江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2024．4命題：吉安一中羅愛軍李云新余一中艾青梅（考試時間：120分鐘，試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效，3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的拋物線方程，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得.【詳解】拋物線可得：，拋物線的焦點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)為.故選：D.2.已知集合，集合，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件把集合B寫成用形式表示的集合，再與集合A求交集即可.【詳解】依題意，，而，所以，.故選：A3.已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）A.212 B.168 C.121 D.163【答案】C【解析】【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出，再列方程求出數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列求和公式可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以或，若，則，解得，，所以，若，則，解得，，所以，所以，故選：C.4.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，將向量繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到向量，點(diǎn)對應(yīng)復(fù)數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，進(jìn)而利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】由題意得，設(shè)其與實(shí)軸正半軸夾角為，則，故可設(shè)，設(shè)與實(shí)軸正半軸夾角為，則，故，故，則，，.故選：C5.函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，則的取值可以是（）A.2 B.1 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由題意將原條件轉(zhuǎn)換為的根的個數(shù)之和為1，其中，，從而只需畫出它們的圖象即可通過數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】或，顯然單調(diào)遞增，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，注意到的交點(diǎn)為，而，所以在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象如圖所示，由圖可知的根的個數(shù)之和為1，當(dāng)且僅當(dāng)，對比選項(xiàng)可知的取值可以是1.故選：B.6.已知正四棱錐，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個頂點(diǎn)涂色，每個頂點(diǎn)只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個頂點(diǎn)不同色，則不同的涂色方法有（）A.240 B.420 C.336 D.120【答案】B【解析】【分析】分三種情況，用三種顏色，四種顏色，五種顏色，求出每種情況數(shù)相加得到答案.【詳解】當(dāng)只用三種顏色時，同色且同色，5種顏色選擇3種，且有種選擇，當(dāng)只用四種顏色時，同色或同色，從5種顏色中選擇4種，再從和中二選一，涂相同顏色，故有種選擇，當(dāng)用五種顏色時，每個頂點(diǎn)用1種顏色，故有種選擇，綜上，共有種選擇.故選：B7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，進(jìn)一步，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，從而，注意到，而在上單調(diào)遞減，從而，即，所以.故選：A.8.我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（）附：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為.A. B.C. D.和的大小關(guān)系無法確定【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用圓和橢圓的切線方程分別求得、，結(jié)合可判斷兩者大小.【詳解】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為，如圖所示，則，解得，所以，若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為，如圖所示，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓上一點(diǎn)的切線方程為，所以橢圓的切線方程的斜率為，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得，解得，所以，又因?yàn)椋?，即，所?故選：A.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分．若只有2個正確選項(xiàng)，每選對一個得3分；若只有3個正確選項(xiàng)，每選對一個得2分．9.已知隨機(jī)變量X、Y，且的分布列如下：X12345Pmn若，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由分布列的性質(zhì)和期望公式求出可判斷ABC；由方差公式可判斷D.【詳解】由可得：①，又因?yàn)?，解得：，故C正確.所以，則②，所以由①②可得：，故A正確，B錯誤；,，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)；滿足：，恒成立，且在上有且僅有2個零點(diǎn)，則（）A.周期為B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的一條對稱軸為D.函數(shù)的對稱中心為【答案】BCD【解析】【分析】由可得的最大值為，則得，再由在上有且僅有2個零點(diǎn)，可得，再結(jié)合的范圍可出的值，從而可求出的解析式，然后逐個分析判斷即可.【詳解】因?yàn)?，恒成立，所以的最大值為，所以，即，?dāng)時，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有2個零點(diǎn)，所以，所以，即，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，對于A，的周期為，若，則，所以A錯誤，對于B，由，得，所以的遞增區(qū)間為，當(dāng)時，的遞增區(qū)間為，而是的真子集，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以B正確，對于C，令，則，所以的對稱軸為，當(dāng)時，的一條對稱軸為，所以C正確，對于D，由，得，所以函數(shù)的對稱中心為，所以D正確，故選：BCD.11.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面與平面平行，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.若點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值為C.底面半徑為且高為的圓柱可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對A，可證平面，可得；對B，平面截正方體的截面為如圖正六邊形，點(diǎn)關(guān)于平面對稱，最小轉(zhuǎn)化為求即為；對C，只要圓柱的外接球半徑小于等于正方體的內(nèi)切球半徑即可滿足題意；對D，當(dāng)最小時，直線與平面所成角的正弦值最大，此時點(diǎn)是的中點(diǎn)，得解.【詳解】對于A，如圖，，又平面，所以，又是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，所以，同理可證，而平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，故A正確；對于B，如圖，平面截正方體的截面為正六邊形，點(diǎn)關(guān)于平面對稱，所以，故B錯誤；對于C，底面半徑為，高為的圓柱的外接球的半徑為，又正方體棱長為2，所以圓柱可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故C正確；對于D，由題，點(diǎn)到平面的距離為定值，所以當(dāng)最小時，直線與平面所成角的正弦值最大，此時點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與平面所成角即，在中，，，，所以.