2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(新高考專用)重難點(diǎn)14奔馳定理與四心問(wèn)題【五大題型】特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

重難點(diǎn)14奔馳定理與四心問(wèn)題【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1奔馳定理】 3【題型2重心問(wèn)題】 4【題型3垂心問(wèn)題】 5【題型4內(nèi)心問(wèn)題】 5【題型5外心問(wèn)題】 61、奔馳定理與四心問(wèn)題奔馳定理是平面向量中的重要定理，這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題有著重要作用；四心問(wèn)題是平面向量中的重要問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，在高考復(fù)習(xí)中，要掌握奔馳定理并能靈活運(yùn)用，對(duì)于四心問(wèn)題要學(xué)會(huì)靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1奔馳定理】1．奔馳定理如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則有△APB、△APC、△BPC的面積之比為.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車(chē)的標(biāo)志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著決定性的基石作用.【知識(shí)點(diǎn)2四心問(wèn)題】1．四心的概念及向量表示(1)重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各邊中線的交點(diǎn)叫做重心，重心將中線長(zhǎng)度分成2:1.②重心的向量表示：如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為△ABC重心.③重心坐標(biāo)公式：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，則△ABC的重心坐標(biāo)為P.(2)垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點(diǎn)叫做垂心.②垂心的向量表示：如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為△ABC垂心.(3)內(nèi)心的概念及向量表示①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心.②內(nèi)心的向量表示：如圖，在△ABC中，三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)心.(4)外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)叫做外心，外心也為外接圓的圓心，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.②外心的向量表示：如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為△ABC外心.2．三角形的四心與奔馳定理的關(guān)系(1)O是△ABC的重心：.(2)O是△ABC的垂心：.(3)O是△ABC的內(nèi)心：.(4)O是△ABC的外心：.【題型1奔馳定理】【例1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，則S△ABC:A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【變式1-1】（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足3OA+4OB+5OCA．25 B．14 C．34【變式1-2】（23-24高一下·湖北·期中）奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SA．25 B．12 C．16【變式1-3】（23-24高三上·河南南陽(yáng)·期中）奔馳定理：已知O是ΔABC內(nèi)的一點(diǎn)，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC=0．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若A．sinB．cosC．tanD．sin【題型2重心問(wèn)題】【例2】（2024·貴州六盤(pán)水·三模）已知點(diǎn)O為△ABC的重心，AC=λOA+μA．?3 B．?2 C．1 D．6【變式2-1】（2024·陜西西安·一模）已知點(diǎn)P是△ABC的重心，則（

）A．AP=16C．AP=23【變式2-2】（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）已知點(diǎn)G為△ABC的重心，D,E分別是AB,AC邊上一點(diǎn)，D,G,E三點(diǎn)共線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，若AF=λAD+μAE，則A．6 B．7 C．92 D．【變式2-3】（2024高一下·上海·專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若OA+OB+OC=B．若(OA+OB)?ABC．若(AB|ABD．若OA+2OB+3OC=0，則△【題型3垂心問(wèn)題】【例3】（23-24高一下·上海浦東新·期中）O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABcos∠ABC+ACA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【變式3-1】（23-24高一下·廣東東莞·期末）已知在△ABC中，O是△ABC的垂心，點(diǎn)P滿足：3OP=12OAA．23 B．34 C．35【變式3-2】（23-24高一下·山東·期中）設(shè)H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HCA．?3010 B．?55 C．【變式3-3】（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=A．1:2:3 B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6【題型4內(nèi)心問(wèn)題】【例4】（2024·四川南充·三模）已知點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)，若PA?(AC|AC|?ABA．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【變式4-1】（23-24高一下·四川成都·期末）已知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，AB=4,AC=3，CB=λCA+μCO，則A．43 B．53 C．2 【變式4-2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，若sin∠BAC?PA+sin∠ABC?PB+A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心【變式4-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O是△ABC的內(nèi)心，且AO=λABA．910 B．710 C．89【題型5外心問(wèn)題】【例5】（23-24高一下·天津北辰·期中）O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(OA+OB)?BA=(OBA．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【變式5-1】（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）在△ABC中，AC=27，O是△ABC的外心，M為BC的中點(diǎn)，AB?AO=8，N是直線OM上異于M、O的任意一點(diǎn)，則A．3 B．6 C．7 D．9【變式5-2】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知O為△ABC的外心，若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120°,且AO=λABA．23 B．2 C．1 D．【變式5-3】（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形ABC中，A=60°，AB>AC，H為△ABC的垂心，AH?AC=20，O為△ABC的外心，且AH?AOA．9 B．8 C．7 D．6一、單選題1．（2024·全國(guó)·二模）點(diǎn)O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足OP=OA+OB+OC，則直線A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心2．（23-24高一下·河南安陽(yáng)·期末）已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若△BOC,△AOC,△AOB的面積分別記為S1,S2,S3，則S1?OA+S2A．1:2:3 B．1:2:4 C．2:3:4 D．2:3:63．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）點(diǎn)P是銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)A．點(diǎn)P是△ABC的垂心 B．點(diǎn)P是△ABC的重心C．點(diǎn)P是△ABC的外心 D．點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心4．（2024·安徽·三模）平面上有△ABC及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將△OAB，△OBC，△OCA的面積分別記作Sc，Sa，Sb，則有關(guān)系式Sa?OA+Sb?OB+Sc?OC=0．因圖形和奔馳車(chē)的logo很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知△ABC的內(nèi)角A，A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心5．（23-24高一下·上海奉賢·期中）設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA+2OB+2OC=0，則A．6 B．83 C．127 6．（23-24高一下·甘肅·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，且SA?MA+SB?MB

A．?63 B．?66 C．7．（23-24高三上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知△ABC，I是其內(nèi)心，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別a,b,c，則（

）A．AI=13C．AI=bAB8．（23-24高一上·安徽黃山·期末）O為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，a?b?c均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足aOA+bOB+cOC=CB，若SΔOAB?SΔOAC?SΔOBC分別表示A．(c+1):(b?1):a B．c:b:a C．1a:1二、多選題9．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（

）A．OH=OA+C．AH=3OM 10．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA

A．若SA:SB:B．若M為△ABC的內(nèi)心，則BC?C．若M為△ABC的外心，則MAD．若M為△ABC的垂心，3MA+411．（23-24高一下·山東棗莊·期中）點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，（

）A．若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABB．若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABC．若2OA+OB+3OC=0，S△AOCD．已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a?OA+b?OB+c?OC三、填空題12．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上三個(gè)不共線的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件OP=OA+λ(ABAB+AC13．（2024·四川成都·一模）已知G為ΔABC的重心，過(guò)點(diǎn)G的直線與邊AB,AC分別相交于點(diǎn)P,Q，若AP=35AB,則ΔABC與14．（2024高一下·四川宜賓·競(jìng)賽）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”Mercedes-Benz的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理）.“奔馳定理”的內(nèi)容如下：如圖，已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為SA,SB,SC，則SA?OA+SB?OB+SC①O是△ABC的外心；②∠BOC+A=π③OA:OB四、解答題15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）根據(jù)“奔馳定理”，解決以下問(wèn)題：(1)點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB:S△BOC:S△AOC(2)若O為△ABC的外心，證明：sin2A16．（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,H是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AH=(1)若H是△ABC的垂心，證明：7c(2)若H是△ABC的外心，求∠BAC．17．（23-24高二上·上海閔行·期中）在ΔABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60°，點(diǎn)O為ΔABC所在平面上一點(diǎn)，滿足OC=mOA+nOB（（1）證明：CO=（2）若點(diǎn)O為ΔABC的重心，求m、n的值；（3）若點(diǎn)O為ΔABC的外心，求m、n的值．18．（23-24高一下·廣東梅州·期末）歐拉是偉大的數(shù)學(xué)家，也是最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、復(fù)變函數(shù)、變分法、拓?fù)鋵W(xué)、微分方程、力學(xué)等等領(lǐng)域都有杰出貢獻(xiàn)．1765年，歐拉在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直線上（這條直線被稱為三角形的歐拉線），此外，外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半．為證明以上結(jié)論，我們作以下探究：如圖，點(diǎn)O、G、H分別為△ABC的外心、重心、垂心．

(1)求證：GA+(2)求證：OG=(3)求證：OH=注：①重心：三邊中線的交點(diǎn)，重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；②垂心：三條高線的交點(diǎn)，高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；③外心：三條中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．19．（23-24高一下·山西·階段練習(xí)）奔馳定理是一個(gè)關(guān)于三角形的幾何定理，它的圖形形狀和奔馳轎車(chē)logo相似，因此得名.如圖，P是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，總有優(yōu)美等式：PA?

(1)若P是△ABC的內(nèi)心，2b=3a=4c，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，求APPD(2)若P是銳角△ABC的外心，A=2B，PB=xPA+y重難點(diǎn)14奔馳定理與四心問(wèn)題【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1奔馳定理】 3【題型2重心問(wèn)題】 6【題型3垂心問(wèn)題】 9【題型4內(nèi)心問(wèn)題】 12【題型5外心問(wèn)題】 151、奔馳定理與四心問(wèn)題奔馳定理是平面向量中的重要定理，這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題有著重要作用；四心問(wèn)題是平面向量中的重要問(wèn)題，是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，在高考復(fù)習(xí)中，要掌握奔馳定理并能靈活運(yùn)用，對(duì)于四心問(wèn)題要學(xué)會(huì)靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1奔馳定理】1．奔馳定理如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則有△APB、△APC、△BPC的面積之比為.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車(chē)的標(biāo)志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問(wèn)題，有著決定性的基石作用.【知識(shí)點(diǎn)2四心問(wèn)題】1．四心的概念及向量表示(1)重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各邊中線的交點(diǎn)叫做重心，重心將中線長(zhǎng)度分成2:1.②重心的向量表示：如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為△ABC重心.③重心坐標(biāo)公式：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，則△ABC的重心坐標(biāo)為P.(2)垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點(diǎn)叫做垂心.②垂心的向量表示：如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為△ABC垂心.(3)內(nèi)心的概念及向量表示①內(nèi)心的概念：三角形各角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心也為三角形內(nèi)切圓的圓心.②內(nèi)心的向量表示：如圖，在△ABC中，三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)心.(4)外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點(diǎn)叫做外心，外心也為外接圓的圓心，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.②外心的向量表示：如圖，在△ABC中，點(diǎn)P為△ABC外心.2．三角形的四心與奔馳定理的關(guān)系(1)O是△ABC的重心：.(2)O是△ABC的垂心：.(3)O是△ABC的內(nèi)心：.(4)O是△ABC的外心：.【題型1奔馳定理】【例1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，B，C，P在同一平面內(nèi)，PQ=13PA，QR=13A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【解題思路】先根據(jù)向量的線性運(yùn)算得到4PA【解答過(guò)程】由QR=13整理可得：PR=由RP=13RC可得所以?12PC由奔馳定理可得：S△ABC故選：B.【變式1-1】（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足3OA+4OB+5OCA．25 B．14 C．34【解題思路】由題意可得4OA+5OB+3OC=0，方法一：延長(zhǎng)CO【解答過(guò)程】因?yàn)?OA所以3OA即4OA方法1：∴4OA+5OB延長(zhǎng)CO至H點(diǎn)，令OH=49則S△AOB方法2：由奔馳定理，SBOC:S故選B.【變式1-2】（23-24高一下·湖北·期中）奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SA．25 B．12 C．16【解題思路】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到3OA【解答過(guò)程】解：∵O為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足OA+2∴OA+2∵S∴S△AOB故選：D．【變式1-3】（23-24高三上·河南南陽(yáng)·期中）奔馳定理：已知O是ΔABC內(nèi)的一點(diǎn)，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC=0．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若A．sinB．cosC．tanD．sin【解題思路】利用已知條件得到O為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為2π及對(duì)頂角相等，得到∠AOB=π?C，再根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關(guān)系得到|OA|:|OB【解答過(guò)程】如圖，因?yàn)镺A?所以O(shè)B?(OA?OC)=0?所以O(shè)為ΔABC的垂心。因?yàn)樗倪呅蜠OEC的對(duì)角互補(bǔ)，所以∠AOB=π?C，∴OA?同理，∴OB∴OC∴|OA∴|OA∴|OA又SSS∴SA:由奔馳定理得tanA?故選C．【題型2重心問(wèn)題】【例2】（2024·貴州六盤(pán)水·三模）已知點(diǎn)O為△ABC的重心，AC=λOA+μA．?3 B．?2 C．1 D．6【解題思路】作出圖形，將OA,OB作為基底，先把AC用OA,OB,BC表示，再將BC也用【解答過(guò)程】根據(jù)向量加法三角形運(yùn)算法知AC=F為BC中點(diǎn)，則BC=2點(diǎn)O為△ABC的重心，則OF=代入（??）得到，BC=2(代入（?）得到，AC=結(jié)合AC=λOA+μO(píng)B，可得故選：A.【變式2-1】（2024·陜西西安·一模）已知點(diǎn)P是△ABC的重心，則（

