2.p--t=2y/2

根據(jù)基本不等式，t\t

2_t

當(dāng)且僅當(dāng)t~,即等號(hào)成立，顯然不成立,

222^,

—foil—1~，23-------Fsinx23

則/在“，“單調(diào)遞減，所以t,即sin%

"x)=21.6

------+sinx

所以sin%

]_

當(dāng)xe（無(wú),2%）時(shí)，/（x）<0,所以f（x）的最大值為B正確.

故選：AB

11.【正確答案】BCD

一小，』

【詳解】因?yàn)槿~形線C:x+>=叼經(jīng)過(guò)點(diǎn)【22九所以〃=3.

卜3+/=3中，

聯(lián)立1了=一招，解得x=V=°,所以直線〉=f與C只有1個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)誤.

x3+y3-3xy-(x+y^(x2—xy+y2(x+y)[(x+j)~-3xyj

因?yàn)辄c(diǎn)尸在第二象限，所以％%<0,(%+%)--3工。外>0

3%為八

xQ+yQ=---------------------<0

所以(%+%)-3%%,B正確.

若點(diǎn)尸在第四象限，則%為<0,可推出%+%<0.

因?yàn)閤3+y=3xy=(x+>>)(x2-xy+/)=(x+^)[(x+^)2-3xy]=(%+>>)3-3xy(x+^)

a/n_zV工0+/+]=（”+%）>0

所以3孫（x+〉+l）=（x+N）.當(dāng)點(diǎn)p在第二、四象限時(shí)，3%%

所以當(dāng)點(diǎn)尸是原點(diǎn)或在第一象限時(shí)，易得%+%>T,

所以c正確.

33%>-.+人3卜+疔

由的(x+y+l)=(x+>可得-x+y+1I2人解得x+"3,所以x°+%<3,

D正確.

故選：BCD

12.【正確答案】T4

1-21&=C；[口（-2/=（-2/3

【詳解】5展開(kāi)式的通項(xiàng)I"

令一7=-6,可得，=1,則的系數(shù)為（-2）C”T4.

故T4

_3

13.【正確答案】5/-0.6

【詳解】因?yàn)槎?6，。?電兀）,匹[°，兀），sm（a+9）=sm（/?+°）=與，

所以。+9+萬(wàn)+夕=兀+2而，keZ,即&_/?=兀_2（￡+夕）+2析，keZ

3

故cos（a-p）=cos[兀一2（尸+0）]=-cos2（^+^?）=2sin2（4+夕）-1二--

.3

故答案為「5

14.【正確答案】（一°°河U[2,+8）

【詳解】當(dāng)。=。時(shí)，/（x-/）”（x）顯然恒成立，

當(dāng)。二°時(shí)，可以理解為將/（X）的圖象向右平移/個(gè)單位長(zhǎng)度后,

得到的,（“一/）的圖象始終在/（“）的圖象的下方（或重合）.

當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=x-a,可知當(dāng)x<0時(shí)，“x）=x+。，

平移之后，當(dāng)x>/時(shí)，f（x-a2y=x-a-a^當(dāng)x</時(shí)，f（x-a2^=x+a-a-

當(dāng)。>0時(shí)，由圖象，

可知，a2-a>a,解得心2；

當(dāng)a<°時(shí)，/（X-/）的圖象始終在/GO的圖象的下方.

故°的取值范圍為（-8，°132,+8）,

故（-8,0]u[2,+8）

15.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵逐

cosA_sin5

【詳解】（1）因?yàn)閟in41+cosB,所以cosZ+cos/cos8=sin4sin8,

即cosA--cosAcos8+sin/sin8=-cos（A+B）=cosC

所以/=C,VZ8C是等腰三角形.

,71B

/I----------------

(2)由(1)知4=C,所以a=c=l,22

B

b2=a2+c2-laccosB=2-2cos5=4sin2—

2

0<—<—,sin—>0,Z>=2sin—

因?yàn)?<8<兀，所以2222.

./.「兀2B

smZ=sm=cos——

(22J2

b+sin/=2sin0+cos—=V5sin|—+(z)|<V5tan/n-1

22(2"J,其中tan"?,

—\-(P——F2ATI,kGZ

當(dāng)且僅當(dāng)22時(shí)，等號(hào)成立，

所以6+sin/的最大值為V5.

AE=-

16.【正確答案】(1)2

⑵際

1cC4

—?a'2Q?2Q——

【詳解】(1)設(shè)43=。，則P/=4D=2a,該四棱錐的體積為33,

解得。=1,即AB=1,PA=AD=2.

