云南省楚雄州2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁2024-2025學(xué)年云南省楚雄州高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，，根據(jù)交集的定義求結(jié)論.【詳解】集合，或，故.故選：A.2.已知直線過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由垂直直線的斜率關(guān)系求直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】由題意，直線與直線垂直，故直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：A.3.在數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由列舉得到是以4為周期的周期數(shù)列求解.【詳解】解：由題意得，故是以4為周期的周期數(shù)列，所以.故選：D.4.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由圓方程求圓心的坐標(biāo)，圓的半徑，再求圓心到直線的距離，利用弦長(zhǎng)公式求結(jié)論.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，則故選：C.5.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出數(shù)量積及模長(zhǎng)，再結(jié)合投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】由已知可得，所以向量在向量上的投影向量是.故選：D.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用弦化切以及余弦的倍角公式化簡(jiǎn)即可求解．【詳解】由可得：，則故選：B7.已知拋物線的準(zhǔn)線為，直線，動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)到直線與的距離分別為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義可知，設(shè)于點(diǎn)N，，當(dāng)三點(diǎn)共線且M在中間時(shí)，取得最小值，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可知.設(shè)于點(diǎn)，則.當(dāng)三點(diǎn)共線，且在中間時(shí)，取得最小值.由拋物線，得，所以的最小值為.故選：B.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，.若動(dòng)點(diǎn)滿足，則正數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)計(jì)算得出，最后結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系計(jì)算求參即可.【詳解】設(shè)，則.因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，故點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.又因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.結(jié)合題意可知兩圓相交或外切或內(nèi)切，所以，解得，故正數(shù)的最大值為.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某教育行政部門為了解某校教師“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的得分情況，隨機(jī)調(diào)查了該校的50位教師，這50位教師12月份的日均得分單位：分統(tǒng)計(jì)情況如下表：得分頻數(shù)5152010根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25B.這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例超過C.這50位教師12月份的日均得分的極差介于20至40之間D.這50位教師12月份的日均得分的平均值介于30至35之間同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表【答案】ABC【解析】【分析】利用中位數(shù)判斷A；利用比例判斷B；利用極差判斷C；利用平均數(shù)判斷D【詳解】對(duì)于A，這50位教師12月份的日均得分在的人數(shù)為，日均得分在的人數(shù)為，因此這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25，A正確；對(duì)于B，這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例為：，B正確；對(duì)于C，這50位教師12月份日均得分的極差屬于，C正確；對(duì)于D，這50位教師12月份的日均得分的平均值為：，D錯(cuò)誤．故選：ABC10.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，的最大值為9D.當(dāng)時(shí)，取得最大值【答案】AD【解析】【分析】由條件，結(jié)合等差數(shù)列求和公式及性質(zhì)證明，判斷A，由結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式證明公差，判斷B，利用求和公式證明當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，判斷C，由時(shí)，，時(shí)，，結(jié)合前項(xiàng)和的定義判斷D.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，對(duì)于A，由，得，又，所以，故A正確；對(duì)于B，由A知，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為8，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)取得最大值時(shí)，，故D正確.故選：AD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一?則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2C.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于到直線的距離D.若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，若點(diǎn)在曲線上，由是否滿足曲線的方程判斷；對(duì)B，由曲線的對(duì)稱性可令，結(jié)合可得，利用二次函數(shù)求得最值；對(duì)C，舉反例說明；對(duì)D，根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，取得最大值，令，將代入，利用判別式判斷.【詳解】對(duì)于A，若點(diǎn)在曲線上，則都滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)在曲線上，根據(jù)選項(xiàng)A，同理可得曲線關(guān)于軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由曲線的對(duì)稱性可令，則，所以，則，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2，故B正確；對(duì)于C，易知是上一點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不等于到直線的距離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，取得最大值，所以，令，將代入，可得，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)曲線方程的特征判斷曲線的對(duì)稱性，結(jié)合各項(xiàng)描述并應(yīng)用特殊象限點(diǎn)、兩點(diǎn)距離公式、方程法判斷各項(xiàng)正誤為關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可求m，然后結(jié)合奇函數(shù)定義可求【詳解】由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，解得，即時(shí)，，所以，.故答案為：；13.在平行六面體中，，，M為的中點(diǎn)，則______.【答案】##【解析】【分析】由向量的加減運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算可得的值．【詳解】在平行六面體中，，，，M為的中點(diǎn)，，所以.故答案為：14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線與圓相交于四個(gè)點(diǎn)，則__________.【答案】20【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和圓都關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，，然后將圓的方程和雙曲線的方程聯(lián)立，利用兩點(diǎn)間的距離和韋達(dá)定理求解.【詳解】解：雙曲線和圓都關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)，，所以.聯(lián)立，得，則，故.故答案為：20四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若，求面積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題設(shè)條件，結(jié)合正弦定理化邊為角，利用和角公式，可求得，進(jìn)而求得角B；（2）首先由余弦定理求得邊c，進(jìn)而求得三角形面積．【小問1詳解】由和正弦定理可得：，因，則得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)椋?；【小?詳解】由余弦定理，可得，即，解得或舍去，故的面積為16.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算求得，即可求得通項(xiàng)；（2）利用累加法即可求出時(shí)，，檢驗(yàn)符合，即得通項(xiàng).【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，解得，，故的通?xiàng)公式為；【小問2詳解】由題意，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，所以的通項(xiàng)公式為17.如圖，在正三棱柱中，為中點(diǎn).（1）證明：.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）法一：取的中點(diǎn)，連接，通過平面，證明，進(jìn)而說明平面，即可求證；法二：由空間向量的數(shù)量積為0，即可求證；（2）建系，由二面角的向量法即可求解；【小問1詳解】證明：（方法一）取的中點(diǎn)，連接.由題意得平面平面，所以.因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，則，所以，即.又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（方法二）.設(shè).由題可知，則，所以.【小問2詳解】解：過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn).因?yàn)槠矫妫移矫?，所?又因?yàn)椋詢蓛苫ハ啻怪?，故以為坐?biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，則.設(shè)平面的法向量為，則即則，令，則，故.設(shè)平面的法向量為，則即則，令，則，故.設(shè)二面角的平面角為，則，所以，即二面角的正弦值為.18.已知和為橢圓上兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上，、是橢圓的兩焦點(diǎn)，且，求的面積；（3）過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明：為定值.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積；（3）當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，直接計(jì)算出的值；當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求出的值，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】由題意得，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題可知，.在中，由勾股定理得，則，即，所以，故的面積是.小問3詳解】當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，；當(dāng)不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，、，聯(lián)立得，所以，，由韋達(dá)定理可得，.，故為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19.已知?jiǎng)訄A經(jīng)過定點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，過點(diǎn)作斜率為1的直線交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，過點(diǎn)作斜率為1的直線交于點(diǎn)，按照上述方法構(gòu)造點(diǎn).（1）求曲線的方程；（2）證明為等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）證明見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義即可得到結(jié)果.（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程用韋達(dá)定理即可證明為等差數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng)