2023年人教版高中數(shù)學第八章立體幾何初步考點題型與解題方法

(名師選題)2023年人教版高中數(shù)學第八章立體幾何初步考點題型與解題方法

單選題1、《九章算術·商功》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，當△BCD的面積最大時，鱉臑ABCD的表面積為（

）A．B．C．D．答案：D分析：根據(jù)題意可證明，從而說明三角形BCD是直角三角形，求得，進而求得四個直角三角形的面積，可得答案.由題意可知：AB⊥平面BCD，平面BCD，故AB⊥

,又AC⊥CD，平面ABC，

故平面ABC，平面ABC，故,所以

,當且僅當時取得等號，故

,由AB⊥平面BCD，可知,故

,所以

,,所以鱉臑ABCD的表面積為

，故選：D2、設是兩個不同平面，是兩條直線，下列命題中正確的是（

）A．如果，，，那么B．如果，，，那么C．如果，，，那么D．如果，與所成的角和與所成的角相等，那么答案：C分析：A.由，，得到或，再利用平行于同一直線的兩平面的位置關系判斷；B.

由，，得到或，再利用面面垂直的判定定理判斷；

C.

由，，得到，再利用垂直于同一直線的兩平面平行判斷；D.利用空間直線的位置關系判斷．A.因為，，所以或，又，則位置不確定，故錯誤；B.因為，，所以或，又，所以，故錯誤；C.

因為，，所以，又，所以，故正確；D.如果，與所成的角和與所成的角相等，那么，相交或異面，故錯誤．故選：C3、如圖，在一個正方體中，E，G分別是棱，的中點，F(xiàn)為棱靠近C的四等分點.平面截正方體后，其中一個多面體的三視圖中，相應的正視圖是（

）A．B．C．D．答案：D分析：根據(jù)條件可得平面經(jīng)過點，然后可得答案.連接因為E，G分別是棱，的中點，F(xiàn)為棱靠近C的四等分點所以，所以平面經(jīng)過點所以多面體的正視圖為故選：D4、已知是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線互相平行B．過已知平面的一條斜線有且只有一個平面與已知平面垂直C．平面不垂直平面，但平面內(nèi)存在直線垂直于平面D．若直線不垂直于平面，則在平面內(nèi)不存在與垂直的直線答案：B分析：舉特例說明判斷A；由平面的基本事實及線面垂直的性質(zhì)推理判斷B；推理說明判斷C；舉例說明判斷D作答.正方體中，直線、直線都平行于平面，而直線與相交，A不正確；如圖，直線是平面的斜線，，點P是直線l上除斜足外的任意一點，過點P作于點A，則直線是斜線在平面內(nèi)射影，直線與直線確定平面，而平面，則平面平面，即過斜線有一個平面垂直于平面，因平面的一條斜線在此平面內(nèi)的射影是唯一的，則直線與直線確定的平面唯一，所以過已知平面的一條斜線有且只有一個平面與已知平面垂直，B正確；如果平面內(nèi)存在直線垂直于平面，由面面垂直的判斷知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，則平面內(nèi)不存在直線垂直于平面，C不正確；如圖，在正方體中，平面為平面，直線為直線，顯然直線不垂直于平面，而平面內(nèi)直線都垂直于直線，D不正確.故選：B5、如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面答案：A分析：由正方體間的垂直、平行關系，可證平面，即可得出結論.連，在正方體中，M是的中點，所以為中點，又N是的中點，所以，平面平面，所以平面.因為不垂直，所以不垂直則不垂直平面，所以選項B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項C錯誤，選項A正確.故選：A.小提示：關鍵點點睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關系是解題的關鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關系.6、在三棱錐中分別是邊的中點，且，則四邊形是（

）A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形答案：B分析：根據(jù)中位線的性質(zhì)及平行公理可得四邊形是平行四邊形，再利用可得四邊形是矩形.因為分別是邊的中點，所以，所以；同理可得，所以四邊形是平行四邊形；又因為，所以，即四邊形是矩形.故選：B.7、已知圓錐的表面積為3π，它的側面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（

）A．B．C．D．答案：C分析：求出圓錐的底面半徑和圓錐的母線長與高，再計算圓錐的體積．解：設圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線長為l，由，得，又，所以，解得；所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為．故選：C．8、過半徑為4的球表面上一點作球的截面，若與該截面所成的角是，則到該截面的距離是（

）A．4B．C．2D．1答案：C分析：作出球的截面圖，根據(jù)幾何性質(zhì)計算，可得答案.作出球的截面圖如圖：設A為截面圓的圓心，O為球心，則截面，AM在截面內(nèi)，即有，故,所以

,即到該截面的距離是2，故選：C9、若直線和沒有公共點，則與的位置關系是（

）A．相交B．平行C．異面D．平行或異面答案：D分析：根據(jù)直線與直線的位置關系即可判斷因為兩直線相交只有一個公共點，兩直線平行或異面沒有公共點，故選：D.10、在直三棱柱中，點M是側棱中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．答案：B分析：可以取的中點，連接，將異面直線與轉化為直線與所成的角，在連接，通過解三角形即可完成求解.如圖所示，取的中點，連接，分別為、的中點，所以為的中位線，所以，所以異面直線與就是直線與所成的角，即或其補角，因為，所以，，，在中，，，，所以.故選：B.11、若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關系是（

）A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判斷都不對答案：C分析：利用面面平行的判定即得.一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，若這兩條直線相交且這兩條直線平行于另一個平面，則可得這兩個平面平行；若這兩條直線平行，則這兩個平面可能相交也可能平行；故選：C.12、足球運動成為當今世界上開展最廣、影響最大、最具魅力、擁有球迷數(shù)最多的體育項目之一，2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽．比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場舉行．已知某足球的表面上有四個點A，B，C，D滿足，二面角的大小為，則該足球的體積為（

