高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第六章　6.3　6.3.5　第2課時　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(2)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第六章6.36.3.5第2課時平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(2)含答案第2課時平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(2)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握與平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)的綜合問題.2.能夠利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解決幾何中的計算與證明問題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算類型一向量數(shù)量積的綜合運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(2024·蘇州高一檢測)已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且c∥a,求c;(2)若|b|=352,且a+2b與2a-b垂直,求a與b【解析】(1)因為c∥a,可設(shè)c=λa,所以|c|=|λ||a|,則25=|λ|×12所以λ=±2,所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因為a+2b與2a-b垂直,所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2-2b2+3a·b=0,所以10-2×454+35×352所以cosθ=59因為0≤θ≤π,所以sinθ=214所以a與b的夾角的正弦值為214【總結(jié)升華】向量數(shù)量積的綜合運(yùn)算(1)與向量數(shù)量積有關(guān)的綜合運(yùn)算涉及向量的線性運(yùn)算、垂直、平行、夾角、模等;(2)一般方法是把相關(guān)條件用坐標(biāo)表示,利用坐標(biāo)運(yùn)算解題.【即學(xué)即練】(2024·東莞高一檢測)已知|a|=1,|b|=3,a+b=(3,1),試求:(1)|a-b|;(2)a+b與a-b的夾角.【解析】(1)由a+b=(3,1),可得(a+b)2=4,則|a+b|=3+1=2,即a2+b2+2a·b=4,又|a|=1,|b|=3,則a·b=0,則|a-b|=(a-b)(2)cos<a+b,a-b>=(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=a2-b22×2=-12,又<a+b,a-b【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-2),且a∥c,b⊥c.(1)求|2a+3b+c|;(2)求向量b+a與c+a夾角的大小.【解析】(1)因為a∥c,b⊥c,則-2解得x=即a=(-1,1),b=(1,1),可知c=-2a,即c+2a=0,可得2a+3b+c=3b=(3,3),所以|2a+3b+c|=32+3(2)由(1)可知:a=(-1,1),b=(1,1),可得b+a=(0,2),c+a=(1,-1),則|b+a|=2,|c+a|=12+(-(b+a)·(c+a)=0×1+2×(-1)=-2,可得cos<b+a,c+a>=(b+a)·(且<b+a,c+a>∈[0,π],則<b+a,c+a>=3π4所以向量b+a與c+a的夾角為3π4類型二向量數(shù)量積的幾何應(yīng)用(邏輯推理)角度1幾何計算【典例2】(2024·貴陽高一檢測)如圖所示,矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,B,D分別在x軸,y軸上,AB=4,AD=2,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn),(1)若DE⊥AC,求AE的長;(2)若E為AB的中點(diǎn),AC與DE的交點(diǎn)為M,求cos∠CME.【解析】(1)由題可得,A(0,0),B(4,0),D(0,2),C(4,2).則=(4,2).設(shè)E(x,0)(0≤x≤4),則=(x,-2).因DE⊥AC,則·=4x-4=0?x=1.則E(1,0),故AE的長為1;(2)若E為AB的中點(diǎn),則E(2,0),=(2,-2),又=(4,2).由題圖可知,cos∠CME=cos<,>==425×22=10【總結(jié)升華】向量數(shù)量積有關(guān)的幾何計算問題方法:結(jié)合幾何圖形的特征,將要解決的問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量問題,如數(shù)量積、夾角、模長等,再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【即學(xué)即練】(2024·西安高一檢測)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,||=2||=2,∠OAB=2π3,=(-1,3).(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);(2)判斷四邊形OABC的形狀,并求出其周長.【解析】(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,由||=2,知A(2,0),又∠OAB=2π3,||=1,設(shè)B(xB,yB),則xB=2+cosπ-2π3=52,yB=sinπ-2π3=32,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為52,32.