2024北京清華附中高二（下）期末數(shù)學(xué)試題和答案

試題PAGE1試題2024北京清華附中高二（下）期末數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.設(shè)集合，，則集合（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.4.已知雙曲線的左右焦點依次為，，且，若點在雙曲線的右支上，則（）A. B.6 C.8 D.105.設(shè)，若，則（）A.80 B.40 C. D.6.“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”語出《莊子·天下》，意思是一尺長的棍棒，每日截取它的一半，永遠(yuǎn)截不完（一尺約等于33.33厘米）.若剩余的棍棒長度小于0.33厘米，則需要截取的最少次數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.87.已知直線與交于、兩點，則“”是“的面積取得最大值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（）A. B.3 C.8 D.99.將的圖象向左平移個單位后得到的圖象，當(dāng)時，，則（）A. B. C. D.10.邊長為2的正方形的中心為，將其沿對角線折成直二面角.設(shè)為的中點，為的中點，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學(xué)共同在一個社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查，參加活動的甲、乙兩班的人數(shù)之比為2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.則該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為____________.12.設(shè)函數(shù)，若的最小值為，則的值為______.13.已知數(shù)列滿足，，設(shè)，則____________；的最小值為____________.14.已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則____________.15.平面曲線的曲率就是針對曲線上某個點的切線方向角弧長的轉(zhuǎn)動率，表明曲線偏離直線的程度.曲率半徑主要是用來描述曲線上某處曲線彎曲變化的程度.如：圓越小，曲率越大，圓越大，曲率越小.定義函數(shù)的曲率函數(shù)（其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)），函數(shù)在處的曲率半徑為此處曲率的倒數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)在無數(shù)個點處的曲率為1；②函數(shù)的曲率恒為；③函數(shù)的曲率半徑隨著變大而變大；④若函數(shù)在與（）處的曲率半徑相同，則.其中，所有正確結(jié)論的序號是_____________.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在五面體中，平面，平面.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù)，其中，，若在上單調(diào)遞減，且，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在.（1）求，的值；（2）當(dāng)時，函數(shù)恰有一個零點，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.為了調(diào)研某地區(qū)學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區(qū)隨機選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）從這10所學(xué)校中隨機選取1所，已知這所學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，求該校參與“單板滑雪”超過30人的概率；（2）已知參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人的學(xué)校評定為“基地學(xué)?！?現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機選取2所，設(shè)“基地學(xué)?！钡膫€數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行、轉(zhuǎn)彎、停止”這3個動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，并專門對這3個動作進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在此集訓(xùn)測試中，李華同學(xué)3個動作中每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響，每輪測試也互不影響.如果李華同學(xué)在集訓(xùn)測試中想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的均值達(dá)到5次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？（結(jié)果不要求證明）19.已知橢圓的右焦點坐標(biāo)為，兩個焦點與短軸一個端點構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）若過點與點的直線交橢圓于，兩點，過點且與直線平行的直線交軸于點，直線與直線于點，求的值.20.已知函數(shù)，其中.（1）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意，都有，求的值.21.已知為有窮實數(shù)數(shù)列.對于實數(shù)，若中存在，使得，則稱為連續(xù)可表數(shù)，將所有連續(xù)可表數(shù)構(gòu)成的集合記作.（1）設(shè)數(shù)列，寫出，并寫出一個與不同的數(shù)列使得；（2）求所有的整數(shù)，使得存在數(shù)列滿足；（3）設(shè)數(shù)列與數(shù)列滿足，，，.證明：.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解即得.【詳解】集合，，所以.故選：A2.【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)除法運算計算即得.【詳解】由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，得，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限.故選：D3.【答案】A【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算和三角函數(shù)的倍角公式求出結(jié)果.【詳解】已知向量，，由，則，即，又，故選：A.4.【答案】B【分析】根據(jù)題意，得，，求出，根據(jù)雙曲線的定義即可求出的值.