故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：選項(xiàng)B，確定平面截正方體的截面為正六邊形，由此確定點(diǎn)關(guān)于平面對稱，將球最小轉(zhuǎn)化為求；選項(xiàng)C，圓柱可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，只要圓柱的外接球半徑小于等于正方體的內(nèi)切球半徑即可；選項(xiàng)D，直線與平面所成角的正弦值最大，即最小時，此時點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與平面所成角即.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共16分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.展開式中項(xiàng)系數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】可將轉(zhuǎn)化為，然后再利用二項(xiàng)式定理展開求解.【詳解】由題意得可化簡為，且其展開式通項(xiàng)為，其中對于的展開式通項(xiàng)為，，當(dāng)時，此時，則的系數(shù)為，當(dāng)時，此時，則的系數(shù)為，所以項(xiàng)系數(shù)為.故答案為：.13.在三角形ABC中，，角A的平分線交于點(diǎn)D，若，則三角形面積的最大值為________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)正弦定理可得，再建立平面直角坐標(biāo)系求解的軌跡方程，進(jìn)而可得面積的最大值.【詳解】，，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)榻堑钠椒志€交于點(diǎn)，所以，所以，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，，設(shè)，則，所以，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（除去和），故當(dāng)縱坐標(biāo)最大，即時面積取最大值為.故答案為：.14.已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)使得成立，若正整數(shù)的最大值為8，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，得到，然后分類討論的范圍，解出即可.【詳解】設(shè)，又因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時，，則，顯然存在任意正整數(shù)使得成立；當(dāng)時，，，要使得正整數(shù)的最大值為8，則，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了分段函數(shù)值域的求法，解題的關(guān)鍵是分類討論求出函數(shù)的值域，然后根據(jù)題意列不等式求解.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.數(shù)列滿足，，，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求正整數(shù)，使得.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）推出，從而得到是以1為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，得到；（2）利用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合得到，求出答案.【小問1詳解】由已知條件可知，由于，故，則，故數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，故，即.【小問2詳解】，由，得.16.三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，三棱錐的體積為．（1）求側(cè)棱的長；（2）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）證明平面，結(jié)合題目條件，先計(jì)算出的值，然后即可以求得側(cè)棱的長；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)未知數(shù)，結(jié)合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.【小問1詳解】在平面內(nèi)過作，垂足為，因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，易得，面，平面平面，所以平面，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以；【小?詳解】存在點(diǎn)滿足題意，，理由如下：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，故，，設(shè)平面的法向量為則即，令，則，故平面一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，故存在點(diǎn)E滿足題意，所以.17.在平面直角坐標(biāo)系中，，直線，動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作直線的垂線，與線段的中垂線交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）經(jīng)過曲線上一點(diǎn)作一條傾斜角為的直線，與曲線交于兩個不同的點(diǎn)Q，R，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用線段的中垂線的性質(zhì)得出，根據(jù)拋物線的定義即得方程；（2）設(shè)，則直線的方程為，將直線方程與曲線方程聯(lián)立，由可得t的取值范圍，設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，結(jié)合的傾斜角為，結(jié)合弦長公式可將表示為關(guān)于t的函數(shù)，從而求得其取值范圍．【小問1詳解】由圖可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，故點(diǎn)的軌跡的方程為；【小問2詳解】設(shè)，則直線的方程為，代入曲線的方程得，.化簡可得：①，由于與交于兩個不同的點(diǎn)，故關(guān)于的方程①的判別式為正，計(jì)算得，，因此有，②設(shè)Q，R的橫坐標(biāo)分別為，，由①知，，，因此，結(jié)合的傾斜角為可知，，③由②可知，，故，從而由③得：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．18.一次摸獎活動，選手在連續(xù)摸獎時，首次中獎得1分，并規(guī)定：若連續(xù)中獎，則第一次中獎得1分，下一次中獎的得分是上一次得分的兩倍：若某次未中獎，則該次得0分，且下一次中獎得1分.已知某同學(xué)連續(xù)摸獎次，總得分為，每次中獎的概率為，且每次摸獎相互獨(dú)立.（1）當(dāng)時，求概率；（2）當(dāng)時，求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）當(dāng)時，判斷的數(shù)學(xué)期望與10的大小，并說明理由.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3），理由見解析【解析】【分析】（1）將的所有可能情況進(jìn)行分類討論，即可求得的表達(dá)式．（2）易知X的可能取值為0，1，2，3，7，求出對應(yīng)概率可得分布列和期望；（3）依題意可知，若每次投進(jìn)都得1分，利用二項(xiàng)分布可知，再結(jié)合比賽規(guī)則可得.【小問1詳解】摸獎5次得分為3分，有如下兩種情形：情形一，恰好兩次中獎，且兩次相鄰；情形二，恰好三次中獎，且任意兩次都不相鄰.情形一發(fā)生的概率為.情形二發(fā)生概率為，所以；【小問2詳解】的可能取值為0，1，2，3，7，其中，，，，所以的概率分布列為X01237P所以.【小問3詳解】.理由如下：記該同學(xué)摸獎30次中獎次數(shù)為，則.若每次中獎都得1分，則得分的期望為.由題中比賽規(guī)則可知連續(xù)中獎時，得分翻倍，故實(shí)際總得分的期望必大于每次都得1分的數(shù)學(xué)期望.所以.19.已知函數(shù)，恒成立.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）數(shù)列滿足：，，若數(shù)列中有無窮個不同的項(xiàng)，求整數(shù)的值.【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）由條件