2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分?jǐn)?shù)列221-230-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

由代人式得同理可得由此可推出（2）=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，由式知猜想成立.=2\*GB3②假設(shè)時(shí)，成立.故，即所以舍由得.則得即時(shí)，命題也成立.由=1\*GB3①=2\*GB3②知，對(duì)一切成立.（3）由(2)得數(shù)列前項(xiàng)和.故2.【解析】（1）由，，可得，，.（2）推測(cè)，證明如下：=1\*GB3①當(dāng)時(shí).左邊右邊，結(jié)論成立。=2\*GB3②時(shí)，有，則當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.由=1\*GB3①=2\*GB3②知，.3.【解析】（2）猜測(cè)當(dāng)時(shí)，顯然成立.假設(shè)時(shí)成立，則時(shí)，由,及，得，故故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.由=1\*GB3①=2\*GB3②可知，對(duì)都有例4【變式訓(xùn)練】1.【答案】證明略2.【解析】由遞推公式算出前幾項(xiàng)：，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，過(guò)程略.例5【變式訓(xùn)練】1.【答案】證明略2.【答案】證明略例6【變式訓(xùn)練】【解析】（1）將已知等式展開(kāi)整理得，解得，由知.故（2）由猜想.（?。┊?dāng)時(shí)命題成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)，命題成立，即.那么,即時(shí)命題成立.由（?。áⅲ┛芍獙?duì)一切自然數(shù)命題都成立.例7【變式訓(xùn)練】【解析】（1）當(dāng)時(shí).(2)由此猜想.證法1:因?yàn)椋?，所?證法2:用數(shù)學(xué)歸納法證明.（i）當(dāng)時(shí)，公式成立：（ii）假設(shè)時(shí)公式成立,即，則時(shí)，公式仍成立.由可知，對(duì)任意均成立.例7【拓展提升】【解析】（1）由已知得可知故.（2）因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意，是3的倍數(shù).當(dāng)時(shí)，則中的所有元素都是3的倍數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榛蛩允?的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類(lèi)似可得都是3的倍數(shù).從而對(duì)任意是3的倍數(shù),因此中的所有元素都是3的倍數(shù).(3)首先中的元素都不超過(guò)36，由易得36,類(lèi)似可得，其次中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€(gè)數(shù)必定為偶數(shù),由的定義可知，第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，考察中的數(shù)除以9的余數(shù)，由定義可知和除以9的余數(shù)一樣.=1\*GB3①若中有3的倍數(shù)，由(2)知,所有的都是3的倍數(shù),所以除以9的余數(shù)為或或而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12，除以9余6且是4的倍數(shù)只有24，除以9余0且是4的倍數(shù)只有36，則中的數(shù)從第三項(xiàng)起最多有2項(xiàng),加上前面兩項(xiàng),最多4項(xiàng)；=2\*GB3②若中沒(méi)有3的倍數(shù)，而都不是3的倍數(shù)，對(duì)于，除以9的余數(shù)只能是1,4,7,2,5,8中的一個(gè)，從起除以9的余數(shù)是項(xiàng)不斷循環(huán)(可能從2,4,8,7或5開(kāi)始而除以9的余數(shù)是1,2,4,8,5且是4的倍數(shù)(不大于36)的，只有28,20,4,8,16,32，所以中的項(xiàng)加上前兩項(xiàng)最多8項(xiàng)，則時(shí),,項(xiàng)數(shù)為8，所以集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.【評(píng)注】考點(diǎn)：（1）分段函數(shù)型數(shù)列通項(xiàng)公式求值；（2）數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）數(shù)列元素分析三、數(shù)列恒等問(wèn)題的數(shù)學(xué)歸納例4【變式訓(xùn)練】1.【解析】（i）當(dāng)時(shí)等式成立：（ii）假設(shè)時(shí)等式成立，則當(dāng)時(shí)，左邊=，即當(dāng)時(shí)等式成立，綜上可知待證等式成立.2.【提示】當(dāng)時(shí)，左邊=3.2.【提示】當(dāng)時(shí)，左邊=【評(píng)注】變式訓(xùn)練2,3只給出了關(guān)鍵證明.例6【拓展提升】【解析】（i）當(dāng)時(shí)，左邊右邊等式成立.(ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即當(dāng)時(shí),左邊即時(shí)等式成立.由可知對(duì)，等式成立.四、數(shù)列不等問(wèn)題的數(shù)學(xué)歸納例3【變式訓(xùn)練】1.【解析】（i）當(dāng)時(shí)，左邊右邊左邊<右邊，（ii）假設(shè)時(shí)，命題成立，命題成立，即當(dāng)時(shí),有：由（i）（ii）可知，原不等式對(duì)任意且均成立.【評(píng)注】用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，應(yīng)注意在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行合理放縮.2.【解析】（i）當(dāng)時(shí),左邊不等式成立.（ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，左邊3.【解析】（i）當(dāng)時(shí),左邊右邊，顯然，左邊>右邊，原不等式成立；（ii)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即,那么當(dāng)時(shí)，又所以即時(shí)，不等式也成立.由（i）（ii）可知，不等式對(duì)任意均成立.【評(píng)注】采用“取差法”證明不等關(guān)系成立，降低了解題難度.