）A．AP=16C．AP=23【解題思路】利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.【解答過(guò)程】設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接AD，點(diǎn)P是△ABC的重心，則P在AD上，且AP=2由此可知A，B，C錯(cuò)誤，D正確，故選：D.【變式2-2】（23-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）已知點(diǎn)G為△ABC的重心，D,E分別是AB,AC邊上一點(diǎn)，D,G,E三點(diǎn)共線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，若AF=λAD+μAE，則A．6 B．7 C．92 D．【解題思路】根據(jù)重心性質(zhì)可得AF=32【解答過(guò)程】由點(diǎn)G為△ABC的重心，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)知，AF=所以AG=因?yàn)镈,G,E三點(diǎn)共線，D,E分別是AB,AC邊上一點(diǎn)，所以2λ3+2μ4λ當(dāng)且僅當(dāng)4μλ=λ故選：A.【變式2-3】（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）設(shè)點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若OA+OB+OC=B．若(OA+OB)?ABC．若(AB|ABD．若OA+2OB+3OC=0，則△【解題思路】利用向量數(shù)乘運(yùn)算和三角形重心定義判斷選項(xiàng)A；利用向量數(shù)量積運(yùn)算和三角形垂心定義判斷選項(xiàng)B；利用向量數(shù)量積運(yùn)算和等邊三角形定義判斷選項(xiàng)C；求得△BOC與△ABC的面積之比判斷選項(xiàng)D.【解答過(guò)程】對(duì)于A，如圖，取AB邊中點(diǎn)D，連接AB邊上的中線CD，則OA+又∵OA+OB+OC=∴O為△ABC的重心，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B，如圖，取AB邊中點(diǎn)D，BC邊中點(diǎn)E，連接OD，OE，則OA+OB=2∵OA+∴2OD∴OD?AB=OE?∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD，OE分別是AB，BC邊上的垂直平分線，∴OA=OB=OC，O為△ABC的外心，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，作角A的內(nèi)角平分線AE與BC邊交于點(diǎn)E，∵ABAB為AB方向的單位向量，ACAC為∴ABAB+AC∴ABAB+AC∴AE⊥BC，∴AE⊥BC，∴AC=AB，又∵BABA?BCBC=∴△ABC為等邊三角形，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，設(shè)OB′=2由OA+2OB+3則由選項(xiàng)A可知，O為△AB′C′的重心，設(shè)∴S△AO又∵OB=12O∴S△AOC=13S∴S△ABC∴S△BOC