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(100),

C(1,2,0)P(0,0,2)

，，

Z>(0,2,0)在=(1,0,0)CP-(-1,-2,2)麗=(0,2,-2)

設(shè)方=2臣=(-4-2424)則E(l-42-2422)=(1-/1,2-22,2/1)

——.——-2=—

若4ELPD,則4E-PD=4-8/l=0,解得2,即￡為尸C的中點(diǎn).

設(shè)平面ABE的法向量為拓=屈為4）,

（——,玉=°,

ABn=O,，］

則唧［2取乂=L得九=（0,1，-1）.

設(shè)平面PBE的法向量為比=（與力/2）,

BC-m=0,］2%=0,

則CP-m=0,即-2%+2z?=0,取z?=1得而=（2,0,1）

設(shè)二面角尸-5E-/的大小為0,

,3

|cos6?|=|cosn,?7|=叵a屈

msin”=-------

則舊祠I10，所以10,

3M

所以二面角尸-5E-4的正弦值為1T.

11

17.【正確答案】（1）萬(wàn)

E（X）=—

（2）分布列見(jiàn)解析，3

【詳解】（1）若甲同學(xué)初賽不被淘汰，則他答對(duì)中級(jí)編程題的數(shù)量至少為

60-5x6.

-----------=3

10

則甲同學(xué)初賽不被淘汰的概率為

11611

1-----——

所以甲同學(xué)初賽被淘汰的概率為2727.

（2）由題意X可取70,80,90,100,110,120,130,

22

P（X=70）=124

x

則381

P（Jf=80）=fex|x|2（216

x

381

222

尸3=90）=仁21

x+心\2旦

3323381

1216

C'x-x-xx—x—=——

所以X的分布列為:

X708090100110120130

41620161744

P

81818181818181

4290

^m=70x—+80x—+90x—+100x—+110x—+120X—+130x—

故''81818181818181"T

18.【正確答案】（1）129

（2）證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）因?yàn)?0,-2⑸是橢圓

C的一個(gè)頂點(diǎn)，所以a=2班.

當(dāng)點(diǎn)尸與C的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí)，△尸耳區(qū)的面積最大，其為等邊三角形，滿(mǎn)足

b=?,又因?yàn)樗詁=3,c=4i.

Hi

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為129.

（2）

-2后”0),P(xM)

方j(luò)

由>=區(qū)—23\得g左2+4)/—=0

_玉+0_66左-873

y()=kx0-2y=

所以/=丁=3/+43左2+4

J6顯-8也、

M--——

|-tJH1+43尸+4,

即B點(diǎn)'3k

4

y------x

所以直線。河的方程為3k.

令嚴(yán)4反得。什限，4行）.

又。E〃AP,所以直線0E的方程為N=..

d塔s'

令J=4J3,得I左J.

延長(zhǎng)防交。D于N,延長(zhǎng)S交OE于

麗.歷=(-述,-361136左,46)=0

由Ik)K)，得%，0D,則NF；ND=90。.

DFl-OE=(3y/3k,-3^)(—,4-5\=0

同理由'7<kJ，得°耳,0%則/耳近=90。

因?yàn)?EK=90°一NERH,AODFX=90°-NDF、N,顯然NEF、H=4DRN,

所以/?！昶?/°。片.

19.【正確答案】(1){”

(2)(-OO,1]U[3,+CO)

⑶G蚯，+8)

x2-3x-40

【詳解】(1)由"x)=x,得一1一一,

解得尤=T或x=4,

故/(x)在(0,+8)上的不動(dòng)點(diǎn)集為{4}.

(兀兀)

("I)尤-sin2x=0在「5以上有且只有一個(gè)實(shí)

(2)方法一：由題可知，關(guān)于x的方程

數(shù)根.

即方程("1卜=,訪2》在1只有一解.

因?yàn)閤=O是方程("l)x=sin2x的解，所以方程("l)x=sin2x在［pH］上無(wú)

解.

I2’2)的圖象，如下圖:

由夕=$也2工，，=2cos2x,所以J'(°)=2.

當(dāng)a-122或a-lVO即或aWl時(shí)，=(0-1)xJ=sin2x

的圖象只有

一個(gè)交點(diǎn).

所以a的取值范圍是.（-8,1］口［3,+8）

(a-l)x-sin2x=0在

方法二：由題可知，關(guān)于x的方程上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

人夕(x)=(a-l)x-sin2x貝cp'(x)=a-1-2cos2x

71717171

若此3,則。"）上°在

252上恒成立，租（久）在上單調(diào)遞增.

依山＞07171

因?yàn)?,所以9（久）在252上有且僅有一個(gè)零

點(diǎn)，即gG）在

上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

71717171

若。工一1,則夕'（x）W°在5