浙江省紹興市2024屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

第1頁(yè)/共1頁(yè)浙江省高考科目考試紹興市適應(yīng)性試卷（2024年4月）數(shù)學(xué)試題本科試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，全卷共6頁(yè)，選擇題部分1至3頁(yè)，非選擇題部分3至6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、座位號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫(xiě)在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，則（）A. B.3 C. D.5【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)乘法以及模的計(jì)算公式即可求解.【詳解】由題意.故選：C.2.已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由離心率得到的關(guān)系式，代入的值，即可求得短軸長(zhǎng).【詳解】由可得（*），因，即，代入（*）解得，故短軸長(zhǎng)為故選：B.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列求和公式結(jié)合已知列方程即可求解.【詳解】由題意設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差分別為，因?yàn)?，從?故選：D.4.已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在中，，，，，所以.故選：A5.過(guò)點(diǎn)作圓的切線，為切點(diǎn)，，則的最大值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，三角換元令，，，利用三角恒變換求出最大值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則，，令，，，則，其中，所以的最大值為.故選：D.6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得，進(jìn)一步由有，結(jié)合二倍角公式、商數(shù)關(guān)系以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，從而，，所?故選：B.7.在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，將沿著翻折至，使得，則四棱錐的外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出圖形，通過(guò)分析得出，外接球球心在過(guò)底面外接圓圓心且垂直于底面（即平行于）的直線上面，且底面外接圓半徑為，設(shè)到平面的距離為，過(guò)作于點(diǎn)，從而，由此列出方程組求出結(jié)合球的表面積公式即可得解.【詳解】依題意取的中點(diǎn)為，且交于點(diǎn)，注意到是的中點(diǎn)，三角形是等邊三角形，從而是三角形的中心，同時(shí)有，，，面，面，所以面，而面，所以平面面，故而點(diǎn)在平面的投影在上面，注意到三角形與三角形都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，即三角形與三角形全等，從而，，面，面，所以面，因?yàn)槊妫?，因?yàn)槊妫?，所以，又因?yàn)?，面，面，故有面，所以，注意到點(diǎn)是直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，所以是四邊形（或三角形）外接圓的圓心（這是因?yàn)椋瑥亩狞c(diǎn)共圓），所以四棱錐的外接球的球心在與平面垂直的上，且底面四邊形外接圓的半徑為，設(shè)到平面的距離為，過(guò)作于點(diǎn)，所以，即，解得，這意味著此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，四棱錐的外接球的表面積是.故選：C.8.已知點(diǎn)A，B，C都在雙曲線：上，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.過(guò)A作垂直于x軸的直線分別交，于點(diǎn)M，N.若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由且軸得，注意到，也就是，而，，即，由此結(jié)合離心率公式即可求解.【詳解】不妨設(shè)，由且軸，所以，所以，從而，即，設(shè)點(diǎn)，且它在雙曲線上，，即，其中，，從而，.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得到，，，由此即可順利得解.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)了2024年1月全國(guó)多個(gè)大中城市二手住宅銷售價(jià)格的分類指數(shù)，其中北方和南方各4個(gè)城市的90m2及以下二手住宅銷售價(jià)格的環(huán)比數(shù)據(jù)如下：北方城市環(huán)比（單位：%，上月=100）南方城市環(huán)比（單位：%，上月=100）北京99.5上海99.5天津99.6南京99.5石家莊99.6南昌99.6沈陽(yáng)99.7福州99.8則（）A.4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差B.4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值C.4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差大于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差D.4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)極差的定義判斷A，根據(jù)平均數(shù)的定義判斷B，根據(jù)方差的定義判斷C，根據(jù)中位數(shù)的定義判D．【詳解】對(duì)于A，4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差為，4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差為，所以4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的極差，故A正確；對(duì)于B，4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值為，4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值為，所以4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值與4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的均值相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差為，4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差為，所以4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差小于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的方差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為99.6，4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，所以4個(gè)北方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于4個(gè)南方城市的環(huán)比數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故D正確．故選：AD．10.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，則（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則【答案】ACD【解析】【分析】寫(xiě)出的表達(dá)式，根據(jù)，，得到或，由此即可判斷AB，進(jìn)一步根據(jù)遞增數(shù)列的定義分別與的關(guān)系即可判斷CD.【詳解】由題意可知，且，，故有且（否則若，則的符號(hào)會(huì)正負(fù)交替，這與，，矛盾），也就是有或，無(wú)論如何，數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若數(shù)列是遞增數(shù)列，即，由以上分析可知只能，故C正確；對(duì)于D，若數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然不可能是，（否則的符號(hào)會(huì)正負(fù)交替，這與數(shù)列是遞增數(shù)列，矛盾），從而只能是，且這時(shí)有，故D正確.故選：ACD.11.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對(duì)稱性、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.詳解】對(duì)于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：由對(duì)稱性可得，所以，故A不正確；由于，，所以，故B正確；又，，所以，故C正確；，且，因?yàn)?