【詳解】由題意知，，，，雙曲線，點在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得，，故選：B.5.【答案】C【分析】令,求出，結(jié)合為的系數(shù)，求出這一項即可求出.【詳解】令，則可得，又，則，又為的系數(shù)，且，因此.故選：C.6.【答案】C【分析】由題可知截取第n次后，剩余的棍棒長為尺,然后列不等式可求出n的值.【詳解】由題意可知第一次剩余的棍棒長度為12則第n次剩余的棍棒長為尺，由，解得，所以當(dāng)剩余的棍棒長度小于1厘米時,需要截取的最少次數(shù)為7.故選:C.7.【答案】C【分析】利用三角形的面積公式可得，當(dāng)時，的面積取得最大值，利用等面積求出圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式求出的值，最后結(jié)合充要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，可得圓心，半徑，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，由等面積可得點到直線的距離，又點到直線的距離，解得，，因此“”是“的面積取得最大值”的充分必要條件.故選：C.8.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式的“1“的妙用求出最小值.【詳解】由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為3.故選：B9.【答案】A【分析】現(xiàn)根據(jù)平移得到的表達(dá)式，再由，可知在處，一個取最小值，一個取最大值，且相鄰，進(jìn)而可以列出等式，求解即可.【詳解】的圖象向左平移個單位后得到，因為，所以在處，一個取最小值，一個取最大值，不妨設(shè)，，則，因為，則，解得.故選:.10.【答案】B【分析】作圖，根據(jù)二面角的定義，余弦定理，可得是兩腰為1，底邊為的等腰三角形，從而可得旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，將該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑再轉(zhuǎn)化為其軸截面菱形的內(nèi)切圓的半徑，最后根據(jù)等面積求出，即可得到該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積.【詳解】由邊長為2的正方形的中心為，將其沿對角線折成直二面角，則可得，，，，平面平面，又平面平面，平面，平面，又為的中點，為的中點，為的中點，則可得,,過作于點，連接，則，平面，又平面，又，，，,，在中，，又，，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，作出其軸截面，如圖，則該軸截面中和為邊長為1的等邊三角形，該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑即為菱形的內(nèi)切圓的半徑，由等面積法，則，即，則，因此該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于得到旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，其次把求旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑，轉(zhuǎn)化為求軸截面菱形的內(nèi)切圓的半徑.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】##【分析】由全概率公式求解可得.【詳解】記事件“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是甲班的”，事件“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是乙班的”，“居民所遇到的一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)是女生”，則，且互斥，，由題意可知，，，且，，由全概率公式可知，即該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率為.故答案為：.12.【答案】【分析】結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)求的函數(shù)值的范圍，結(jié)合條件及對數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性列不等式求.【詳解】當(dāng)時，，由反比例函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，故，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，的函數(shù)值的最小值為，因為的最小值為，所以，所以.故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列求出，進(jìn)而求出及其的最小值.【詳解】由，得，而，則，因此數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，，，所以當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；14.【答案】5【分析】求出拋物線焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點的縱坐標(biāo)即可得解.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程，，由消去得，則，由，得，聯(lián)立解得或，因此，所以.故答案為：515.【答案】①②④【分析】根據(jù)給定的定義，求出各個命題中的，由有無數(shù)個解判斷①；計算判斷②；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性判斷③；由有兩個不等正根，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合極值點偏移推理判斷④.【詳解】對于①，，則，當(dāng)時，，因此函數(shù)在無數(shù)個點處的曲率為1，①正確；對于②，，，則，，②正確；對于③，，則函數(shù)的曲率半徑，令，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，③錯誤；對于④，，則函數(shù)的曲率半徑，依題意，，令，則方程有兩個不等正根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，因此當(dāng)時，方程有兩個不等正根，不妨令，令函數(shù)，求導(dǎo)得，而，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，令，則，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號是①②④.故答案為：①②④【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：①轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；②列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定性質(zhì)推理即得.