又=(-1,3),所以=+=52,32+(-1,3)=32,332,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為32,332(2)由(1)可得,=32,332,=12,32,所以=3.所以∥,||=3||=3.又||=1+3=2,||=2,所以四邊形OABC為等腰梯形.因為||=2,||=1,||=2,||=3,所以四邊形OABC的周長為8.角度2幾何證明【典例3】如圖,正方形ABCD的邊BC在正方形BEFG的邊BG上,連接AG,CE,AG交DC于H.證明:AG⊥CE.【證明】以B為原點(diǎn),BE所在直線為x軸,以BG所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=a,BE=b,且a<b,所以A(-a,0),E(b,0),G(0,b),C(0,a),所以=(a,b),=(b,-a),所以·=ab-ab=0,所以⊥,即AG⊥CE.【總結(jié)升華】向量數(shù)量積有關(guān)的幾何證明問題方法:結(jié)合幾何圖形的特征,將要證明的幾何問題轉(zhuǎn)化為向量平行、垂直或模長相等等問題,通過向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明.課時鞏固訓(xùn)練,請使用“課時過程性評價十一”6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能用向量方法解決簡單的幾何問題.2.能用向量方法解決物理中的力學(xué)與航行問題.【素養(yǎng)達(dá)成】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算類型一利用平面向量解決幾何問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1計算問題【典例1】如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,點(diǎn)D在線段BC上,且BD=12DC.(1)AD的長;(2)∠DAC的大小.【解析】(1)設(shè)=a,=b,則=+=+13=+13(-)=23+13=23a+13b.所以||2==23a+13b2=49a2+2×29a·b+19b2=49×9+2×29×3×3×cos120°+19×9=3,即(2)設(shè)∠DAC=θ(0°<θ<120°),則θ為與的夾角.所以cosθ==(23a+13b所以θ=90°,即∠DAC=90°.【總結(jié)升華】用向量法解決平面幾何中的計算問題(1)求長度:①根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底,利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化,用公式|a|2=a2求解;②建立坐標(biāo)系,將向量用坐標(biāo)表示,利用|a|=x2+(2)求角度:將所求角轉(zhuǎn)化為兩個向量的夾角,再使用基底法或坐標(biāo)法求出該夾角的余弦值,然后求出該夾角,最后轉(zhuǎn)化為所求角.【即學(xué)即練】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D為AC的中點(diǎn),則cos∠BDC等于()A.-725 B.725 C.0 D【解析】選B.如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),所以=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC為,的夾角,所以cos∠BDC==-9+165×5=7角度2證明問題【典例2】(教材提升·例2)如圖,在平行四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上取兩點(diǎn)E,F,使BE=DF.用向量方法證明:四邊形AECF是平行四邊形.【證明】在平行四邊形ABCD中,=,又由BE=DF,則=-,則有+=-,即=,則有AE∥FC且AE=FC,故四邊形AECF是平行四邊形.【總結(jié)升華】用向量法證明平面幾何問題(1)基底法:選取基底,用基底表示相關(guān)向量,利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到對應(yīng)關(guān)系;(2)坐標(biāo)法:建系,用坐標(biāo)表示相關(guān)向量,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到對應(yīng)關(guān)系.注意:最終需要將運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【即學(xué)即練】(一題多解)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=12AB,求證:AC⊥【證明】方法一:因為∠CDA=∠DAB=90°,AB∥CD,CD=DA=12AB所以設(shè)=e1,=e2,|e1|=|e2|,則=2e2.所以=+=e1+e2,=-=(e1+e2)-2e2=e1-e2.而·=(e1+e2)·(e1-e2)=e12-e=|e1|2-|e2|2=0,所以⊥,即AC⊥BC.方法二:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)CD=1,則A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).所以=(-1,1),=(1,1).所以·=(-1,1)·(1,1)=-1+1=0.所以AC⊥BC.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,E,F分別為邊AB,BC上的點(diǎn),且AE=EB,2BF=FC.求證:CE⊥AF.【證明】因為=+=-+12,=+=+13=+13(-)=23+13.由·=0且||=||,得·=(-+12)·(23+13)=13-13-12·=0,所以CE⊥AF.