，所以，故，所以，故D正確故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，從而可確定函數(shù)值的大小關(guān)系、對(duì)稱關(guān)系.考查學(xué)生的基本分析能力與計(jì)算能力，屬于中等難度的題型.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.的展開(kāi)式中的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求通項(xiàng)，從而可得的系數(shù).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為.故答案為：.13.已知集合，，且有4個(gè)子集，則實(shí)數(shù)的最小值是___________.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)的子集個(gè)數(shù)，得到元素個(gè)數(shù)，分和討論，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.詳解】由有4個(gè)子集，所以中有2個(gè)元素，所以，所以，所以滿足，或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，或，故答案為：14.已知函數(shù)，若，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】或【解析】【分析】設(shè)，則，由正弦函數(shù)圖象可列式，求得，，對(duì)取值分析得到答案.【詳解】設(shè)，，則，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上存在最大值和最小值，由正弦函數(shù)圖象可得，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，即，所以時(shí)，所有情況的范圍的并集為；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：換元令，，利用正弦函數(shù)的圖象分析可得，求出的范圍，再帶回上式驗(yàn)證求解的范圍.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖，在三棱錐中，，，，.（1）證明：平面平面；（2）若，，求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2【解析】【分析】（1）先由解三角形知識(shí)證得，進(jìn)一步由，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；（2）解法一：一方面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可以證明是二面角的平面角，另一方面可以通過(guò)解三角形知識(shí)即可得解；解法二：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)一步由法向量夾角的余弦坐標(biāo)公式，結(jié)合平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系即可運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理得，所以，所以，又，，面，面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】解法一：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，面，所以面，因?yàn)槊妫瑒t，所以是二面角的平面角.由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，又，所以三角形是正三角形，所以?在直角三角形中，，所以.所以，二面角的平面角的正切值是2.解法二：以為原點(diǎn)，，所在直線為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，其中，由，得，所以，，即，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以.又平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，，所以，二面角的平面角的正切值為2.16.盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2的小球各2個(gè).（1）若有放回地隨機(jī)取出2個(gè)小球，求取出的2個(gè)小球上的數(shù)字不同的概率；（2）若不放回地依次隨機(jī)取出4個(gè)小球，記相鄰小球上的數(shù)字相同的對(duì)數(shù)為（如1122，則），求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，1.【解析】【分析】（1）根據(jù)組合知識(shí)求得取球的方法數(shù)，然后由概率公式計(jì)算概率；（2）確定的所有可能取值為0，1，2，然后分別計(jì)算概率得分布列，再由期望公式計(jì)算出期望．【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件“取出的2個(gè)小球上的數(shù)字不同”，則.【小問(wèn)2詳解】的所有可能取值為0，1，2.①當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字都不同時(shí)，如1212，有種，則.②當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字只有1對(duì)相同時(shí)，如1221，有種，則.③當(dāng)相鄰小球上的數(shù)字有2對(duì)相同時(shí)，如1122，有種，則.所以的分布列為012所以數(shù)學(xué)期望.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而求出切線方程；（2）分和討論，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式放縮判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，結(jié)合單調(diào)性驗(yàn)證恒成立是否滿足.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以切線斜率為，又，所以，切線方程是.【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?記，則，令，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以.②當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，則，若，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.若，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)?，，所以，存在，使得，所以，?dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，不滿足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)作直線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，.（1）求的方程；（2）求的值；（3）設(shè)直線交C于另一點(diǎn)Q，求點(diǎn)B到直線距離的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由焦準(zhǔn)距的定義求出的值即得；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消元，得到韋達(dá)定理，分別化簡(jiǎn)計(jì)算和，再整體代入計(jì)算即得定值；（3）設(shè)點(diǎn)表示出直線、、的方程，分別利用過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)得出與，與的關(guān)系式，消去，整理得，再與方程比較得出過(guò)定點(diǎn)，從而得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】如圖，設(shè)，，直線的方程為，由得，所以（*）由，將（*）代入整理得：.又，將（*）代入整理得：所以，.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，，則直線的斜率，所以直線的方程為，即.同理，直線方程為，直線方程為.因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以，解得，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)，所以，解得，所以，整理得.又因?yàn)橹本€的方程為，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離取得最大值為.19.已知，集合其中.（1）求中最小的元素；（2）設(shè)，，且，求的值；（3）記，，若集合中的元素個(gè)數(shù)為，求.【答案】（1）7（2）或10（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合新定義，確定中最小的元素即可；（2）根據(jù)集合中的元素可得，設(shè)，，分別討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的取值情況，即可得結(jié)論；（3