例5【變式訓(xùn)練】【解析】（i）當(dāng)時(shí)，顯然成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)有，所以只需要證即只需要證=1\*GB3①.因?yàn)樗?2\*GB3②因?yàn)橛蓺w納假設(shè)知成立，所以有，又，所以=3\*GB3③由=2\*GB3②=3\*GB3③兩式知=1\*GB3①式成立.由(i)(ii)知待證命題成立.例5【拓展提升】【解析】(1)略(2)題設(shè)條件兩邊都是正數(shù)，直接兩邊除以看到與這就是常用處理)則有由知，所以，則.（3）解法1：數(shù)學(xué)歸納法.（i）當(dāng)時(shí)，顯然成立；（ii）設(shè)當(dāng)時(shí)成立，則當(dāng)時(shí)，，考慮二次函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.只需要證.以及即可，以下略.由(i)(ii)知待證不等式成立.【評(píng)注】利用遞推關(guān)系證明不等式時(shí)，常常可以用數(shù)學(xué)納法，k到那步就可以利用函數(shù)的單調(diào)性解決.解法2:放縮法.又所以.又所以，故所以利用累加法可得綜上知例6【變式訓(xùn)練】【解析】（1）由得解得，故(2)則.時(shí)，時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.猜想當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；假設(shè)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，成立.綜上可知，對(duì)成立.由上分析可知，當(dāng)或時(shí);當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.例7【變式訓(xùn)練】【解析】當(dāng)或時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)，且時(shí).（i）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊,因?yàn)?，所以，即左?gt;右邊，；假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以又因?yàn)樗杂谑窃诓坏仁絻蛇呁艘缘茫?，即?dāng)時(shí)，不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.【評(píng)注】這是貝努利不等式，很有用.第七章數(shù)列函數(shù)，解幾結(jié)合一、數(shù)列函數(shù)，有機(jī)結(jié)合1.數(shù)列與反比函數(shù)有機(jī)結(jié)合例1【變式訓(xùn)練】【解析】由題意有所以,進(jìn)而得，所以.，.2.與一次函數(shù)有機(jī)結(jié)合例2【變式訓(xùn)練】【答案】（1），（2）提示：3.與二次函數(shù)有機(jī)結(jié)合例7【變式訓(xùn)練】1.【解析】（1）由可得又在函數(shù)的圖象上，則..2.【解析】因?yàn)?，，所?即又，可知對(duì)任何,所以，即，，即是以1為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.例7【拓展提升】1.【解析】（1）由已知得，則又，故，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以是公比為2的等比數(shù)列.（2）由(1)知?jiǎng)t即（3）由得,則又，所以，所以.由，，，得，又，則成立.2.【解析】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為.又設(shè)，，聯(lián)立方程得消去得，，從而有，設(shè)的重心坐標(biāo)為，則有消去，即得.（2）由,，得，上式右邊當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.假設(shè)，則上式右邊當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由此得到，從而有.4.與指數(shù)函數(shù)有機(jī)結(jié)合例9【變式訓(xùn)練】1.【解析】，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)遞減，所以最大項(xiàng)為.2.【解析】,可得，所以是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，.【評(píng)注】第1題中，欲求的最大值，可先確定數(shù)列的單調(diào)性，只要比較與的大小即可.第2題中要求的通項(xiàng)公式，可先確定與的遞推關(guān)系.數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)，在解決某些數(shù)列問(wèn)題時(shí)，可借助函數(shù)知識(shí)和方法求解.4.與反函數(shù)有機(jī)結(jié)合例13【拓展提升】【解析】由，得，即，的實(shí)不動(dòng)點(diǎn)為或，，即，所以.【評(píng)注】解函數(shù)“不動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題,就是求對(duì)應(yīng)方程的根，這是典型的函數(shù)與方程思想的具體體現(xiàn).另外，此題運(yùn)用函數(shù)與數(shù)列知識(shí)之間的交叉和組合,是基礎(chǔ)性與綜合性相結(jié)合的最佳表現(xiàn)形式.2.【解析】通法1：因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以，因?yàn)?又所以解得或解法2:因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得.所以或【評(píng)注】本題從函數(shù)出發(fā)，利用遞增數(shù)列這一已知條件，將求取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式的問(wèn)題.二、數(shù)列解幾，有機(jī)結(jié)合1.與勢(shì)物線(xiàn)的結(jié)合例2【變式訓(xùn)練】【解析】（1）依題設(shè)有：，由得，則，又直線(xiàn)在軸上的截距為，滿(mǎn)足，得，由，得，故.顯然，對(duì)于，有（2）設(shè)，則因?yàn)椋?，設(shè)則當(dāng)時(shí)，所以,取對(duì)任意都有，故有成立.2.【答案】3.【答案】【提示】.4.【答案】【提示】例2【拓展提升】1【解析】（1）如圖，由已知得拋物線(xiàn)方程為，，則設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)為，令故.又，所以，.（2）由(1)知