高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時過程性評價五十四　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊課時過程性評價五十四兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)含答案五十四兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)(時間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)sin70°cos25°-sin20°sin25°的值為()A.-1 B.-22 C.22 D【解析】選C.sin70°cos25°-sin20°sin25°=sin70°cos25°-cos70°sin25°=sin(70°-25°)=sin45°=222.(5分)(多選)cosα-3sinα化簡的結(jié)果可以是()A.12cos(π6-α) B.2cos(π3C.12sin(π3-α) D.2sin(π6【解析】選BD.cosα-3sinα=2(12cosα-32sinα)=2(cosαcosπ3-sinαsinπ3)=2cos(π3+α)=2sin(3.(5分)已知cos(α-β)=35,sinβ=-513,且α∈(0,π2),β∈(-πA.3365 B.5665 C.-3365 D【解析】選B.因為0<α<π2,-π2<所以0<α-β<π.又cos(α-β)=35,所以sin(α-β)=4因為-π2<β<0,sinβ=-513,所以cosβ=所以cosα=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=35×1213-45×(-54.(5分)已知函數(shù)f(x)=3sinax+cosax的最小正周期是3,則實數(shù)a的值為()A.π3 B.2π3 C.-2π3 D【解析】選D.函數(shù)f(x)=3sinax+cosax=2sin(ax+π6),函數(shù)的最小正周期是3,可得2π|a|=3,解得5.(5分)(多選)已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點P(-35,-45),將角α的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到角A.tanα=4B.cosβ=-3C.sin(α-β)=-1D.sin(β+π4)=-【解析】選AC.由題意得sinα=-45,cosα=-35,β=α+90°,則tanα=-4cosβ=cos(α+90°)=-sinα=45α-β=-90°,則sin(α-β)=sin(-90°)=-1,故C正確;sinβ=cosα=-35,則sin(β+π4)=22(sinβ+cosβ)=22×(-35+45)=26.(5分)化簡:32cos15°-12cos75°=【解析】32cos15°-12cos75°=sin60°cos15°-cos60°sin15°=sin(60°-15°)=sin45°=答案:27.(5分)銳角△ABC中,已知cosA=55,sinB=31010,則角C【解析】由△ABC為銳角三角形,又cosA=55,sinB=3則sinA=255,cosB=則sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=255×1010+55×31010=22,又C∈答案:π8.(5分)函數(shù)y=sin2x3+cos(2x3+【解析】由題意得,y=sin2x3+cos2x3cosπ6-sin2x3sinπ6=coscos(2x3-π6),T=2π答案:3π9.(10分)已知sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=45,β是第三象限的角,求sin(β+π4【解析】因為sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=45所以sin(-β)=-sinβ=45,即sinβ=-4因為β是第三象限的角,所以cosβ=-1-(-所以sin(β+π4)=sinβcosπ4+cosβsinπ4=-45×22-310.(10分)化簡下列各式:(1)sin(x+π3)+2sin(x-π3)-3cos(2π3【解析】(1)原式=sinxcosπ3+cosxsinπ3+2sinxcosπ3-2cosxsinπ3-3cos2π3cosx-3sin2π3sinx=12sinx+32cosx+sinx-3cosx+32cosx-32sinx=(12+1-32(2)sin(2α+β)【解析】(2)原式=sin=sin=sin[(α+【綜合應(yīng)用練】11.(5分)已知α為鈍角,且sin(α+π12)=13,則cos(α+A.22+36 B.22-36 C【解析】選C.因為α為鈍角,且sin(α+π12)=1所以cos(α+π12)=-2所以cos(α+5π12)=cos[(α+π12)+=cos(α+π12)cosπ3-sin(α+π=(-223)×12-13×12.(5分)設(shè)α∈(0,π2),β∈(0,π2)且tanα=A.2α-β=0 B.2α+β=πC.2α+β=0 D.2α-β=π【解析】選D.因為tanα=1+sinβcosβ可得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα,即sin(α-β)=cosα,又因為α∈(0,π2),β∈(0,π可得α-β=π2-α,即2α-β=π13.(5分)(2024·長沙高一檢測)函數(shù)f(x)=sin(x-π6)+cos(x-πA.32 B.1 C.3 D.【解析】選C.f(x)=sinxcosπ6-cosxsinπ6+cosxcosπ3+sinxsinπ3=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx.因為-1≤sinx≤1,所以-3≤f(x)≤14.(5分)形如abcd的式子叫做行列式,其運算法則為abc【解析】cosπ3sinsinπ3sinπ6=cos(π3+π6答案:015.(10分)已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,y=tanA2+2cosA2【解析】任意交換兩個角的位置,y的值不變.證明如下:因為A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,A+B+C=π,所以A2=π2-y=tanA2+=tanA2+=tanA2+=tanA2+tanB2+tan因此任意交換兩個角的位置,y的值不變.【創(chuàng)新拓展練】16.(5分)“在△ABC中,cosAcosB=+sinAsinB”,已知橫線處是一個實數(shù).甲同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)a,這時C是直角;乙同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)b,這時C是銳角;丙同學(xué)在橫線處填上一個實數(shù)c,這時C是鈍角,則實數(shù)a,b,c的大小關(guān)系是.

【解析】由題意得,橫線處的實數(shù)等于cos(A+B),即cos(π-C),故當(dāng)C是直角時,a=cos(A+B)=cosπ2=0;當(dāng)C是銳角時,-1<b=cos(A+B)<0;當(dāng)C是鈍角時,0<c=cos(A+B)<1,故b<a<答案:b<a<c溫馨提示：五十五兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)(時間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)與1-A.tan66° B.tan24°C.tan42° D.tan21°【解析】選B.原式=tan452.(5分)已知θ為第二象限角,且sinθ=1213,則tan(θ+πA.717 B.177 C.-717 D【解析】選C.由θ為第二象限角且sinθ=1213,得cosθ=-1-sin2θ=-513所以tan(θ+π4)=tanθ+tan3.(5分)(2024·杭州高一檢測)若tan(α-5π12)=12,則tan(2π3A.3 B.-3 C.13 D.-【解析】選C.因為tan(α-5π12)=12,所以tan(5π12-α)=-tan(α-5π12)=-12,所以tan(2π3-α)=tan(5π12-α+π4.(5分)若tan28°·tan32°=m,則tan28°+tan32°等于()A.3m B.3(1-m) C.3(m-1) D.3(m+1)【解析】選B.因為28°+32°=60°,所以tan60°=tan(28°+32°)=tan28°所以tan28°+tan32°=3(1-m).5.(5分)已知sinα=55且α是銳角,tanβ=-3,且β為鈍角,則α+βA.π4 B.π3 C.2π3 【解析】選D.sinα=55且α是銳角,可得cosα=255,tanα又tanβ=-3,且β為鈍角,故α+β∈(π2,3π2tan(α+β)=tanα+tanβ1α+β的值為3π46.(5分)(多選)已知tanα=1+m,tanβ=m,且α+β=π4,則實數(shù)mA.-1 B.0 C.-3 D.1【解析】選BC.因為α+β=π4所以tan(α+β)=tanα+tanβ又tanα=1+m,tanβ=m,所以1+m+m1-m7.(5分)已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,則tanθ=【解析】因為2tanθ-tan(θ+π4所以2tanθ-tanθ即2tanθ-2tan2θ-tanθ-1=7-7tanθ,即2tan2θ-8tanθ+8=0,即2(tanθ-2)2=0,解得tanθ=2.答案:28.(5分)已知0<α<π2,sinα=45,tan(α-β)=-13,則tanβ=;sin【解析】因為0<α<π2,sinα=4所以cosα=35,所以tanα=4又tan(α-β)=-13,tanβ=tan[α-(α-β=tanα-tansin(β=sinβsinβ-cos答案:339.(10分)已知α,β滿足α+β=π4,求(1+tanα)(1+tanβ)的值【解析】因為α+β=π4所以tan(α+β)=tanπ4又tan(α+β)=tanα得tanα+tanβ=1-tanαtanβ,所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2.10.(10分)已知tan(π4+α)=2,tanβ=1(1)求tanα的值;【解析】(1)由題意可得tan(π4+α)=1+tanα1-tan(2)求sin(α【解析】(2)sin=sin=sin=tanα+tanβtanα【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·安徽名校高一檢測)在△ABC中,已知cosA=45,tanB=12,則tan(A-A.12 B.-12 C.-112 【解析】選C.由已知可得sinA>0.又cosA=45,所以sinA=35,所以tanA=34.所以tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-tantan(A-C)=tanA-tanC1+tan12.(5分)已知sinα+cosαsinα-cosα=3,tan(α-【解析】由條件知sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα故tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]=tan(β-α)-答案:413.(5分)設(shè)a,b是非零實數(shù),且滿足asinπ5-bcosπ【解析】因為asinπ5所以tan11π30=tanπ5-ba1+ba所以11π30+kπ=π5-θ,解得θ=-π6+kπ,所以tanθ=tan(-π6+kπ)=-33,即ba答案:-314.(10分)是否存在銳角α,β,使得(1)α+2β=2π3,(2)tanα2tanβ=2-3同時成立?若存在,求出銳角α,β【解析】假設(shè)存在銳角α,β使得(1)α+2β=2π3,(2)tanα2tanβ=2-3由(1)得α2+β=π所以tan(α2+β)=tanα又tanα2tanβ=2-3所以tanα2+tanβ=3-3因此tanα2,tanβ可以看成方程x2-(3-3)x+2-3=0的兩個根,設(shè)方程的兩根為x1,x2,解得x1=1,x2=2-3若tanα2=1,則α=π2,這與所以tanα2=2-3,tanβ所以α=π6,β=π所以存在滿足條件的α,β,α=π6,β=π15.(10分)如圖,兩座建筑物AB,CD的高度分別是9m和15m,從建筑物AB的頂部A處看建筑物CD的張角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD.【解析】如圖,作AE⊥CD于點E.因為AB∥CD,AB=9m,CD=15m,所以DE=9m,EC=6m.設(shè)AE=x,∠CAE=α.因為∠CAD=45°,所以∠DAE=45°-α.在Rt△AEC和Rt△AED中,有tanα=6x,tan(4