）A．B．C．D．答案：A分析：畫出圖形，為線段的中點，則可得為二面角的平面角，取分別是線段上靠近點的三等分點，則可得分別為和的外心，過分別作平面和平面的垂線，交于點，則點為三棱錐外接球的球心，即為足球的球心，所以線段為球的半徑，然后結已知數(shù)據(jù)求出，從而可求出足球的體積根據(jù)題意，三棱錐如圖所示，圖中點為線段的中點，分別是線段上靠近點的三等分點，因為，所以和均為等邊三角形，因為點為線段的中點，所以，所以為二面角的平面角，所以，因為和均為等邊三角形，點為線段的中點，所以分別為和的中線，因為分別是線段上靠近點的三等分點，所以分別為和的外心，過分別作平面和平面的垂線，交于點，則點為三棱錐外接球的球心，即為足球的球心，所以線段為球的半徑，因為，，所以，則，因為，所以≌，所以，在直角中，，因為平面，平面，所以，因為是的外心，所以，所以,所以，所以足球的體積為，故選：A小提示：關鍵點點睛：此題考查三棱錐外接球問題，考查計算能力，解題的關鍵是由題意求出三棱錐外接球的球心，從而可確定出球的半徑，然后計算出半徑即可，考查空間想象能力，屬于較難題雙空題13、球面幾何是幾何學的一個重要分支，在剛海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應用.如圖，A，B，C是球而上不在同一大圓(大圓是過球心的平面與球面的交線)上的三點，經(jīng)過這三點中任意兩點的大圓的劣弧分別為AB，BC，CA，由這三條劣弧組成的圖形稱為球面△ABC.已知地球半徑為R，北極為點N，P?Q是地球表面上的兩點.①若P，Q在赤道上，且經(jīng)度分別為東經(jīng)40°和東經(jīng)100°，則球面△NPQ的面積為___________.②若，則球面的面積___________.答案：

分析：利用所在的經(jīng)度求出球面三角形面積，再利用已知可得三角形為等邊三角形，進而可以求解．解：在赤道上，且經(jīng)度分別為和，上半球面面積為，球面面積為，當時，為等邊三角形，根據(jù)題意構造一個正四面體，如圖所示：其中心為，是高的靠近的四等分點，則，由余弦定理可得：，解得，正好為題目所給的長度，所以球面的面積為，所以答案是：；．14、一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的高（兩底面之間的距離）和底面邊長分別是______和______．答案：

2

4解析：直接根據(jù)三視圖求三棱柱的高和底面邊長即可.由側視圖得三棱柱的高為2，又底面正三角形的高為，故底面邊長為.所以答案是：；.小提示：本題主要考查根據(jù)幾何體的三視圖棱長，是基礎題.15、等角定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別____________并且____________，那么這兩個角相等．答案：

平行

方向相同分析：按照等角定理填空即可.由等角定理可知:

如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等故答案為:

平行，方向相同.16、在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為___________；若動點M在該三棱錐外接球上，且，則點M的軌跡長為___________.答案：

分析：由題，先得出三棱錐為直三棱錐，則其外接球相當于以為棱的長方體的外接球，則直徑為長方體的體對角線，則可求外接球表面積；要使，則M在的角平分面上，則M的軌跡為圓，利用長方體的性質(zhì)，求出球心到角平分面的距離，即可求出M的軌跡圓的半徑，即可求M的軌跡長由平面，得，三棱錐為直三棱錐，其外接球相當于以為棱的長方體的外接球，故外接球半徑為，故三棱錐外接球的表面積為；如圖，中點為F，則易得以為棱的正方體，由正方體的對稱性，要使，則M在的角平分面上，即面，故M的軌跡為面與外接球相交出的圓.取AP、HE中點I、J，由正方體的對稱性易得面面，且，故，故IJ上的高，故M的軌跡圓的半徑，故軌跡長為.所以答案是：；17、如圖，平面平面______；平面平面______．答案：

EG

FH分析：數(shù)形結合，求出面面相交的交線.平面平面

EG，平面平面

FH.所以答案是：EG，F(xiàn)H解答題18、已知一長方體的底面是邊長為3cm的正方形，高為4cm，試用斜二測畫法畫出此長方體的直觀圖．答案：作圖見解析.分析：根據(jù)斜二測法的作圖步驟即可得到此長方體的直觀圖.1

.畫軸：畫出軸，軸，軸，三軸相交于點，使得；2

.畫底面：以點為中點，在軸上畫，在軸上畫，分別過點作軸的平行線，過點作軸的平行線，設它們的交點分別為，則四邊形即為該四棱柱的底面；3

.畫側棱：過點分別作軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長的線段，如圖（1）所示；4

.成圖：連接，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到該棱柱的直觀圖，如圖（2）所示.圖（1）

圖（2）19、如圖所示，在三棱柱中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，，的中點．求證：平面平面BCHG．答案：證明見解析分析：證明，進而證明出平面BCHG，再證明，得到平面BCHG，從而證明面面平行.證明：∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，且∴四邊形是平行四邊形，∴．∵平面BCHG，平面BCHG，∴平面BCHG．∵，∴平面平面BCHG．20、如圖，已知三棱錐P-ABC，∠ACB＝90°，D為AB的中點，且是正三角形，PA⊥PC.求證：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.答案：(1)證明見解析(2)證明見解析分析：（1）根據(jù)題意在可說明PA⊥PB，結合PA⊥PC即可證明結論.（2）由（1）可得PA⊥BC.則可證明