故選：B.【題型3垂心問(wèn)題】【例3】（23-24高一下·上海浦東新·期中）O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABcos∠ABC+ACA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】利用向量的數(shù)量積的定義式結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式，再由向量的數(shù)量積為零推出向量垂直即可.【解答過(guò)程】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D點(diǎn)．則BC·同理BC·∵動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λ∴AP=λABAB∴AP·∴AP⊥因此P的軌跡一定通過(guò)△ABC的垂心．故選：D．【變式3-1】（23-24高一下·廣東東莞·期末）已知在△ABC中，O是△ABC的垂心，點(diǎn)P滿足：3OP=12OAA．23 B．34 C．35【解題思路】根據(jù)向量加法可得12OA+12【解答過(guò)程】如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則12故由3OP=12OA+12OB+2OC所以結(jié)合圖形可得S△ABP故選:A.【變式3-2】（23-24高一下·山東·期中）設(shè)H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HCA．?3010 B．?55 C．【解題思路】根據(jù)題意，由垂心的向量表達(dá)式可得HA?HB=【解答過(guò)程】因?yàn)镠是△ABC的垂心，所以HA?HB?同理可得HB?HA?所以HA?設(shè)HA?因?yàn)?HA+4HB所以HB=?2x,x<0所以cos∠AHB=故選：C.【變式3-3】（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=A．1:2:3 B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6【解題思路】延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得tan∠BAC:【解答過(guò)程】O是△ABC的垂心，延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，因此，S△BOC同理S△BOC于是得tan∠BAC:又OA由“奔馳定理”有S即S△BOC:S故選：A.【題型4內(nèi)心問(wèn)題】【例4】（2024·四川南充·三模）已知點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)，若PA?(AC|AC|?ABA．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【解題思路】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義可得AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，結(jié)合三角形內(nèi)心定義判斷即得.【解答過(guò)程】在△ABC中，由PA?(AC|即AP?AC|AC|顯然AP≠0，即P與A不重合，否則cos∠ABC=1則|AP|cos∠PAC=|AP于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：D.【變式4-1】（23-24高一下·四川成都·期末）已知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，AB=4,AC=3，CB=λCA+μCO，則A．43 B．53 C．2 【解題思路】連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接CO，則由角平分線定理得到CB,CD的長(zhǎng)度關(guān)系，再由平面向量基本定理，利用A,O,D三點(diǎn)共線，得到關(guān)系式，比較系數(shù)可得答案.【解答過(guò)程】連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接CO，因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心，所以AD為∠BAC的平分線，所以根據(jù)角平分線定理可得BDCD所以CB=因?yàn)锳,O,D三點(diǎn)共線，所以設(shè)CD=t則CB=因?yàn)镃B=λ所以λ+μ=7t故選：D.【變式4-2】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，若sin∠BAC?PA+sin∠ABC?PB+A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心【解題思路】根據(jù)“奔馳定理”列方程，整理后判斷出P是△ABC的內(nèi)心.【解答過(guò)程】過(guò)點(diǎn)P分別作BC，CA，AB的垂線PD，PE，PF，其垂足依次為D,E,F，如圖所示，由于sin∠BAC?PA+根據(jù)奔馳定理就有：S△BPC即12因此PD=PE=PF，故點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，B選項(xiàng)正確.故選：B.【變式4-3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O是△ABC的內(nèi)心，且AO=λABA．910 B．710 C．89【解題思路】根據(jù)引理證明定理3，即可定理3的結(jié)論求解.【解答過(guò)程】先證明：引理（“奔馳”定理）如圖1，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC證明

如圖3，延長(zhǎng)AO，與BC邊相交于點(diǎn)D，則BDDC記BDDC=λ，則BD=λ所以?1+λ又OD=?ODOA從而SA接下來(lái)證明定理3

O是△ABC的內(nèi)心?aOA+bOB+cOC證明

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，O是△ABC的內(nèi)心，則S△BOC根據(jù)引理得，O是△ABC的內(nèi)心?aOA由AO=λAB+μ即1?λOA因?yàn)镺為△ABC的內(nèi)心，AB=2，AC=3，根據(jù)定理3，可知1?λ4=λ?μ3=μ2故選:D．【題型5外心問(wèn)題】【例5】（23-24高一下·天津北辰·期中）O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(OA+OB)?BA=(OBA．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算判斷得解.【解答過(guò)程】依題意，(OA(OB(OC則|OA|2所以O(shè)是△ABC的外心.故選：B.【變式5-1】（23-24高三下·新疆·階段練習(xí)）在△ABC中，AC=27，O是△ABC的外心，M為BC的中點(diǎn)，AB?AO=8，N是直線OM上異于M、O的任意一點(diǎn)，則A．3 B．6 C．7 D．9【解題思路】根據(jù)外心的性質(zhì)得到OM⊥BC，設(shè)ON=λOM，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到AN?【解答過(guò)程】因?yàn)镺是△ABC的外心，M為BC的中點(diǎn)，設(shè)AC的中點(diǎn)為D，連接OD，

