電路理論基礎(chǔ)（第三版） 課件 第14章 網(wǎng)絡(luò)方程的矩陣形式

第十四章網(wǎng)絡(luò)方程的矩陣形式

本章介紹網(wǎng)絡(luò)的矩陣描述和網(wǎng)絡(luò)方程的矩陣形式。首先介紹基本回路和基本割集的概念，然后介紹描述網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)的幾個(gè)基本矩陣:關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣，推出兩類(lèi)約束條件的矩陣形式，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)方程、回路方程和割集方程的矩陣形式。本章內(nèi)容是大規(guī)模電路計(jì)算機(jī)輔助分析的基礎(chǔ)。14.1基本回路和基本割集14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式14.4回路分析法和回路方程的矩陣形式14.5割集分析法和割集方程的矩陣形式14.1基本回路和基本割集

本章介紹網(wǎng)絡(luò)的矩陣描述和網(wǎng)絡(luò)方程的矩陣形式。首先介紹基本回路和基本割集的概念，然后介紹描述網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湫再|(zhì)的幾個(gè)基本矩陣:關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣和割集矩陣，推出兩類(lèi)約束條件的矩陣形式，并在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)方程、回路方程和割集方程的矩陣形式。本章內(nèi)容是大規(guī)模電路計(jì)算機(jī)輔助分析的基礎(chǔ)。14.1.1基本回路

第3章中簡(jiǎn)單介紹過(guò)網(wǎng)絡(luò)的有向圖、樹(shù)、樹(shù)支和連支、獨(dú)立節(jié)點(diǎn)及獨(dú)立回路的概念。一個(gè)含有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通圖，對(duì)于其任一個(gè)樹(shù)，樹(shù)支數(shù)為n-1，連支數(shù)為l=b-n+1。網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)與其樹(shù)支數(shù)相同，獨(dú)立回路數(shù)與其連支數(shù)相同。網(wǎng)絡(luò)有向圖中各箭頭方向表示各支路電流和電壓的參考方向，簡(jiǎn)稱(chēng)為支路方向。

第3章中介紹過(guò)選擇獨(dú)立回路的多種方法，下面介紹一種更系統(tǒng)的、更便于計(jì)算機(jī)使用的選擇方法———基本回路法。

選定連通圖的一個(gè)樹(shù)，根據(jù)樹(shù)的定義，在樹(shù)的基礎(chǔ)上再加上任一條連支都會(huì)構(gòu)成一個(gè)回路，即每一連支和若干樹(shù)支可構(gòu)成一個(gè)回路。這種回路稱(chēng)為基本回路或單連支回路。l條連支對(duì)應(yīng)l個(gè)單連支回路，稱(chēng)為基本回路組?；净芈方M中各回路含有不同的連支，因此基本回路組是獨(dú)立回路組，它們的KVL方程是相互獨(dú)立的。14.1基本回路和基本割集

例如，對(duì)圖14-1(a)所示的網(wǎng)絡(luò)，若選定其一個(gè)樹(shù)為圖14-1(b)所示，則該網(wǎng)絡(luò)的三個(gè)基本回路如圖14-1(c)、(d)和(e)所示。圖14-1基本回路示例

顯然,基本回路與所選擇的樹(shù)有關(guān)。14.1基本回路和基本割集14.1.2基本割集

連通圖G的一個(gè)割集Q定義為該圖的一個(gè)支路集合，它滿足以下兩個(gè)條件:(1)若將Q的全部支路移去，則圖G將分離為兩部分(兩部分各自是連通的);(2)少移去Q中任一條支路，則G仍是連通的。

可通過(guò)作閉合面找圖的割集。在圖G上作一條包圍一個(gè)或若干個(gè)節(jié)點(diǎn)的封閉曲線(閉合面)，該曲線將圖G分成兩部分，一部分在曲線內(nèi)部，另一部分在曲線外部。若內(nèi)外兩部分的圖分別是連通的，則該閉合面切割的支路集合就是圖G的一個(gè)割集。14.1基本回路和基本割集

例如圖14-2(a)所示閉合面(虛線表示)所切割的支路集合(b、d、e、f)是一個(gè)割集,因?yàn)閷⑦@些支路移去后,圖將會(huì)成為兩個(gè)分離的部分,如圖14-2(b)所示。但圖14-2(c)所示閉合面所切割的支路集合(d、e、g、h)卻不是一個(gè)割集,因?yàn)閷⑦@些支路移去后,圖將會(huì)成為如圖14-2(d)所示三個(gè)分離的部分。圖14-2說(shuō)明割集用圖