（2）結(jié)合已知可得直線兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面法向量，再利用線面角的向量求求解即得.【小問1詳解】由平面，平面，得，而平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.【小問2詳解】令，則，有，于是，由已知得直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.【答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）條件①結(jié)合的單調(diào)性比較大小可知不符合要求；條件②③結(jié)合函數(shù)的對稱性與周期關(guān)系待定，再由最值點代入求即可；（2）整體換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象在上恰有一個公共點，結(jié)合圖象可得.【小問1詳解】.由，則周期為，且最大值為，最小值為.由在上單調(diào)遞減，且，得的圖象關(guān)于直線對稱，所以在單調(diào)遞增.條件①由在單調(diào)遞增，，得，故，這與最小值為矛盾，故不選條件①；選擇條件②：在上單調(diào)遞減，且，，則，所以，解得，所以，由得，故，解得，故；選擇條件③：在單調(diào)遞增，由知關(guān)于對稱，由，則關(guān)于對稱，且與為相鄰的對稱軸，故，所以，解得，所以，由得，故，解得，故；【小問2詳解】函數(shù)恰有一個零點，即與的圖象在上恰有一個公共點.,，設(shè)，，要使與的圖象在上恰有一個公共點，則，即.18.【答案】（1）12（2）分布列見解析，（3）【分析】（1）先將題設(shè)的數(shù)據(jù)整理為表格，根據(jù)表中數(shù)據(jù)結(jié)合條件概率的計算公式可求概率；（2）結(jié)合超幾何分布可求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）先求出李華在一輪測試中“優(yōu)秀”的概率，再結(jié)合二項分布的期望公式可求至少要進(jìn)行多少輪測試.【小問1詳解】由題設(shè)可得如下數(shù)據(jù)：自由單板設(shè)為“學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人”，為“該校參與“單板滑雪”超過30人”，則，而，故.故已知這所學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，該校參與“單板滑雪”超過30人的概率為12【小問2詳解】參與“自由式滑雪”人數(shù)在40人以上的學(xué)校共4所，的所有可能取值為，所以，，，所以的分布列如下表：012所以.【小問3詳解】記“李華在一輪測試中獲得“優(yōu)秀””為事件，則，由題意，甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布，由題意列式，得，因為，所以的最小值為，故至少要進(jìn)行輪測試.19.【答案】（1）;（2）1【分析】（1）由題可知，再由條件兩個焦點與短軸一個端點構(gòu)成等邊三角形可知，結(jié)合求解，進(jìn)而得到橢圓方程和離心率.（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓，由韋達(dá)定理得到兩根的關(guān)系；根據(jù)平行得到斜率相等，可以寫出直線的方程，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，聯(lián)立直線得到點的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可.【小問1詳解】依題意得，解得,所以橢圓C的方程為，離心率.【小問2詳解】由于，所以直線l的斜率不為0.設(shè)直線l的方程為:,，聯(lián)立，消去并整理得，其中，所以，對于直線l的方程，令，得，所以點M的坐標(biāo)為，由于直線的斜系為，直線直線,所以，從而直線的方程為，令，有將代入，得，于是點N的坐標(biāo)為由于直線的斜率為，所以直線的方程為,因為，，即即，其中，所以，于是有，從而得即點的坐標(biāo)為，因為其中分子為將和代入,有，因此有即，即點為點和點的中點，故.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于求出的坐標(biāo)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系.20.【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是（2）【分析】（1）先求出，由題意得求出，檢驗可得；（2）先將“不等式恒成立”問題等價轉(zhuǎn)化為“恒成立”問題，再構(gòu)造函數(shù)，由與，分三類探究即可.【小問1詳解】，由，函數(shù)定義域為.則，∵在處取得極值，∴，設(shè)，則在單調(diào)遞減，至多一個實數(shù)根，又，方程有且僅有一個實數(shù)根.當(dāng)時，，其中.，，當(dāng)時，，則，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，在單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，極大值為.故的增區(qū)間是，減區(qū)間是；【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，在處取最大值，且最大值為，即任意時，都有，滿足題意.由，得，令，則，不等式轉(zhuǎn)化為，即在恒成立.設(shè)，其中，，其中，①當(dāng)時，且，故存在，使，由在單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，所以，故不滿足恒成立，即不合題意；②當(dāng)時，且，故存在，使，由在單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以，故不滿足恒成立，即不合題意；綜上所述，若對于任意，都有，則.【點睛】已知不等式恒成立求參數(shù)問題，我們可以先取定義域內(nèi)的一個或幾個特殊點探路.如題目第（2）問中得到，由恒成立，考慮，再借助與的大小分類討論求解即可.21.【答案】（1）.（答案不唯一）；（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列舉可求，舉例數(shù)列滿足即可；（2）法一，按集合中最大最小元素的符號進(jìn)行討論，分最小元素、最大元素、三類討論滿足題意條件的可能性，再對有可能的取值舉例驗證；法二，先對可能的取值舉例，再對其他情況用反證法證明其不符合要求；（3）利用等式與不等式的性質(zhì)得，結(jié)合放縮法對比兩相等集合確定，再轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而分析出，故得證.【小問1詳解】數(shù)列，所有連續(xù)可表數(shù)構(gòu)成的集合，則；，則.令數(shù)列，所有連續(xù)可表數(shù)構(gòu)成的集合，設(shè)，則，故，數(shù)列是一個