正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)導(dǎo)學案-高一下學期數(shù)學北師大版

《正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)》導(dǎo)學案一、學習目標1、理解正切函數(shù)的定義，像個小偵探一樣準確無誤地指出正切函數(shù)的表達式。2、熟練掌握正切函數(shù)的圖象繪制方法，就像畫家能輕松畫出自己心中的美景一樣。3、深入探究正切函數(shù)的奇偶性，能像個小專家一樣對其奇偶性特點說得頭頭是道。4、能夠運用正切函數(shù)的奇偶性解決一些簡單的數(shù)學問題，就像武林高手運用武功秘籍解決江湖紛爭一樣。二、學習重難點（一）重點1、正切函數(shù)圖象的繪制。2、正切函數(shù)奇偶性的判斷與證明。（二）難點1、從正切函數(shù)圖象特征理解其奇偶性。2、運用正切函數(shù)奇偶性解決復(fù)雜一點的數(shù)學問題。三、學習過程（一）知識回顧（5分鐘）1、咱們先來復(fù)習一下正切函數(shù)的定義。同學們，正切函數(shù)是怎么來的呢？在一個直角三角形中，對于一個銳角，它的正切值是對邊與鄰邊的比值。在平面直角坐標系中，對于角\(x\)（\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)），正切函數(shù)\(y=\tanx=\frac{\sinx}{\cosx}\)。大家可別小看這個定義，這可是我們探索正切函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)哦。2、再回憶一下正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象是怎么畫出來的呢？我們當時用了好多巧妙的方法呢，那對于正切函數(shù)，我們能不能從之前的經(jīng)驗里找到靈感呢？（二）正切函數(shù)圖象的繪制（15分鐘）1、同學們，要畫出正切函數(shù)\(y=\tanx\)的圖象，我們可以采用一種很有趣的方法。首先，我們把圓的右半圓分成好多等份，比如說分成8等份。然后呢，我們要利用正切線來幫忙。2、正切線是什么呢？對于角\(x\)，在單位圓中，我們可以找到一條有向線段，這條線段就是正切線啦。我們把正切線平移并且描點，就像把一個個小珠子按照規(guī)律放在繩子上一樣。最后，再用光滑的曲線把這些點連接起來。3、因為正切函數(shù)是周期函數(shù)，它的最小正周期是\(\pi\)，所以我們把得到的這部分圖象向左、向右平移，這樣就得到了正切函數(shù)完整的圖象啦。這個圖象很特別哦，它是被相互平行的直線\(x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)所隔開的無窮多支曲線組成的，這些直線就是正切曲線各支的漸近線。（三）正切函數(shù)奇偶性的探究（20分鐘）1、那什么是奇偶性呢？對于函數(shù)\(y=f(x)\)，如果\(f(x)=f(x)\)，那這個函數(shù)就是偶函數(shù)；如果\(f(x)=f(x)\)，這個函數(shù)就是奇函數(shù)。現(xiàn)在我們來看看正切函數(shù)\(y=\tanx\)的奇偶性。2、我們來計算一下\(\tan(x)\)，根據(jù)正切函數(shù)的定義\(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)。大家都知道\(\sin(x)=\sinx\)，\(\cos(x)=\cosx\)，所以\(\tan(x)=\frac{\sinx}{\cosx}=\tanx\)。哈哈，這不就符合奇函數(shù)的定義嘛。所以正切函數(shù)\(y=\tanx\)是奇函數(shù)。3、從圖象上來看呢，正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，這也能體現(xiàn)出它是奇函數(shù)的特性。就像一個圖形沿著原點對折，兩邊能完全重合一樣。（四）正切函數(shù)奇偶性的應(yīng)用（20分鐘）1、我們來看一個簡單的例子。已知\(f(x)=\tan(x+a)\)是奇函數(shù)，那我們能得到什么結(jié)論呢？因為\(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(x)=f(x)\)，也就是\(\tan(x+a)=\tan(x+a)\)。根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)\(\tan(x)=\tanx\)，我們可以得到\(x+a=(x+a)+k\pi(k\inZ)\)，然后解這個方程就能求出\(a\)的值啦。2、再來看一個稍微復(fù)雜一點的。如果\(y=\tanx\)在區(qū)間\((\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上的值域是\((\infty,+\infty)\)，那\(y=\tan(x)\)在區(qū)間\((\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上的值域是多少呢？因為\(\tan(x)=\tanx\)，所以\(y=\tan(x)\)的值域就是\((\infty,+\infty)\)的相反數(shù)，也就是\((\infty,+\infty)\)。（五）課堂練習（20分鐘）1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：\(y=\tan(2x)\)。\(y=\tan(x+\frac{\pi}{4})\)。\(y=\tan(x^{2})\)。答案：對于\(y=\tan(2x)\)，\(f(x)=\tan(2x)=\tan(2x)=f(x)\)，所以它是奇函數(shù)。對于\(y=\tan(x+\frac{\pi}{4})\)，\(f(x)=\tan(x+\frac{\pi}{4})=\tan(x\frac{\pi}{4})\neqf(x)\)且\(f(x)\neqf(x)\)，所以它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。對于\(y=\tan(x^{2})\)，\(f(x)=\tan((x)^{2})=\tan(x^{2})=f(x)\)，所以它是偶函數(shù)。2、已知\(y=\tanx\)在\((\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上單調(diào)遞增，且\(f(x)=\tan(x+b)\)是奇函數(shù)，\(b\in(0,\pi)\)，求\(b\)的值。答案：因為\(f(x)=\tan(x+b)\)是奇函數(shù)，所以\(f(x)=f(x)\)，即\(\tan(x+b)=\tan(x+b)\)，則\(x+b=(x+b)+k\pi(k\inZ)\)，化簡得\(2b=k\pi(k\inZ)\)。又因為\(b\in(0,\pi)\)，所以當\(k=1\)時，\(b=\frac{\pi}{2}\)。（六）課堂小結(jié)（5分鐘）1、今天我們一起探索了正切函數(shù)的圖象和奇偶性。首先我們學會了正切函數(shù)圖象的繪制方法，就像學會了一種新的繪畫技巧。2、然后我們深入了解了正切函數(shù)的奇偶性，從定義、計算和圖象三個方面都進行了探究。就像從不同的角度觀察一個神秘的寶藏，把它的特點都摸得清清楚楚。3、在應(yīng)用部分，我們看到了正切函數(shù)奇偶性在解決數(shù)學問題中的威力。希望同學們都能像小數(shù)學家一樣，熟練掌握這些知識，以后在數(shù)學的海洋里暢游。（七）課后