所以O(shè)M⊥BC，OD⊥AC，設(shè)ON=λ則AN==AO?BA又O是△ABC的外心，所以AO=1所以AN?故選：B.【變式5-2】（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知O為△ABC的外心，若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120°,且AO=λABA．23 B．2 C．1 D．【解題思路】由圖形在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，求出C點(diǎn)和O點(diǎn)的坐標(biāo)，得AO,AB,AC的坐標(biāo)，由AO=λ【解答過(guò)程】解法一：若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120°，則有設(shè)△ABC的外心Ox,y，由OA=OB，得x由OA=OC，得12得O1,23又AC=?1由AO=λAB+μ得2λ?12μ=1故λ+μ=13方法二：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)O作EF//BC交AC的延長(zhǎng)線于E，交AB的延長(zhǎng)線于因?yàn)锳(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120°,由余弦定理，CB2=A而三角形△ABC的外接圓的半徑為7sin所以O(shè)H=21且S△ABC=1所以ACAE=AB故AO=λ由于O,E,F三點(diǎn)共線，有6λ13+6μ故選：D.【變式5-3】（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形ABC中，A=60°，AB>AC，H為△ABC的垂心，AH?AC=20，O為△ABC的外心，且AH?AOA．9 B．8 C．7 D．6【解題思路】作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，利用向量數(shù)量積可求得bc=40，再由O為△ABC的外心，可得∠BAO=90°?C，從而可得∠OAH=C?∠ABC，解方程組cosC?∠ABC=7198與【解答過(guò)程】

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，如圖，延長(zhǎng)BH交AC于D，延長(zhǎng)AH交BC于E，所以BD⊥AC，所以AH?AC=又O為△ABC的外心，所以∠AOB=2C，即∠BAO=90°?C，又在△ABE中，∠BAE=90°?∠ABC，故∠OAH=90°?∠ABC?90°?C=C?∠ABC所以cosC?∠ABC=cos∠OAH=AH所以由正弦定理得bcsinCsin∠ABC=故選：C.一、單選題1．（2024·全國(guó)·二模）點(diǎn)O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足OP=OA+OB+OC，則直線A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.【解答過(guò)程】設(shè)BC的中點(diǎn)為點(diǎn)D，所以O(shè)B+則OP?若A,P,O,D四點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)O,P都在中線AD上，所以O(shè)P經(jīng)過(guò)三角形的重心，若A,P,O,D四點(diǎn)不共線時(shí)，AP//OD，且AP=2OD，連結(jié)AD,OP，交于點(diǎn)G，如圖，AGGD=APOD=2，即點(diǎn)G綜上可知，OP經(jīng)過(guò)△ABC的重心.故選：A.2．（23-24高一下·河南安陽(yáng)·期末）已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若△BOC,△AOC,△AOB的面積分別記為S1,S2,S3，則S1?OA+S2A．1:2:3 B．1:2:4 C．2:3:4 D．2:3:6【解題思路】延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得tan∠BAC:【解答過(guò)程】O是△ABC的垂心，延長(zhǎng)CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC，∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC，因此，S1S2于是得tan∠BAC:又OA+2OB+3OC=則OC=?S1S3?OA?S2S所以tan∠BAC:故選：A.3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）點(diǎn)P是銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)A．點(diǎn)P是△ABC的垂心 B．點(diǎn)P是△ABC的重心C．點(diǎn)P是△ABC的外心 D．點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心【解題思路】由已知判斷點(diǎn)P在直線AD上，結(jié)合垂心、重心、外心、內(nèi)心的定義逐一判斷即可.【解答過(guò)程】記BC的中點(diǎn)為D，則AP=λ(所以，點(diǎn)P在直線AD上.A選項(xiàng)：若點(diǎn)P是△ABC的垂心，則AD⊥BC，所以AB=AC，所以△ABC為等腰三角形，A正確；B選項(xiàng)：若點(diǎn)P是△ABC的重心，則點(diǎn)P在BC邊的中線上，無(wú)法推出AD⊥BC，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若點(diǎn)P是△ABC的外心，則點(diǎn)P在BC邊的中垂線上，所以AD⊥BC，所以△ABC為等腰三角形，C正確；D選項(xiàng)：若點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，則AD為∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，又S△ABD=S故AB=AC，D正確.故選：B.4．（2024·安徽·三模）平面上有△ABC及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將△OAB，△OBC，△OCA的面積分別記作Sc，Sa，Sb，則有關(guān)系式Sa?OA+Sb?OB+Sc?OC=0．因圖形和奔馳車(chē)的logo很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知△ABC的內(nèi)角A，A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)平面向量基本定理可得SbSa=ba，ScSa=ca，延長(zhǎng)CO交AB于E，延長(zhǎng)BO交AC于F，根據(jù)面積比推出【解答過(guò)程】由Sa?OA由a?OA+b?OB根據(jù)平面向量基本定理可得?SbS所以SbSa延長(zhǎng)CO交AB于E，延長(zhǎng)BO交AC于F，則SbSa=|AE||BE|，又所以CE為∠ACB的平分線，同理可得BF是∠ABC的平分線，所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心.故選：B.5．（23-24高一下·上海奉賢·期中）設(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA+2OB+2OC=0，則A．6 B．83 C．127 【解題思路】延長(zhǎng)OB到D，使OB=BD，延長(zhǎng)OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，則由已知條件可得O為△ADE的重心，由重心的性質(zhì)可得S△AOD=S△AOE=【解答過(guò)程】解：延長(zhǎng)OB到D，使OB=BD，延長(zhǎng)OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，因?yàn)镺A+2OB+2所以O(shè)為△ADE的重心，所以設(shè)S△AOD=S△AOE=所以S△ABC所以S△ABC故選：D.6．（23-24高一下·甘肅·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，且SA?MA+SB?MB

