解答題專題突破一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(學(xué)生版)

解答題專題突破：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用題型一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.2．已知函數(shù)，．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解法指導(dǎo):1、求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求(通分合并、因式分解)；(3)解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．3、含參函數(shù)單調(diào)性討論依據(jù)：(1)導(dǎo)函數(shù)有無零點(diǎn)討論(或零點(diǎn)有無意義)；(2)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域或區(qū)間內(nèi)；(3)導(dǎo)函數(shù)多個零點(diǎn)時大小的討論。題型二、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求曲線在處切線方程；（2）判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，請求出極小值；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的值．已知，其中．（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；（2）求的極值點(diǎn)；（3）若在上的最大值是，求的取值范圍．3.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處切線的方程；（2）當(dāng)時，試判斷零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使是的極大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.4.已知函數(shù).（1）設(shè)，求曲線的斜率為2的切線方程；（2）若是的極小值點(diǎn)，求的取值范圍.5.已知函數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若存在極小值，求的取值范圍.6.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時，.7.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在其定義域內(nèi)不存在極值，求實(shí)數(shù)的值.8.已知函數(shù)，.（1）若是奇函數(shù)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有且只有一個極值點(diǎn)，求的取值范圍.9.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知有兩個極值點(diǎn).（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.10.已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時，試求單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)在上有三個不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解法指導(dǎo):1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法步驟:(1)求導(dǎo)數(shù)；(2)求方程的所有實(shí)數(shù)根；(3)觀察在每個根附近，從左到右導(dǎo)函數(shù)的符號如何變化．①如果的符號由正變負(fù)，則是極大值；②如果由負(fù)變正，則是極小值；③如果在的根的左右側(cè)的符號不變，則不是極值點(diǎn)．2.根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.題型三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值1．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若，求函數(shù)在上的最值.2.已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）求的最大值和最小值；（3）設(shè)，證明：．3.已知，其中．（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；（2）求的極值點(diǎn)；（3）若在上的最大值是0，求的取值范圍．解法指導(dǎo):函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則求函數(shù)最值的步驟為：(1)求函數(shù)在區(qū)間上的極值；(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值；(3)實(shí)際問題中，“駐點(diǎn)”如果只有一個，這便是“最值”點(diǎn)。題型四、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與能成立1.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2.設(shè)函數(shù)，.（1）求方程的實(shí)數(shù)解；（2）若不等式對于一切都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3.設(shè)函數(shù)（1）分析的單調(diào)性和極值；（2）設(shè)，若對任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；4.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在處取得極大值，求的極值及單調(diào)區(qū)間；（2）若，不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.6.已知為函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對，使得，求的取值范圍．7.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間;（2）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解法指導(dǎo):對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．題型五、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)1.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．2.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù).3．已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，證明：函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)．4.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)值；（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5.已知函數(shù)．（1）證明：曲線是軸對稱圖形；（2）若函數(shù)在上有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解法指導(dǎo):導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征(包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類討論等)，需要對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點(diǎn)個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方。題型六、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1.已知函數(shù)，m，．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，證明：，．2.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）證明：當(dāng)時，；（3）若，求的值.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：當(dāng)時，.4.已知函數(shù).（1）函數(shù)與的圖像關(guān)于對稱，求的解析式；（2）在定義域內(nèi)恒成立，求的值；（3）求證：，.解法指導(dǎo):利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)，從而得出不等關(guān)系；2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3.適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4.構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).題型七、利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題1.已知函數(shù).（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若在上有兩個極值點(diǎn).①求實(shí)數(shù)的取值范圍：②求證：.2.已知函數(shù)．（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在使得，求證：．解法指導(dǎo):雙變量不等式的處理策略：含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.題型八、利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題1.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時，若，且，求證：；（3）求證：對任意，都有.2.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）當(dāng)時，試討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個不相等的零點(diǎn)，，（i）求的取值范圍；（ii）證明：.解法指導(dǎo):1、和型(或)問題的基本步驟：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；2、積型()問題的基本步驟：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.題型九、隱零點(diǎn)問題綜合應(yīng)用已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若有兩個極值點(diǎn)，（）.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②證明：.解法指導(dǎo):隱零點(diǎn)的處理思路：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)的個數(shù)；第二步：虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，抓住零點(diǎn)方程實(shí)施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構(gòu)思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.題型十、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列綜合問題1.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”.在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第層球數(shù)比第層球數(shù)多，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（