將某割集支路去掉后,原連通圖分成兩部分,若將其中一部分看作“廣義節(jié)點(diǎn)”,則可選定“指向”或“背離”該廣義節(jié)點(diǎn)的方向?yàn)樵摳罴姆较颉＠?圖14-2(a)中,封閉曲線處的箭頭表示選定的割集Q1的方向。

由于KCL不僅適用于節(jié)點(diǎn),還適用于任一閉合面,因此屬于同一割集的所有支路的電流應(yīng)滿足KCL。即:集總參數(shù)電路中,在任一時(shí)刻,任一割集的所有支路電流代數(shù)和為零。其中,參考方向與割集方向一致的支路電流取正號(hào),相反的取負(fù)號(hào)。例如,在圖14-2(a)中,割集Q1的KCL方程為-ib–id+

ie-if=0將圖中閉合面所包圍的節(jié)點(diǎn)①和節(jié)點(diǎn)②的KCL方程相加,也可得到上式,這說(shuō)明割集KCL方程是節(jié)點(diǎn)KCL方程的線性組合。若某閉合面只包圍一個(gè)節(jié)點(diǎn),則所對(duì)應(yīng)的割集就是該節(jié)點(diǎn)所連接的支路集合,該割集的KCL方程就是該節(jié)點(diǎn)的KCL方程。即節(jié)點(diǎn)方程是割集方程的特例。14.1基本回路和基本割集

對(duì)連通圖的每個(gè)割集可列出一個(gè)KCL方程，但這些方程并不都是獨(dú)立的。若一組割集的KCL方程是獨(dú)立方程，則該組割集稱(chēng)為獨(dú)立割集。最多可獲得多少個(gè)獨(dú)立割集呢?由于割集方程的集合包含節(jié)點(diǎn)方程，因此其中至少有n-1個(gè)獨(dú)立方程;另一方面，由于任一割集方程都是節(jié)點(diǎn)方程的線性組合，由線性代數(shù)理論可知，獨(dú)立割集數(shù)不大于獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)n-1。以上分析可知，最多可獲得的獨(dú)立割集數(shù)與獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)相同，即等于網(wǎng)絡(luò)的樹(shù)支數(shù)n-1。

怎樣獲得n-1個(gè)獨(dú)立割集呢?方法之一是選擇n-1個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn);方法之二是每選擇一個(gè)割集，讓該割集包含一條新支路，選滿n-1個(gè)為止;方法之三是采用基本割集法?；靖罴ㄊ且环N系統(tǒng)的、便于用計(jì)算機(jī)輔助分析的方法。

對(duì)一個(gè)含有b條支路、n個(gè)節(jié)點(diǎn)的連通圖G，選定其一個(gè)樹(shù)，根據(jù)樹(shù)的定義，在樹(shù)中去掉任一條樹(shù)支，都會(huì)將該樹(shù)分離成兩個(gè)連通的部分，這說(shuō)明去掉任一條樹(shù)支和足夠多的連支，可將圖G分離成兩部分。即每一樹(shù)支和若干連支可構(gòu)成一個(gè)割集，這樣的割集稱(chēng)為基本割集或單樹(shù)支割集。n-1條樹(shù)支對(duì)應(yīng)n-1個(gè)單樹(shù)支割集，稱(chēng)為基本割集組?；靖罴M中各割集含有不同的樹(shù)支，因此基本割集組是獨(dú)立割集組。14.1基本回路和基本割集

例如，對(duì)前面圖14-1(a)所示網(wǎng)絡(luò)，若選定其一個(gè)樹(shù)為圖14-1(b)所示，支路1、2、3為樹(shù)支，則三條樹(shù)支對(duì)應(yīng)的三個(gè)基本割集分別如圖14-3(a)、(b)、(c)中虛線所示。圖14-3基本割集示例基本割集與所選擇的樹(shù)有關(guān)。14.1基本回路和基本割集

網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可用矩陣描述，以便于計(jì)算機(jī)識(shí)別和處理。本節(jié)介紹關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣以及用它們表示的基爾霍夫定律的矩陣形式。14.2.1關(guān)聯(lián)矩陣

若一條支路與某兩節(jié)點(diǎn)連接，則稱(chēng)該支路與這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)。支路與節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)關(guān)系可用關(guān)聯(lián)矩陣描述。關(guān)聯(lián)矩陣與網(wǎng)絡(luò)的有向拓?fù)鋱D一一對(duì)應(yīng)。一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n、支路數(shù)為b的有向圖，其關(guān)聯(lián)矩陣Aa是一個(gè)n×b階的矩陣。Aa的每一行對(duì)應(yīng)著一個(gè)節(jié)點(diǎn)，每一列對(duì)應(yīng)著一條支路。它的第i