A．?63 B．?66 C．【解題思路】根據(jù)SA?MA+SB?MB+SC?MC=0和【解答過(guò)程】

如圖，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)E.由M為△ABC的垂心，3MA+4MB得SA:S又S△ABC=SA+SB設(shè)MD=x，MF=y，則AM=3x，BM=2y，所以cos∠BMD=x2y=cos所以cos∠BMD=所以cos∠AMB=故選：B.7．（23-24高三上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知△ABC，I是其內(nèi)心，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別a,b,c，則（

）A．AI=13C．AI=bAB【解題思路】結(jié)合平面向量線性運(yùn)算以及正弦定理等知識(shí)求得正確答案.【解答過(guò)程】延長(zhǎng)AI,BI,CI，分別交BC,AC,AB于D,E,F.內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn).在三角形ABD和三角形ACD中，由正弦定理得：BDsin由于sin∠ADB=sin∠ADC，所以BD同理可得cBD=AIAI=c?AD所以AD=b則AI=故選：C.8．（23-24高一上·安徽黃山·期末）O為三角形內(nèi)部一點(diǎn)，a?b?c均為大于1的正實(shí)數(shù)，且滿足aOA+bOB+cOC=CB，若SΔOAB?SΔOAC?SΔOBC分別表示A．(c+1):(b?1):a B．c:b:a C．1a:1【解題思路】利用已知條件，結(jié)合三角形的面積的比，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答過(guò)程】解：由aOA∴a∴a∴a如圖設(shè)O∴OA1+O∴∴∴SΔOAB=1∴所以SΔOAB故選：A．二、多選題9．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（

）A．OH=OA+C．AH=3OM 【解題思路】利用平面向量的線性運(yùn)算證明選項(xiàng)ABD正確，證明選項(xiàng)C錯(cuò)誤即可.【解答過(guò)程】A.∵OG=1所以O(shè)A?所以O(shè)G=所以O(shè)H=B.S△BCG由于G是重心，所以?1=1同理S△ABG=1所以該選項(xiàng)正確.C.AH=D.OH=3所以AB+故選：ABD.

10．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心?內(nèi)心?外心?垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA

A．若SA:SB:B．若M為△ABC的內(nèi)心，則BC?C．若M為△ABC的外心，則MAD．若M為△ABC的垂心，3MA+4【解題思路】對(duì)于A，根據(jù)已知條件及奔馳定理，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)即可求解；對(duì)于B，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)及三角形的面積公式，結(jié)合奔馳定理即可求解；對(duì)于C，利用三角形外心的定義及向量的線性運(yùn)算即可求解；對(duì)于D，利用三角形的垂心的定義及三角形的面積公式，結(jié)合奔馳定理及銳角三角函數(shù)即可求解.【解答過(guò)程】對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD,AM,如圖所示

由SA:S所以2MD所以A,M,D三點(diǎn)共線，且AM=設(shè)E,F分別為AB,AC得中點(diǎn)，同理可得CM=所以M為△AMC的重心，故A正確；對(duì)于B，由M為△ABC的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，如圖所示

則SA所以12即BC?MA對(duì)于C，如圖所示

因?yàn)镸為△ABC的外心，所以MA=MB=MC,所以MA2=MB2，即所以MB+同理可得，MB所以MA+對(duì)于D，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)E，如圖所示，

