2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分數(shù)列11-20-專項訓練【含答案】

1.緊扣定義,活用公式【例1】已知在等差數(shù)列中，在等比數(shù)列中，則【答案】【解析】因為所以，因為所以，因為，所以.【評注】此題也可以把和看成兩個未知數(shù)，通過列方程，聯(lián)立解得，再求出但計算較繁，運用計算較為方便.【拓展提升】設公差非零的等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足試問：對怎樣的，可使成立?【例2】已知是等差數(shù)列,其前項和為是等比數(shù)列，且10，求數(shù)列與的通項公式.【解析】設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由得,由條件得方程組解得故【變式訓練】1.已知在等差數(shù)列和等比數(shù)列中的前10項和求和.2.設是公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的公比;（2）求證:對任意成等差數(shù)列.【拓展提升】記方程①：方程②方程③：其中是正實數(shù).當成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程③無實根的是（）A.方程①有實根，②有實根B.方程①有實根，②無實根C.方程①無實根，②有實根D.方程①無實根，②無實根2.等比和式，形式多變【例3】設等比數(shù)列的前項和為且求【解析】因為所以，所以所以【評注】等比數(shù)列的和式特征：令則.這樣解題快速有效.【變式訓練】設等比數(shù)列的前項和為且求.【例4】設等比數(shù)列的前項和為若求公比.【解析】當時顯然，與題設矛盾；當時，所以因為所以即,所以.【拓展提升】設其中成公比為的等比數(shù)列成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是（）A.B.C.【例5】設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列是其前項和,求證【解析】設等比數(shù)列的首項為,公比為當時當時，所以,即使，【變式訓練】1.已知等比數(shù)列滿足且公比.(1)求數(shù)列的通項公式;（2)若該數(shù)列的前項和求的值.2.已知正項數(shù)列為等比數(shù)列,且是與的等差中項,若,則該數(shù)列的前5項和為A.B.31C.D.以上都不正確【例6】已知在數(shù)列中前項和滿足.(1)求及(2)求使的最小整數(shù)(取).【解析】(1)止得即.又故是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，從而因為是大于的最小整數(shù),且的末位數(shù)不為1,故適合的最小整數(shù),就是適合即的最小整數(shù)n.對兩邊取以2為底的對數(shù),得,故所求的最小整數(shù)3.等比性質，靈活應用【例7】（1）已知在等比數(shù)列中,數(shù)列是等差數(shù)列,且求的值;(2)已知在等比數(shù)列中求的值;（3）已知等比數(shù)列的前項和為2,其后2n項的和為12,求再后面3n項的和.【解析】（1）因為故所以,因為為等差數(shù)列,所以(2)①②②÷①得則,(3)由,知其后2n項為則由等比數(shù)列的性質知成等比數(shù)列，即解得或當時是首項為2、公比為-3的等比數(shù)列，則所要求的和為當時,同理可得故所求的和為-378或112.【評注】在解決等比數(shù)列的有關問題時,要注意挖掘隱含條件,特別是利用性質“若則??",可以減少運算量,提高解題速度.【變式訓練】1.已知在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中則的值為（）A.B.7C.6D.2.設是等比數(shù)列,它的前項和、前2n項和與前3n項和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是A.C.D.4.證明等比，回歸定義【評注】已知數(shù)列的前項和為數(shù)列與滿足關系對于有求證是等比數(shù)列.【解析】由知那么即又故由可得即,故即對均成立.因此是等比數(shù)列.【評注】證明數(shù)列為等比數(shù)列一定要根據(jù)定義來證明，但要注意n的取值范圍，如不包含n=1的值，還需驗證對也成立.【規(guī)律探索】判定等比數(shù)列的五個特征形式:定義式:;定義變式遞推式:通項函數(shù)形式:和式系數(shù)形式:【例9】設數(shù)列的前項和滿足其中(1)求證是首項為1的等比數(shù)列;(2)若求證,并給出等號成立的充要條件.【解析】(1)由得即.因為故得，又由題設條件知兩式相減得即.由知因此,綜上知對所有'成立,從而是首項為1,公比為的等比數(shù)列.(2)當或2時,顯然,等號成立.設且止(1)知,所以要證的不等式化為,即證當時，上面不等式的等號成立;當時與同為負$;$當時與同為正因此,當且時,總有,即上面不等式對從1到求和得,由此得綜上,當且時,有當且僅當或時等號成立.【變式訓練】已知成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列中的,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)數(shù)列的前項和為求證:數(shù)列是等比數(shù)列.2.已知在數(shù)列中當時.(1)求證:為等比數(shù)列(2)求數(shù)列的通項公式.【例10】已知數(shù)列是首項和公比均a的等比數(shù)列如果數(shù)列中每一項總小于它后面的項,求的取值范圍.【解析】由已知有所以因此由題意，對任意成立,等價于,即對任意總成立,由知那么由知或即或當時,為遞增函數(shù),所以則.故的取值范圍為或【評注】這是一道數(shù)列與不等式綜合的題目，既含有字母，要分類討論，又要運用極限思想和函數(shù)最值的觀點來解決問題,同時還要判斷函數(shù)的單調性,具有一定的綜合性.【例11】已知等差數(shù)列的首項,公差,且第2項、第5項,第14項分別是等比數(shù)列的第2項、第3項、第4項.（1)求數(shù)列與的通項公式;(2)設數(shù)列對均有成立,求【解析】(1)由已知有,則解得,故又,則數(shù)列的公比為3,故.(2)由得當時兩式相減得當時,.又當時，所以【評注】在解決等差、等比數(shù)列的綜合題時,重點在手讀懂題意，靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項公式及前項和公式.本題第(1)問就是用基本量公差、公比求解;第(2)問在作差時要注意【變式訓練】已知等比數(shù)列的前項和為已知對任意的點均在函數(shù)且.1,b,rb=2時,記求數(shù)列的前項和.2.已知是公差不為零的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列.（1)求數(shù)列的通項;(2)求數(shù)列的前項和【例12】設等比數(shù)列滿足公比且中的任意兩項之積也是該數(shù)列中的一項,若則的所有可能取值的集合為（）【答案】【解析】由題意知設該數(shù)列中任意兩項為它們的積為則即,故必須是81的正約數(shù),即的可能取值為1,3,9,27,81,所以的所有可能取值的集合為【變式訓練】1.已知數(shù)列滿足則的前10項和等于（）A.B.C.D.2.設首項為1,公比為的等比數(shù)列的前項和為則（）A.B.C.D.3.若等比數(shù)列滿足則公比（）前項和（）【例13】在正項等比數(shù)列中則滿足的最大正整數(shù)（）【答案】12【解析】因為正項等比數(shù)列中所以，所以解得或舍去所以所以,所以所以應滿足即,取不成立$;$取成立取成立取,成立取,不成立故滿足的最大正整數(shù)的值為12.【變式訓練】設是公比為的等比數(shù)列.(1)推導的前項和公式;(2)設,求證:數(shù)列不是等比數(shù)列.【拓展提升】已知數(shù)列的前項和令求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式.【例14】已知數(shù)列中,點在直線上,其中.令,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;求數(shù)列的通項.【解析】(解析(1)由已知得,則,所以是以-為首項,以為公比的等比數(shù)列