3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系（2）北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)課件

圓周角和圓心角的關(guān)系九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)北師大版

如圖所示，小花同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)直徑的測(cè)量器,標(biāo)有刻度的尺子在O點(diǎn)釘在一起,并使它們保持垂直，在測(cè)直徑時(shí)，把O點(diǎn)靠在圓周上,交圓于E,F兩點(diǎn)，讀得刻度OE=8cm,OF=6cm，她就認(rèn)為圓的直徑為10cm.你同意她的做法嗎?

分析題目中的數(shù)量關(guān)系：如果連接EF，因?yàn)閳A周角∠FOE是90°，在Rt△EOF中，利用勾股定理可以得出EF=10cm.【問(wèn)題】

為什么90°的圓周角所對(duì)的弦EF是直徑?那么直徑所對(duì)的圓周角又是多少度呢?新知講解觀察圖，BC是⊙O的直徑，它所對(duì)的圓周角有什么特點(diǎn)？你能證明嗎？ABCO解：直徑BC所對(duì)的圓周角∠BAC=90°。證明：∵BC為直徑，∴∠BOC=180°?！鄨A周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角的度數(shù)的一半觀察圖，圓周角∠BAC=90°，弦BC是直徑嗎？為什么？BCAO解：弦BC是直徑。連接OC、OB，∵∠BAC=90°，∴∠BOC=2∠BAC=180°。（圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角的度數(shù)的一半）∴B、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴BC是⊙O的一條直徑。注意：此處不能直接連接BC，思路是先保證過(guò)點(diǎn)O，再證三點(diǎn)共線。直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。ABCOBCAO幾何語(yǔ)言：∵BC為直徑，∴∠BAC=90°。幾何語(yǔ)言：∵∠BAC=90°，∴BC為直徑。小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形。下面所示的四種圓弧形，你能判斷哪個(gè)是半圓形？為什么？例題講解如圖，⊙O的直徑AB=10cm，C為⊙O上的一點(diǎn)，∠B=30°，求AC的長(zhǎng)。ABCO解∵AB為直徑∴∠BCA=90°在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=10∴如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，AC為⊙O的直徑，請(qǐng)問(wèn)∠BAD與∠BCD之間有什么關(guān)系？為什么？ABCOD解：∠BAD與∠BCD互補(bǔ)∵AC為直徑∴∠ABC=90°,∠ABC=90°∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD與∠BCD互補(bǔ)如圖，C點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，∠BAD與∠BCD之間有的關(guān)系還成立嗎？為什么？ABCOD解：∠BAD與∠BCD的關(guān)系仍然成立。連接OB，OD∵

（圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上圓心角的一半）∵∠1+∠2=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°．∴∠BAD與∠BCD互補(bǔ)．12ABCODABCOD如圖，兩個(gè)四邊形ABCD有什么共同的特點(diǎn)？四邊形ABCD的的四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，這樣的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形；這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。ABCODABCOD如圖，我們發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠BCD之間有什么關(guān)系？圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。幾何語(yǔ)句：∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°。（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）如圖，∠DCE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，∠A與∠DCE的大小有什么關(guān)系？ABCODE解：∠A=∠CDE，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°．（圓內(nèi)角四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE．在得出本節(jié)結(jié)論的過(guò)程中，你用到了哪些方法？請(qǐng)舉例說(shuō)明，并與同伴進(jìn)行交流。方法1：解決問(wèn)題應(yīng)該經(jīng)歷“猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—嚴(yán)密證明”三個(gè)基本環(huán)節(jié).方法2：從特殊到一般的研究方法，對(duì)特殊圖形進(jìn)行研究，從而改變特殊性，得出一般圖形，總結(jié)一般規(guī)律.1.從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中,可判斷圓弧為半圓的是 (

)解析:∵直徑所對(duì)的圓周角等于直角,∴直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中,可判斷圓弧為半圓的是B.故選B.B解析:∵四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，∠B=60°，∴∠ADC=180°-∠B=180°-60°=120°，∵∠ADC+∠EDC=180°，∴∠EDC=180°-120°=60°.故選B.2.如圖所示,四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，如果∠B=60°，那么∠EDC等于(

)A.120°

B.60°C.40° D.30°B鞏固練習(xí)解析:∵∠ABC與∠ADC是AC

所對(duì)的圓周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-54°=36°.故填36°.3.如圖所示,△ABC為☉O的內(nèi)接三角形，AB為☉O的直徑,點(diǎn)D在☉O上，∠ADC=54°，則∠BAC的度數(shù)等于

.

36°4.如圖所示,☉O的內(nèi)接四邊形ABCD中,∠A=115°,則∠BOD等于

.

解析:∵∠A=115°，∴∠C=180°-∠A=65°，∴∠BOD=2∠C=130°.故填130°.130°⌒證明:(1)∵OD⊥AC，OD為半徑,∴CD=AD∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC.5.如圖所示，☉O是△ABC的外接圓，AB是☉O的直徑,D為☉O上一點(diǎn),OD⊥AC，垂足為E，連接BD.(1)求證BD平分∠ABC；(2)當(dāng)∠ODB=30°時(shí),求證BC=OD.(2)∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，∵OD⊥AC于E,∴∠OEA=90°，∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，又∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°.∴在Rt△ACB中，BC=AB，∵OD=AB，∴BC=OD.⌒⌒【想一想】

如圖所示,∠DCE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個(gè)外角，∠A與∠DCE的大小有什么關(guān)系?由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)的推論:圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角(就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角).[知識(shí)拓展]

1.本節(jié)課用到的數(shù)學(xué)方法:(1)度量與證明:比如說(shuō)在探究直徑所對(duì)的圓