由M為△ABC的垂心，3MA+4MB又S△ABC=S設(shè)MD=x，MF=y，則所以cos∠BMD=x2y所以cos∠BMD=66故選：ABC.11．（23-24高一下·山東棗莊·期中）點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，（

）A．若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABB．若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABC．若2OA+OB+3OC=0，S△AOCD．已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a?OA+b?OB+c?OC【解題思路】對(duì)于A，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連AD，利用正弦定理推出AP與AD共線，可判斷A；對(duì)于B，根據(jù)A可判斷B；對(duì)于C，設(shè)AC、BC的中點(diǎn)分別為E、F，由2OA+OB對(duì)于D，延長(zhǎng)CO交AB于D，由a?OA+b?OB+c?OC=0得到a?DA+b?DB=?(a+b)OD?c?OC，根據(jù)共線向量定理可得【解答過(guò)程】對(duì)于A，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連AD，如圖：

因?yàn)閨AB|sin所以AP=λ|AB|sinB所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心，故A不正確；對(duì)于B，由A可知，只有當(dāng)|AB|cosB=|AC對(duì)于C，因?yàn)?OA+OB設(shè)AC、BC的中點(diǎn)分別為E、F，則2OE

所以S△AOC對(duì)于D，延長(zhǎng)CO交AB于D，

因?yàn)閍?OA+b?OB所以a?DA設(shè)DA=xDB，OD=y因?yàn)镈B與OC不共線，所以ax+b=0，ay+by+c=0，所以x=?ba，即DA=?ba所以CO為∠ACB的平分線，同理得OA為∠BAC的平分線，OB為∠ABC的平分線，所以O(shè)為△ABC的內(nèi)心.故D正確.故選：CD.三、填空題12．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知O是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上三個(gè)不共線的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件OP=OA+λ(ABAB+ACAC)(λ∈【解題思路】AB|AB|,AC|AC【解答過(guò)程】AB|AB|令A(yù)B|AB|則OP?即AP=λ(又|e1|=|e2所以點(diǎn)P在角平分線上所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心.故答案為：內(nèi).13．（2024·四川成都·一模）已知G為ΔABC的重心，過(guò)點(diǎn)G的直線與邊AB,AC分別相交于點(diǎn)P,Q，若AP=35AB,則ΔABC與ΔAPQ的面積之比為【解題思路】設(shè)AQ=xAC，AG=λAP+1?λAQ，利用三角形重心的性質(zhì)以及平面向量的運(yùn)算法則可得1【解答過(guò)程】

設(shè)AQ=x∵P,G,Q三點(diǎn)共線，∴可設(shè)AG=λ∴AG∵G為ΔABC的重心，∴AG∴1∴13=∴AQSΔABC故答案為20914．（2024高一下·四川宜賓·競(jìng)賽）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”Mercedes-Benz的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理）.“奔馳定理”的內(nèi)容如下：如圖，已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為SA,SB,SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC①O是△ABC的外心；②∠BOC+A=π③OA:OB【解題思路】由OA?OB=OB?OC=OC?【解答過(guò)程】對(duì)①，因?yàn)镺A同理OB⊥CA,OC⊥AB,故O為△ABC的垂心，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，因?yàn)椤螼BC+∠C=π2,∠OCB+∠B=又因?yàn)椤螼BC+∠OCB+∠BOC=π，所以∠BOC=∠C+∠B又因?yàn)椤螦+∠B+∠C=π，所以∠BOC+A=對(duì)③，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)P，如圖，則cosA:同理可得cosA:cosC=OA:OC對(duì)④，S=tan同理可得SA:S又因?yàn)镾A?OA故答案為：②③④.四、解答題15．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）根據(jù)“奔馳定理”，解決以下問(wèn)題：(1)點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB:S△BOC:S△AOC(2)若O為△ABC的外心，證明：sin2A【解題思路】（1）利用奔馳定理和平面向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，利用奔馳定理即可求解.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)“奔馳定理”，得3OA+2OB+4OC因?yàn)锳B與AC不共線，所以由平面向量基本定理得λ=29，（2）證明：若O為△ABC的外心，則可設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，∠BOC=2A，∠AOC=2B，∠AOB=2C，故S△BOC同理S△AOC=1根據(jù)“奔馳定理”，S△BOC即12所以sin2A?16．（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC中，角A,B,