行、第j列的元素aij定義如下:(1)若支路j與節(jié)點(diǎn)i

無(wú)關(guān)聯(lián)，則aij=0；(2)若支路j與節(jié)點(diǎn)i

有關(guān)聯(lián)，且它的方向背離該節(jié)點(diǎn)，則aij=1；(3)若支路j與節(jié)點(diǎn)i

有關(guān)聯(lián)，且它的方向指向該節(jié)點(diǎn)，則aij=-1。14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣

例如，圖14-4所對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣為（14-1）圖14-4關(guān)聯(lián)矩陣示例14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.2.2回路矩陣

若一個(gè)回路由某些支路組成，則稱(chēng)這些支路與該回路相關(guān)聯(lián)。支路與獨(dú)立回路的關(guān)聯(lián)關(guān)系可用獨(dú)立回路矩陣描述。獨(dú)立回路矩陣簡(jiǎn)稱(chēng)為回路矩陣。

一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n、支路數(shù)為b的有向圖，其獨(dú)立回路數(shù)為l=b-n+1。其回路矩陣B是一個(gè)l×b階的矩陣，B的每一行對(duì)應(yīng)著一個(gè)獨(dú)立回路，每一列對(duì)應(yīng)著一條支路，它的第i行第j列的元素Bij定義如下:(1)若支路j與回路i

無(wú)關(guān)聯(lián)，則bij=0；(2)若支路j與回路i

有關(guān)聯(lián)，且支路方向與回路繞行方向相同，則bij=1；(3)若支路j與回路i

有關(guān)聯(lián)，且支路方向與回路繞行方向相反，則bij=-1。14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣

例如，圖14-5所示網(wǎng)絡(luò)，若選擇三個(gè)網(wǎng)孔作為獨(dú)立回路，回路繞行方向如圖中虛線所示，則所對(duì)應(yīng)的回路矩陣為

若所選獨(dú)立回路組為基本回路組，則對(duì)應(yīng)的回路矩陣稱(chēng)為基本回路矩陣，用Bf表示。若支路編號(hào)采取先連支后樹(shù)支的次序，且將連支序號(hào)作為其所在基本回路的序號(hào)，將連支的支路方向作為其基本回路的方向，則Bf中將出現(xiàn)一個(gè)l階的單位子矩陣，即有Bf=[1l Bt]（14-3）圖14-5回路矩陣示例14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣式中，下標(biāo)l和t分別表示與連支和樹(shù)支對(duì)應(yīng)的部分。例如在圖14-5中，若取支路4、5、6為樹(shù)支，則支路1、2、3為連支。對(duì)應(yīng)的三個(gè)基本回路如圖14-6所示，基本回路矩陣為圖14-6基本回路矩陣示例14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣

將網(wǎng)絡(luò)的b條支路的電壓用一個(gè)b階列向量ub表示，稱(chēng)為支路電壓向量，即若用回路矩陣B左乘支路電壓向量，則乘積是一個(gè)l階列向量，根據(jù)回路矩陣B的定義及矩陣乘法規(guī)則，可得該列向量的每一個(gè)元素等于每一對(duì)應(yīng)回路中各支路電壓的代數(shù)和。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，有Bub=0（14-4）上式即獨(dú)立回路KVL方程的矩陣形式。例如，對(duì)圖14-5所選獨(dú)立回路，有

由于獨(dú)立回路的KVL方程是獨(dú)立方程組，因此網(wǎng)絡(luò)的(獨(dú)立)回路矩陣B是行滿秩矩陣。14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.2.3割集矩陣

若一個(gè)割集由某些支路組成，則稱(chēng)這些支路與該割集相關(guān)聯(lián)。支路與獨(dú)立割集的關(guān)聯(lián)關(guān)系可用獨(dú)立割集矩陣描述。獨(dú)立割集矩陣簡(jiǎn)稱(chēng)為割集矩陣。

一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n、支路數(shù)為b的有向圖，其獨(dú)立割集數(shù)為n-1，每一個(gè)獨(dú)立割集有一個(gè)指定方向。其割集矩陣Q是一個(gè)(n-1)×b階的矩陣，Q的每一行對(duì)應(yīng)著一個(gè)獨(dú)立割集，每一列對(duì)應(yīng)著一條支路，它的第i

行第j列的元素qij定義如下:(1)若支路j與割集i

無(wú)關(guān)聯(lián)，則qij=0；(2)若支路j與割集i

有關(guān)聯(lián)，且支路方向與割集方向相同，則qij=1；(3)若支路j與割集i

有關(guān)聯(lián)，且支路方向與割集方向相反，則qij=-1。14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣

例如，圖14-7所示網(wǎng)絡(luò)，若選擇三個(gè)獨(dú)立割集如圖中虛線所示，則所對(duì)應(yīng)的割集矩陣為

若所選獨(dú)立割集組為基本割集組，則對(duì)應(yīng)的割集矩陣稱(chēng)為基本割集矩陣，用Qf表示。若支路編號(hào)采取先連支后樹(shù)支的次序，且按樹(shù)支的先后次序給各基本割集編號(hào)，將樹(shù)支的支路方向作為其所在基本割集的方向，則Qf中將出現(xiàn)一個(gè)n-1階的單位子矩陣，即有Qf=[Ql

1t]（14-5）圖14-7割集矩陣示例14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣

式中，下標(biāo)l和t分別表示與連支和樹(shù)支對(duì)應(yīng)的部分。例如，在圖14-7中，若取支路4、5、6為樹(shù)支，則對(duì)應(yīng)的三個(gè)基本割集如圖14-8所示?；靖罴仃嚍閳D14-8基本割集矩陣示例14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.2.4矩陣A、B、Q之間的關(guān)系

14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式

本節(jié)及后面兩節(jié)以正弦電流電路為例，討論線性電路各種分析法的矩陣方程，所討論的電路中不含受控源。

節(jié)點(diǎn)分析法以節(jié)點(diǎn)電壓為變量列方程，對(duì)于大規(guī)模電路，將基爾霍夫定律及元件特性采用矩陣方程表達(dá)，可推出節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式。

對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的正弦電流電路，將其n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓用一個(gè)n-1階列向量Un表示，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)電壓向量，即由于每條支路的支路電壓等于它所關(guān)聯(lián)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓之差，而關(guān)聯(lián)矩陣A的每一列，即矩陣AT的每一行，表示對(duì)應(yīng)支路與節(jié)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)關(guān)系，因此，支路電壓向量Ub與節(jié)點(diǎn)電壓向量Un的關(guān)系可表示為（14-14）14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式

為便于寫(xiě)出支路特性的矩陣方程，定義電路中的復(fù)合支路如圖14-9所示。圖14-9復(fù)合支路

圖中Zk為該支路的阻抗，Isk和Usk分別為該支路中獨(dú)立電流源的電流相量和獨(dú)立電壓源的電壓相量。該支路的伏安關(guān)系可表示為Uk=Zk(Ik-Isk)+Usk

（14-15）或

Ik=Yk(Uk-Usk)+Isk

（14-16）式中，Yk=Zkˉ1，為該支路的導(dǎo)納。14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式

若電路中無(wú)受控源和耦合電感，則電路中的一般支路均可看作圖14-9所示復(fù)合支路的特例，各支路的方程都有(14-15)式或(14-16)式的形式，電路所有支路的伏安關(guān)系可用矩陣形式表示為

Ub=Z(Ib-Is)+Us

（14-17）

或

Ib=Y(Ub-Us)+Is

（14-18）其中，Z、Y分別是支路阻抗矩陣和支路導(dǎo)納矩陣；Is和Us分別是支路電流源向量及支路電壓源向量。它們分別定義為（4-19）14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式

正弦電流電路中，(14-2)式表示的節(jié)點(diǎn)KCL方程矩陣形式可寫(xiě)作：AIb=0（14-20）將(14-18)式、(14-14)式代入上式，化簡(jiǎn)可得Un=AYUs-AIs

（14-21）上式即矩陣形式的節(jié)點(diǎn)方程，可簡(jiǎn)寫(xiě)作：YnUn=Jn

（14-22）其中，Yn= ，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；Jn=AYUs-AIs，稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)電流源向量。由上式求出n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓后，可根據(jù)(14-14)式和(14-18)式求得支路電壓向量Ub和支路電流向量Ib。14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式

例14-1求如圖14-10(a)所示網(wǎng)絡(luò)的矩陣形式節(jié)點(diǎn)方程。圖14-10例14-1題圖及其拓?fù)鋱D14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式14.3節(jié)點(diǎn)分析法和節(jié)點(diǎn)方程的矩陣形式14.4回路分析法和回路方程的矩陣形式

回路分析法以回路電流為變量列方程，對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的正弦電流電路，將其l=b-n+1個(gè)獨(dú)立回路電流用一個(gè)l階列向量Il表示，稱(chēng)為回路電流向量，即Il=[Il1

Il2…Il(b-n+1)]若所選獨(dú)立回路為基本回路，則回路電流向量即連支電流向量。

由于各支路電流等于它所關(guān)聯(lián)的所有獨(dú)立回路的電流之代數(shù)和，而回路矩陣B的每一列，即矩陣B

的每一行，表示對(duì)應(yīng)支路與獨(dú)立回路的關(guān)聯(lián)情況，因此，按照矩陣的乘法規(guī)則不難得出，支路電流向量Ib與回路電流向量Il的關(guān)系可表示為Ib=B

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