類型二利用平面向量解決物理問題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1力學(xué)問題【典例3】如圖,在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為θ,繩子所受的拉力為F1.(1)判斷|F1|,|F2|隨θ的變化而變化的情況;(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時,求角θ的取值范圍.【解析】(1)由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則知,-G=F1+F2.如圖,根據(jù)直角三角形可得|F1|=|G|F2|=|G|·tanθ.當(dāng)θ從0°趨近90°時,|F1|,|F2|都逐漸增大;(2)令|F1|=|G|cos因為0°≤θ<90°,得cosθ≥12,所以0°≤θ≤60°故角θ的取值范圍為0°≤θ≤60°.【總結(jié)升華】用向量法解決物理中的力學(xué)問題(1)將題中涉及的力用向量表示,利用向量加法的平行四邊形法則對力進(jìn)行分解或合成,再結(jié)合三角形的相關(guān)知識求解;(2)力所做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積,它的實質(zhì)是力和位移對應(yīng)的兩個向量的數(shù)量積,即W=F·s=|F||s|cosθ(θ為F和s的夾角).【即學(xué)即練】(2024·咸陽高一檢測)已知兩個力F1=5i+3j,F2=-2i+j,F1,F2作用于同一質(zhì)點(diǎn),使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A(8,0)移動到點(diǎn)B(20,15)(其中i,j分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量,力的單位:N,位移的單位:m).(1)求F1,F2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功;(2)求F1,F2的合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功.【解析】(1)根據(jù)題意,F1=5i+3j=(5,3),F2=-2i+j=(-2,1),=(12,15),故F1對該質(zhì)點(diǎn)做的功W1=F1·=60+45=105(J);F2對該質(zhì)點(diǎn)做的功W2=F2·=-24+15=-9(J).(2)根據(jù)題意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4),故F1,F2的合力F對該質(zhì)點(diǎn)做的功W=F·=3×12+4×15=96(J).【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,一根細(xì)繩穿過兩個定滑輪P,P',且兩端分別掛有質(zhì)量為3kg,4kg的重物.現(xiàn)在兩個滑輪之間的繩上掛一個質(zhì)量為5kg的重物,恰巧使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),求此時繩子形成的角∠POP'的大小.【解析】由題設(shè),要使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),,方向上的合力剛好提起5kg的重物,所以三個方向上的(矢量)力可構(gòu)成一個三角形,且三邊比例為3∶4∶5,所以O(shè)P,OP'相互垂直,即∠POP'=90°.角度2航行問題【典例4】(教材提升·例4)如圖所示,一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A點(diǎn)出發(fā)航行到河對岸,船航行速度的大小為|v1|=10km/h,水流速度的大小為|v2|=4km/h,設(shè)v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°).(1)當(dāng)cosθ多大時,船能垂直到達(dá)對岸?(2)當(dāng)船垂直到達(dá)對岸時,航行所需時間是否最短?為什么?【解析】(1)船垂直到達(dá)對岸,即v=v1+v2,且與v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,所以v1·v2+v22=0,即|v1||v2|cosθ+所以40cosθ+16=0,解得cosθ=-25(2)設(shè)船航行到達(dá)對岸所需的時間為th,則t=d|v1|sin所以當(dāng)θ=90°時,船的航行時間最短為120而當(dāng)船垂直到達(dá)對岸時,由(1)知sinθ=215所需時間t=d|v1|sin2184>1故當(dāng)船垂直到達(dá)對岸時,航行所需時間不是最短.【總結(jié)升華】用向量法解決物理中的航行問題(1)將題中涉及的速度與位移用向量表示,利用向量加法的平行四邊形法則對位移和速度進(jìn)行分解或合成,再結(jié)合三角形的相關(guān)知識求解;(2)此類問題需要注意航行時間最短與航程最短的不同.【即學(xué)即練】(2024·菏澤高一檢測)如圖,一條河兩岸平行,河的寬度AC=3km,一艘船從河邊的A點(diǎn)出發(fā)到達(dá)對岸的B點(diǎn),船在河內(nèi)行駛的路程AB=2km,行駛時間為0.2h.已知船在靜水中的速度v1的大小為|v1|,水流的速度v2的大小為|v2|=2km/h.求:(1)|v1|;(2)船在靜水中速度v1與水流速度v2夾角的余弦值.【解析】(1)因為船在河內(nèi)行駛的路程AB=2km,行駛時間為0.2h,所以船沿AB方向的速度為|v|=20.由AC=3km,AB=2km,根據(jù)勾股定理可得:BC=22-3=1(km),所以∠BAC=30°,即v2由v=v1+v2,得v1=v-v2,所以|v1|=(v-=102-2×2×10cos60°(2)因為v=v1+v2,所以v2=(v設(shè)v1與v2的夾角為θ,即100=(221)2+2×221×2×cos