2023屆高考數(shù)學特訓營第3節(jié)-直線、平面的平行判定與性質(zhì)

第七單元第3節(jié)直線、平面的平行判定與性質(zhì)2023屆1《高考特訓營》·數(shù)學課程標準解讀命題方向數(shù)學素養(yǎng)1.從定義和基本事實出發(fā)，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，以及有關平行的性質(zhì)定理和判定定理，并加以證明.2.能利用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)直觀想象數(shù)學抽象邏輯推理2.平面與平面平行的判定及性質(zhì)3.平行關系的綜合應用0102知識特訓能力特訓01知識特訓知識必記拓展鏈接對點訓練

此平面內(nèi)l∥aa?αl?α

交線l∥αl?βα∩β＝b[探究]

設m，l表示兩條不同的直線，α表示平面，若m?α，l∥α，則l與m的位置關系如何？提示：平行或異面．

相交直線a∥βb∥βa∩b＝Pa?αb?α

相交交線α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b[探究]

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應平行，那么這兩個平面平行嗎？提示：平行．可以轉(zhuǎn)化為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”，這就是面面平行的判定定理．3．平行關系中的三個重要結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)若α∥β，a?α，則a∥β.1．[知識外延]平行關系中的常用結論(1)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．(2)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．(5)同一條直線與兩個平行平面所成角相等．(6)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行．2．[思想方法]三種平行關系的轉(zhuǎn)化

線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關的證明題的指導思想，解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律，又要看清題目的具體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向．3.[學以致用]平行關系在操作中的應用【例】一木塊如圖所示，點P在平面VAC內(nèi)，過點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，應該怎樣畫線？

思路分析：過

P在平面VAC內(nèi)作直線DE∥AC，過DE與VA的交點D在面VBA內(nèi)再作DF∥VB.由DE，DF所確定的截面為所求．解：過平面VAC內(nèi)一點P作直線DE∥AC，交VA于D，交VC于E；過平面VBA內(nèi)一點D作直線DF∥VB，交AB于F，則DE，DF所確定的截面為所求，如圖所示．證明：∵DE∥AC，DE?平面DEGF，AC?平面DEGF，∴AC∥平面DEGF.又VB∥DF，VB?平面DEGF，DF?平面DEGF，∴VB∥平面DEGF.因此據(jù)此畫法得到的截面四邊形DEGF與直線VB和AC平行．1．[易錯診斷]如圖，這是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為________．答案：平行四邊形解析：因為平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．2．[教材改編]設α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是________(填上所有正確的序號)．答案：②④解析：在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足；在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，條件④滿足．3．[模擬演練]已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關系分別為(

)A．平行、平行

B．異面、平行C．平行、相交 D．異面、相交B解析：∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點，∴EF?平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N?EF，∴由異面直線判定定理得直線MN與直線EF是異面直線．取A1C1的中點P，連接PM，PN，如圖所示，則PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵MN?平面PMN，∴直線MN與平面ABB1A1平行．4．[真題體驗](2019·新課標Ⅱ卷(理))設α，β為兩個平面，則“α∥β”的充要條件是(

)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面解析：由面面平行的判定定理知，“α內(nèi)兩條相交直線都與β平行”是“α∥β”的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若α∥β，則α內(nèi)任意一條直線都與β平行，所以“α內(nèi)兩條相交直線都與β平行”是“α∥β”的必要條件，故選B.B02能力特訓特訓點1特訓點2特訓點3考向1直線與平面平行的判定典例1

(2022·四川模擬)如圖，四邊形ABCD為矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求證：BF∥平面CDE.特訓點1直線與平面平行的判定與性質(zhì)【多維考向類】證明：法一：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∵AB?平面CDE，CD?平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AF∥ED，∵AF?平面CDE，ED?平面CDE，∴AF∥平面CDE，∵AF∩AB＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，∴平面ABF∥平面CDE，又BF?平面ABF，∴BF∥平面CDE.法二：如圖，在ED上取點N，使DN＝AF，連接NC，NF，∵AF∥DN，且AF＝DN，∴四邊形ADNF為平行四邊形，∴AD綊FN，又四邊形ABCD為矩形，∴AD綊BC，∴FN綊BC，∴四邊形BCNF為平行四邊形，∴BF∥NC，∵BF?平面CDE，NC?平面CDE，∴BF∥平面CDE.證明線面平行有兩種常用方法：一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．考向2直線與平面平行的性質(zhì)典例2如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和PA作平面交BD于點H.求證：PA∥GH.[解題指導]先根據(jù)中位線證明PA∥OM，再根據(jù)線面平行的判定定理證明PA∥平面BMD，再由線面平行的性質(zhì)定理證明PA∥GH.證明：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥OM，又OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.在應用線面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)化時，一定要注意定理成立的條件，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行．典例3如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.特訓點2平面與平面平行的判定及性質(zhì)【師生共研類】[解題指導](1)根據(jù)中位線定理證明GH∥BC，從而證得四點共面；(2)應用線面平行的判定定理分別證明EF∥平面BCHG和A1E∥平面BCHG，再應用面面平行的判定證明平面EFA1∥平面BCHG.證明：(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1∥AB且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，A1G＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.◎思維發(fā)散◎1．(變條件)在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點M，因為四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點，連接MD，因為D為BC的中點，所以A1B∥DM，因為A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)及D，D1分別為BC，B1C1的中點知D1C1綊BD，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因為DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.

證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，證明：B1D1∥l.證明：(1)由題設知BB1綊DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1綊B1C1綊BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥D1C.又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B＝B，BD，A1B?平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面B1D1C＝直線l，平面ABCD∩平面A1BD＝直線BD，所以直線l∥直線BD，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.

特訓點3平行關系的綜合應用【師生共研類】[解題指導](1)連接CP，并延長與DA的延長線交于M點，由三角形的相似和線面平行的判定定理，即可得證．解：(1)證明：連接CP并延長與DA的延長線交于M點，如圖，連接MD1，因為四邊形ABCD為正方形，所以BC∥AD