人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-7.5正態(tài)分布-導(dǎo)學(xué)案【含答案】

人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三-7.5正態(tài)分布-導(dǎo)學(xué)案學(xué)習目標1.利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率大小.3.會用正態(tài)分布去解決實際問題．一、正態(tài)曲線及其特征問題1下列隨機變量哪個是離散型隨機變量：(1)擲一枚骰子一次，用X表示所得點數(shù)；(2)白熾燈的使用時間．問題2教材P74例2的高爾頓板試驗中，隨著重復(fù)次數(shù)的增加，頻率分布直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線，那么這條曲線是否存在函數(shù)解析式呢？知識梳理1．我們稱f(x)＝______________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，為________，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱________．2．若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為________．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從________________．3．若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4．正態(tài)曲線的特點：(1)非負性：對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的________．(2)定值性：曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為______．(3)對稱性：曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對稱．(4)最大值：曲線在________處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(5)當|x|無限增大時，曲線無限接近____軸．(6)當______一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著______的變化而沿x軸平移，如圖①.(7)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，當σ較小時，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，正態(tài)曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.5．正態(tài)分布的幾何意義：若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積．例1(1)已知隨機變量服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線如圖所示，則總體的均值μ＝______，方差σ2＝________.(2)某工廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一型號的機械零件，產(chǎn)品的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性B．甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性低于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性C．甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值大于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值D．甲生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值小于乙生產(chǎn)線的產(chǎn)品尺寸平均值反思感悟利用正態(tài)曲線的特點求參數(shù)μ，σ(1)正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，由此特點結(jié)合圖象求出μ.(2)正態(tài)曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此特點結(jié)合圖象可求出σ.跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的4個敘述中，正確的有()A．曲線在x軸上方，且與x軸不相交B．當x>μ時，曲線下降，當x<μ時，曲線上升C．當μ一定時，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D．曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，且當x＝μ時，位于最高點(2)(多選)甲、乙兩類水果的質(zhì)量(單位：kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)分布的密度曲線f(x)＝，x∈R，如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲類水果的平均質(zhì)量μ1＝0.4kgB．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2＝1.99二、利用正態(tài)分布的性質(zhì)求概率知識梳理正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.例2設(shè)ξ～N(1,22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)．反思感悟利用正態(tài)分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對稱的區(qū)間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，則P(0<ξ<2)等于()A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1(2)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝0.2，P(2<ξ<6)＝0.6，則μ等于()A．3B．4C．5D．6三、正態(tài)分布的應(yīng)用例3(1)現(xiàn)實世界中的很多隨機變量遵循正態(tài)分布．例如反復(fù)測量某一個物理量，其測量誤差X通常被認為服從正態(tài)分布．若某物理量做n次測量，最后結(jié)果的誤差，Xn～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,n)))，則為使|Xn|≥eq\f(1,4)的概率控制在0.0455以下，至少要測量的次數(shù)為(附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)()A．32B．64C．128D．256(2)某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4,0.52)．質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7cm，試問：該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？反思感悟解題時，應(yīng)當注意零件尺寸應(yīng)落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內(nèi)，否則可以認為該批產(chǎn)品不合格．判斷的根據(jù)是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，而一旦發(fā)生了，就可以認為這批產(chǎn)品不合格．跟蹤訓(xùn)練3“雙十二”網(wǎng)購狂歡節(jié)是繼“雙十一”之后的又一次網(wǎng)絡(luò)促銷日，在這一天，許多網(wǎng)商還會進行促銷活動，但促銷力度不及“雙十一”．已知今年“雙十二”期間，某小區(qū)居民網(wǎng)上購物的消費金額(單位：元)近似服從正態(tài)分布N(600,10000)，則該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購金額超過800元的人數(shù)大約為(附：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)()A．16B．18C．20D．251.知識清單：(1)正態(tài)曲線及其特點．(2)正態(tài)分布的應(yīng)用，3σ原則．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：概率區(qū)間轉(zhuǎn)化不等價．1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝，則這個正態(tài)總體的均值與標準差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與102．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(a,4)，且P(X＞1)＝0.5，則實數(shù)a的值為()A．1B．2C．3D．43．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(10,22)，則D(3X－1)等于()A．6B．11C．12D．36如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，則μ＝________.參考答案與詳細解析問題1(1)是，(2)不是．問題2存在．知識梳理1.正態(tài)密度函數(shù)正態(tài)曲線2．X～N(μ，σ2)標準正態(tài)分布4．(1)上方(2)1(3)x＝μ(4)x＝μ(5)x(6)σμ例1(1)202解析從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20，eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2)，因此總體的均值μ＝20，方差σ2＝(eq\r(2))2＝2.(2)A[由圖知甲、乙兩條生產(chǎn)線的平均值相等，甲的正態(tài)分布密度曲線較瘦高，所以甲生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性高于乙生產(chǎn)線產(chǎn)品的穩(wěn)定性．]跟蹤訓(xùn)練1(1)ABD[只有C錯誤，因為當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散．](2)ABC[由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x＝0.4對稱，乙圖象關(guān)于直線x＝0.8對稱，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正確；因為甲圖象比乙圖象更“瘦高”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；因為乙圖象的最大值為1.99，即eq\f(1,\r(2π)·σ)＝1.99，σ2≠1.99，故D錯誤．]知識梳理0．68270.95450.9973例2解∵ξ～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2，(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，∴P(3≤ξ≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.跟蹤訓(xùn)練2(1)C[由已知可得曲線關(guān)于直線x＝1對稱，P(ξ<2)＝0.6，所以P(ξ≥2)＝P(ξ≤0)＝0.4，故P(0<ξ<2)＝1－0.4－0.4＝0.2.](2)B[∵P(ξ<2)＝0,2，P(2<ξ<6)＝0.6，∴P(ξ>6)＝1－0.2－0.6＝0.2，即P(ξ<2)＝P(ξ>6)，∴μ＝eq\f(2＋6,2)＝4.]例3(1)C[根據(jù)題意，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|Xn|≥\f(1,4)))<0.0455?Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|Xn|<\f(1,4)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)<Xn<\f(1,4)))>1－0.0455＝0.9545，而μ＝0，則P(－2σ≤Xn≤2σ)≈0.9545，所以2σ≤eq\f(1,4)?σ＝eq\r(\f(2,n))≤eq\f(1,8)?n≥128.](2)解由于外直徑X～N(4,0.52)，則X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之內(nèi)取值的概率為0.9973，在[2.5,5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5,5.5]，這說明在一次試驗中，出現(xiàn)了幾乎不可能發(fā)生的小概率事件，據(jù)此可以認為這批零件是不合格的．跟蹤訓(xùn)練3B[∵小區(qū)居民網(wǎng)上購物的消費金額(單位：元)近似服從正態(tài)分布N(600,10000)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X>800))＝eq\f(1－P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(400≤X≤800)),2)≈eq\f(1－0.9545,2)＝0.02275，∴該小區(qū)800名居民中，網(wǎng)購金額超過800元的人數(shù)大約為0.02275×800＝18.2≈18.]隨堂演練